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第 10 讲：拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题
目录
1、函数极值的第二判定定理：...........................................................1
类型一：利用二阶导数求函数的极值.................................................1
类型二：利用二阶导数求函数的单调性..............................................7
类型三：利用二阶导数求参数的范围...............................................12
类型四：利用二阶导数证明不等式...................................................18
1、函数极值的第二判定定理：
若 在 附近有连续的导函数 ，且 ，
（1）若 则 在点 处取极大值；
（2）若 则 在点 处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数f '(x)，无法判断导函数正负；
（2）对函数 一次求导得到 之后，解不等式 难度较大甚至
根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有 或
3、解题步骤：
设 ，再求 ，求出 的解，即得到函数 的单调
性，得到函数 的最值，即可得到 的正负情况，即可得到函数 的单调性.
高频考点
类型一：利用二阶导数求函数的极值
典型例题
例题1．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：
其中 为自然对数的底数，
.以上公式称为泰勒公式.设 ，根据以上信
息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明： ；(2)设 ，证明： ；
(3)设 ，若 是 的极小值点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）首先设 ，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值
问题；
（2）首先由泰勒公式，由 和 ，再求得 和 的解析式，即可证明；
（3）分 和 两种情况讨论，求出 在 附近的单调区间，即可求解.
【详解】（1）设 ，则 .
当 时， ：当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因此， ，即 .
（2）由泰勒公式知 ，①
于是 ，②
由①②得
所以
即 .
（3） ，则，设 ，
由基本不等式知， ，当且仅当 时等号成立.
所以当 时， ，所以 在 上单调递增.
又因为 是奇函数，且 ，
所以当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因此， 是 的极小值点.
下面证明：当 时， 不是 的极小值点.
当 时， ，
又因为 是 上的偶函数，且 在 上单调递增,
所以当 时， .
因此， 在 上单调递减.
又因为 是奇函数，且 ，
所以当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
因此， 是 的极大值点，不是 的极小值点.
综上，实数 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：第三问是本题的难点，关键是分 和 两种情况，利用导数判
断 附近的单调性.
例题2．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调区间；
(2)当 时，设 ，若 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
【分析】（1）根据题意，求导可得 ，然后分 与 讨论，即可得到结果；（2）根据题意，分离参数，然后构造函数 ，求导可得 ，转化为最值
问题，即可得到结果.
【详解】（1） 定义域为 ， ，
①当 时， 恒成立， 在 上单调递减
②当 时，
+
单调递减 单调递增
综上所述，当 时， 的单调递减区间为 ，
当 时， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 .
（2） 恒成立，
所以 恒成立，设 ，
则 ，
设 ，则 ，
当 时， 递增，当 时， 递减，
所以 ，所以当 时， 恒成立，
当 时， 递增，当 时， 递减，
所以 ，
由 恒成立得 ，
所以 的取值范围为 .
练透核心考点
1．（2024·四川遂宁·二模）已知函数 ．
(1)若 在区间 存在极值，求 的取值范围；(2)若 ， ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对 分类讨论研究单调性后，结合极值的定义计算即可得；
（2）设 ，原问题即为 在 时恒成立，
多次求导后，对 时及 时分类讨论，结合零点的存在性定理与函数的单调性即可得
解.
【详解】（1）由 ，得 ，
当 时， ，则 单调递增， 不存在极值，
当 时，令 ，则 ，
若 ，则 ， 单调递减；
若 ，则 ， 单调递增，
所以 是 的极小值点，
因为 在区间 存在极值，则 ，即 ，
所以， 在区间 存在极值时， 的取值范围是 ；
（2）由 在 时恒成立，
即 在 时恒成立，
设 ，则 在 时恒成立，
则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
时， ，则 ， 时， ，则
，
所以 时， ，则 即 单调递增，
所以 ，则 即 单调递增，
所以 ，
①当 时， ，故 ， ，则 单调递增，
所以 ，所以 在 时恒成立，
②当 时， ，
，
故在区间 上函数 存在零点 ，即 ，
由于函数 在 上单调递增，则 时， ，
故函数 在区间 上单调递减，
所以，当 时，函数 ，不合题意，
综上所述，的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于多次求导后，得到 ，从而通
过对 及 进行分类讨论.
2．（2024·四川广安·二模）已知函数 .
