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第 2 讲 基本初等函数、函数与方程（3 大考点+强化训练）
【知识导图】
【考点分析】
考点一 基本初等函数的图象与性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它
a
们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则实数 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到 ，得到 ，求
出 ，根据单调性得到 ，从而得到答案.
【详解】令 ，其在R上单调递减，又 ，
由零点存在性定理得 ，
则 在 上单调递减，
画出 与 的函数图象，
可以得到 ，
又 在R上单调递减，画出 与 的函数图象，
可以看出 ，
因为 ，故 ，故 ，
因为 ，故 ，由 得， ．
综上， ．
故选：D．
【点睛】指数和对数比较大小的方法有：（1）画出函数图象，数形结合得到大小关系；
（2）由函数单调性，可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，
从而间接地得出要比较的数的大小关系；
（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，
从而确定所比两值的大小关系．
考点二 函数的零点
判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用
两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
1．单选题（2024·全国·模拟预测）设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则
的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】作出当 时函数 与 的图象，数形结合确定此时函数的零点，再根据奇函数
的性质确定 以及 时的零点，即可得答案.
【详解】依题意，作出函数 与 的图象，如图，可知两个函数的图象有两个不同交点，即此时 有两个零点；
又函数 是定义域为 的奇函数，故当 时， 也有两个零点，
函数 是定义域为 的奇函数，所以 ，即 也是函数 的1个零点，
综上所述， 共有5个零点．
故选：D．
2．（单选题）如图，偶函数 的图象形如字母M（图1），奇函数 的图象形如字母N（图2），若
方程 ， 的实根个数分别为a，b，则 （ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
【答案】A
【分析】结合函数图象把方程根的个数转化为函数图象的交点个数，可分别求得a，b进而可得答案.
【详解】解：由图象知， 有3个根，0， ，其中 ，
有3个根，0， ，其中 ，
由 ，得 或 ，
由图象可知 所对每一个值都能有3个根，因而 ；由 ，知 或 ，
由图象可以看出， 有3个根，
有4个根，
有2个根，加在一起也是9个，
即 ， ，
故选：A.
3．多选题（2024·全国·模拟预测）设函数 ，函数 ．则下列说法
正确的是（ ）
A．当 时，函数 有3个零点
B．当 时，函数 只有1个零点
C．当 时，函数 有5个零点
D．存在实数 ，使得函数 没有零点
【答案】ABC
【分析】当 时，得 或 ，当 时， ，问题转为 ，
的交点个数，结合图象可得答案.
【详解】函数 的零点个数即方程 异根的个数，
当 时， ，则 ， ，
由 ，有 ，所以 或 ，
当 时， ，则 ， ，由 ，有 ，所以 ，
所以问题转为 ， 的交点个数，
作出函数图象可知：
当 ，即 时，有3个交点，即函数 有4个零点，
当 ，即 时，有4个交点，函数 有5个零点，
当 时，只有 ，函数 只有1个零点，
当 或 即 或 时，有2个交点，函数 有3个零点，
无论实数 取何值，使得函数 总有零点．
故选：ABC．
4．多选题（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知函数 ，下列结论正
确的是（ ）
A．若函数 无极值点，则 没有零点
B．若函数 无零点，则 没有极值点
C．若函数 恰有一个零点，则 可能恰有一个极值点
D．若函数 有两个零点，则 一定有两个极值点
【答案】AD
【分析】画出可能图象，结合图象判断选项即可.【详解】
，设
若函数 无极值点则，则 ，
此时 ，即 ，所以 ，没有零点，如图①；
若函数 无零点，则有 ，此时 ，
当 时， 先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②；
若函数 恰有一个零点，则 ，
此时 ， 先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图③；
若函数 有两个零点，则 ，此时 ， 先正再负再正，
函数先增再减再增，有两个极值点，如图④；
所以AD正确.
故选：AD.
5.填空题 （2024上·江苏淮安期末）函数 的零点所在的区间为 ，则正整数 的值
为 ．
【答案】
【分析】根据零点存在性定理和 的单调性求解即可.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
且 ， ，所以 的零点所在的区间为 ，
所以正整数 的值为 ，
故答案为：
考向1 函数零点个数的判断
一、单选题
1．（2023·陕西安康·校联考模拟预测）已知函数 ，则 在区间
内的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求出函数 时可得 ，然后根据三角函数的性质求出
，即可求解.
