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重难专攻（四） 极值点偏移问题
【极值点偏移基本定义】
众所周知，函数f ( x)满足定义域内任意自变量x 都有f ( x)=f (2m−x)，则函数f ( x)关于直线
x=m 对称；可以理解为函数f ( x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f ( x)为单峰函数，则
x=m 必为f ( x)的极值点. 如二次函数f ( x)的顶点就是极值点x0 ，若f ( x)=c 的两根的中点为
x1+x2
2
目录●重难点题型分布
，则刚好有
x1+x2
2
=x0 ，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
①左右对称，无偏移，如二次函数；若
，则
f x( )
x
x0=
x1+x2
2
x2
x1
②左陡右缓，极值点向左偏移；若
，则
f x( )
x
x2
x1+x2
2
x0
x1
③左缓右陡，极值点向右偏移；若
，则
f x( )
x1
x0
x1+x2
2
x2
x
【极值点偏移几种常考类型】
1. 若函数f ( x)存在两个零点x1, x2且x1≠x2 ，求证：x1+x2>2 x0 （x0 为函数f ( x)的极值点）；
2. 若函数f ( x)中存在x1, x2且x1≠x2满足f ( x1)=f ( x2)，求证：x1+x2>2 x0 （x0 为函数f ( x)的
极值点）；
3. 若函数f ( x)存在两个零点x1, x2且x1≠x2 ，令
x0= x1+x2
2
，求证：f '( x0)>0 ；
4. 若函数f ( x)中存在x1, x2且x1≠x2满足f ( x1)=f ( x2)，令
x0= x1+x2
2
，求证：f '( x0)>0 .
【极值点偏移的答题步骤（或方法）】
若已知函数
满足
，
为函数
的极值点，求证：
.
（1）讨论函数
的单调性并求出
的极值点
；
假设此处
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）构造
；
注：此处根据题意需要还可以构造成
的形式.
（3）通过求导
讨论
的单调性，判断出
在某段区间上的正负，并得出
与
的大小关系；
假设此处
在
上单调递增，那么我们便可得出
，从而得
到：
时，
.
（4）不妨设
，通过
的单调性，
，
与
的大小关系
得出结论；
接上述情况，由于
时，
且
，
，故
，又因为
，
且
在
上单调递减，从而得到
，从而
得证.
（5）若要证明
，还需进一步讨论
与
的大小，得出
所在的单调区
间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为
，故
，由于
在
上单调递减，故
.
重难点题型1 极值点偏移-加法型
1．（20-21 高三下·全国·阶段练习）已知函数
，
．
（1）若
在定义域内是减函数，求
的最小值；
（2）若
有两个极值点分别是
，
，证明：
．
【答案】（1）
；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用函数
在定义域内是减函数等价于
在
上恒成立，参变分离后，即
可求
的最小值；
（2）令
，利用导数可求得
的单调性；令
，可求得
，得到
单调递增，可得
，置换为
，由
在
上的单调性可得自变量的大小关系，从而证得结论.
【详解】（1）
定义域为
，
，
在定义域内是减函数，
在
上恒成立，
即
，
，
令
，则
，令
，解得：
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，解得：
，
的最小值为
.
（2）由（1）知：若
有两个极值点，则
；
令
，则
，
令
，解得：
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
不妨设
，则
；
令
，
则
，
在
上单调递增，
，
，即
，
又
，
，
，
，
又
，
在
上单调递增，
，即
.
【点睛】方法点睛：本题考查导数中的极值点偏移问题，处理类似于
（
为
的两根）
的问题的基本步骤如下：
①求导确定
的单调性，得到
的范围；
②构造函数
，求导后可得
恒正或恒负；
③得到
与
的大小关系后，将
置换为
；
④根据
与
所处的范围，结合
的单调性，可得到
与
的大小关系，由此证得结论.
2．（2023·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)①证明函数
（为自然对数的底数）在区间
内有唯一的零点；
②设①中函数
的零点为
，记
（其中
表示
中的较小值），若
在区间
内有两个不相等的实数根
，证明：
.
【解析】（1）由已知
，
函数
的定义域为
，导函数
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增；
当
时，令
有
，
∴当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减.
综上所述：
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）①
的定义域为
，导函数
，
当
时，
，即
在区间
内单调递增，
又
，
，且
在区间
内的图像连续不断，
∴根据零点存在性定理，有
在区间
内有且仅有唯一零点.