(1)若 存在极值，求 的取值范围；
(2)若 ， ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求函数的导函数，分 、 两种情况讨论，即可得到函数的单调性，
从而得到函数的极值点，即可得解；
（2）依题意即证明 在 时恒成立，设
， ，利用导数说明函数的单调性，即可得证.
【详解】（1）由 ， ，得 ，
当 时， ，则 单调递增， 不存在极值；
当 时，令 ，则 ，
当 ，则 ，即 在 上单调递减，
当 ，则 ，即 在 上单调递增.
所以 是 的极小值点，
所以当 时， 存在极值，综上所述， 存在极值时， 的取值范围是 .
（2）欲证不等式 在 时恒成立，
只需证明 在 时恒成立.
设 ， ，
则 ，
令 ， ，
则 .
当 时 ， ，所以 ，
所以 即 在 上单调递增，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
即当 ， 时，不等式 恒成立.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的
单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零
点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
类型二：利用二阶导数求函数的单调性
典型例题
例题1．（2024·江西九江·二模）已知函数 在 处的
切线方程为
(1)求a，b的值；
(2)判断 的单调性.
【答案】(1) ，
(2) 在 上单调递增
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）借助导数的导数研究导数的最值后即可得原函数的单调性.【详解】（1） ，由题意可得 ， ，
则 ，可得 ，
，
即 ， ；
（2） ， ，
令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
即 ，
故 在 上单调递增.
例题2．（23-24高二下·广东清远·阶段练习）已知函数 ，
．
(1)求函数 的单调区间；
(2)已知 ，当 ，试比较 与 的大小，并给予证明．
【答案】(1)答案见解析
(2) ，证明见解析
【分析】
（1）先求出 的导函数，再对 分类讨论，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）构造函数 ，求出函数的导函数，再令 ，利用导数分析
的单调性，从而得到函数 的最值，从而得证.
【详解】（1）因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时， ，所以 的单调递增区间为 ，没有单调递减区间；
当 时，令 ，得 ；令 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
综上，当 时， 的单调递增区间为 ，没有单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） ，证明如下：
当 时， ，又 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，又 ，
所以函数 在 上单调递增，且存在唯一零点 ，使得 ，
且 时， ； 时， ，
即 时， ； 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，而 ，即 ，
两边取对数得 ，
所以 ，故 在 上恒成立.
练透核心考点
1．（23-24高二下·重庆铜梁·阶段练习）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点
（即曲线的凹凸分界点）.设 是函数 的导函数， 是函数 的导函
数，若方程 有实数解 ，并且在点 左右两侧二阶导数符号相反，则
称 为函数 的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数 都有“拐点”，且该“拐点”
也是函数 的图象的对称中心.已知函数 的图象的对称中心为
，讨论函数 的单调性并求极值.(2)已知函数 ，其中 .求 的拐点.
【答案】(1) 在 上单调递增，在 上单调递减，极大值为26，极小
值为 ；
(2)
【分析】
（1）根据题意，由条件结合二阶导数的定义可得 ，然后求导即可得
到单调区间以及极值；
（2）根据题意，求函数二阶导数可得 ，然后构造函数转化为
零点问题，即可求解.
【详解】（1）
， ，
由题意得 ，即 ，解得 ，
且 ，即 ，解得 ，
故 ，
所以 ，
令 得 或 ，令 得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
故极大值为 ，极小值为 ；
（2）
，
由于 ， ，故 ，即 的定义域为 ，
，
，
令 得， ，
令 ， ，
则 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
又 ，由零点存在性定理知， 有唯一的零点 ，
故 ，即 时，满足 ，
当 时， ，
故 的拐点为
2．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求证： ；
(2)当 时，函数 在 上的最大值为 ，求不超过 的最大整
数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）令 ，利用导数证明 即可；
（2）利用导数求 的最大值，得不超过 的最大整数．
【详解】（1）令 ，
则 ，
当 时， 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
则 ，
所以 ，即 .
（2）当 时， ，
，
令 ，则 ，
当 时， ，则函数 单调递增，
时， ，则函数 单调递减，
又 ， ， ，所以存在唯一的 ，使 ，即 ，
所以当 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
∴ ，
，
又 ，所以 ，
所以不超过 的最大整数为 .
类型三：利用二阶导数求参数的范围
典型例题
例题1．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知 （e为自然对数的底数）
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证：当 时， 恒成立；
(3)已知 ，如果当 时， 恒成立，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求导，然后利用导数的几何意义求切线方程；
（2）将不等式转化为 恒成立，构造函数 ， ，然后求其最小
值即可；
（3）将不等式转化为 恒成立，构造函数 ，然后求导研究其最
值即可.
