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第 18 讲 计数原理与概率（3 大考点+强化训练）
[考情分析] 1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为
主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.3.概率
重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用．
知识导图
考点分类讲解
考点一：排列与组合问题
解决排列、组合问题的一般过程：
(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．
规律方法 排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处
理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，
等价转化．
【例1】(2023·新高考全国Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选
修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
【变式1】（2024·福建漳州·模拟预测） （ ）
A．65 B．160 C．165 D．210
【变式2】（2024·浙江·模拟预测）现有一项需要用时两天的活动，要从5人中安排2人参加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在这两天都没有参加，则不同的安排方式有（ ）
A．20种 B．10种 C．8种 D．6种
【变式3】（2024·四川凉山·二模）为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临
之际，凉山州某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共5个题目，
每位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点二：二项式定理
1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路：
(1)利用通项公式将T 项写出并化简．
k＋1
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项公式即得所求．
2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．
规律方法 二项式(a＋b)n的通项公式T ＝Can－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二项式的展开式的第k＋
k＋1
1项，而不是第k项；其中C是二项式展开式的第k＋1项的二项式系数，而二项式的展开式的第k＋1项的
系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数．
【例2】（2024·贵州毕节·一模）二项式 的展开式中含 项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·辽宁大连·一模） （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·浙江温州·二模）在 展开式中， 的奇数次幂的项的系数和为（ ）
A． B．64 C． D．32
【变式3】（2022·湖南·模拟预测）下列不属于 的展开式的项的是（ ）
A． B． C． D．考点三：概率
1．古典概型的概率公式
P(A)＝.
2．条件概率公式
设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，
则P(B|A)＝.
3．全概率公式
n
一般地，若事件A ，A ，…，A 两两互斥，且它们的和∑ A=Ω，P(A)>0，i=1，2，3，…，n，则对于
1 2 n i i
i=1
n
Ω中的任意事件B，有P(B)= ∑ P(A )P(B|A ). 这个公式称为全概率公式.
i i
i=1
规律方法 求概率的方法与技巧
(1)古典概型用古典概型概率公式求解．
(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解．
(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解．
【例3】(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概
率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两
种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送 1次；三次传输是指每个信号重复发送
3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信
号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1)．( )
A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3
D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【变式1】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用
表示第一次抛掷骰子的点数，用 表示第二次抛掷骰子的点数，用 表示一次试验的结果．记“
”为事件 ，“ ”为事件 ，“ ”为事件 ，则（ ）
A． 与 相互独立 B． 与 对立
C． 与 相互独立 D． 与 相互独立
【变式2】（2024·安徽黄山·一模）2024年是安徽省实施“ ”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那
么化学和地理至少有一门被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·陕西西安·二模）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的运动服中
选择1种，则他们选择不同颜色运动服的概率为（ ）
A． B． C． D．
强化训练
一、单选题
1．（2024·山东青岛·一模）在 的展开式中， 项的系数为（ ）
A．1 B．10 C．40 D．80
2．（2023·陕西·模拟预测）2024年1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月每月都是31天，2月是29
天，其余月份是30天，从2024年2月、4月、6月、8月、10月、12月中任取两个月份，则所取的两个月
份的天数之和不小于60的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西·模拟预测）从集合 中任取两个不同的数，和为2的倍数的概率为( ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西铜川·二模）从 这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·新疆·一模）在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、
新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉
后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．72种 B．36 种 C．12种 D．6种
6．（2024·贵州毕节·二模）某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影
留念，则教师不站在两端，且甲、乙相邻的概率为（ ）A． B． C． D．
7．（2024·北京石景山·一模）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个
音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
8．（22-23高三·河北·阶段练习）从 这100个自然数中随机抽取三个不同的数,这三个数成等差
数列的取法数为 ,随机抽取四个不同的数,这四个数成等差数列的取法数为 ,则 的后两位数字为
（ ）
A．89 B．51 C．49 D．13
二、多选题
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若 ， 为正整数且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·吉林延边·一模）已知当 时， ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·河南郑州·模拟预测）近几年随着AI技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚拟主
播逐步走向商用，如图为2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数（较上一年增加的数量）条形图，
根据该图，下列说法正确的是（ ）A．2014～2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加
B．2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410
C．2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915
D．从图中9年企业注册增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数大于110的概率
三、填空题
1．（2024·山东潍坊·一模）第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派 人参加连续 天的志愿服务活动，其
中甲连续参加 天，其他人各参加 天，则不同的安排方法有 种．（结果用数值表示）
2．（2024·宁夏银川·一模）某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的校办
公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，6名学生中甲、乙两人关系最好，则恰好甲、乙两人（仅
有两人）打扫同一个办公室的概率为 .
3．（2024·福建泉州·模拟预测） 展开式中常数项为 ，则 ．
四、解答题
1．（2023高三·全国·专题练习）已知 ，解关于 的不等式：
.
2．（2023高三·全国·专题练习）求证： ，（ ）.3．（2024·浙江·模拟预测）如图，小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏她们用四种
字母做成10个棋子，其中A棋1个，B棋2个，C棋3个，D棋4个，
“字母棋”的游戏规则为：
①游戏时两人各摸一个棋子进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；
②A棋胜B棋，C棋；B棋胜C棋，D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；
③相同棋子不分胜负，
(1)若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少？
(2)已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少？
(3)已知小玲先摸一个棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概
率最大？
4．（2024高三·全国·专题练习）求正整数 ，使得 成立．
5．（2024高三·全国·专题练习）有 个元素，将其中相同的元素归成一类，共有k类，这k类元素中每类
分别中 个， ，将这 个元素全部取出的排列叫做 个不尽相异元素的全排列．
(1)求上述 个不尽相异的元素的全排列数．
(2)由结论（1），回答“1个球队与10个球队各比赛1次，共有10场比赛，问五胜三负二平的可能情形有
多少种？”