【详解】由题意知求 在区间 内的零点，
所以令 ，得 ，
又因为 ，
所以只能是 ，得 ，
在区间 内，当 时，有 ，
所以共有 个零点，故D正确.
故选：D.
二、多选题
2．（2023上·山东泰安校考阶段练习）给出下列结论，其中不正确的是（ ）A．函数 的最大值为 .
B．已知函数 且 在 上单调递减，则实数 的取值范围是
C．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象关于直线 对称
D．已知定义在 上的奇函数 在 内有1011个零点，则函数 的零点个数为2023
【答案】AB
【分析】选项A，换元法求值域；选项B，由复合函数单调性可知 ；选项C，两函数互为反函数，则图
象关于直线 对称；选项D，由奇函数定义可得 ，再由对称性可得在 内的零点个数.
【详解】A选项，函数 中，
若令 ，即有 ，故A错误；
B选项，函数 且 在 上单调递减，
由 单调递减，由复合函数单调性知 ，故B错误；
选项，函数 与 互为反函数，
所以图象关于直线 对称，故C正确；
选项，定义在 上的奇函数 在 内有1011个零点，
由函数的对称性可知 在 内有1011个零点，
且 ，所以 是函数 的 个零点，
即函数 的零点个数为2023，故D正确.
故选：AB.3．（2023上·辽宁大连西南大学附中校考期末）函数 的零点个数可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】AB
【分析】根据分段函数的解析式，结合零点的定义，建立方程，利用方程与函数的关系，作图看交点个数，
可得答案.
【详解】由函数 ，
当 时，令 ，
则 与 的交点个数即为函数 的零点个数，如图所示：
由图可知，有1个交点，∴当 时， 只有1个零点；
当 时，令 ，
则 与直线 的交点个数即为函数 的零点个数，
显然当 时，函数 与直线 的图象无交点，即函数 的零点个数为0个，
当 时，函数 与直线 的图象有1个交点，
综上所述，当 时，函数 有1个零点；当 时，函数 有2个零点；
故选：AB．
三、填空题
4．（2024上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）若函数 满足
，且 时， ，已知函数 ，则函数
在区间 内的零点的个数为
【答案】
【分析】由题意可知 是周期为2的周期函数，作出函数图象，数形结合求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，即 是周期为2的周期函数，
又因为当 时， ，所以作出 和 的图象如下图所示，
由图象可知 与 在区间 内共有 个交点，
所以函数 在区间 内共有 个零点，
故答案为：
考向2 求参数的值或范围
一、单选题
1．（2023上·上海曹杨二中校考期末）已知函数 满足 ，且当 时，.若在区间 上关于 的方程 有且仅有一解，则实数 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数 在 上的解析式，作出函数 与 的图象，数形结合即可求解.
【详解】依题得： ，
当 时， ，
则 ，
则函数 在区间 的解析式为 ，
在区间 上关于 的方程 有且仅有一解，
即函数 与函数 在区间 内有一个公共点，
在同一平面直角坐标系作出 与 的图象，
当直线 经过点 时，代入有 ， ，由图可知 .
故选：D
二、多选题
2．（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知函数 ，若函数
的图象与 的图象有两个不同的交点，则实数 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由函数 的图象与 的图象有两个不同的交点，转化为方程
有两个不同的根，构造函数 ，分类讨论求出 的范围，判断
选项.
【详解】函数 的图象与 的图象有两个不同的交点，则方程
有两个不同的根，
即 有两个不同的根，
构造函数 ，
则 .
①若 ，当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，取实数 满足 且 ，则有 ，所
以 有两个零点.②若 ，当 时， 在 上单调递增，
当 时， ，故 ，故 不存在两个零点，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
又当 时，故 ，故 不存在两个零点，综上得 ，
故选：CD
【点睛】关键点点睛：当 时， 在 时恒小于0，一定不存在零点，
可减少讨论情况.
