重难点06：破解极值点偏移：导数极值点
偏问题之核心解决方法（上）
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................4
题型一、构造对称函数法（最常用，通性通法）........................................4
题型二、比值代换法（处理含指数/对数的复杂偏移）.............................11
题型三、差值代换法（变量分离，简化计算）..........................................18
题型四、对、指数均值不等式法..................................................................24
题型精析・方法突破提能力..............................................................................29
知识点
1 ：极值点偏移的概念
一、极值点偏移的核心定义
设函数f(x)在定义域内可导，且存在唯一极值点x0（即f'(x0)=0，且
x0两侧f'(x)符号相反）。
若存在两个不相等的实数x1,x2（x1≠x2），使得f(x1)=f(x2)，且x1,x2分别位于x0
两侧（即x1<x0<x2或x2<x0<x1），则称函数f(x)的极值点x0存在偏移。
二、极值点偏移的方向判断（关键依据）
根据x1,x2的中点与极值点x0的大小关系，将偏移分为两类：
极值点左移
知识网络・核心根基深扎牢
极值点右移
左偏：若x1+x2
2
>x0（即x1,x2的中点在x0右侧），则称极值点x0左偏。
本质：右侧的点x2到x0的距离大于左侧的点x1到x0的距离（x2−x0>x0−x1）。
右偏：若x1+x2
2
<x0（即x1,x2的中点在x0左侧），则称极值点x0右偏。
本质：左侧的点x1到x0的距离大于右侧的点x2到x0的距离（x0−x1>x2−x0）。
三、极值点偏移的本质特征（与函数性质关联）
极值点偏移的本质是函数在极值点两侧的单调性不对称：
若函数在( ∞,
−
x0)上的递增（或递减）速率，与在(x0,+∞)上的递减（或递增）速
率不同，则易出现偏移。
四、定义的核心作用（解题关联）
明确证明目标：所有解题方法（如构造对称函数法、比值代换法）的最终目标，本质
是证明 “x1+x2
2
>x0”或“x1+x2
2
<x0”，即围绕定义展开。
知识点
2 ：极值点偏移问题特征
1. 证明 “两点和 / 积与极值点的关系”
问题目标常围绕x1+x2或x1x2与2x0或x0
2的大小关系，具体形式：
证明 “和的偏移”：如 “求证x1+x2>2x0”（左偏）、“求证x1+x2<2x0”（右
偏）；
证明 “积的偏移”：如 “求证x1x2>x0
2”（左偏衍生）、“求证x1x2<x0
2”（右偏
衍生）。
2. 证明 “两点与极值点的距离关系”
问题目标间接体现偏移，如 “求证|x1−x0|<|x2−x0|”（左偏，右侧点离极值点
更远）或 “求证|x1−x0|>|x2−x0|”（右偏，左侧点离极值点更远）；
此类表述可转化为 “和的偏移”（如|x1−x0|<|x2−x0|⇒x1+x2>2x0，当
x1<x0<x2时），本质与 “和的偏移” 一致。
3. 含参数时，结合偏移求参数范围
若题干含参数，问题目标可能是 “求参数范围使得函数存在极值点偏移”，或 “已
知偏移条件求参数范围”。
注意：当最终需要证明的不等式含有：x1+x2，x1∙x2，f (x1)+f(x2)，
f (x1)∙f(x2)或者同时含x1，x2及f (x1)，f(x2)的式子时，一般需要用到极值点偏移方
法。
知识点
3 ：对数均值不等式
对于任意正实数a≠b，定义“对数均值”为L(a,b)=a−b
lna−ln b
，其满足与算
术均值A(a,b)=a+ b
2
、几何均值G(a,b)= ❑√ab的不等关系：❑√ab<a−b
lna−ln b <a+ b
2
即 几何均值 < 对数均值 < 算术均值。
