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第 16 讲：第三章 一元函数的导数及其应用 章节总结
目录
第一部分：典型例题讲解....................................1
题型一：求切线问题.....................................1
题型二：公切线问题.....................................4
题型三：已知切线条数求参数.............................8
题型四：利用导数研究函数的单调性（小题）..............11
题型五：借助单调性构造函数解不等式....................15
题型六：利用导数研究函数单调性（含参讨论）............18
题型七：利用导数研究函数的极值........................24
题型八：利用导数研究函数的最值........................30
题型九：利用导数解决恒成立问题........................35
题型十：利用导数解决有解问题..........................39
题型十一：利用导数解决函数零点（方程根）问题..........42
第二部分：新定义题.......................................49
第一部分：典型例题讲解
题型一：求切线问题
1．（2024·陕西西安·二模）已知直线 与曲线 相切于点 ，
则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）曲线 在点 处的切线
的方程为 ．
3．（2024高二·全国·专题练习）已知直线 为曲线 过点 的切线. 则直
线 的方程为 .
4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知函数 .
(1)曲线 在点P处的切线与直线 互相垂直，求点P的坐标.
(2)过点 作曲线 的切线，求此切线的方程.
5．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数 ，点 在曲线上.
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求曲线 过点 的切线方程.
题型二：公切线问题
1．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若直线 既和曲线 相切，又和曲线 相切，则称
为曲线 和 的公切线.曲线 和曲线 ： 的公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（23-24高二上·山西运城·期末）若直线 是曲线 与
曲线的公切线，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二下·重庆·开学考试）已知函数 ， （ ， ），若存
在直线l，使得l是曲线 与曲线 的公切线，则实数a的取值范围是
．
4．（23-24高二上·重庆·期末）若函数 与函数 的图象存在公切线，则
实数t的取值范围为 .
5．（2024高二下·全国·专题练习）已知曲线 ，曲线
，求证： 与 相切，并求其公切线的方程.题型三：已知切线条数求参数
1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点 可以做三条直线与曲线 相切，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·辽宁·期末）已知过点 作的曲线 的切线有且仅有两条，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·陕西宝鸡·二模）若过点 可作曲线 的三条切线，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四：利用导数研究函数的单调性（小题）
1．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）若函数 在 上单调递减，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数 在区间 上单调递增，则
的最小值为（ ）
A．e B．1 C． D．
3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数 在区间 上单调递减，则
实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．4．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数 在 上存在单调递
增区间，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高三·全国·专题练习）若函数 恰有三个单调区间，则实数
a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高二下·湖北·阶段练习）若函数 在其定义域的一个子区间
内不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知函数 在区间 上不是单调
函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：借助单调性构造函数解不等式
1．（23-24高二下·河北保定·阶段练习）若函数 的定义域为 ，且 ，则不等
式 的解集为
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·河南·阶段练习）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）若 ，则以下不等式正确的
是（ ）A． B． C． D．
4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数 的定义域为 ， ，其导
函数 满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·陕西·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
6 ． （ 23-24 高 三 上 · 浙 江 杭 州 · 期 末 ） 已 知 定 义 在 上 的 函 数 满 足
，则（ ）
A． B．
C． D．
题型六：利用导数研究函数单调性（含参讨论）
1．（2024高二·上海·专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的最大值.
(2)讨论函数 的单调性.
2．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时， 求 的单调区间；
(2)若 在 上是增函数，求 的取值范围；
(3)讨论 的单调性．3．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)当 时， ，证明不等式 ；
(3)当 时，求函数 的单调区间.
4．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 在 上的值域（ ）；
(2)讨论函数 的单调性．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，讨论 的单调性.题型七：利用导数研究函数的极值
1．（2024·辽宁·一模）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线 的方程；
(2)讨论 的极值.
2．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知函数 有两个不同的
极值点 ，且 .
(1)求 的取值范围；
(2)求 的极大值与极小值之和的取值范围.
3．（2024·山东济南·一模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)讨论 极值点的个数.4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求证： 的极大值恒为正数．
5．（23-24高二下·上海·阶段练习）设函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)令 ，求 的单调区间；
(3)已知 在 处取得极大值，求实数 的取值范围．
题型八：利用导数研究函数的最值
1．（23-24高二下·河北保定·阶段练习）已知函数 在 处取得极
小值，且极小值为 .(1)求 的值；
(2)求 在 上的值域.
