文档文本内容
第 08 讲：拓展一：分离变量法解决导数问题
目录
类型一：恒成立（存在问题）求解参数 范围..................1
角度1：完全分离参数法.................................1
角度2：部分分离参数法.................................7
类型二：已知零点个数求解参数 范围.......................11
角度1：完全分离参数法................................11
角度2：部分分离参数法................................16
高频考点
类型一：恒成立（存在问题）求解参数 范围
角度1：完全分离参数法
典型例题
例题1．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）已知函数 ，其中 ，
若不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】
恒成立求参数的取值范围，分离参数转化为求函数的最值问题求解即可.
【详解】函数 ，因为 在 恒成立，
所以 ，在 恒成立，
在 恒成立，
令 ，所以 ，
，得 ，
所以当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
例题2．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)函数的极小值为 ，无极大值；
(2)
【分析】（1）利用导数，先判断函数的单调区间，再求函数的极值；
（2）首先不等式化简为 恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可
求解.
【详解】（1） ，令 ，得 ，
， 和 的关系，如下表所示，
0
单调递减 极小值 单调递增
所以函数的极小值为 ，无极大值；
（2）不等式 恒成立，即 恒成立，
即 ， ，恒成立，所以 ， ，
设 ， ，
，其中 ，
设 ， ，所以 在 单调递增，因为 ， ，所以存在 ，使 ，即 ，即 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值 ，
由 ，可得 ，所以 ，
所以 .
例题3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若函数 在 处取得极值，且对 ， 恒成立，求实数b的
取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】
（1）先求出函数 的导函数 ，进而得出 ， ；再根据点斜式方程即可求
解.
（2）先求出函数 的导函数 ；再分 和 两种情况，在每一种情况中借助
导数即可解答.
（3）先根据函数 在 处取得极值得出 ；再将问题“对 ，
恒成立”转化为“对 ， 恒成立”；最后构造函数
，并利用导数求出 即可解答.
【详解】（1）当 时， ， ，
则 ， .
所以 在 处的切线方程为 ，即 .（2）由 可得：函数定义域为 ， .
当 时， ，此时函数 在定义域 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
此时函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
综上可得：当 时，函数 在定义域 上单调递减；
当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
（3）因为函数 在 处取得极值，
所以 ，即 ，解得 .
此时 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以函数 在 处取得极值，
故 .
所以 .
因为对 ， 恒成立，
所以对 ， 恒成立.
令 ，
则 .
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 .
则 ，解得： .
所以实数b的取值范围为练透核心考点
1．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）若不等式 恒成立，则a的取值
范围是 .
【答案】
【分析】分类讨论去解析式中的绝对值，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数
的最大值，从而即可得解.
【详解】若不等式 恒成立，也就是 恒成立，
函数 ，定义域为 ，
当 时， ， ，
在 为减函数，此时 ；
当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 ，
综上可知，则a的取值范围是 .
故答案为： .
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，当 且 时， 不
等式 在 上恒成立，求 的最大值.
【答案】3
【分析】
依题意参变分离可得 在 上恒成立，则 ，令
， ，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而
求出参数 的取值范围，即可得解．
【详解】
当 时， ，又不等式 在 上恒成立，
则 在 上恒成立，所以 ，
令 ， ，则 ，
令 ， ，
则 ， 在 上单调递增，
，存在唯一 ，使 ，
所以，当 时 即 ，当 时 即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，即 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， 在 上恒成
立，求整数k的最大值.
【答案】3
【分析】
分离参数，问题转化为 ( )．设 ( )，利用导数求出
的最小值，得解.
【详解】由题意， 在 上恒成立，
即 ( )．
设 ( )，
则 ，
令 ( )，则 ，
所以， 在 上为增函数．因为 ， ， ，
所以 在 上有唯一实数根 ，
使得 .
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 .
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得最小值，
且 ，
所以 .由 ，得整数k的最大值为3.
角度2：部分分离参数法
典型例题
例题1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于 的不等式 解集中恰有
3个不同的正整数解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 的解集中恰有3个不同的正整数解，设 ，
，作出两函数的图象，结合图象分 ， 分别求解即可.
【详解】因为 ，所以 .
设 ， ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
又因为 是过点 的直线，如图所示：由此可得当 时， 的解集中有若干个不同的正整数解，不满足题意；
当 时，要使不等式 的解集中恰有3个不同的正整数解，
当 过点 时， 取最小值，
因为 ，此时 ，
当 过点 时， 取最大值，
因为 ，此时 ，
所以的取值范围为 .