适用范围：仅适用于正实数（因涉及对数lnx，要求x>0），且需满足 “两点函数
值相等” 与 “单峰函数” 前提（符合极值点偏移判定条件）；
与极值点偏移的适配性：优先用于含对数的函数（如lnx−ax、xlnx−kx
2），对
指数函数可通过 “取对数转化为对数形式” 后使用（如e
x−ax=0⇒x=lna+lnx）；
简洁性优势：相比构造对称函数法，对数均值不等式可直接关联 “两点差与对数
差”，跳过复杂的导数分析，快速证明 “和 / 积与极值点的关系”，尤其适合解决选
择、填空或证明题的简化步骤。
知识点
4 ：指数均值不等式
对于任意不相等的实数a,b，定义 “指数均值” 为E(a,b)=e
a−e
b
a−b
，其满足与算
术均值A(e
a,e
b)=e
a+e
b
2
、几何均值G(e
a,e
b)=e
a+ b
2
的不等关系：
e
a+ b
2
<e
a−e
b
a−b
<e
a+e
b
2
；
即 指数形式的几何均值 < 指数均值 < 指数形式的算术均值。
对比对数均值不等式：对数均值针对 “正实数的对数差与实数差”，指数均值针对
“实数的指数差与实数差”，二者本质是 “指数 - 对数互逆” 的关系，可通过变量代换
相互推导。
适用范围：适用于任意实数（因指数函数定义域为R），但需满足 “两点函数值相
等” 与 “单峰函数” 前提（符合极值点偏移判定条件），若涉及变量为正实数，可与对
数均值不等式互通；
与极值点偏移的适配性：优先用于含指数的函数（如\( e^x - ax \)、\( x e^x - b \)），尤
其适合证明 “指数形式的不等式”（如\( e^{\frac{x_1 + x_2}{2}} < C \)）或 “两点和与
极值点的关系”，比构造对称函数更简洁；
与对数均值的差异：对数均值更直接适配含对数的函数，指数均值更直接适配含指数
的函数，核心差异在于 “变量与函数的关联形式”，但可通过 “指数 - 对数互逆” 转
化，解题时可根据函数类型优先选择。
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、构造对称函数法（最常用，通性通
构造对称函数法求解极值点偏移的方法：
（1）求函数唯一极值点x0：计算f(x)的导函数f'(x)，解方程f'(x)=0；
（2）构造对称函数F(x)：
针对 “和的偏移”，构造F(x)=f(x)−f(2x0−x)（以x0为对称中心，对称点
为2x0−x）；
若需证明 “积的偏移”（如x1x2>x0
2），构造F(x)=f(x)−f(
x0
2
x )（对称点为x0
2
x
）。
（3）分析F(x)的单调性与符号：求F(x)的导函数F'(x)，化简并判断其在定义域内
的符号；（4）结合f(x1)=f(x2)推导偏移关系：
设x1<x0<x2且f(x1)=f(x2)，由x2>x0得F(x2)=f(x2)−f(2x0−x2)>0（或
<0），即f(x2)>f(2x0−x2)（或<f(2x0−x2)）；因f(x1)=f(x2)，故
f(x1)>f(2x0−x2)（或<f(2x0−x2)）；
结合x1<x0、2x0−x2<x0（因x2>x0）及f(x)在( ∞,
−
x0)的单调性，得出
x1>2x0−x2（或x1<2x0−x2），即x1+x2>2x0（或<2x0）。
典例探究
【典型例题】已知函数f ( x)= x
2−2 x +1+ae
x有两个极值点x1, x2，且x1< x2，求证：
x1+ x2>4.
举一反三
【1-1】已知函数f ( x)=e
x−ax有两个不同的零点x1, x2
，其极值点为x0
．
(1)求a 的取值范围；
(2)求证：x1+ x2<2 x0；
(3)求证：x1+ x2>2；
(4)求证：x1 x2<1．
【1-2】已知函数f (x)=e
x(cos x +1)−ax，a∈R.
(1)若a=1，求曲线y = f (x)在x =π处的切线方程；
(2)若a=0，求y = f (x)在(0,π)内的极值；
(3)设g(x)= f (x)−e
xcos x，若g(x)有2 个零点x1
，x2
，且x1< x2
，求证：
x1+ x2<2lna.
