第 06 讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................1
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................6
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数............................................6
高频考点二：证明唯一零点问题.....................................................................11
高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题......................................15
高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题......................................24
高频考点五：构造函数研究函数零点问题......................................................35
第四部分：典型易错题型......................................................................................41
备注：函数零点讨论时借助图象，容易画错草图..........................................41
第五部分：新定义题.............................................................................................43
第一部分：基础知识
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点．
（2）三个等价关系
方程f (x)=0有实数根⇔函数y=f (x)的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数y=f (x)有零点．
2、函数零点的判定
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是 的根．我们
把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·乙卷文）函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
写出 ，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】
，则 ，
若 要存在3个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ，
令 ，解得 或 ，
且当 时， ，
当 ， ，
故 的极大值为 ，极小值为 ，
若 要存在3个零点，则 ，即 ，解得 ，
故选：B.
2．（2022·全国·乙卷文）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得 ，按照 、 及 结合导数讨论函数的单调性，求得函数的
极值，即可得解.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ；
（2） ，则 ，
当 时， ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，此时函数无零点，不合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；
又 ，
由（1）得 ，即 ，所以 ，
当 时， ，
则存在 ，使得 ，
所以 仅在 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，所以 单调递增，又 ，
所以 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；此时 ，由（1）得当 时， ， ，所以 ，
此时
存在 ，使得 ，
所以 在 有一个零点，在 无零点，
所以 有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数
的单调性与极值的问题.
3．（2022·全国·乙卷理）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,对 分类讨论,对 分 两部分研究
【详解】（1） 的定义域为
当 时, ,所以切点为 ,所以切线斜率为2
所以曲线 在点 处的切线方程为
（2）
设
若 ,当 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若 ,当 ,则所以 在 上单调递增所以 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若
(1)当 ,则 ,所以 在 上单调递增
所以存在 ,使得 ,即
当 单调递减
当 单调递增
所以
当 ,
令 则
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
又 ， ，
所以 在 上有唯一零点
又 没有零点,即 在 上有唯一零点
(2)当
设
所以 在 单调递增
所以存在 ,使得
当 单调递减
当 单调递增,
又
所以存在 ,使得 ,即
当 单调递增,当 单调递减，当 ， ，
又 ，
而 ,所以当
所以 在 上有唯一零点, 上无零点
即 在 上有唯一零点
所以 ,符合题意
所以若 在区间 各恰有一个零点,求 的取值范围为
【点睛】方法点睛：本题的关键是对 的范围进行合理分类，否定和肯定并
用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数
典型例题
例题1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）记函数 的导函数为 ， 的导函数为 ，设
是 的定义域的子集，若在区间 上 ，则称 在 上是“凸函数”.已知函数
.
(1)若 在 上为“凸函数”，求 的取值范围；
(2)若 ，判断 在区间 上的零点个数.
【答案】(1)
(2)1个【分析】
（1）根据“凸函数”定义对函数求导，由不等式 在 恒成立即可求得 的取值范围；
（2）易知 ，由导函数求得其在 上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为
1个.
【详解】（1）由 可得其定义域为 ，且 ，
所以 ，
若 在 上为“凸函数”可得 在 恒成立，
当 时，显然符合题意；
当 时，需满足 ，可得 ；
综上可得 的取值范围为 ；
（2）若 ，可得 ，所以 ，
令 ，则 ；
易知 在区间 上恒成立，
因此可得 在 上单调递减；
显然 ， ；
根据零点存在定理可得存在 使得 ，
因此可知当 时， ，即 在 上为单调递增；
当 时， ，即 在 上为单调递减；
又 ，显然在 上 不存在零点；
而 ，结合单调性可得在 上 存在一个零点；
综上可知， 在区间 上仅有1个零点.
例题2．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)讨论函数 在 上的零点个数．（参考数据： ， ）
【答案】(1)极小值是 ，无极大值；
(2)2【分析】
（1）求导，即可根据函数的单调性求解极值点，
（2）分类讨论 和 上的导数正负，结合零点存在性定理即可求解.