【详解】（1）由已知 ，则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2） ，
设 ， ，
则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以当 时， 恒成立；
（3）当 ， 时， ，
令 ， ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
令 ，得 ，令 ，得 ，
当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 ，即 恒成立，
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，不符合 恒成立，
所以 ，
所以当 时， 恒成立， 的最大值为 .
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是等价转化为证明 在 上恒成
立，然后再设新函数，利用导数得到范围.
例题2．（23-24高三下·江西·阶段练习）记函数 在 上的导函数为
，若 （其中 ）恒成立，则称 在 上具有性质
．
(1)判断函数 （ 且 ）在区间 上是否具有性质 ？并说明理由；
(2)设 均为实常数，若奇函数 在 处取得极值，是否存在实数 ，
使得 在区间 上具有性质 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)设 且 ，对于任意的 ，不等式 成立，求 的最大
值．
【答案】(1)不具有，理由见解析
(2)存在，
(3)3
【分析】（1）根据题意，求得 ，结合新定义，即可求解；
（2）根据题意，求得 ，得到 ，进而得到 ，
进而新定义，即可求解；
（3）根据题意，转化为 ，令 ，求得
，令 ，利用导数求得函数 的单调性，结
合 ，得到存在 ，使 ，结合函数的单调性，求得
的最小值为 ，由 ，得到 ，求得 ，即可求解.
【详解】（1）解：令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以当 时，函数 在区间 上具有性质 ；
当 时，函数 在区间 上不具有性质 ．
（2）解：因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值，且 为奇函数，
所以 在 处也取得极值，则 ，解得 ，
所以 ，可得 ，
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，满足 在 处取得极值，所以 ，
当 时， 恒成立，
所以，存在实数 ，使得 在区间 上具有性质 ，且 的取值范围是
．
（3）解：因为 ，所以 ，即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， 在区间 上单调递增，
又因为 ，
所以存在 ，使 ，
因为当 时， 在区间 上单调递减，
当 时， 在区间 上单调递增，
所以当 时， 的最小值为 ，
由 ，有 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 恒成立，所以 ，
因为 且 ，所以 的最大值为 ．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范
围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分
离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，
就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
练透核心考点1．（23-24高三下·山东潍坊·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当 时，证明： ， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）求得 ，转化为 在 上恒成立，进而转化为 在 上
恒成立，令 ，得出函数 的单调性和最大值，即可求解.
（2）当 时，得到 且 ，当 时，只需使得 ，利用
导数求得 单调递增，得到 ；当 时，显然满足 ；当
时，由 和 ，得到 ，即可得证.
【详解】（1）
由函数 ，可得 ，
因为 在R上单调递增，可得 在R上恒成立，
即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，可得 ，
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增，
所以当 时，函数 取得极大值，最大值 ，所以 ，
即实数a的取值范围为 .
（2）
当 时， ，可得
可得 ，要使得 ，只需使得 ，
当 时，令 ，可得 ，
所以 在 上单调递增，
又由 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ；当 时，可得 且 ，所以 ，满足 ；
当 时 ， 可 得 ， 因 为 且
，
所以 ，所以 ，
综上可得，对于 ，都有 .
【点睛】
关键点睛：本题考查导数的综合应用，根据函数的单调性求解参数范围以及利用导数证明
不等式，解答的关键是将证明 时，不等式 成立，转化为证明
，然后分类讨论x的取值范围，结合函数单调性，即可证明结论.
2．（2023·河南·三模）已知函数 ，e为自然对数的底数．
(1)若此函数的图象与直线 交于点P，求该曲线在点P处的切线方程；
(2)判断不等式 的整数解的个数；
(3)当 时， ，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】
（1）根据导数的几何意义可求得直线的斜率，继而可解；
（2）利用导数考查函数 的单调性，确定零点所在区间即可求解；
（3）变形不等式，参变分离后，利用换元法变形不等式，利用导数考查函数的单调性即可
求解.