【1-3】已知函数f (x)=(x +a)e
x，直线y =2 x +1是曲线y = f (x)的一条切线．
(1)求a的值，并讨论函数f (x)的单调性；
(2)若f (x1)= f (x2)，其中x1< x2
，证明：x1⋅x2>4．
题型二、比值代换法（处理含指数/对数的复杂偏移）
【2-1】已知函数f ( x)=e
x−a x
2 (a∈R)．
(1)当a= 1
2
时，求函数f ( x)的单调区间；
(2)当x>0时，若函数f ( x)有2 个不同的零点x1，x2．
（ⅰ）求a 的取值范围；
（ⅱ）证明：x1+ x2>4．
比值代换法求解极值点偏移的方法：
（1）求函数唯一极值点x0：计算f(x)的导函数f'(x)，解方程f'(x)=0；
（2）由f(x1)=f(x2)建立等式，分离指数/对数项：设x1≠x2且f(x1)=f(x2)，将
等式整理为 “ 指数项（或对数项）与多项式项分离” 的形式（如
lnx1−lnx2=k(x1
2−x2
2)）；若含指数项，两边取自然对数；若含对数项，直接利用对数
运算法则合并（如lnx1
x2
= k(x1−x2)(x1+x2)）。
（3）设比值变量，统一变量为单参数：:令t=x2
x1
（假设x2>x1>0，则t>1），得x2=tx1；
将x2=tx1代入步骤 2 的等式，实现 “双变量x1,x2→单变量t” 的转化。
（4）将偏移目标转化为关于t的不等式：若需证明 “和的偏移”（x1+x2>2x0或<2x0），
代入x2=tx1得x1(1+t)>2x0（或<2x0），再结合步骤3中x1的表达式，消去x1，得到
仅含t的不等式；若需证明 “积的偏移”（x1x2>x0
2或<x0
2），代入x2=tx1得tx1
2>x0
2
（或<x0
2），同理转化为关于t的不等式。
（5）构造关于\(t\)的函数，证明不等式成立：令g(t)为步骤4中不等式左侧（或变形
后的函数），定义域为t>1；求g(t)的导函数g'(t)，分析其在t>1时的单。
典例探究
【典型例题】已知函数f (x)=2ln x−x
2−ax有两个不同的零点x1, x2，且满足0< x1< x2，
求证：x1 x2> 3
2．
举一反三
【2-2】已知函数f ( x)=a( x−1)−x ln x，且f ( x)≤0.
(1)求a;
(2)已知f
′( x)为函数f ( x)的导函数，证明：对任意的0< x1< x2
，均有
f
′( x1)> f ( x2)−f ( x1)
x2−x1
；
【2-3】已知函数f (x)= xln x−a x
2−2 x.
(1)讨论导函数f
′ (x)的零点个数情况；
(2)若f (x)有两个不同极值点x1
、x2
.当x1>4 x2
时，证明：x1 x2
2>16e
3.
题型三、差值代换法（变量分离，简化计算）
【3-1】已知函数
f ( x)= x−e
x
a(a>0)
有两个相异零点x1
､x2
，且x1< x2
，求证：x1
x2
<e
a
.
【3-2】已知函数f (x)=a(x +1)ln x + x−1(a∈R)存在两个不同的极值点.
差值代换法求解极值点偏移的方法：
（1）求函数唯一极值点x0：计算(f(x))的导函数f'(x)，解方程f'(x)=0；
（2）设差值变量，统一双变量为 “基变量 + 差值”：设x1≠x2且f(x1)=f(x2)，不
妨令x2−x1=d（d>0，即x2>x1），d为两点差值；
（3）由零点或极值点建立等式，分离复杂项，整理等式：将指数项、对数项等复杂项移到
一侧，多项式项移到另一侧，实现 “双变量x1,x2→双变量x1,d→单变量d” 的转
化。
（4）将偏移目标转化为关于d的不等式。
（5）构造关于d的函数，证明不等式成立：令h(d)为步骤 4 中不等式左侧（或变形后的
函
数
）
，
定
义
域
为d>0；
求h(d)的导函数h'(d)，
分
析
其
在
d>0时的单调性（如h'(d)<0则h(d)单调递减）；
典例探究
【典型例题】已知x1，x2是函数f ( x)=e
x−ax的两个零点，且x1< x2，求证：
(1)x1+ x2>2；
(2)x1 x2<1．
举一反三
(1)求a的取值范围；
(2)设函数f (x)的极值点之和为m，零点之和为n，求证：m+n>5.
【3-3】已知f (x)=(ax−1)e
x与g(x)= x (ln x−a)有相同的最小值.
(1)求实数a的值；
(2)已知m<0，函数F (x)= xf (x)−m有两个零点x1, x2
，求证：x1⋅x2>−m
2−m.