②当
时，
，函数
在
上单调递增，
又
，
∴当
时，
，故
，即
；
当
时，
，故
，即
，
∴可得
，
当
时，
，由
得
单调递增；
当
时，
，由
得
单调递减：
若
在区间
内有两个不相等的实数根
，
，
则
，
∴要证
，需证
，又
，
而
在
内递减，
故需证
，又
，
即证
，即
下证
：
记
，
，
由
知：
，
记
，则
：
当
时，
；
当
时，
，
故
，而
，所以
，
由
，可知
.
∴
，即
单调递增，
∴当
时，
，即
，故
，得证.
3．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性．
(2)假设存在正实数
，满足
．
（i）求实数
的取值范围；
（ii）证明：
．
【答案】(1)函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【难度】0.4
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）求导，由导数符号即可求解；
（2）（i）由题意知，问题转换成
有两根，通过取对数，同构，构造函数
，通
过其单调性即可求解；（ii）构造函数
，通过求导，确定单调性，确定最值，即可
求解；
【详解】（1）由题意知，
，
令
，解得
，
令
，解得
，
故函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）（i）由题意知，
在
上有两个不相等的实数根，即
，
两边取对数，可得
．记
，易知
在
上是增函数，
故
可等价于
，即
．
记
，则
，得
在
上单调递减，在
上单调递增，
有最小值
，故
，即
．
（ii）根据题意得
，不妨设
．
构造函数
，
则
．
当
时，
，则
，得
在
上单调递减，
有
，即
．
将
代入不等式，得
，又
，
故
，
又
在
上单调递增，
故
，即
．
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数
存在两个零点
且
，求证：
（
为函数
的极值点）；
2.若函数
中存在
且
满足
，求证：
（
为函数
的极值点）；
3.若函数
存在两个零点
且
，令
，求证：
；
4.若函数
中存在
且
满足
，令
，求证：
.
4．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数
，
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)若
时，
恒成立，求
的范围；
(3)若
在
内有两个不同零点
、
，求证：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移
问题
【分析】（1）当
时，求出
、
的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）由已知不等式结合参变量分离法可得
，利用导数求出函数
在
上的最大值，
即可求出实数
的取值范围；
（3）分析可知
，要证所证不等式成立，即证
且
，要证
，即
证
，利用诱导公式结合指数函数的单调性即可证明；要证
，即证
，
构造函数
，只需证
，利用导数分析函数
的单调性，即可证得结论成立.
【详解】（1）当
时，
，则
，
所以，
，
.
故切线方程为
，即
，
（2）因为
在
上恒成立，
进而
，即
．
令
，其中
，则
，
当
时，
，则
，此时，函数
单调递增，
当
时，
，则
，此时，函数
单调递减，
当
时，
，因为
，因此
，
所以，
，故
，
因此，实数
的取值范围是
.
（3）因为函数
在
内有两个不同零点
、
，
则方程
在
内有两个根
、
，即
，
由（2）知，当
时，函数
在
单调递增，
单调递减．
故
，欲证
，即证
，
由于
且函数
在
单调递减．所以只需证明
，
即证
，欲证
，即证
，即
，
即证
，即证
，而该式显然成立，
欲证
，即证
，且
，即证
，
即证
，即证
，即证
，
令
，只需证
，
，
令
，
所以
，即函数
在
上单调递增，所以，
，故原不等式得证．
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
；
（4）
，
.
重难点题型2 极值点偏移-减法型
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间与极值；
(2)若
，求证：
．
【答案】(1)单调递增区间为
和
，单调递减区间为
，极大值为
，极小值为
．
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区
间（不含参）
【分析】（1）对
求导，分析函数单调性，根据极值定义即可求解；
（2）令
，则
，令
，则
，令
，则
，分析
单调性可得
，即
对任意
恒成立．继而可得
，由单
调性可得
，令
，利用导数分析单调性可得
，即
对任意
恒成立．可得
，继而可得
，由
即可证明.
【详解】（1）
定义域为
，
，
令
，解得
或
，
当
时，
；当
时，
．
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
．
的极大值为
，极小值为
．
（2）证明：由（1）知
．
令
，则
．
令
，则
．
令
，则
．
在
上恒成立，
在
上单调递增，
，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
，
对任意
恒成立．
，
．
又
，
．
在
上单调递增，
，
，即
．
令
，则
．
在
上单调递增，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
，
对任意
恒成立．
．又
．
在
上单调递增，且
，
．由
，得
，
，
．
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题是高考数学中的热点和难点，通常作为压轴题出现，这类题通常考查
学生的逻辑推理能力和函数与方程思想，以下是三种常见的解法：
（1）构造法：构造函数
，通过判断其在
时的符号来确定
与
的大小关系；代换
，结合
，得到
与
的大小关系；再利用
函数
的单调性解决问题.