2．（2024·海南·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 有最小值2，求 的值.
3．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数 .
(1)若 是 的极值点，求实数 的值；
(2)若 ，求 在区间 上的最大值.
4．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数 ，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数 在 上的最小值为3，求实数 的值.
5．（23-24高二下·北京·阶段练习）设函数 ， .
(1)当 时， 试求 的单调增区间；(2)试求 在 上的最大值.
题型九：利用导数解决恒成立问题
1．（23-24高二下·北京丰台·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的零点个数；
(2)当 时，若对任意 都有 ，求实数 的取值范围.
2．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
3．（2024·贵州黔东南·二模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.4．（2024·北京·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的图象在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调区间；
(3)若对任意 ，都有 ，求 的最大值.（参考数据： ）
题型十：利用导数解决有解问题
1．（23-24高三上·青海西宁·期末）已知函数 .
(1)证明： .
(2)若关于 的不等式 有解，求 的取值范围.
2．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若 ，且对 ，都 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
3．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ，其中参数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 ，存在实数 ，使得不等式
成立，求a的取值范围．
4．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数m的最小值.
题型十一：利用导数解决函数零点（方程根）问题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若方程 有三个不同的
实根，则实数 的取值范围是 .
2．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数 ，在 处取得极值为
.(1)求： 值;
(2)若 有三个零点，求 的取值范围.
3．（23-24高二下·贵州黔西·开学考试）已知 在 处取得极小值
．
(1)求 的解析式；
(2)求 在 处的切线方程；
(3)若方程 有且只有一个实数根，求 的取值范围.
4．（2024·江苏南通·二模）设函数 .已知 的图象的两
条相邻对称轴间的距离为 ，且 .
(1)若 在区间 上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
(2)设l为曲线 在 处的切线，证明：l与曲线 有唯一的公共点.
5．（2024·陕西西安·二模）设函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 时，函数 的图像与 的图像仅只有一个公共点，求 的取值范围.6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 ， .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若方程 有三个不同的实根，求 的取值范围．
题型十二：利用导数解决双变量问题
1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）设函数 的两个极值点分别为
， ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若不等式 恒成立，求正数 的取值范围（其中 为自然对数的底
数）．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ，其中参数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 ，存在实数 ，使得不等式
成立，求a的取值范围．
3．（23-24高二下·广东揭阳·阶段练习）设函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个极值点 ，且 ，求 的最小值.4．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）设函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 有两个零点 ，
①求a的取值范围；
②证明： .
第二部分：新定义题
1．（23-24高三上·上海·阶段练习）已知函数 ， ，其中 为自然
对数的底数，设函数 ，
(1)若 ，求函数 的单调区间，并写出函数 有三个零点时实数 的
取值范围；
(2)当 时， 分别为函数 的极大值点和极小值点，且不等式
对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
(3)对于函数 ，若实数 满足 ，其中F、D为非零实数，则
称为函数 的“ 笃志点”.①已知函数 ，且函数 有且只有3个“ 笃志点”，求实数a的
取值范围；
②定义在R上的函数 满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得
恒成立或 恒成立.对于有序实数对 ，讨论函
数 “ 笃志点”个数的奇偶性，并说明理由
2．（2023·上海嘉定·一模）对于函数 ，把 称为函数 的一阶导，令
，则将 称为函数 的二阶导，以此类推 得到n阶导.为了方便书
写，我们将n阶导用 表示.
(1)已知函数 ，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.
(2)现定义一个新的数列：在 取 作为数列的首项，并将 作
为数列的第 项.我们称该数列为 的“n阶导数列”
①若函数 （ ），数列 是 的“n阶导数列”，取Tn为 的前n
项积，求数列 的通项公式.
②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减
数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可）
3．（2023·上海金山·一模）设函数 的定义域为 ，给定区间 ，若存在
，使得 ，则称函数 为区间 上的“均值函数”，
为函数 的“均值点”．
(1)试判断函数 是否为区间 上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；
如果不是，请说明理由；
(2)已知函数 是区间 上的“均值函数”，求实数 的取值范围；(3)若函数 （常数 ）是区间 上的“均值函数”，且 为其“均
值点”．将区间 任意划分成 （ ）份，设分点的横坐标从小到大依次为
，记 ， ， ．再将区间 等分成 （
）份，设等分点的横坐标从小到大依次为 ，记 ．求使得
的最小整数 的值．