题型四、对、指数均值不等式法
【4-1】已知函数f (x)=1−ln x−a
x
(a∈R)．
(1)求f (x)的单调区间；
对、指数均值不等式法求解极值点偏移的方法：
（1 ）由f(x1)=f(x2)建立 “ 对数差与变量差” 的关联等式设
x1，x2且f(x1)=f(x2)，将等式整理为含对数项（或可转化为对数项）的形式；变形等
式，分离出对数均值x1−x2
lnx1−lnx2
，如由lnx1−lnx2=a(x1−x2)得x1−x2
lnx1−lnx2
=1
a 。
（2）套用对数均值不等式，建立与 “算术均值 / 几何均值” 的关系
对数均值不等式核心：对正实数x1，x2，有❑√x1x2<x1−x2
lnx1−lnx2
<x1+x2
2
；将步骤
1 中得到的 “对数均值表达式” 代入不等式：
若需证明 “和的偏移”（x1+x2>2x0）：用右侧不等式x1−x2
lnx1−lnx2
<x1+x2
2
，代
入x1−x2
lnx1−lnx2
=1
a 得1
a <x1+x2
2
；
若需证明 “积的偏移”（x1x2>x0
2）：用左侧不等式
❑√x1x2<x1−x2
lnx1−lnx2
，代入对
数均值表达式得
❑√x1x2<1
a 。
注：指数均值不等式类似
典例探究
【典型例题】已知函数f ( x)= a
x + ln x ,g( x)=ax−ln x−2.
(1)若a>0，当f ( x)与g( x)的极小值之和为0 时，求正实数a的值；
(2)若f (x1)= f (x2)=2(x1≠x2)，求证：1
x1
+ 1
x2
> 2
a.
举一反三
(2)若f (x)有两个零点x1
，x2
，且x1< x2
，求证：x1 x2
2<e−a．
【4-2】已知函数f ( x)=e
x
x −ln x + x−a.若f ( x)有两个零点x1, x2，证明：x1 x2<1.
【4-3】已知函数f ( x)= x ln x的图像与直线y =m交于不同的两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，
求证：x1 x2< 1
e
2 ．
题型精析・方法突破提能力
【突破提升训练・1】已知函数f (x)= ln x
2
x
，下列说法正确的是（ ）
A．f (x)= ln x
2
x
与 g(x)= 2ln x
x
的定义域不同
B．f (x)的单调递减区间为(e,+∞)
C．若f (x)=a有三个不同的解，则−2
e <a< 2
e
D．对任意两个不相等正实数x1, x2
，若f (x1)= f (x2)，则x1⋅x2>e
2
【突破提升训练・2】已知f ( x)= x ln x ,f (x1)= f (x2)且x1≠x2
，则（ ）
A．x1+ x2
2
> 1
e
B．x1+ x2
2
< 1
e
C．❑√x1 x2> 1
e
D．❑√x1 x2< 1
e
【突破提升训练・3】已知函数f ( x)=ae
2 x+(a−2)e
x−x
(1)令h( x)= f
' (x),h( x)≤(e
x+ 1
2)⋅x对∀x∈[−3
2 ,0)
恒成立，求a的最大值.
(2)若f ( x)有两个零点x1, x2，求a的范围，并证明：x1+ x2<2ln 1
a
【突破提升训练・4】已知函数f (x)=ln x−ax−2，a∈R，e是自然对数的底数.
(1)讨论函数y = f (x)的极值；
(2)当a= 1
e
时，若x1，x2（其中x1< x2）满足f (x1)= f (x2)，求证：x1+ x2>2e.
【突破提升训练・5】已知函数f (x)= ln x + a
x
.
(1)若该函数在[1,+ ∞)单调递增，求a的取值范围.
(2)当a=1时，若方程f (x)=m有两个实数根x1, x2，且x1< x2，证明：x1+ x2>2.
【突破提升训练・6】已知函数f (x)=loga x−x
a (a>1)．
(1)若f (x)只有一个零点，求a的值；
(2)若f (x)有两个零点x1, x2，证明：x1+ x2> 2a
lna
．
【突破提升训练・7】已知函数f ( x)= 1
2 a x
2−(2a+1)x +2ln x(a∈R).
(1)若f ( x)有唯一极值，求a的取值范围；
(2)当a≤0时，若f ( x1)= f ( x2)，x1≠x2，求证：x1 x2<4.
【突破提升训练・8】已知函数f ( x)= ln x−ax，a为常数，若函数f ( x)有两个零点x1, x2，
试证明：x1⋅x2>e
2.
