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第 14 讲 直线与圆（3 大考点+强化训练）
[考情分析] 1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式
出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．
知识导图
考点分类讲解
考点一:直线的方程
1．已知直线 l ：Ax＋By＋C ＝0，直线 l ：Ax＋By＋C ＝0，则 l∥l⇔AB －AB ＝0，且 AC －
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
AC ≠0(或BC －BC ≠0)，l⊥l⇔AA＋BB＝0.
2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
2．点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝.
0 0
3．两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝.
1 1 2 2
易错提醒 解决直线方程问题的三个注意点
(1)利用AB－AB＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
1 2 2 1
(2)要注意直线方程每种形式的局限性．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
【例1】（23-24高三上·山东青岛·期末）“ ”是“直线 与 平
行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1】（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线 与直线 垂直，则
的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线 与直线
相交于点 ，则 到直线 的距离的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023高三·全国·专题练习）过点 且与直线 平行的直线方程为
.
考点二:圆的方程
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
规律方法 解决圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
【例4】（2024·江苏·一模）莱莫恩 定理指出：过 的三个顶点 作它的外接圆的切线，
分别和 所在直线交于点 ，则 三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的
线.在平面直角坐标系 中，若三角形的三个顶点坐标分别为 ，则该三
角形的 线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·广东·一模）过 ， ， 三点的圆与 轴交于 ， 两点，则
（ ）
A．3 B．4 C．8 D．6考点三:直线、圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．
其判断方法为：
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，
直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．
考向1 直线与圆的位置关系
规律方法 直线与圆相切问题的解题策略
当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的
等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的
距离，再结合半径利用勾股定理计算．
【例3】（2024·云南昆明·模拟预测）已知 是圆 的切线，点 为切点，若 ，则
点 的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）“圆心到直线的距离小于圆的半径”是“直线与圆相交”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2024·广东佛山·模拟预测）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
（ ）
A．1 B． C． D． E．均不是
【变式3】（2024·福建漳州·一模）过点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为A， ，若
直线 与圆 ： 相切，则 ．
考向2 圆与圆的位置关系【例3】（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知圆 ，圆心为 的圆分别
与圆 相切.圆 的公切线（倾斜角为钝角）交圆 于 两点，则线段 的长度为（ ）
A． B． C．3 D．6
【变式1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆 的圆心为 ，且经过圆 ：
与圆 ： 的交点．则圆 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·广西来宾·一模）若曲线 与 的图象有3个交点，则
.
【变式3】（2023·河北衡水·三模）若圆 和 有且仅
有一条公切线，则 ；此公切线的方程为
【变式4】（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆 的圆心到直线 距离是
，则圆M与圆 的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内含 D．内切
【变式5】（2024·辽宁·二模）已知圆 与圆 关于直线 对称，则直线 的方
程为（ ）
A． B．
C． D．
强化训练一、单选题
1．（23-24高三上·河南焦作·期末）若圆 与 轴相切，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．（2024·四川·模拟预测）已知直线 经过点 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．
3．（2024·四川南充·二模）已知圆 ，直线 与圆C（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
4．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）已知点A为曲线 上的动点，B为圆
上的动点，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C． D．
5．（2024·广东·一模）已知直线 与直线 相交于点
M，若恰有3个不同的点M到直线 的距离为1，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线 交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置
于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线 上，若点N在第二象限内，则 的值为
（ ）A． B． C． D．
7．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知 为圆 上动点，直线 和直线
（ ， ）的交点为 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·浙江温州·模拟预测）设 ， ，已知函数 ， 有且只有一
个零点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知直线 ，圆 ，且圆 过点 ，
直线 与圆 交于 两点，下列结论中正确的是（ ）
A．圆 的半径为2
B．直线 过定点
C． 的最小值是
D． 的最大值是0
2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）直线 ： ，圆 ： ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 经过定点且与圆 恒有两个公共点
B．圆心 到直线 的最大距离是2
C．存在一个 值，使直线 经过圆心
D．不存在 使得圆 与圆 关于直线 对称
3．（23-24高三上·福建·阶段练习）已知直线l： 与圆C： ，点
P在圆C上，则（ ）
A．直线l过定点
B．圆C的半径是6
C．直线l与圆C一定相交
D．点P到直线l的距离的最大值是
三、填空题
1．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知函数 在 ， 处分别取得极大值和
极小值，记点 ， ， 的图象与 轴正半轴的交点为 .若 的外接圆的圆心
在以 为直径的圆上，则 .
2．（2024·河南郑州·模拟预测）平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三
角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍．若点A，B，C都在圆E上，
直线BC方程为 ，且 ， ABC的垂心 在 ABC内，点E在线段AG上，则圆
△ △
E的标准方程 .
3．（2024·陕西·模拟预测）若直线 与曲线 有公共点，则实
数 的范围是 .
四、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）设抛物线 ，点 ， ，过点A的直线l与C交于
M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明： ．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知点A为圆 上任意一点，点 的坐标为
，线段 的垂直平分线与直线 交于点 .求点 的轨迹 的方程.
3．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知圆 ，直线 ，过 的直
线 与圆 相交于 两点，
(1)当直线 与直线 垂直时，求证：直线 过圆心 .
(2)当 时，求直线 的方程.
4．（2024·甘肃兰州·一模）已知圆 过点 ， 和 ，且圆 与 轴交于点 ，点 是
抛物线 的焦点.
(1)求圆 和抛物线 的方程；
(2)过点 作直线 与抛物线交于不同的两点 ， ，过点 ， 分别做抛物线 的切线，两条切线交于点
，试判断直线 与圆 的另一个交点 是否为定点，如果是，求出 点的坐标；如果不是，说明理由．5．（23-24高三上·天津·期末）设 ， 两点的坐标分别为 ， .直线 ， 相交于点 ，且
它们的斜率之积是 ，记点 的轨迹为 .
(1)求 的方程
(2)设直线 与 交于 ， 两点，若 的外接圆在 处的切线与 交于另一点 ，求 的面积.