【详解】（1）
函数 ，
；
令 ，即 ，解得 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
故当 时， 取极小值，
函数 的极小值是 ，无极大值；
（2） ，则 ，
令 则 ，
由于 时， ，因此函数 在 上单调递增，
由于 ，
因此存在唯一的 ，使得 ，
故当 单调递减，当 单调的递增，
时， ，此时 单调递减，
综上可知 在 单调递减，在 单调递增，
又 ， ，当 时， ，
因此 与 轴有两个不同的交点，故 在 上的零点个数为2.
【点睛】方法点睛：判断函数 零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令 则方程实根的个数
就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间 上是连续不断的曲线，且
再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合
法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，
在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单
调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.
例题3．（23-24高三上·广东梅州·阶段练习）已知曲线C：
(1)若曲线C过点 ，求曲线C在点P处的切线方程；(2)若 ，讨论 的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由导数得切线斜率，然后由点斜式得切线方程并化简；
（2）先求得 ，得 的单调性，然后讨论 的正负，结合零点存在定理得零点个数．
【详解】（1）依题意得， ，此时 ，
，
则切线斜率为 ，故切线方程： ，即 .
（2） ，
令 得 ，令 得 ，
令 得 ． 减区间为 ，增区间为 ，
∴ ．
当 时， ，
∴ ，∴ 在 上有且仅有一个零点．
当 时，令 ， ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，即 ，
又 ，∴ 在 上有一个零点，
又
令 ，则 ，∴ 在 上单调递减，
∴ ，∴ ，∴ 在 上有一个零点．
综上所述， 时， 有一个零点， 时， 有2个零点.
练透核心考点
1．（2024·湖南·二模）已函数 ，其图象的对称中心为 .
(1)求 的值；
(2)判断函数 的零点个数.【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
（1）由 的图象关于 对称，得到 ，列出方程组即可求解；
（2）由（1）得到函数 的解析式，求出 ，利用 判断 根的情况，分类讨论确定零点的
个数.
【详解】（1）因为函数 的图象关于点 中心对称，故 为奇函数，
从而有 ，即 ，
，
，
所以 ，解得 ，
所以 ；
（2）由（1）可知， ， ， ，
①当 时， ， ，所以 在 上单调递增，
， ，
函数 有且仅有一个零点；
②当 时， ， ，
有两个正根，不妨设 ，则 ，
函数 在 单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
函数 有且仅有一个零点；
③当 时， ，
令 ，解得 或 ，
有两个零点；
④当 时， ， ，
有一个正根和一个负根，不妨设 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，， ，
函数 有且仅有三个零点；
综上，当 时，函数 有三个零点；
当 时，函数 有两个零点；
当 时，函数 有一个零点.
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值．
(2)在（1）的条件下，若 ，试探究 在 上零点的个数．
【答案】(1)
(2)只有1个零点
【分析】（1）求导 ，再利用导数的几何意义求解；
（2）由（1）知 ，再利用导数法求解.
【详解】（1）解：由 ，
得 ，则有
所以切线方程为 ．
又因为曲线 在点 处的切线方程为 ，
所以 ．
（2）由（1）知 ，
则 ．
令 ，则 ．
当 时， ，则 单调递减，
所以 ．
所以 在 上单调递增．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上存在零点，且只有一个零点．当 时， ，则 单调递减， ， ，
所以存在 ，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则
单调递减．
而 ，所以 在 上无零点．
综上， 在 上只有1个零点．
高频考点二：证明唯一零点问题
典型例题
例题1．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数 ．
(1)若 ，当 时，证明： ．
(2)若 ，证明： 恰有一个零点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据题意，求导可得 ，即可得到 在 上单调递增，再由 ，即可证
明；
（2）根据题意，构造函数 ，求导可得 ，即 在 上单调递增，
再结合 ，即可证明.