【突破提升训练・9】已知函数g(x)= ln x−a x
2+(2−a) x（a∈R）．
(1)求g(x)的单调区间；
(2)若函数f (x)= g(x)+a x
2−(2+a) x，x1, x2(0< x1< x2)是函数f (x)的两个零点，证
明：f
′(
x1+ x2
2 )<0．
【突破提升训练・10】已知函数f (x)=2 x ln x + a
x
(a∈R)有两个零点x1, x2(x1< x2)．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：x1+ x2>1．
【突破提升训练・11】已知函数f ( x)= ln x + 1
2 a x
2−(a+1)x ,(a∈R).
(1)当a=1时，判断函数y = f ( x)的单调性；
(2)若关于x的方程f ( x)= 1
2 a x
2有两个不同实根x1, x2，求实数a的取值范围，并证明
x1⋅x2>e
2.
【突破提升训练・12】已知函数f (x)= ln x−ax（a 为常数）.
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数x1，x2满足f (x1)= f (x2)，求证：x1+ x2> 2
a
.
(3)若f (x)有两个零点x1，x2，证明：1
ln x1
+
1
ln x2
>2.
【突破提升训练・13】已知函数f (x)= xln x−a x
2+ x ,a∈R．
(1)若函数f (x)是减函数，求a的取值范围；
(2)若f (x)有两个零点x1, x2，且x2>2 x1，证明：x1 x2> 8
e
2 ．
【突破提升训练・14】已知函数f (x)=ax−ln x有两个零点x1, x2.
(1)求a的取值范围；
(2)求证：x1+ x2>2e（其中e是自然对数的底数）.
【突破提升训练・15】设a∈R，函数f (x)= ln x−ax.
(1)讨论方程f (x)=0的解的个数；
(2)若函数f (x)有两个相异零点x1, x2
，求证：x1 x2>e
2
【突破提升训练・16】已知函数f (x)=a(x +1)−x +3
e
x
，x∈R．
(1)若f (x)是R 上的减函数，求实数a 的取值范围；
(2)若f (x)有两个极值点x1, x2，其中x1< x2，求证：x2−x1> 2a
e
+2．
【突破提升训练・17】已知函数f (x)=ln x−a ❑√x +1,a∈R.
(1)若f (x)≤0，求a的取值范围；
(2)若关于x的方程f (x
2)=e
ax−e x
2有两个不同的正实根x1, x2
，证明：x1+ x2>2❑√e.
【突破提升训练・18】已知函数f ( x)= x + m
e
x ．
(1)讨论f ( x)的单调性；
(2)若x1≠x2
，且f (x1)= f (x2)=2，证明：0<m<e，且x1+ x2<2．
【突破提升训练・19】已知函数f (x)=ln x + m
x −3有两个零点.
(1)求m的取值范围；
(2)设a，b为f (x)的两个零点，证明：ab<me
2.
【突破提升训练・20】已知函数f (x)=−2ln x−a
x
2 +1.
(1)当a=1时，求f (x)在区间[
1
2 ,2)
上的最值；
(2)若f (x)有两个不同的零点x1, x2
，证明：1
x1
2 + 1
x2
2 > 2
a
.
【突破提升训练・21】已知函数f (x)=(x−2)(e
x−ax)(a∈R)．
(1)若a=2，讨论f (x)的单调性．
(2)已知关于x的方程f (x)=(x−3)e
x+2ax恰有2个不同的正实数根x1, x2
．
（i）求a的取值范围；
（ii）求证：x1+ x2>4．
【突破提升训练・22】已知函数f (x)=ae
x−x
2+3(a∈R).
(1)若方程f (x)=0有3 个零点，求实数a的取值范围；
(2)若φ(x)=−x
2+2 x + 4−f (x)有两个零点x1, x2(x1< x2)，求证：0<a< 2❑√e
e
，且
❑√
2 x2+1
2 x1+1 <e
x2−e
−x1
x2+ x1
.
【突破提升训练・23】已知函数f ( x)=axe
x(a≠0)，g( x)= x + ln x.
(1)讨论f ( x)的单调性；
(2)若函数F( x)= f ( x)−g( x)的图象在点(1, F(1))处的切线方程为
y =2(e−1)x−(e−1).
（i）求F( x)的最小值；
（ii）若关于x 的方程F( x)=t有两个根x1，x2( x1< x2)，证明：f ( x1)+2f ( x2)>3.
【突破提升训练・24】已知函数f (x)=2 x +a x
2+ xln x ,a∈R.
(1)当a=0时，求曲线y = f (x)在x =e处的切线方程；
(2)若f (x)有两个零点x1, x2，且x2>3 x1，证明：x1 x2> 9
e
4 .