（2）利用对称性：找到函数的极值点
，构造对称函数
，分析
的单调性，
利用其对称性来证明极值点偏移。
（3）增量法：令
，
，通过比较
与
的大小来证明极值点偏移；再利用
函数单调性和对称性进行推导.
2．（2024·河南南阳·一模）已知函数
.
(1)若函数
在
上单调递增，求
的取值范围.
(2)若函数
的两个零点分别是
，且
，证明：
①
随着
的增大而减小；
②
.
【答案】(1)
(2)①证明见解析：②证明见解析
【难度】0.15
【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数研究双变量问题、利用导数证明不等式、由函数在区间上的
单调性求参数
【分析】（1）利用导数判断原函数单调性，卡端点列出不等式求解即可.
（2）①合理判断
有两个零点，构造
与
的函数，求其单调性即可.
②求出关键点的函数值，结合不等式的运算性质证明不等关系即可.
【详解】（1）若函数
在
上单调递增，易知
，
令
，
，令
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故原命题等价于求
，且
，故
，解得
，
即
的取值范围为
.
（2）①引理：对
，必有
成立，令
，
故
，令
，
，令
，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，即
恒成立，故
成立，
设
，则
，即
，
可得
的最小值为
而
，当
时，
，
且由引理知
，故
，
由零点存在性定理得
有两个零点
，
结合
可得
，
故当
时，两个根一定会存在，设
是关于
的函数，记为
，
我们同样可以定义为：对
，存在唯一的
，使得
，
且这个
就是关于
的方程
中的较大根，此时已有
，
此时发现
是
上的函数，则证明
在
上单调递减即可，
由于
，
首先，我们有
，
，所以
，
，
其次，我们实际上有
，（因为要么
，要么
），
所以
，若
，则
，
，
然后考虑
，显然我们有
，
若
，则
，所以另一根一定小于
，从而
，
若
，由于
是关于
的较大根，故
，
即
，解得
，但是对任意的
时，
关于的方程
的较小根都不超过，
要么
，解得
，要么
，
所以
是较大根，从而
，这表明
与
关于
对称，
所以我们只需要证明
在
上单调递减，
这里
是
的较大根，且
，
由于
，故对
，设
，
则
，
，
从而由
是较大根，知
，
，
也意味着
位于单调递增区间，
设
，由于当
时，
，
所以
，
而
，方程的较小根一定不超过，
这表明
的较大根
一定成立，所以
，
这就证明了
在
上单调递减，从而一定在
上单调递减，
故
随着
的增大而减小得证.
②由①知
有两个零点
，且
，
由于
，
由引理又有
，
而根据单调性得，当
或
时，必有
，
所以
，
可得
即
，原不等式得证.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用零点存在性定理证明函数有两个零点，然后构造函
数，转化为证明函数单调性问题求解即可.
3．（2024·山东日照·一模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，若方程
有三个不相等的实数根
，且
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【难度】0.15
【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数研究双变量问题、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导
数证明不等式
【分析】（1）求导，分
和
两种情况，结合导数符号判断函数单调性；
（2）根据题意分析可知：
在
内单调递增，在
内单调递减，
，
利用极值点偏离证明
和
，即可得结果.
【详解】（1）由题意可知：
的定义域为
，
，
且
，令
，可得
，
当
，即
时，可知
在
内恒成立，
即
在
内恒成立，所以
在
内单调递增；
当
，即
时，由
解得
或
，
由
可知
，
若
，
；若
，
；
所以
在
内单调递增，在
内单调递减；
综上所述：当
时，
在
内单调递增；
当
时，
在
内单调递增，在
内单
调递减.
（2）当
时，可得
，
，
由（1）可知：
在
内单调递增，在
内单调递减，
由题意可得：
，
因为
，
令
，
则
，
可知
在
内单调递增，则
，
可得
在
内恒成立，
因为
，则
，
且
，
在
内单调递减，
则
，即
；
令
，
则
，
可知
在
内单调递增，则
，
可得
在
内恒成立，
因为
，则
，
且
，
在
内单调递增，
则
，即
；
由
和
可得
.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数
；
（3）利用导数研究
的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
重难点题型3 极值点偏移-乘积型
1．（23-24 高二上·江苏连云港·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的零点个数.
