文档文本内容
第 5 讲 导数的综合应用
[考情分析]
1.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交
汇命题是高考的热点和难点.
2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大．
【知识导图】
【考点分析】
考点一：导数与不等式的证明
规律方法 利用导数证明不等式问题的方法
(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造
辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论．
(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数．
【母题．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．[子题1]（2024·安徽淮北·统考一模）已知函数 ， ，（ ）.
(1)求函数 的最小值；
(2)若 有两个不同极值点，分别记为 ， ，且 .
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）若不等式 恒成立（ 为自然对数的底数），求正数 的取值范围.
[子题2]（2024·陕西榆林·统考一模）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程
为 .
(1)求 ；
(2)证明： .【强化训练】
1．（2024上·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末）已知函数 .
(1)若 在 上单调递减，求 的取值范围；
(2)若 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，若方程 两个不同的实数根分别为 ， ，求证： .
2．（2024·陕西榆林·统考一模）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
.
(1)求 ；
(2)证明： .3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 有两个零点 ， （ ），求证：
．
考点二：恒成立问题与能成立问题
规律方法 (1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略
①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．
②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x) 或a<f(x) 的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，
max min
即得参数的范围．
(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．
[母题] (2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－，x∈.
(1)当a＝8时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)<sin 2x，求a的取值范围．子题1]（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程
(2)若 对任意的 恒成立，求满足条件的实数 的最小整数值.
[子题2]（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，不等式 在 上存在实数解，求实数 的取值范围．
【强化训练】
1．（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）已知函数 ．(1)当 时，求 的图象在点 处的切线方程；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若不等式 仅有1个整数解，则
实数 的取值范围为 .
3．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 恒成立，求a的取值集合；
(2)证明： ．
4．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．5．（2024·陕西·校联考一模）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)求证：当 时，对 ，不等式 恒成立．
考点三：零点问题
规律方法 (1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤
①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题．
②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质．
③结合图象求解．
(2)已知零点求参数的取值范围
①结合图象与单调性，分析函数的极值点．
②依据零点确定极值的范围．
③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论．
[母题]（2023·全国·统考高考真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.[子题1] 单选题（2022·全国·模拟预测）已知函数 恰有2个不同的零点，则实数a的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
[子题2]（2024上·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知函数 ，其导函数为 ．
(1)求 单调性；
(2)求 零点个数．
【强化训练】
1．（2024下·全国·高二专题练习）已知函数 ， .
(1)若函数 在 上单调递增，求 的最小值；
(2)若函数 的图象与 有且只有一个交点，求 的取值范围．2．（2024下·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）对于函数 ，若存在 ，使得
，则称 为函数 的一阶不动点； 若存在 ，使得 ，则称 为函数 的
二阶不动点； 依此类推，可以定义函数 的 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也
称为稳定点.
(1)已知 ，求 的不动点；
(2)已知函数 在定义域内单调递增，求证： “ 为函数 的不动点”是“ 为函数 的稳定
点”的充分必要条件；
(3)已知 ，讨论函数 的稳定点个数.
3．（2024下·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，分析 的单调性；
(2)若 ，证明： 在 ， 内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.4．（2024上·河北石家庄·高三石家庄市第二十四中学校联考期末）已知函数 .
(1) 时，求函数 的值域;
(2)若 在 上有两个实数根，求实数 的取值范围.
5．（2024下·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若函数 恰有两个零点，求实数 的取值范围．