三、解答题
3．（2023上·吉林·高一吉林一中校考期末）定义在 上的奇函数 ，已知当 时，
．
(1)求 的值；
(2)若 使不等式 成立，求实数m的取值范围；
(3)设 ，若 有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）由该函数在原点有定义，借助奇函数 ，即可求解;
（2）代入整理 ，分离参数转化为能成立问题，借助该函数的单调性，找到最值，求出实
数m的取值范围即可;（3）利用函数与方程的知识，借助换元法，通过图象找到满足三个不同的交点的情况，进而求得实数k的
取值范围.
【详解】（1）因为 是定义在 上的奇函数， 时， ，
所以 ，解得 ，
所以 时， ，
经检验，满足题意.
（2）因为 时， ，
所以 可化为 ，整理得 ，
令 ， ，易知在 单调递减， ．
（3）原方程化为 ，
令 ，则 有两个实数解,
，
作出函数 的图象，如图:
原方程有三个不同的实数解，则 ，
则 ，k的取值范围是 ．
规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法考点三 函数模型及其应用
1．解答题（2024上·上海松江期末）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多
元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天
销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格 （单位：元/件）
关于第 天 的函数关系近似满足 （ 为常数，且 ），日销售量 （单
位：件）关于第 天的部分数据如下表所示：
10 15 20 25 30
90 95 100 95 90
已知第10天的日销售收入为459元.
(1)求 的值；
(2)给出以下四种函数模型：① ;② ；③ ；④ . 请
你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量 关于第 天的变化关系，
并求出该函数的解析式：
(3)设该工艺品的日销售收入为函数 （单位：元），求该函数的最小值.
【答案】(1)1
(2)选择模型②，
(3)441
【分析】（1）根据题意直接代入求值即可；（2）根据题中几个函数模型的相关概念直接选择合适的模型，通过代入求值即可得到函数表达式；
（3）通过讨论 和 的最小值并比较即可.
【详解】（1）因为第10天的日销售收入为459元，
所以 ，解得
（2）由表可知， 随 的增加先增加后减小，
模型①③④均为单调函数，所以②模型符合题意，
所以代入 ，解得 ，
所以
（3）由（1）知， ，
由（2）知， ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
当 时， 在 单调递减，
所以 ，因为 ，所以函数 的最小值为441
2．解答题（2024上·广东揭阳·高一统考期末）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用1个单位量的水清
洗一次可洗掉蔬菜上残留农药量的 ，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用
x个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为 ．
(1)试确定 的值，并解释其实际意义；
(2)设 ．
方案1：用3个单位量的水，清洗一次；
方案2：每次用1.5个单位量的水，清洗两次；
方案3：每次用1个单位量的水，清洗三次．
试问用哪个方案清洗后蔬菜上残留的农药量最少，说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2)方案2，理由见解析；
【分析】（1）根据题意直接可得 ，表示未冲洗时残留的农药量保持不变；
（2）分别计算出每种方案清洗后的残留量，比较出大小即可得出结论.
【详解】（1）由题意可得 ，
实际意义：表示未用清水冲洗蔬菜时蔬菜上残留的农药量保持原样；
（2）设清洗前残留的农药量为 ，用第 套方案清洗后残留的农药量为 ，
则 ；
；
，
易知 ，所以 ，即用方案2清洗后蔬菜上残留的农药量最少；
解函数应用题的步骤
(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模
型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．
易错提醒 构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型．
(2)构建的函数模型有误．
(3)忽视函数模型中变量的实际意义．
【强化训练】
一、单选题
1．已知函数 ，若不相等的正实数 满足 ，且 恰为函数
的两个零点，则k=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断 为R上的奇函数和减函数，由 ，可得 ；
再由 得到 ，解出ab，即可求出k.
【详解】由 ，可得
所以 为奇函数.
又 为R上的减函数，又正实数 满足 ，
所以 .
因为 恰为函数 的两个零点，
所以 ， ，
则 即 (舍去)，或 ，
故 ，可得 或 ，故 .
故选：D.
【点睛】（1）灵活应用函数性质解抽象函数型方程（不等式）；
（2）求函数零点（方程）类问题分为两大类：①零点直接解出来：方程可解；②方程不可解：二分法估
计近似值.