(2)若关于
的方程
有两个不同实根
，求实数
的取值范围并证明
.
【答案】(1)有且仅有一个零点
(2)
，证明见解析
【分析】（1）利用导函数与单调性的关系，以及零点的存在性定理求解；
（2）根据题意可得
有两个不同实根
，进而可得
，两式相加得
，两式相减得
，从而有
，进而要证
，
只需证
，即证
，
构造函数
即可证明.
【详解】（1）当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，
又因为
，
所以函数
有且仅有一个零点.
（2）方程
有两个不同实根
，等价于
有两个不同实根
，
得
，令
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
取得最大值
，
由
，得当
时，
；
当
的大致图象如图所示，
所以当
，即
时，
有两个不同实根
；
证明：不妨设
且
两式相加得
，两式相减得
，
所以
，
要证
，只需证
，
即证
，
设
，令
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，且
，
所以
，即
，
所以
，原命题得证.
【点睛】关键点点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，常用解决策略是根据
，两式相加
相减，进而可得
，进而要证
，只需证
，即证
，从而将双变量转化为单变量，令
，讨论该函
数的单调性和最值即可证明.
2．（2024·广东湛江·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两个根
，
，求实数a 的取值范围，并证明：
．
【答案】(1)
在
上单调递增，
上单调递减，
(2)见解析
【分析】（1）求出
，根据导数的符号判断函数的单调性；
（2）由
，得
，设
，画出
的图象可得
；由
，
设
，对
求导可得
，又
，再由
在
上单调递
减，可得
，即可证明
.
【详解】（1）由题意可得
，所以
，
的定义域为
，
又
，由
，得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
（2）由
，得
，设
，
，由
，得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
又
，
，且当
趋近于正无穷，
趋近于，
的图象如下图，
所以当
时，方程
有两个根，
证明：不妨设
，则
，
，
设
，
，所以
在
上单调递增，
又
，所以
，即
，
又
，所以
，
又
，
，
在
上单调递减，所以
，
故
.
【点睛】关键点点睛：（1）解此问的关键在于求出
的导数，并能根据导数的符号结合相关知识判断
出单调性；（2）解此问的关键在于把
转化为
来证，又
，构造
，对
求导，得到
的单调性和最值可证得
，即可证明
.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
有两个零点
，
，且
，求证：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出函数
的导数，然后分类讨论
的取值情况，从而可求解.
（2）结合（1）中结论可知
，从而求出
，
，然后设
并构造函数
，然后利用导数求解
，然后再构造函数
证明
，从而求解.
【详解】（1）因为函数
的定义域是
，
，
当
时，
，所以
在
上单调递减；
当
时，令
，解得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减．
综上所述，当
时，
的减区间为
，无增区间；
当
时，
的增区间为
，减区间为
．
（2）因为
是函
的两个零点，由（1）知
，
因为
，设
，则
，
当
，
，当
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
．
又因为
，且
，
所以
，
．
首先证明：
．
由题意，得
，设
，则
两式相除，得
．
要证
，只要证
，即证
．
只要证
，即证
．
设
，
．
因为
，所以
在
上单调递增．
所以
，即证得
①．
其次证明：
．设
，
．
因为
，所以
在
上单调递减．
所以
，
即
．
所以
②．
由①②可证得
．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导
数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）利用导数研究函数的零点问题．
4．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知
．
(1)当
时，讨论函数
的极值点个数；
(2)若存在
，
，使
，求证：
．
【答案】(1)函数
的极值点有且仅有一个
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数进行求导，然后分
和
两种情况对函数的单调性进行研究，即可得到答案；
（2）由
可得
（*），通过证明
单
调递增，（*）转化为
，接着证明
成立，即可求解
【详解】（1）当
时，
，则
，
当
时，
，
故
在
上单调递增，不存在极值点；
当
时，令
，则
总成立，
故函数
即
在
上单调递增，
且
，
，所以存在
，使得
，
所以当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
故在
上存在唯一极值点，
综上，当
时，函数
的极值点有且仅有一个．
（2）由
知
，
整理得，
（*），
不妨令
，则
，故
在
上单调递增，
当
时，有
，即
，
那么
，
因此，（*）即转化为
，
接下来证明
，等价于证明
，
不妨令
（
），
建构新函数
，
，则
在
上单调递减，
所以
，故
即
得证，
由不等式的传递性知
，即
．
【点睛】思路点睛：应用对数平均不等式
证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到