【详解】（1）
证明：因为 ，所以 ， ．
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以当 时， ．
（2）
．令 ，则 ．
令 ，则 ．
当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调递
增，
所以 ，所以 ，
则 在 上单调递增．
因为 ，所以 恰有一个零点，则 恰有一个零点．
例题2．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知函数 在区间 内有唯一极值点 ，
其中 为自然对数的底数.
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： 在区间 内有唯一零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得 ，分 和 讨论 的单调性，并保证在 内有唯一零点 即可.
（2）利用导数确定 在区间 上的单调性，根据零点存在性定理证明即可.
【详解】（1） ，当 时， ，
①当 时， 在 上单调递减，没有极值点，不合题意；
②当 时， 与 在 上分别单调递增，显然 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，得 ，此时 在 内有唯一零点 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 内有唯一极小值点 ，符合题意.综上，实数 的取值范围为 .
（2）证明：由（1）知 ，当 时， ， ，
∴在 上 ，
∴ 在 上单调递增，
∵当 时， 单调递增，
∴当 时， 单调递减,当 时， 单调递增，
∵当 时， ，∴ ，
又∵ ，∴ 在 内有唯一零点，
即 在 内有唯一零点.
例题3．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数 ， ，且函数 的零
点是函数 的零点．
(1)求实数a的值；
(2)证明： 有唯一零点．
【答案】(1)1
(2)证明见详解
【分析】（1）易判断 单调递增，令 ，即可得 ，令 即可求 ；
（2）由导数判断 单调递增， 即可得证.
【详解】（1）由 易判断 在 单调递增，
且 ， ，
所以可令 ，
得 ， 所以 ，
由题意 ，即 ，
所以 ；（2） ，则 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以
，
所以 ，
结合（1）可得存在唯一 ，使得 ，即函数 有唯一零点.
【点睛】关键点点睛：解决本题（1）的关键是通过同构得出 ；（2）的关键是二次求导确定函数
的单调性.
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， 为 的导函数.求证: 在
上存在唯一零点.
【答案】证明见解析
【分析】
求导，确定函数单调性，再利用零点存在定理判断零点情况.
【详解】设 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
又因为 ，
所以 在 上存在唯一的零点 ，命题得证．
2．（2023高三上·全国·专题练习）已知 ，函数 ， .证明：函数 ，
都恰有一个零点.
【答案】证明见解析
【分析】先求导确定函数单调性，然后利用零点存在定理来证明即可.
【详解】证明：函数 的定义域为 ， ，
时， ， 时， ，
在 上单调递减， 在 上单调递减增，时， ， ， ，
函数 恰有一个零点.
函数 的定义域为 ， ，
时， ， 时， ，
在 上单调递减， 在 上单调递增，
时， ， ，
令 （ 表示 中最大的数）， ，
函数 恰有一个零点.
高频考点三：利用最值（极值）研究函数零点问题
典型例题
例题1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 内存在两个极值点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为： 和 ，单调递减区间为：
(2) 或
【分析】
（1）首先求函数的导数，利用导数求解函数的单调区间；
（2）首先求函数的导数，并化简为 ， ，再讨论 的取值，结合函数的单调
性，判断函数极值点的个数，从而求解实数 的取值范围.
【详解】（1）
当 时， ，定义域为
令 ，得 或 ，所以 的单调递增区间为： 和 ，单调递减区间为：
（2）
①当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 只有一个极小值点 ，与条件矛盾，故舍去．
②当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故 有两个极值点a和 ，与条件相符．
③当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故 有两个极值点a和 ，与条件相符．
④当 时， ，
故 在 上单调递增，无极值点，舍去．
⑤当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 只有一个极大值点 ，与条件矛盾，故舍去．
综上可得： 或
例题2．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）已知函数
(1)若函数 在 处取得极值，求 的值；
(2)若函数 在定义域内存在两个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用极值点的意义得到 ，从而求得 ，再进行验证即可得解；
（2）分类讨论 的取值范围，利用导数得到 的性质，从而得到 且 ，解之即可得解.