2．已知函数 ，若 有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在同一坐标系中作出 的图象，根据 有4个零点求解.
【详解】解：令 ，得 ，
在同一坐标系中作出 的图象，如图所示：
由图象知：若 有4个零点，
则实数a的取值范围是 ，
故选：A
3．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数 ，则函数 的零点个数
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据函数解析式画出图像，利用换元法令 ，可知 ；结合函数图像及解析式可求得
的值，再结合图像即可确定方程解的个数，即为函数零点的个数.
【详解】函数 ，
对 ，令 ，令 ，
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 趋向负无穷时， ， 时， ，
故结合对数函数图象，可画出函数 图像如下图所示：
函数 的零点，即 ，令 ，代入可得 ，
由图像可知 ，即 ，
结合函数图像可知， 有1个解，
综合可知，函数 的零点有1个，
故选：A.
4．若方程 有四个不同的实数根 ，且 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数 的图象，由图求出 的范围，结合韦达定理分别求出，构造函数，利用导数求出此函数的值域即可.
【详解】解：由方程 有四个不同的实数根 ，
即为函数 图象交点的横坐标，
如图，作出函数 的图象，
则 ，
是方程 的两个根， 是方程 的两个根，
则 ，
则 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
又 ，
所以 ，
即 的取值范围是 .
故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了利用导数求函数的单调区间及最值问题，考查了转化思想及
数形结合思想，有一定的难度.
5．已知 ，函数 ， ，若函数 有6个零点，
则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，由题意画出函数 的图象，利用 与 的图象最多有3个零点，可知
要使函数 有6个零点，则 中每一个 的值对应2个 的值，则 的值不能取
最小值，求出 与 交点横坐标的最小值，由其绝对值大于 ，结合 求得实数 的
取值范围．
【详解】函数 的图象如图所示，令 ， 与 的图象最多有3个零点，
当有3个零点，则 ，从左到右交点的横坐标依次 ，
由于函数 有6个零点， ，
则每一个 的值对应2个 的值，则 的值不能取最小值，
函数 对称轴 ，则 的最小值为 ，
由图可知， ，则 ，
由于 是交点横坐标中最小的，满足 ①，
又 ②，
联立①②得 ．
实数 的取值范围是 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查零点的存在性及根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，
属有一定难度题目．
6．若 ，当 时， ，若在区间 ，内 有两个零点，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】求出区间 内 的解析式，将问题转化为 有两个解，作出 的图像，利
用数形结合的思想即可求解.
【详解】 ，
，
当 时， ，
当 时，
，
若在区间 ，内 有两个零点，
有两个解，
即 有两个解，
令 ，
作出 的大致图像：，
，与 有 个交点时， ，
有两个零点，
则实数 的取值范围是 .
故选：D
【点睛】本题考查了求分段函数解析式、由函数的零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，
属于中档题.
二、多选题
7．（2023上·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）已知函数 ，其中 ，则（ ）
A．不等式 对 恒成立
B．若关于 的方程 有且只有两个实根，则 的取值范围为
C．方程 共有4个实根
D．若关于 的不等式 恰有1个正整数解，则 的取值范围为
【答案】ACD
【分析】对函数 求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A选项；作出曲线 与直线 图像，根据图像可判断B选项；令 ，且 ， 有两解分别为: ， ，
或 ，数形结合可判断C选项；由直线 过原点 ，再结合图像分析即可判断D选
项.
【详解】对于选项A， ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
在 出取得极小值， ，
在 处取得极大值， ，
而 时，恒有 成立，
的最小值是 ，即 ，对 恒成立，故A正确；
对于B选项，方程 有且只有两个实根，
即曲线 与直线 有且只有两个交点，
由A选项分析，曲线 与直线 图像如下，
由图知，当 或 时，曲线 与直线 有且只有两个交点，
故B错误；对于C选项，由 得： ，解得 ，
令 ，且 ，由图像知， 有两解分别为:
， ，
所以 或 ，而 ，则 有两解，
，也有两解，
综上，方程 共有4个根，C正确；
对于D选项，直线 过原点 ，且 ， ， ，
记 ， ， ，
易判断， ，
不等式 恰有1个正整数解，即曲线 在 上对应的 值恰有1个正整数，由图像可得，
，即 ，故D正确.