故选：D.
例题2．（22-23高二下·浙江杭州·阶段练习）若关于 的不等式 的解集
中恰有 个整数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将不等式转化为 ，构建 ，利用导数判断其单调性
和最值，根据题意利用数形结合，列式求解即可.
【详解】因为 ，且 ，可得 ，
构建 ，则 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，可得 ，
且 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：C.
练透核心考点
1．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 ，若
有且只有两个整数 使得 ，且 ，则 的取值范围是
【答案】
【分析】
将不等式 等价变形，构造函数，借助导数探讨函数性质，作出函数图象，结合已
知列出不等式组，求解即得.
【详解】当 时，由 ，得 ，
设 ， ，求导得 ，由 ，得 ，
当 时， ， 为减函数，当 上， ， 为增函数，
的图象恒过点 ，在同一坐标系中作出函数 ， 的图
象，显然 ，即 ，由于有且只有两个整数 ，使得 ，
则这两个整数要么是2，3，不是1，要么是1，2，不能是3，
当 时，即 ，解得 ，此时， ，
显然至少有3个整数使得对应的函数值大于0，不符合题意，因此这两个整数是1，2，不
能是3，
于是 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ．
故答案为：
2．（22-23高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知不等式 的解集中有且
只有 个整数,则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】因为 ,设 ,
,本题转化为函数 在直线 上方的范围中有且只有 个整数.先利用
导数确定函数 的图像,再与直线 的图像结合列出不等式组求解即可.
【详解】 ,
设 ,
则 ,
当 ,即当 时,函数 为增函数;
当 ,即当 时,函数 为减函数;
当 时, ;当 时, ,则满足题意的函数 的图像与直线 图像如图:
,
所以 ,即 ,
解得 .
故答案为: .
类型二：已知零点个数求解参数 范围
角度1：完全分离参数法
典型例题
例题1．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）若函数 恰有2个零点，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令 ，得到 ，令 ，利用导数与函数单调性间的关系，求出
的单调区间，进而得出 函数值的变化，即可求出结果.
【详解】令 ，得到 ，令 ，则 ，
由 得到 ，由 ，得到 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
又 ，当 时， ，当 时， ，且 时， ，所以，当函数 恰有2个零点时， ，
故选：A.
例题2．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知函数 .
(1)求函数在点 处的切线方程；
(2)若 ，证明：当 时， ；
(3)若 在 有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；
（2）利用导数与函数的单调性间的关系，求出 在区间 的单调性，再求
出 的最小值，即可证明结果；
（3）通过分离常量，得到 ，构造函数 ，通过求导得到 的单调性，
即可求出结果.
【详解】（1）因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以函数在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）当 时， ，则 ，
令 ，则 ，由 ，得到 ，
当 时， ，当 ， ，
所以 ，即 恒成立，
所以 在区间 上单调递增，故 ，命题得证.
（3）因为 ，令 ，得到 ，又 ，所以 ，
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 ，又当 时， ， 时， ，
又 在 有两个零点，所以 .
例题3．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知函数 .(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 有两个不等的实根，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，得到 进而求出切线方程；
（2） ，故只需当 时， 有且仅有一个实根，参变分离，转化为两函
数只有1个交点，求导，得到 的单调性，画出其图象，数形结合得
到参数的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）显然 ，要使方程 有两个不等的实根，
只需当 时， 有且仅有一个实根，
当 时，由方程 ，得 .
令 ，则直线 与 的图象有且仅有一个交点.
.
又当 时， 单调递减，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时， 取得极小值 ，
又当 时， ，所以 ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以作出 的大致图象如图所示.由图象，知要使直线 与 的图象有且仅有一个交点，
只需 或 .
综上，若 有两个不等的实根，则 的取值范围为 .
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有两个不同的零点，则
实数a的取值范围是 .
【答案】
【详解】(解法1)因为f′(x)＝aex－1.
① 当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点，舍去；
② 当a＞0时，令f′(x)＝0 x＝－ln a.
且当x∈(－∞，－ln a)时，
⇒
f′(x)＜0，此时，函数f(x)单调递减；
当x∈(－ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，此时，函数f(x)单调递增.