【详解】（1）因为 ，则 ，因为函数 在 处取得极值，所以 ，解得 ，
当 时，可得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时，函数 取得极大值，符合题意，故 .
（2）由 ，其中 ，
当 时，可得 ， 单调递增，
此时函数 至多有一个零点，不符合题意；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以当 时， 取得极大值，也是最大值，
最大值为 ，
又 ，且当 时， ，
所以要使得函数 有两个零点，则满足 ，
即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
例题3．（23-24高二下·贵州黔西·开学考试）已知 在 处取得极小值 ．
(1)求 的解析式；
(2)求 在 处的切线方程；
(3)若方程 有且只有一个实数根，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】
（1）求出 ，由题意可的 ，由此即可求出答案；
（2）分别求出 ， 的值，再利用点斜式写出直线；
（3）将问题转化为函数 与 有且只有一个交点，求出函数 的单调性与极值，即可
求出 的取值范围.
【详解】（1）由题意知 ，
因为 在 处取得极小值
则 ，解得：
经检验，满足题意，所以 ，
所以
（2）由题意知 ， ，
所以 所以切点坐标为 ，斜率
所以切线方程为： ，即 .
（3）令 ，解得 或 ，
则 ， ， 的关系如下表：
+ 0 0 +
单调递
单调递增 单调递增
减
则 ， ，
方程 有且只有一个实数根等价于 有且只有一个实数根，
等价于函数 与 有且只有一个交点，即 或 ，解得： 或 ，
所以 .
例题4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数 .
(1)求 在 上的最大值；
(2)若函数 恰有三个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）求导，再利用导数求出函数的极值及端点的函数值，即可求出函数的最大值；
（2）利用导数求出函数的极值，再结合题意列出不等式组即可得解.
【详解】（1）
，
可知 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
所以 ，
由 ， ，
；
（2）
，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 单调递减，
所以 ， ，
当 时， ，当 时， ，因为 有三个零点，所以 ，即 ，
解得 ，故 的取值范围为 .
练透核心考点
1．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数 ， .
(1)若函数 在 上单调递增，求 的最小值；
(2)若函数 的图象与 有且只有一个交点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知， 对任意的 恒成立，分析函数 在 上的单调
性，根据 可求得实数 的取值范围，即可得解；
（2）令 ，分析可知，函数 的图象与直线 只有一个公共点，利用导数分析函数
的单调性与极值，数形结合可得出实数 的取值范围.
【详解】（1）解：由已知可得 ，则 ，
因函数 在 上单调递增，
所以 对任意的 恒成立，
又因为函数 在 上为增函数，
则 ，解得 ，故实数 的最小值为 .
（2）解： ，令 ，可得 ，
因为函数 的图象与 有且只有一个交点，
令 ，则函数 的图象与直线 只有一个公共点，
则 ，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
所以 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
则 的极大值为 ，极小值为 ，的图象如下所示：
由图可知，当 或 时，函数 的图象与直线 只有一个公共点，
因此，实数 的取值范围是 .
2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有三个不同的零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）求出导数，计算出切点及斜率，写出直线方程即可;
（2）利用导数求出单调区间以及极值，要使函数 有三个不同的零点，只需满足
计算即可.
【详解】（1）当 时， ， ．
所以 ， ，
所以切线l： ，即
（2）
令 ，得 或 ．
当 或 时， ；当 时， ．
∴ 的增区间为 ， ；减区间为 ．∴ 的极大值为 ， 的极小值为 ．
∴ ，解得： ．
此时 ， ，所以函数 有三个不同的零点，所以 ．
3．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）若函数 在 处有极小值．
(1)求c的值．
(2)函数 恰有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）利用导数在 处取到极值的必要不充分条件 ，从而求出c值，再对c进行检验
即可求出结果．
（2）利用导数研究函数单调性，通过极值的范围求实数a的取值范围．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又因为函数 在 处有极小值，
所以 ，解得 或 ，
当 时， ，
则 时， ， 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
可得函数 在 处取得极小值；
当 时， ，
则 时， ， 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
可得函数 在 处取得极大值，不合题意，舍去．
所以c的值为3.
