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第 2 讲 基本初等函数、函数与方程（3 大考点+强化训练）
【知识导图】
【考点分析】
考点一 基本初等函数的图象与性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logx(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它
a
们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则实数 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
考点二 函数的零点
判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用
两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
1．单选题（2024·全国·模拟预测）设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（单选题）如图，偶函数 的图象形如字母M（图1），奇函数 的图象形如字母N（图2），若
方程 ， 的实根个数分别为a，b，则 （ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
3．多选题（2024·全国·模拟预测）设函数 ，函数 ．则下列说法
正确的是（ ）
A．当 时，函数 有3个零点
B．当 时，函数 只有1个零点
C．当 时，函数 有5个零点
D．存在实数 ，使得函数 没有零点
4．多选题（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知函数 ，下列结论正
确的是（ ）
A．若函数 无极值点，则 没有零点
B．若函数 无零点，则 没有极值点
C．若函数 恰有一个零点，则 可能恰有一个极值点D．若函数 有两个零点，则 一定有两个极值点
5.填空题 （2024上·江苏淮安期末）函数 的零点所在的区间为 ，则正整数 的值
为 ．
考向1 函数零点个数的判断
一、单选题
1．（2023·陕西安康·校联考模拟预测）已知函数 ，则 在区间
内的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2023上·山东泰安校考阶段练习）给出下列结论，其中不正确的是（ ）
A．函数 的最大值为 .
B．已知函数 且 在 上单调递减，则实数 的取值范围是
C．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象关于直线 对称
D．已知定义在 上的奇函数 在 内有1011个零点，则函数 的零点个数为2023
3．（2023上·辽宁大连西南大学附中校考期末）函数 的零点个数可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、填空题
4．（2024上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）若函数 满足，且 时， ，已知函数 ，则函数
在区间 内的零点的个数为
考向2 求参数的值或范围
一、单选题
1．（2023上·上海曹杨二中校考期末）已知函数 满足 ，且当 时，
.若在区间 上关于 的方程 有且仅有一解，则实数 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知函数 ，若函数
的图象与 的图象有两个不同的交点，则实数 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
3．（2023上·吉林·高一吉林一中校考期末）定义在 上的奇函数 ，已知当 时，
．
(1)求 的值；
(2)若 使不等式 成立，求实数m的取值范围；
(3)设 ，若 有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．考点三 函数模型及其应用
1．解答题（2024上·上海松江期末）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多
元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天
销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格 （单位：元/件）
关于第 天 的函数关系近似满足 （ 为常数，且 ），日销售量 （单
位：件）关于第 天的部分数据如下表所示：
10 15 20 25 30
90 95 100 95 90
已知第10天的日销售收入为459元.(1)求 的值；
(2)给出以下四种函数模型：① ;② ；③ ；④ . 请
你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量 关于第 天的变化关系，
并求出该函数的解析式：
(3)设该工艺品的日销售收入为函数 （单位：元），求该函数的最小值.
2．解答题（2024上·广东揭阳·高一统考期末）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用1个单位量的水清
洗一次可洗掉蔬菜上残留农药量的 ，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用
x个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为 ．
(1)试确定 的值，并解释其实际意义；
(2)设 ．
方案1：用3个单位量的水，清洗一次；
方案2：每次用1.5个单位量的水，清洗两次；
方案3：每次用1个单位量的水，清洗三次．
试问用哪个方案清洗后蔬菜上残留的农药量最少，说明理由．【强化训练】
一、单选题
1．已知函数 ，若不相等的正实数 满足 ，且 恰为函数
的两个零点，则k=（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，若 有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数 ，则函数 的零点个数
是（ ）
A． B． C． D．
4．若方程 有四个不同的实数根 ，且 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，函数 ， ，若函数 有6个零点，
则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．
6．若 ，当 时， ，若在区间 ，内 有两个零点，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023上·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）已知函数 ，其中 ，则（ ）
A．不等式 对 恒成立
B．若关于 的方程 有且只有两个实根，则 的取值范围为
C．方程 共有4个实根
D．若关于 的不等式 恰有1个正整数解，则 的取值范围为
8．（2023上·浙江温州乐清市知临中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．若函数 定义域为 ，则函数 的定义域为 .
B．若函数 值域为 ，则函数 的值域为 .
C．用二分法求方程 在 内近似解的过程中，设 ，计算知 ，
， ，则下次应计算的函数值为 .
D．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 时，函数解析
式为 .
三、填空题
9．若 是方程 的解， 是方程 的解，则 ．10．函数 的零点的个数为 .
11．对于函数 的叙述，正确的有 （写出序号即可）．
①若 ，则 ；②若 有一个零点，则 ；③ 在 上为减函数．
12．某校甲､乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食
堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份
（填“甲”或“乙”）食堂的营业额较高.
四、解答题
13．设函数 ，且 ．
(1)作出函数 的大致图像，并指出它的单调区间；
(2)当实数a变化时，讨论关于x的方程 的解的个数．
14．2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，
进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的
年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环 万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为 万元，且 ．当该公司一年内共
生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．
(1)求出 的值并写出年利润 （万元）关于年产量 （万部）的函数解析式 ；
(2)当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
15．已知函数 在 上的最大值为 .
（1）求 的解析式；
（2）讨论 的零点的个数.
16．已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的单调性；(2)若函数 有两个零点，求 的取值范围.