故选：ACD.
8．（2023上·浙江温州乐清市知临中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．若函数 定义域为 ，则函数 的定义域为 .
B．若函数 值域为 ，则函数 的值域为 .
C．用二分法求方程 在 内近似解的过程中，设 ，计算知 ，
， ，则下次应计算的函数值为 .
D．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 时，函数解析式为 .
【答案】AC
【分析】利用抽象函数的定义域与值域判断AB；利用二分法的计算方法判断C；利用函数奇偶性求解析式
判断D，从而得解.
【详解】对于A，因为 定义域为 ，
所以对于 ，有 ，解得 ，
所以 的定义域为 ，故A正确；
对于B，因为函数 的定义域为 ，值域为 ，
所以 的定义域也为 ，故其值域也为 ，故B错误；
对于C，因为 ， ， ，则 ，
故下次计算应是 ，即 ，故C正确；
对于D，因为当 时， ，
所以当 时， ，所以 ，
又 是定义在 上的奇函数，
所以 ，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
9．若 是方程 的解， 是方程 的解，则 ．
【答案】【分析】由题意可得， 是函数 的图象与函数 的图象交点 的横坐标，设 . 是函数
的图象与函数 的图象交点 的横坐标，设 .又函数 的图象关于直线 对称，
函数 与 互为反函数，其图象关于直线 对称，故点 与点 关于直线
对称，即得 的值.
【详解】 是方程 的解， 是方程 的解，
是方程 的解， 是方程 的解，
即 是函数 的图象与函数 的图象交点 的横坐标，设 .
是函数 的图象与函数 的图象交点 的横坐标，设 .
设点 是函数 图象上任一点，它关于直线 的对称点 也在函数 的图象上，
函数 的图象关于直线 对称.
又 与 互为反函数，其图象关于直线 对称，
点 与点 关于直线 对称，
，
.故答案为： .
【点睛】本题考查函数与方程，属于中档题.
10．函数 的零点的个数为 .
【答案】
【分析】函数 的零点的个数即为 的交点的个数，在同一直角
坐标系中画出两个函数图像，数形结合即得解.
【详解】由题意，
即函数 的零点的个数即为 的交点的个数，在同一直角坐标系
中画出两个函数图像
数形结合可知，两个函数有3个交点
故函数 的零点的个数是3
故答案为：3
11．对于函数 的叙述，正确的有 （写出序号即可）．
①若 ，则 ；②若 有一个零点，则 ；③ 在 上为减函数．
【答案】①②
【分析】利用对数函数的性质判断①；将函数的零点转化为函数图象的交点，进而判断②；取 ，得出
，进而判断③.
【详解】对①， ，当 时，由于 ，则 ，则①正确；
对②，由①可知，当 时， ，此时函数 无零点
当 时，令 ，得 ，即
函数 的图象，如下图所示
若函数 有一个零点，则函数 与 的图象有一个交点
由图象可知， ，则②正确；
对③，当 时， ， ，则
即当 时，函数 在 上不是减函数，则③错误；
故答案为：①②
【点睛】本题主要考查了求分段函数的值域以及求函数零点的个数，属于中档题.
12．某校甲､乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食
堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份
（填“甲”或“乙”）食堂的营业额较高.
【答案】甲
【分析】甲食堂营业额每月增加 ，乙食堂营业额每月增加百分率为x，则 ，计算
，得到答案.
【详解】设甲､乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加 ，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，
由题意可得， ，
则5月份甲食堂的营业额 ，
乙食堂的营业额为 .
因为 ，所以 ，
故本年5月份甲食堂的营业额较高.
故答案为：甲.
四、解答题
13．设函数 ，且 ．
(1)作出函数 的大致图像，并指出它的单调区间；
(2)当实数a变化时，讨论关于x的方程 的解的个数．
【答案】(1)函数 的图像见解析，递减区间为 ， ，递增区间是 ， ；
(2)关于x的方程 的解的个数见解析.
【分析】(1)根据给定条件结合二次函数 ，借助图象变换作出 的大致图像，再利用图象写
出函数的单调区间.
(2)把方程 的解转化为直线 与函数 图像的交点即可作答.