因为f(x)有两个不同的零点，所以f(x) ＝f(－ln a)＝1＋ln a＜0，解得0＜a＜ .
min
综上所述，实数a的取值范围是(0， ).
(解法2)由f(x)＝aex－x＝0，则a＝ .
令g(x)＝ ，g′(x)＝ ，
所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以g(x) ＝g(1)＝ .
max
当x→－∞时，g(x)＜0；当x→＋∞时，g(x)＞0，
根据函数的图象，若方程a＝ 有两个不同的解，则a∈(0， ).
2．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数 在 处的切线方程为
.
(1)求 的解析式；
(2)若方程 （m为常数）有两个根，求实数m的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得函数的导数 ，根据切线方程为 ，得到切点坐标 ，
列出方程组，求得 的值，即可求得函数的解析式；
（2）根据题意转化为 与 图象有两个交点问题，利用导数求得函数的单
调性和最值，即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又因为已知函数 在 处的切线为 ，即切点为 ，
所以 ，解之得 ， ，
所以函数的解析式为 .
（2）因为 ，所以 ，
令 ，解得 ，
当 ， ， 在 为增函数，
且 时， ， 时， ，
当 ， ， 在 为减函数，
且 时， ，当 时， ，
若方程 （m为常数）有两个根，则 .故实数m的范围为 .
.
3．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数
(1)求函数 的单调区间；
(2)若方程 有两个实数解，求实数 的取值范围.
【答案】(1)减区间是 ，增区间是
(2)
【分析】（1）求出导函数 ，由 得增区间，由 得减区间；
（2）由（1）得出 的极值及变化趋势，利用 的图象与直线 有两个交点可得参
数范围．
【详解】（1）由已知 ，
时， ， 时， ，
所以 的减区间是 ，增区间是 ；
（2）由（1）知 时， 取得极小值也是最小值 ，
显然 时， ， ， 时， ，
在 上递减，在 上递增，
当 时， ，
作出 的大致图象及直线 ，如图，
当 时，函数 的图象与直线 有两个交点，即方程 有两个解．角度2：部分分离参数法
典型例题
例题1．（2024高三上·河南·专题练习）已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 有且只有一个零点，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得 ，可得切线的斜率，从而得到切线方程；（2）将问题转为
与 只有一个交点，利用导数求出 的单调区间和最值，利
用二次函数图像性质求出 的最值，从而得到 的值
【详解】（1）由题意得函数 的定义域为 ，
.
， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由题意得函数 的定义域为 ，令 ，得 ，
即 ，
令 ， ，则 .
由 ，得 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
所以当 时， 取得最大值 .
又函数 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，故当 时， 取得最小值 .
因为函数 有且只有一个零点，
所以 ，解得 ，所以 的值为 .
【点睛】关键点点睛：第(2)问的转化是一个关键，由于直接研究函数 有且只有一个零
点比较困难，所以本题把函数零点转化为 与 只
有唯一交点，通过导数研究 和 发现，当 时， 取得最大值
，当 时， 取得最小值 ，数形结合从而求得
值.
练透核心考点
1．（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(3)当 时，判断 在 零点的个数，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)仅有一个零点，理由见解析；
【分析】（1）利用导函数的几何意义，求出 在 处的导数值，再由直线的点
斜式方程即可求得切线方程；
（2）根据导函数与原函数的关系可知， 在 上恒成立，构造函数
并求出其最小值即可求得实数 的取值范围；
（3）利用函数与方程的思想，求出方程 的根的个数即可，在同一坐标系
下画出函数 和 的图象，利用切线方程位置可求出结果.
【详解】（1）由 可得 ，此时切线斜率为 ，而 ；
所以切线方程为 ，即 ；
即曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2）根据题意，若 在 上单调递增，
即可得 在 上恒成立，即 恒成立；
令 ，则 ；
显然 在 上满足 ，而 恒成立，所以 在
上恒成立；
即 在 单调递增，所以 ；
所以 即可；
因此实数 的取值范围为 .
（3）令 ，即可得 ；
构造函数 ， ，易知 在 上恒成立，
即 在 上单调递增，如下图中实曲线所示：
又函数 恒过 ，且 ，
易知 ，所以函数 在 处的切线方程为 ；
又 ，所以 （图中虚线）在 范围内恒在 （图中实直线）的上
方；
所以由图易知 与 在 范围内仅有一个交点，即函数 在 内仅有一个零点.