；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
重难点题型4 极值点偏移-除法型
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
【解析】(1)
的定义域为
．
由
得，
，
当
时，
；当
时
；当
时，
．
故
在区间
内为增函数，在区间
内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由
得
，即
．
由
，得
．
由（1）不妨设
，则
，从而
，得
，
①令
，
则
，
当
时，
，
在区间
内为减函数，
，
从而
，所以
，
由（1）得
即
．①
令
，则
，
当
时，
，
在区间
内为增函数，
，
从而
，所以
．
又由
，可得
，
所以
．②
由①②得
．
[方法二]【最优解】：
变形为
，所以
．
令
．则上式变为
，
于是命题转换为证明：
．
令
，则有
，不妨设
．
由（1）知
，先证
．
要证：
．
令
，
则
，
在区间
内单调递增，所以
，即
．
再证
．
因为
，所以需证
．
令
，
所以
，故
在区间
内单调递增．
所以
．故
，即
．
综合可知
．
[方法三]：比值代换
证明
同证法2．以下证明
．
不妨设
，则
，
由
得
，
，
要证
，只需证
，两边取对数得
，
即
，
即证
．
记
，则
.
记
，则
，
所以，
在区间
内单调递减．
，则
，
所以
在区间
内单调递减．
由
得
，所以
，
即
．
[方法四]：构造函数法
由已知得
，令
，
不妨设
，所以
．
由（Ⅰ）知，
，只需证
．
证明
同证法2．
再证明
．令
．
令
，则
．
所以
，
在区间
内单调递增．
因为
，所以
，即
又因为
，所以
，
即
．
因为
，所以
，即
．
综上，有
结论得证．
【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，
这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明
题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于
的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
【解析】（1）函数的定义域为
，又
，
当
时，
，当
时，
，
故
的递增区间为
，递减区间为
（2）因为
，故
，
即
，故
，
设
，则
，
不妨设
，由（1）可知原命题等价于：已知
，证明：
.
证明如下：
若
，
恒成立；
若
， 即
时，
要证：
，即证
，而
，即证
，
即证：
，其中
设
，
，
则
，
因为
，故
，故
，
所以
，故
在
为增函数，所以
，
故
，即
成立，
所以
成立，
综上，
成立.
3．（2020·陕西·模拟预测）已知函数
．
（1）求
的图象在
处的切线方程；
（2）若函数
有两个不同的零点
、
，证明：
．
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）求出函数
的导数，求得
和
的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）设
，令
可得出
，由题意得出
，变形可得
，
令
，由此将所求不等式转化为证明
，然后构造函数
，利用导数证
明出
即可.
【详解】（1）
，定义域为
，
，
，
.
因此，函数
的图象在
处的切线方程为
，即
；
（2）令
，得
，由题意可得
，
两式相加得
，两式相减得
，
设
，可得
，
，
要证
，即证
，即
，
令
，即证
.
构造函数
，其中
，
，
所以，函数
在区间
上单调递增.
当
时，
，所以，
.
因此，
.
【点睛】本题考查利用导数求解函数图象的切线方程，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算
能力与推理能力，属于中等题.
4．（2024·河北保定·二模）已知函数
为其导函数．
(1)若
恒成立，求
的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数
，使得
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数研究双变量问题、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导
数证明不等式
【分析】（1）利用导数求函数的最大值，转化为最大值小于等于1，即可求解；
（2）不等式转化为证明
，即证明
，构造函数
，利用导数证明函数的单调性，即可证明.
【详解】（1）
，当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减．所以
，
解得
，即
的取值范围为
．
（2）证明：不妨设
，则
，要证
，
即证
，则证
，则证
，
所以只需证
，即
．
令
，则
，
．
当
时，
，则
，
所以
在
上单调递减，则
．所以
．
由（1）知
在
上单调递增，所以
，从而
成立．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用分析法，转化为证明
.
重难点题型5 极值点偏移-平方型
1．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性：
(2)若
是方程
的两不等实根，求证：
；
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，再根据
和
分类讨论，即可得出函数的单调性；
（2）由
可得，
是方程
的两不等实根，从而可将问题转化
为
是方程
的两不等实根，即可得到
和
的范围，原不等式等价于
，即极值点偏
移问题，根据对称化构造（解法1）或对数均值不等式（解法2）等方法即可证出．
【详解】（1）由题意得，函数
的定义域为
.