（2） ，
函数定义域为R， ，当 时， 恒成立， 在R上单调递增，
时， 有一个零点-1；
时， ， ， 恰有一个零点.
当 时， 解得 或 ， 解得 ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减，
时， 有极大值， 时， 有极小值，
恰有一个零点， 或
解得 ，
综上可知，函数 恰有一个零点，实数a的取值范围为 .
4．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性并求极值.
(2)设函数 （ 为 的导函数），若函数 在 内有两个不同的零点，求实
数 的取值范围.
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增， 的极小值为 ，无极大值；
(2) .
【分析】（1）求出 ，然后可得单调性和极值；
（2） ，然后求出当 时 的单调性，要使函数 在 内有两个不同的零
点，则有 ，解出 ，然后证明 即可.
【详解】（1）因为 在 上单调递增，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极小值为 ，无极大值.
（2）因为 ，所以 ，
当 时， ，
所以当 或 时， 在 上单调，至多只有一个零点，不满足题意，
当 时，由 可得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以要使函数 在 内有两个不同的零点，则有 ，
由 可得 ，下面证明当 时 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以当 时 ，
综上：实数 的取值范围为 .
高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题
典型例题
例题1．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的零点个数.
(2)若关于 的方程 有两个不同实根 ，求实数 的取值范围并证明 .
【答案】(1)有且仅有一个零点(2) ，证明见解析
【分析】（1）利用导函数与单调性的关系，以及零点的存在性定理求解；
（2）根据题意可得 有两个不同实根 ，进而可得 ，两式相加得
，两式相减得 ，从而有 ，进而要证
，只需证 ，即证 ，
构造函数 即可证明.
【详解】（1）当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，
又因为 ，
所以函数 有且仅有一个零点.
（2）方程 有两个不同实根 ，等价于 有两个不同实根 ，
得 ，令 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
由 ，得当 时， ；
当 的大致图象如图所示，所以当 ，即 时， 有两个不同实根 ；
证明：不妨设 且
两式相加得 ，两式相减得 ，
所以 ，
要证 ，只需证 ，
即证 ，
设 ，令 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，原命题得证.
【点睛】关键点点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，常用解决策略是根据 ，两式相加
相减，进而可得 ，进而要证 ，只需证 ，即证
，从而将双变量转化为单变量，令 ，讨论该函数的单调性和最值即可证明.
例题2．（2023·四川·一模）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)令 （a为常数），若 有两个零点 ，求实数a的取值范围.
【答案】(1) 的单调递减区间是 ，单调递增区间是
(2)
【分析】（1）求导，利用导数求原函数的单调区间；
（2）根据题意分析可得 有两解，令 ，利用导数判断原函数的单调性与极值，结
合图像分析求解.
【详解】（1）由题意可知： 的定义域为 ， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
（2）由题意可知： ，其定义域为 ，
则 有两个零点 ，即 有两解，即 有两解，
令 ，则 .
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
可知 ，
又因为 ，且当 趋近于 ， 趋近于0，
要使得 有两解，只需 ，所以 ，故实数a的取值范围为 .
例题3．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明：函数 在 上有两个不同的零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出 、 的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）当 时，由 可得出 ，令 ，其中 ，利用导数分析函数 的单调性
与极值，数形结合可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为 ，则 ，
所以， ， ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）解：当 时，且当 时，由 ，可得 ，
令 ，其中 ，则 ，令 ，可得 ，列表如下：
减 极小值 增
所以，函数 的最小值为 ，如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点，故当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点，
此时，函数 在 上有两个不同的零点.
例题4．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)讨论函数 的零点个数．
【答案】(1)极小值 ，无极大值.
(2)当 时，函数 没有零点；
当 或 时，函数 有1个零点；
当 时，函数 有2个零点.
【分析】（1）根据题意得出 ，然后分别令 以及 ，通过计算即可得出函数的
单调性，进而求出结果；
（2）可将 转化为 ，记 ，求出函数 的单调性以
及最值，最后根据函数 的单调性以及最值，然后数形结合可得出结果.
