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第 13 讲 空间向量与距离、探究性问题（2 大考点+强化训练）
[考情分析] 1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中等
难度.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般
以解答题的形式考查，难度中等偏上．
知识导图
考点分类讲解
考点一：空间距离
(1)点到直线的距离
直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设AP＝a，则点P到直线l的距离
d＝.
(2)点到平面的距离
平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d＝.
考向1 点到直线的距离
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，直线 经过 ， 两点，则点
到直线 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高三上·北京昌平·期末）如图，在棱长为1的正方体 中， 为线段
上的点，且 ，点 在线段 上，则点 到直线 距离的最小值为（ ）A． B． C． D．1
【变式2】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知点 ，若点 和点 在直线 上，则
点 到直线 的距离为 ．
【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱
柱称为塹堵，在塹堵 中，若 ，若 为线段 中点，则点 到直线 的距
离为（ ）
A． B． C． D．
考向2 点到平面的距离
规律方法 (1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法．
(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行．求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距
离．
【例2】2.(2023·湖北省襄阳市第四中学模拟)已知斜三棱柱ABC－ABC 的各棱长都为4，∠AAB＝60°，
1 1 1 1
点A 在下底面ABC上的投影为AB的中点O.
1
(1)在棱BB(含端点)上是否存在一点D使AD⊥AC ？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；
1 1 1
(2)求点A 到平面BCC B 的距离．
1 1 1【变式1】（23-24高三下·北京·开学考试）在正四棱锥 中， ， 与平面 所成
角为 ，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中， 为线段 的中点，
为线段 的中点.直线 到平面 的距离为（ ）.
A． B． C． D．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正三棱柱 中，所有棱长均为1，则点
到平面 的距离为 ．考点二：空间中的探究性问题
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的
夹角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，
设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
规律方法 解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据
或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立．
(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用．
【例3】(2023·咸阳模拟)如图，三棱柱ABC－ABC 的侧面BBC C是边长为1的正方形，平面BBC C⊥平
1 1 1 1 1 1 1
面AABB，AB＝4，∠ABB＝60°，G是AB 的中点．
1 1 1 1 1 1
(1)求证：平面GBC⊥平面BBC C；
1 1
(2)在线段BC上是否存在一点P，使得二面角P－GB －B的平面角为30°？若存在，求BP的长；若不存在，
1
请说明理由．
【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）在四棱锥 中，已知 ， ，
， ， ， 是线段 上的点．(1)求证： 底面 ；
(2)是否存在点 使得 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
【 变 式 2 】 （ 2024· 全 国 · 一 模 ） 如 图 ， 棱 柱 的 所 有 棱 长 都 等 于 2 ， 且
，平面 平面 ．
(1)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(2)在棱 所在直线上是否存在点P，使得 平面 ．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明
理由．【变式3】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在多面体 中，四边形 为菱形， 平面
， ， ， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)试问线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，请判断点
的位置；若不存在，请说明理由.
强化训练
一、单选题
1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）平面 的一个法向量为 ， 为 内的一点，则点
到平面 的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
2．（2023高三·全国·专题练习）“类比推理”简称“类比”，是一种重要的逻辑推理方法，也是研究问题、
发现新结论的重要方法．下面通过“类比”所得到的结论中不正确的是（ ）
A．设O为平面内任一点，则A，B，C三点共线当且仅当存在a，b满足 ，使得
．类比到空间得：设A，B，C不共线，则A，B，C，D四点共面当且仅当存在实数a，b，c满足 ，使得
B．已知平面内点 到直线 的距离为 ．类比到空间得：空间中
点 到平面 的距离为
C．设平面内不过坐标原点的直线与x轴和y轴的交点分别为 ， ，则直线的（截距式）方程
为 ．类比到空间得：空间中不过坐标原点的平面与x轴、y轴和z轴的交点分别为 ，
， ，则平面的（截距式）方程为
D．设平面内一直线与x轴和y轴所成的角分别为 ， ，则有 ．类比到空间得：设
空间中一直线与x轴、y轴和z轴所成的角分别为 ， ， ，则有
3．（23-24高三上·上海奉贤·期中）如图，己知四棱锥 的底面 是直角梯形， ，
， ， 平面 ， ，下列说法正确的是（ ）
A． 与 所成的角是
B．平面 与平面 所成的锐二面角余弦值是
C． 与平面 所成的角的正弦值是D． 是线段 上动点， 为 中点，则点 到平面 距离最大值为
4．（2023·江苏徐州·模拟预测）在空间直角坐标系中，直线 的方程为 ，空间一点 ，则
点 到直线 的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
5．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）如图，在正方体 中，E为棱 的中点．动点P
沿着棱 从点D向点C移动，对于下列三个结论：
①存在点P，使得 ；
② 的面积越来越小；
③四面体 的体积不变．
其中，所有正确结论的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2023·全国·模拟预测）如图，已知正方体 的棱长为2，棱 的中点分别是 ，
点 是底面 内任意一点（包括边界），则三棱锥 的体积的取值范围是（ ）A． B． C． D．
7．（2023·河南·模拟预测）在空间直角坐标系中，已知
，则当点 到平面 的距离最小时，直线 与平
面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，P为棱 的中点，Q为正方
形 内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ）
A．若 平面 ，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得 平面
C．当且仅当Q点落在棱 上某点处时，三棱锥 的体积最大D．若 ，那么Q点的轨迹长度为
二、多选题
1．（23-24高三上·河北保定·期末）如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是棱
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． 四点共面
B．
C．直线 与 所成角的余弦值为
D．点 到直线 的距离为1
2．（2024·江西上饶·一模）如图，棱长为1的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，
则（ ）
A．直线 与底面 所成的角为30° B． 到直线 的距离为
C． 平面 D． 平面3．（2024·福建福州·模拟预测）在长方体 中， 为 的中点，则
（ ）
A． B． 平面
C．点 到直线 的距离为 D．点 到平面 的距离为
三、填空题
1．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知直线 经过 两点，则点 到直线 的
距离为 ．
2．（2024·福建厦门·一模）已知平面 的一个法向量为 ，且点 在 内，则点 到
的距离为 ．
3．（23-24高三上·北京房山·期末）如图，在棱长为 的正方体 中，点 是线段 上的
动点.给出下列结论：
① ；
② 平面 ；
③直线 与直线 所成角的范围是 ；
④点 到平面 的距离是 .
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题1．（23-24高三上·天津·期末）如图，已知 平面 ， ， ， ，
， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)求点 到直线 的距离.
2．（2024·山西运城·一模）如图，在矩形纸片 中， ， ，沿 将 折起，使点
到达点 的位置，点 在平面 的射影 落在边 上.(1)求 的长度；
(2)若 是边 上的一个动点，是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角余弦值为 ？若存在，
求 的长度；若不存在，说明理由.
3．（2024·广东梅州·一模）已知三棱柱 中， ， ，且 ，
，侧面 底面 ， 是 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得 与平面 的所成角为60°.如果存在，请求出 ；如果不存在，
请说明理由.
4．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知四棱锥 的底面 是直角梯形， ，， ， ， 为 的中点， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 与平面 所成的角为 ，过点 作平面 的垂线，垂足为 ，求点 到平面
的距离.
5．（23-24高三上·北京昌平·期中）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，
， ， ， 为棱 的中点.
(1)证明： ∥平面 ；
(2)若 ， ，
（i）求二面角 的余弦值；
（ii）在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离是 ？若存在，求出 的值；若不存
在，说明理由.