由
得：
，
当
时，
在
上单调递增；
当
时，由
得
，由
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）因为
是方程
的两不等实根，
，
即
是方程
的两不等实根，
令
，则
，即
是方程
的两不等实根.
令
，则
，所以
在
上递增，在
上递减，
，
当
时，
；当
时，
且
.
所以0
，即0
.
令
，要证
，只需证
，
解法1（对称化构造）：令
，
则
，
令
，
则
，
所以
在
上递增，
，
所以h
，所以
，
所以
，所以
，
即
，所以
.
解法2（对数均值不等式）：先证
，令
，
只需证
，只需证
，
令
，
所以
在
上单调递减，所以
.
因为
，所以
，
所以
，即
，所以
.
【点睛】方法点睛：本题第二问解题关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称
化构造及对数均值不等式等方法证出．
2．（2023·山西·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
有2 个不同的零点
（
），求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.15
【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、已知函数最值求参
数
【分析】（1）求解函数定义域，参变分离得到
，构造
，利用导函数得到其单调
性，极值和最值情况，得到
；
（2）转化为
有2 个不同的实数根，构造
，得到其单调性，得到
，且
，求出
，换元后即证
，构造
，求导后得
到
在
上单调递增，
，得到证明.
【详解】（1）因为函数
的定义域为
，所以
成立，等价于
成立.
令
，则
，
令
，则
，所以
在
内单调递减，
又因为
，所以当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递
减，
所以
在
处取极大值也是最大值.
因此
，即实数
的取值范围为
.
（2）
有2 个不同的零点等价于
有2 个不同的实数根.
令
，则
，当
时，解得
.
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取极大值为
.
又因为
，当
时，
，当
时，
.
且
时，
.
所以
，且
.
因为
是方程
的2 个不同实数根，即
.
将两式相除得
，
令
，则
，
，变形得
，
.
又因为
，
，因此要证
，只需证
.
因为
，所以只需证
，即证
.
因为
，即证
.
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
，
即当
时，
成立，命题得证.
【点睛】极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式
变形，如常常利用
进行变形，可构造关于
的函数，利用导函数再进行求解.
3．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性：
(2)若
是方程
的两不等实根，求证：
；
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，再根据
和
分类讨论，即可得出函数的单调性；
（2）由
可得，
是方程
的两不等实根，从而可将问题转化
为
是方程
的两不等实根，即可得到
和
的范围，原不等式等价于
，即极值点偏
移问题，根据对称化构造（解法1）或对数均值不等式（解法2）等方法即可证出．
【详解】（1）由题意得，函数
的定义域为
.
由
得：
，
当
时，
在
上单调递增；
当
时，由
得
，由
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）因为
是方程
的两不等实根，
，
即
是方程
的两不等实根，
令
，则
，即
是方程
的两不等实根.
令
，则
，所以
在
上递增，在
上递减，
，
当
时，
；当
时，
且
.
所以0
，即0
.
令
，要证
，只需证
，
解法1（对称化构造）：令
，
则
，
令
，
则
，
所以
在
上递增，
，
所以h
，所以
，
所以
，所以
，
即
，所以
.
解法2（对数均值不等式）：先证
，令
，
只需证
，只需证
，
令
，
所以
在
上单调递减，所以
.
因为
，所以
，
所以
，即
，所以
.
【点睛】方法点睛：本题第二问解题关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称
化构造及对数均值不等式等方法证出．
4．（2021·广东广州·一模）已知函数
.
（1）证明：曲线
在点
处的切线恒过定点；
（2）若
有两个零点
，且
，证明：
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【难度】0.4
【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）求出函数在
处的导数，求出
，即可求出切线方程，得出定点；
（2）由题可得
，可得
，令
，则
，构造函
数
，二次求导得出
单调递增，即可求出
，再利用基本不等式即可证明.
【详解】（1）
，
则
，即切线斜率为
，
又
，
则切线的方程为
，即
，
可得当
时，
，故切线恒过定点
；
（2）
是
的零点，
，且
，
则
，即
，
，即
，
令
，则
，则
，
令
，则
。
令
，则
，则
单调递增，
，即
，则
单调递增，
，
，即
，即
，
则
（由于
，故不取等号），得证.
【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决双变量问题，解题的关键是将其转化为
，
利用导数求出单调性，得出
.