【详解】（1）当 时， ， ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
故函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间为 ；
当 时，函数取极小值 ，无极大值.
（2）令 ，因为 ，所以 ，
记 ，有 ，
令 ，则 ；令 ，则 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，从而 ，因此当 时，直线 与 的图像没有交点；
当 或 时，直线 与 的图像有1个交点；
当 时，直线 与 的图像有2个交点.
综上：当 时，函数 没有零点；当 或 时，函数 有1个零点；当 时，函数
有2个零点.
练透核心考点
1．（2023·四川·三模）已知函数 和函数 ，且 有最大值为 ．
(1)求实数a的值；
(2)直线y＝m与两曲线 和 恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为 ， ， ，且
，证明： ．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）根据 的单调性得到最大值为 ，然后列方程求解即可；
（2）根据交点情况得到 ，然后再结合 的单调性即可得到 ，即
可证明 .
【详解】（1） 的定义域为R，且 ， ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
所以 ，
所以 ，解得 ，又 ，所以a＝1.
（2）证明：由（1）可知： 在 递增，在 递减，
又 ，所以 在 递增，在 递减，
和 的图象如图所示：设 和 的图象交于点A，则当直线y＝m经过点A时，
直线y＝m与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
则 ，且， ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ， ，且 在 递增，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ， ，且 在 递减，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ．
【点睛】函数 零点问题：
（1）转化为方程 的根；
（2）转化为函数 与 轴交点的横坐标；
（3）转化为两个函数图象交点的横坐标.
2．（23-24高二下·贵州·阶段练习）设函数 ，曲线 在点 处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)令函数 ，是否存在实数k使得 没有零点？若存在，请求出实数k的范围；若不存
在，请说明理由．【答案】(1)
(2)函数 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ， ；
(3)
【分析】（1）利用导数在 的值为0可得答案；
（2）分别令 ， 可得答案；
（3）利用单调性求出函数 的极值，画出大致图象，转化为函数 与 的图象没有交点可得
答案．
【详解】（1） ，
因为曲线 在点 处取得极值，
所以 ，
解得 ，经检验符合题意；
（2）由（1） ，
，
当 ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递减，
所以函数 的单调递增区间为 ， ；
函数 的单调递减区间为 ， ；
（3）存在，理由如下，
由（2）函数 的单调递增区间为 ， ；函数 的单调递减区间为 ， ；
所以 ， ，，当 时， ，当 时， ，可得 的大致
图象如下，
若函数 没有零点，则函数 与 的图象没有交点，
所以 .
【点睛】关键点点睛：函数 没有零点，转化为函数 与 的图象没有交点问题，
数形结合可得答案.
3．（23-24高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数 （ ）．
(1)当 时，过点 作 的切线，求该切线的方程；
(2)若函数 在定义域内有两个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设切点为 ，求导，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点
，求出切点，即可得解；
（2）分离参数 ，构造函数 ，将问题转化为直线 与函数 的图象仅有两个交点，求 的
取值范围．
【详解】（1）当 时， ，则 ，
设切点为 ，则 ，
所以切线方程为 ，
又切线过点 ，所以 ，即 ，所以 ，所以切线方程为 ，即 ；
（2）由 ，得 ，令 ，
则 ，
令 得 ，令 得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
当 趋向于 时， 趋向 ，当 趋向于 时， 趋向 ，
作出函数 的图象和直线 ，
如图示， 在定义域内有且仅有两个零点,
即 和 有且只有两个交点，
由图象知， 的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数 的
图象的交点问题.
4．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数 在 上的最小值为 ．
(1)求a的值；
(2)若函数 有3个零点，求实数b的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）求导，再对 分四种讨论，求出函数的单调性即得解；
（2）由（1） ，可得 ，构造函数 ，利
用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图象可得答案.