【详解】（1）函数 的图象可视为函数 的图象向下平移1个单位而得，而函数 的
图象是
二次函数 的图象在x轴上方的不动，把x轴下方图象沿x轴向上翻折而得，
的大致图像，如图：观察函数 的图象得：函数 的递减区间为 ， ，递增区间是 ， .
（2）依题意，关于x的方程 的解就是直线 与函数 的图像交点的横坐标，如图，
当 时，直线 与函数 的图像无公共点，即方程 的解的个数为0，
当 或 时，直线 与函数 的图像有2个公共点，即方程 的解的个数为2，
当 时，直线 与函数 的图像有4个公共点，即方程 的解的个数为4，
当 时，直线 与函数 的图像有3个公共点，即方程 的解的个数为3，
综上得：当 时，方程 的解的个数为0，当 或 时，方程 的解的个数为2，
当 时，方程 的解的个数为3，当 时，方程 的解的个数为4.
14．2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，
进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的
年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环 万只并
能全部销售完，平均每万只的销售投入为 万元，且 ．当该公司一年内共
生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．(1)求出 的值并写出年利润 （万元）关于年产量 （万部）的函数解析式 ；
(2)当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1) ，
(2)当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．
【分析】（1）由题意可得 ，由 可求出 ，然后可得 的解析式；
（2）利用二次函数的知识求出当 时 的最大值，利用基本不等式求出当 时 的最
大值，然后作比较可得答案.
【详解】（1）由题意可得
当 时 ，所以
解得
所以
（2）当 时， ，其对称轴为
所以当 时 取得最大值 万元
当 时， 万元
当且仅当 即 时等号成立
因为
所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．
15．已知函数 在 上的最大值为 .（1）求 的解析式；
（2）讨论 的零点的个数.
【答案】（1） （2） 有且仅有 个零点
【解析】（1）由 ，求导得到 ，根据函数 在 上的最大值为 ，
利用唯一的极值点为最值点求解.
（2）由（1）得到 ，求导 ，设 ，分 ，
， ， 四种情况用导数法结合零点存在定理求解.
【详解】（1）由 ，得 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
∴ 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
故 在 处有极大值 ，也是 的最大值，
所以 ，∴ ，
故 .
（2）∵ ，
∴ ，
设 ，
（i）当 时，∴ ，所以 单调递减.
又 ， ，从而 在 上存在唯一零点.也即在 上存在唯一零点.
（ii）当 时， ，所以 在 上单调递减，
因为 ， ，
所以存在 ， ，且在 上 ，在 上 ，
所以 为 在 上的最大值，
又因为 ， ，
所以 在 上恒大于零，无零点.
（iii）当 时， ，所以 在 上单调递减.
，所以 在 上单调递增.
又 ， ，
所以 在 上存在唯一零点.
（iiii）当 时， ，
设 ，
∴ ，
所以 在 上单调递减，所以 ，即 .
∴ 在 上单调递减，因为 ，所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以 在 无零点，
综上， 有且仅有 个零点.
【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，导数与函数的零点以及零点存在定理的应用，还考查了分类讨
论和运算求解的能力，属于难题.
16．已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】(1) ， ， 单调递减；当 ， ， 单调递增
(2)
【分析】（1） ，分 ， 两种情况讨论；
（2）根据（1）的情况，分 ， 两种情况讨论，当 时，不符题意，当 时，利用零点存在
定理讨论2个零点存在的情况即可
【详解】（1）由已知得， ， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时，令 ， ，因为
所以，当 ， ， 单调递减；
当 ， ， 单调递增
（2）由（1）得， 时， ， 单调递增， 不可能有两个零点，不符合题意；当 时， ，为使 有2个零点，必有 ，
即 ，又 ；
令 ，则 ，明显可见， 时， ， 在 单调递增，故
，即 ，
根据零点存在定理，存在 ，使得 ，
又 ，根据零点存在定理，存在 ，使得 ，综上，
时， 有2个零点
【点睛】关键点睛：解题的难点在于根据零点存在定理，满足题意的情况下，必有 ，
得到 的范围，进而讨论在此范围下，是否满足题中要求的 有2个零点，属于难题