5．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系
中，
的直角顶点
在
轴上，另一个顶点
在函数
图象上
(1)当顶点
在
轴上方时，求
以
轴为旋转轴，边
和边
旋转一周形成的面所围成的几何
体的体积的最大值；
(2)已知函数
，关于
的方程
有两个不等实根
.
（i）求实数
的取值范围;
（ii）证明：
.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明过程见详解.
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）先确定所求几何体何时能取到最大值，写出函数关系，利用导数分析函数单调性，求最大
值；
（2）（i）根据题意知，
，进行同构
，将问题转化为方程
有两个不等的实数根，再进行分离参数，研究
的单调性和极值，即可求出a 的取
值范围.
（ii）由
知，先证
，即极值点偏移问题，构造函数
，求
，
在
单调递增，
，得
，
从而可得
即
，再由
的单调性，即可得到
.
【详解】（1）因为
在
轴上方，所以：
；
为直角三角形，所以当
轴时，所得圆锥的体积才可能最大.
设
，则
，
（
）.
设
（
），则
，由
.
因为
，所以
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
.
从而：
.
（2）（i）因为
，即
，即
，
令
，所以
，
因为
为增函数，所以
即
，
所以方程
有两个不等实根
等价于
有两个不等实根
，
令
，所以
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.所以
.
当
时，
；当
时，由洛必达法则知
；
所以
.
（ii）由（i）知，
，
令
，
，
因为
，所以
，
因为
，
，所以
，即
在
单调递增，
，
所以
.
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
因为
，
，且
在
上单调递减，
所以
，即
，所以
，
所以
.
【点睛】方法点睛：
极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的步骤如下：
（1）求极值点
：求出函数
的极值点
，结合函数
的图像，由
得出
的取值
范围；
（2）构造函数：对结论为
的情况，构造函数
；
①
，则
单调递增；
②注意到
，则
即
；
③
，根据
在
单调减，则
④得到结论
.
重难点题型6 极值点偏移-综合型
1．（2023·湖北武汉·三模）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若关于
的方程
有两个不相等的实数根
、
，
（ⅰ）求实数a 的取值范围；
（ⅱ）求证：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根、含参分类讨论求函数的单调区间、导数中的极
值偏移问题
【分析】（1）求出
，分
、
两种情况讨论，分析导出的符号变化，即可得
出函数
的增区间和减区间；
（2）（i）将方程变形为
，令
，令
，可知直线
与函数
的图象有两个交点，利用导数分析函数
的单调性与极值，数形结合可得出实数
的取值范围；
（ii）将所证不等式等价变形为
，由
变形可得出
，推导出
，即证
．令
，只需证
，构造函数
，其中
，利用
导数法即可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为
，
所以
，其中
.
①当
时，
，所以函数
的减区间为
，无增区间；
②当
时，由
得
，由
可得
.
所以函数
的增区间为
，减区间为
．
综上：当
时，函数
的减区间为
，无增区间；
当
时，函数
的增区间为
，减区间为
．
（2）解：（i）方程
可化为
，即
．
令
，因为函数
在
上单调递增，
易知函数
的值域为
，
结合题意，关于的方程
（*）有两个不等的实根．
又因为
不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为
．
令
，其中
，则
．
由
可得
或
，由
可得
，
所以，函数
在
和
上单调递减，在
上单调递增．
所以，函数
的极小值为
，
且当
时，
；当
时，则
.
作出函数
和
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，函数
与
的图象有两个交点，
所以，实数
的取值范围是
.
（ii）要证
，只需证
，即证
．
因为
，所以只需证
．
由（ⅰ）知，不妨设
．
因为
，所以
，即
，作差可得
．
所以只需证
，即只需证
．
令
，只需证
．
令
，其中
，则
，
所以
在
上单调递增，故
，即
在
上恒成立．
所以原不等式得证．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式
（或
）转化为证明
（或
），进而构造辅助函数
；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2．（22-23 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数
（a 为常数）.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数
，
满足
，求证：
.
(3)若
有两个零点
，
，证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究双变量问题、
导数中的极值偏移问题
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）利用对数均值不等式
（
，
，
）即可得证.
（3）由题意得
，要证
，只需证：
，利用换元，令
，只需证：
，由对数均值不等式即得.
【详解】（1）由
，得函数的定义域为
，
又
，
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增；
当
时，令
，得
；令
，得
；
所以，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）由
，得
，
故欲证
，只需证：
，即证
，
又
，
，
，
不妨设
，
，等价于
，令
（
），
等价于
（
），
，所以
在
单调递增，而
，
所以，当
时，
恒成立.