【详解】（1）由 , ,
当 时, 在 上恒大于等于0,所以 在 上单调递增,
,不合题意；
当 时,则 时, , 单调递减； 时, , 单调递增,所以
, ,
所以 ,不满足 ；
当 时,在 上, 且不恒为0,所以 在 上单调递减,
,适合题意；
当 时,在 上, ,所以 在 上单调递减,
,所以 ,不满足 ；
综上, ．
（2）由（1） ,所以 ,
令 ,则 ,
所以 ,且当 时, ；当 时, ；当 时, ,
所以 极小值为 ,
极大值为 ,
如图：当 时,函数 有3个零点．
高频考点五：构造函数研究函数零点问题
典型例题
例题1．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据定义域可化简函数，构造新函数 ，即求 的解集即可，而
，所以解集为 ．
（2）引入隐零点x ，利用导数得到 在 上单调递减，在 上单调递增，最后得到 的范
0
围.
【详解】（1） 的定义域为
∴当 时， ，
令 ， ．
当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调递
增，所以 ，
则不等式 的解集为 ．（2）当 时， ，
令 ， 恒成立，
则 在 上单调递增，又 ，
，存在唯一的 使 ，且 ，
所以
当 时， ，由 ，
则 在 上单调递减，
当 时， ，由 ，（分开考虑导函数符号）
当 时， 在 上单调递增，则 ，
所以当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
由题意则 ，
设 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，此时 ，即 ，
综上所述，实数 的取值范围为 ．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是构造新的函数，并利用隐零点法求解 的范围..
例题2．（23-24高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数 ， ， 是自然对数的底数.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个不等实根，求 的取值范围；
(3)若 ， 为整数，且当 时， 恒成立，求 的最大值.
【答案】(1)见解析(2)
(3)2
【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论 和 两种情况，求函数的单调性；
（2）方程 ，转化为 ，利用导数分析函数 的图象，再利用数形结合，
求参数 的取值范围；
（3）首先参变分离为 ，再令 ， ，利用导数求函数的单调区间，并求函数
的最小值的取值范围，即可求解 的最大值.
【详解】（1） ，
若 ，则 恒成立，所以 在 上单调递增，
若 ， ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
综上可知， 时， 的增区间是 ，
当 时， 的减区间是 ，增区间是 ；
（2）方程 ，显然当 时，方程不成立，则 ， ，
若方程有两个不等实根，即 与 有2个交点，
，
当 时， ， 在区间 和 单调递减，
并且 时， ，当 时，
当 时， ， 单调递增，
时，当 时， 取得最小值， ，
如图，函数 的图象，与 有2个交点，则 ；
（3）当 时， ， ，
所以 ，
当 时， ， ，
令 ， ，
则 ，
由（1）可知， 在 单调递增，而且 ，
所以 在 上存在唯一的零点，即 在 上存在唯一的零点，
设此零点为 ，则 ，且 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 的最小值为 ，
所以 ，
所以整数 的最大值为2.
【点睛】关键点点睛：本题第二问和第三问的关键是运用参变分离，转化为函数图象的交点问题，以及隐
点问题，求最值.
练透核心考点
1．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数 .
(1)判断 的单调性；(2)当 时，求函数 的零点个数.
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递减
(2)2
【分析】（1）求导函数， ，利用导数研究函数的单调性，进而求得 ，从
而求出 的单调区间；
（2）把问题转化 的零点问题，利用导数判断出 的单调性，先判断 在
上不存在零点，再判断 在 上存在零点 ，最后判断 在 上存在零点 ，
即可求解.
【详解】（1）函数 的定义域为 .
令 ，则 .
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 ，
所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，在 上单调递减.
（2） 且 的零点等价于 且 的零点.
,令 ，
易知 ，因为 ，
所以存在 ，使得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减，
在 上单调递增.
当 时， ，当 时， ，
所以 在 ， 上不存在零点.
取 ，则 ，所以 在 上存在一个零点，设为 .
又 ，所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上存在一个零点 .
综上所述，当 时，函数 的零点个数为2.
【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定
理，借助数形结合思想分析解决问题.