【详解】（1） ，所以 ，又
所以该曲线在点P处的切线方程为: ，即
（2） 的定义域为 ， ，
当 时， ， 单调递增；
当 ， ， 单调递减．又 ， ，
， ，
所以，不等式 的整数解的个数为3．
（3）不等式
可整理为 ，
令 ， ，
所以当 ， ， 单调递增，
当 ， ， 单调递减，
所以 ，又 ，
所以令 ，则
令 ，
则
令 ，
则
令 ， ，
则 ， ，
所以 单调递减， ，
所以 ， 单调递减， ，
所以 ，
所以 ，
所以 单调递减，所以 .
【点睛】
方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，
常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等
式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
类型四：利用二阶导数证明不等式
典型例题
例题1．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知 （e为自然对数的底数）
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证：当 时， 恒成立；
(3)已知 ，如果当 时， 恒成立，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求导，然后利用导数的几何意义求切线方程；
（2）将不等式转化为 恒成立，构造函数 ， ，然后求其最小
值即可；
（3）将不等式转化为 恒成立，构造函数 ，然后求导研究其最
值即可.
【详解】（1）由已知 ，
则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2） ，设 ， ，
则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以当 时， 恒成立；
（3）当 ， 时， ，
令 ， ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
令 ，得 ，令 ，得 ，
当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 ，即 恒成立，
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，不符合 恒成立，
所以 ，
所以当 时， 恒成立， 的最大值为 .
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是等价转化为证明 在 上恒成
立，然后再设新函数，利用导数得到范围.
例题2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导可得斜率，结合点斜式方程求解即可.
（2）求 ，运用 放缩可得 ，设 ，求
导可得 ，结合基本不等式可得 ，从而可得 单调性，进而可证得结果.
【详解】（1）解：当 时， ，则 ，又 ，所以 ，即 ，
所以在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）证明：设 （ ），则 ，
，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
，
恒成立，
由 可知 ，
所以 （ ），
设 （ ），则 ，
，
所以当 时， ， 单调递增， ，
所以 单调递增， ，
所以 ．
【点睛】方法点睛：运用导数证明不等式常见方法：
（1）将不等式转化为函数的最值问题：
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对
复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值
即可得证．
（2）将不等式转化为两个函数的最值进行比较：
若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以
传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x与ex，不能直接构造函数，把指数与
对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．
（3）适当放缩证明不等式：
导数方法证明不等式中，最常见的是 和 与其他代数式结合的问题，对于这类问题，
可以考虑先对 和 进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1) ，当且仅当 时取等号．(2) ，当且仅当 时取等
号．
练透核心考点
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 上有极值点 ，求证： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数，分类讨论求 的单调性
（2）由（1）中的结论，得极值点 的值，代入函数解析式，构造新函数，利用导数求出
最大值即可.
【详解】（1） ，函数定义域为 ，
则有 ，
设 ，函数定义域为 ，
由函数 和 在 上都单调递增，则 在 上单调递增，
又 ，则 时， ； 时， ，
（i）若 ， 时 ， 单调递减， 和 时
， 单调递增；
（ii）若 ， ， 在 上单调递增；
（iii）若 ， 时 ， 单调递减， 和 时
， 单调递增.
综上可得，
时 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
时 在 上单调递增；
时 在 上单调递减，在 和 上单调递增.
（2）由（1）知 在 上有极值点 ，则 ，且 ，
所以 ，设 ，则 ，
设 ，则 ，
由 ，有 ， ，
所以 ，则 在 上单调递减，得 ，
所以 在 上单调递减，
有 ，即 .
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的
单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零
点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，利用导数解决含参函数的单
调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合
思想的应用，不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用
技巧.
2．（2024·四川广安·二模）已知函数 .
(1)若 存在极值，求 的取值范围；
(2)若 ， ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求函数的导函数，分 、 两种情况讨论，即可得到函数的单调性，
从而得到函数的极值点，即可得解；
（2）依题意即证明 在 时恒成立，设
， ，利用导数说明函数的单调性，即可得证.
【详解】（1）由 ， ，得 ，
当 时， ，则 单调递增， 不存在极值；
当 时，令 ，则 ，
当 ，则 ，即 在 上单调递减，
当 ，则 ，即 在 上单调递增.
所以 是 的极小值点，
所以当 时， 存在极值，综上所述， 存在极值时， 的取值范围是 .
（2）欲证不等式 在 时恒成立，
只需证明 在 时恒成立.
设 ， ，
则 ，
令 ， ，
则 .
当 时 ， ，所以 ，
所以 即 在 上单调递增，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
即当 ， 时，不等式 恒成立.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的
单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零
点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