所以
，
所以
.
（3）函数
有两个零点
，
，所以
，
，
不妨设
，
，
即
，要证：
，
需证：
只需证：
，只需证：
，
只需证：
，只需证：
，
令
，只需证：
，
令
，
，
所以
在
上单调递减，所以
，即
，
故
.
也可由对数均值不等式
（
），即
，
令
（
），则
，即
，
所以
.
【点睛】本题考查不等式的证明，可转化为函数求最值以及恒成立问题结决，可按如下规则转化：
一般地，已知函数
，
（1）若
，
，总有
成立，故
；
（2）若
，
，有
成立，故
；
（3）若
，
，有
成立，故
；
（4）若若
，
，有
，则
的值域是
值域的子集 ．
3．（2022 高三·全国·专题练习）已知函数
在其定义域内有两个不同的极值
点.
(1)求
的取值范围；
(2)记两个极值点为
，且
. 若
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、根据极值点求参数、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）将
在
有两个不同根转化为方程
在
有两个不同根，再构造函
数
，利用导数研究函数
的单调性和最值，进而求出
的取值范围；
（2）两边取对数，将证明
转化为证明
，再利用（1）合理转化，将问题转化
为证明
恒成立，再通过求其最值进行证明.
【详解】（1）由题意知，函数
的定义域为
，
，
方程
在
有两个不同根，
即方程
在
有两个不同根，
即方程
在
有两个不同根，
令
，
，则
，
则当
时，
，
时，
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
又因为
，当
时，
，当
时，
，
所以
的取值范围为
；
（2）要证
，两边取对数，等价于要证
，
由（1）可知
，
分别是方程
的两个根，
即
，
所以原式等价于
，因为
，
，
所以原式等价于要证明
.
又由
，
作差得，
，即
.
所以原式等价于
，令
，
，
则不等式
在
上恒成立.
令
，
，
又
，
当
时，可见
时，
，
所以
在
上单调增，
又
，
，
所以
在
恒成立，所以原不等式恒成立.
【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，
根据要求得所求范围.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然
后构建不等式求解.
4．（2020·浙江·模拟预测）已知函数
（
），其中
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若
，求x 的取值范围；
（3）当
时，若
，
为函数
（
）的两个零点，试证明：
.
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）
；（3）证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】导数中的极值偏移问题、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点、利用导
数证明不等式
【分析】（1）
，
，
令
，利用导数研究
的单调性，可知
在区间
上单调递减，在区间
上
单调递增，可得
，当
，
，当
，
，然后分
、
、
三种情况对a 进行分类讨论，利用导数可得出函数
的单调性；
（2）要证
，即证
，分析可得：当
时，
，即当
时，
，利用（1）的结论即可证得，从而
，由于
与
在
处相切，且
为下凹函数，故
；
（3）构造函数
，
，通过证明
与0 的大小可得出
，通过证明
与0 的大小可得出
，进而证得结论.
【详解】（1）
，极值点即为
的变号零点，
即
，记
，
，
令
，解得
；令
，解得
，
故
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
则
，当
，
，当
，
，
①当
时，
在区间
上恒成立，所以函数
在区间
和
上单调递减；
②当
时，则方程
有两个根，记为
，
，不妨设
，
因为
，故
，当
或
时，
；当
或
时，
，
所以函数
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增.
③当
时，则方程
有一个根，记为
，
当
时，
；当
时，
，所以函数
在
上单调递增，在
上单
调递减.
（2）
，即
，
当
时，左边
右边（舍）；当
时，
，
，
当
时，
，
，即当
时，
，
于是
，即当
时，
，
由（1）知，当
时，
在
上单调递减，所以
（
），
由于
与
在
处相切，且
为下凹函数，故
；
（3）
，即
，
∵
，∴
，
由（1）知：当
时，
先增后减，不妨设
，
，
，
构造函数
，
，
，
∴
，即
，
两式相减得：
，
即
，
，
∴
，
即
，两式相减得：
，
即
，∴
，
即
，
综上所述：
.
【点睛】方法点睛：构造函数证明不等式的常用方法：1、移项法构造函数；2.作差法构造函数；3.换元法
构造函数；4.从条件等式入手构造；5.主元法构造函数；6.构造二阶导数函数；7.对数法构造函数；8.构造
形似函数.