2．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知函数 ，
(1)若函数 ，
①求 的最小值；
②若 ，且 ，求证： ；
(2)若函数 ，且 有两个相异的零点 ，又 ，求实数 的取值范
围．
【答案】(1)①0 ②证明见解析
(2)
【分析】
（1）①利用导数求出函数的单调区间，进而求出函数的最小值；②利用第①问的结论结合对数运算及对
数函数的单调性可得结果；
（2）函数 有两个相异的零点转化为函数 与 有两个不同的交点，利用导数得出结果.
【详解】（1）①因为 ，且定义域为 ，
又 ，令 ，即 ，所以 ，
令 ，即 ，所以 ，
即 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以当 时 有最小值 ，即 的最小值为0.
②因为 ，所以 ，即 ，由①可知，当 时， ，即 ，
所以 ，所以 ，即 .
（2）因为 ，且 有两个相异的零点 ，
则 ，即 ，
即函数 与 有两个不同的交点，
因为 ，令 ，则 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以当 时函数 有最大值 ，当 时 ，当 时 ，
所以 ，
若 时， ，解得： ，即 ，
又 ，如图，当 时
综上： 的取值范围为 .
第四部分：典型易错题型
备注：函数零点讨论时借助图象，容易画错草图
1．（2023·陕西汉中·模拟预测）已知函数 ，其中 .(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 恰有2个不同的极值点，求 的取值范围；
(3)若 恰有2个不同的零点，求 的取值范围.
【答案】(1)单调减区间为 ，无增区间.
(2)
(3)
【分析】（1）求得 ，设 ，利用导数求得函数 的单调性，结合
，得到 ，即可求解；
（2）求得 ，转化为 有两个不等的正根，设 ，分 和
，两种情况，利用导数求得函数的单调性，结合 ，列出不等式，即可求解；
（3）根据题意，转化为 ，设 ，求得 ，得出函数 单调性和最
值，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：若 ，则 ，可得 ，
设 ，则 ，
当 时， 递增；当 时， 递减，
所以 ，即 ，所以 在 递减，
即 的单调减区间为 ，无增区间.
（2）解：由函数 ，可得 ，
由题意可得 有两个不等的正根，
设 ，
若 ，则 在 递增，不符合题意；
若 ，可得 ，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，可得 ，
因为 有两个不等的正根，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
（3）解：由 ，可得 ，即 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，
又 时， 时， ，
因为 恰有2个不同的零点，所以 ，可得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】方法总结：利用导数研究函数的零点求参数问题的求解策略:
1、构造函数法：构造新函数 ，利用导数求得函数 的单调性与极值，结合零点的
个数，列出不等式组，即可求得参数的范围；
2、参数分离法：根据题意，化简得到 ，转化为 和 两个函数的图象的交点个数，从
而求得参数的取值范围.
第五部分：新定义题
1．（2024高三下·江苏·专题练习）若函数 在 上有定义，且对于任意不同的 ，都有
，则称 为 上的“ 类函数”.若 为 上
的“2类函数”，求实数 的取值范围.
【答案】
【分析】
理解新定义函数的性质，将其转化为导函数在给定区间上的范围问题，接着通过参变分离法化成求对应函
数的最值问题即得参数范围.【详解】由 可得： ，
由题意知，对于任意不同的 ，都有 ，
不妨设 ，则 ，
若对于任意不同的 ， ，
故 ，
设 ，故 在 为增函数，
故 在 上恒成立，故 ，
故 在 上恒成立，
令 ，而 ，
令 ， 在 单调递减，
且 ， ，
所以 使 ，即 ，
即 ，
当 时， ， ，故 在 单调递增，
当 时， ， ，故 在 单调递减，
，则得： .
若对于任意不同的 ， ，
则 ，设 ，
则 在 上为减函数，故 ，
故 在 上恒成立，令 ，
，令 ， 在 单调递减，
所以 ，则 ，即 在 单调递减，
，则得： ；综上，即得实数 的取值范围为 .
