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第 14 讲 拓展七：极值点偏移问题(精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................3
第三部分：高频考点一遍过............................................6
高频考点一：不含参数的极值点偏移问题.............................6
方法一：对称化构造法..........................................6
方法二：利用韦达定理代换法令 ....................13
方法三：比值代换法...........................................20
高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题................27
高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题................34
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1、极值点偏移的含义
函数 满足对于定义域内任意自变量 都有 ，则函数 关于直线 对称．
可以理解为函数 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若 为单峰函数，则 必为
的极值点，如图(1)所示，函数 图象的顶点的横坐标就是极值点 ；
①若 的两根为 ， ，则刚好满足 ，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有
偏移（如图1）．
若 ，则极值点偏移．若单峰函数 的极值点为 ，且函数 满足定义域 左侧的
任意自变量 都有 或 ，则函数 极值点 左右侧变化快慢不同．
如图(2)(3)所示．故单峰函数 定义域内任意不同的实数 ， ，满足 ，则 与
极值点 必有确定的大小关系：若 ，则称为极值点左偏如图（2）；若 ，则称为
极值点右偏如图（3）．
2、极值点偏移问题的一般解法
2.1对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为 )，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点 ．
(2)构造函数，即对结论 型，构造函数 或
；
(3)对结论 型，构造函数 ，通过研究 的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(5)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系．(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将 与 的大小关系转化为 与 之间的关系，
进而得到所证或所求．
2.2．差值代换法（韦达定理代换令 .）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之
差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，化
为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
2.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的
比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，化
为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
2.4．对数均值不等式法
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
2.5指数不等式法
在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均值不等式有如下
关系：
3、极值点偏移问题的类型
（1）加法型 （2）减法型 （3）平方型 （4）乘积型 （5）商型
第二部分：高考真题回归
1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：不含参数的极值点偏移问题
方法一：对称化构造法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 ，证明： ；
(2)若 有两个不同的零点 ，求 的取值范围，并证明： ．
例题2．（2023·陕西西安·统考二模）已知函数 .
(1)讨论 的零点个数；
(2)若 有两个零点 ， ，求证： .
例题3．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数
．
(1)若 为定义域上的增函数，求 的取值范围；
(2)令 ，设函数 ，且 ，求证： ．练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 .
(1)若函数 有两个零点，求 的取值范围；
(2)设 是函数 的两个极值点，证明： .
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论 的零点个数．
(2)若 有两个不同的零点 ，证明： ．
3．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间和最大值；
(2)设函数 有两个零点 ，证明： ．方法二：利用韦达定理代换法令
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性和最值；
(2)若关于 的方程 有两个不等的实数根 ，求证： .
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 ，求 的单调区间；
(3)当 时，若函数 恰有两个不同的极值点 、 ，且 ，求证：
.
例题3．（2023·湖南常德·统考一模）已知函数 （ ）.(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围.
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设向量
.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设函数 ，若 存在两个极值点 ，证明：
.
2．（2023春·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数 （ 为常数）
(1)讨论 的单调性
(2)若函数 存在两个极值点 ，且 ，求 的范围.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 为常数 ，且 在定义域内有两个极值
点.（1）求 的取值范围；
（2）设函数 的两个极值点分别为 ，求 的范围.
方法三：比值代换法
典型例题
例题1．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知函数
（1）若 ，( 为 的导函数)，求函数 在区间 上的最大值；
（2）若函数 有两个极值点 ，求证：
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)当 ，研究 的单调性；
(2)令 ，若存在 使得 ，求证 .
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的极值；(2)设 有两个不同的零点 ， ， 为其极值点，证明：
．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 有两个零点 、 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： .
2．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，对于任意 ，证明： .3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数 ， ，设 ．
（1）若 ，求 的最大值；
（2）若 有两个不同的零点 ， ，求证： .
高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
例题1．（2023·四川凉山·二模）已知函数 ．
(1) 为函数 的导函数， 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个不同的极值点 ，证明： ．
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，当 时，证明： ．例题3．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数
．
(1)当 时，函数 在 上没有零点，求实数 的取值范围;
(2)当 时，存在实数 ，使得 ，求证： ．
练透核心考点
1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设函数 .
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)曲线 与直线 交于 ， 两点，求证： ；
(3)证明： .
2．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)若函数 在 上恒成立，求 的取值范围；
(2)若 是函数 的两个零点，证明： .3．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)当 时，若函数 有两个零点 ．
①证明： ；
②证明： ．
高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
(1)若函数 是 上的增函数求 的取值范围；
(2)若函数 恰有两个不等的极值点 、 ，证明： .
练透核心考点
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考开学考试）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，函数 有三个不同的零点 ， ， ，求证： ．
