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第 1 讲 函数的图象与性质（3 大考点+强化训练）
【知识导图】
【考点分析】
考点一 函数的概念与表示
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
一、单选题
1．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．1
2．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数 则 （ ）
A． B． C． D．23．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·北京石景山·高三统考期末）设函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024上·江苏·高三统考期末）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·陕西安康·校联考模拟预测）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．9．（2024上·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知函数 在区间
上都单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 16
二、多选题
10．（2024上·福建泉州·高三统考期末）已知定义在 上的函数 满足 ，当
时， ，当 时， ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·广东惠州·统考三模）德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是解析数论的创始人之一．
他提出了著名的狄利克雷函数： ，以下对 的说法正确的是（ ）
A．
B． 的值域为
C．存在 是无理数，使得
D． ，总有
12．（2024上·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）对于函数 ．下列结论正确的是（ ）
A．任取 ，都有
B．函数 有2个零点
C．函数 在 上单调递增
D．若关于 的方程 有且只有两个不同的实根 ，则 ．
三、填空题
13．（2024上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数 是奇函数，且 ，
则 的值为
14．（2024上·山东菏泽·高三校考期末）设函数 ，则 .
15．（2023上·湖南怀化·高三校考阶段练习）已知函数 若 ，则 的值为
.
16．（2024上·北京昌平·高三统考期末）若函数 在定义域上不是单调函数，则实数
的一个取值可以为 ．
17．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）设函数 ，当 时， 的最大值为
；若 无最大值，则实数 的一个取值为 .
18．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）已知函数 和 的定义域分别为 和 ，
若对任意的 都恰有 个不同的实数 ，使得 （其中），则称 为 的“ 重覆盖函数”.（1）若函数 是
的“ 重覆盖函数”，则 ；（2）若 为 的“2重覆
盖函数”，记实数 的最大值为 ，则 .
考点二 函数的图象
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、
对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）函数 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．3．（2024上·四川绵阳·高三统考阶段练习）如图是 的大致图象，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）要得到函数 的图象，只需将指数函数 的
图象（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
5．（2023上·海南·高三校联考阶段练习）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．6．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）现有四个函数：① ；②
；③ ；④ 的图象（部分）如图，则按照从左到如图像对应的函数序号正确的
一组是（ ）
A．①③②④ B．①④③② C．③①②④ D．③①④②
7．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则实数 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知 ，且 ，函数 ，
则（ ）
A．曲线 与曲线 关于 轴对称
B．曲线 与曲线 关于 轴对称
C．当 时，函数 在 上单调递增
D．当 时，函数 在 上单调递减
三、填空题
600
9．（2023·上海宝山·统考一模）设 为常数，若 ，则函数 的图象必定不经过第
象限考点三 函数的性质
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数的周期性
若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.
4．函数图象的对称中心和对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
考向1 单调性与奇偶性
一、单选题
1．（2024·黑龙江大庆·统考模拟预测）函数 在 上单调递减，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·统考一模）已知定义在R上的函数 满足： ，且 时，
，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数 满足 ，当 时，.若 ， ，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·校联考模拟预测）已知定义在R上的连续可导函数 及其导函数 满足
恒成立，且 时 ，则下列式子不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数 ．若曲线 上存在点 ，使得
，则实数 的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、填空题
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式
的解集为 ．
9．（2024·全国·模拟预测）写出满足下列条件①②③的一个函数： ．
① 的定义域为 ；② ， ；③ ，都有 ．
10．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）已知函数 ，若，则实数 的取值范围为 ．
11．（2024·陕西宝鸡·统考一模）已知函数 ，若 且 ，则 的
最大值为 ．
12．（2024·全国·模拟预测）设函数 的定义域为 ．若 ，则实
数 的取值范围是 ．
考向2 奇偶性、周期性与对称性
一、单选题
1．（2024·四川攀枝花·统考二模）已知函数 对 都有 ，若函数
的图象关于直线 对称，且对 ，当 时，都有 ，给出如
下结论：① 是偶函数；② ;③ 是最小正周期为4的周期函数；④ ．其中正
确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·全国·模拟预测）已知定义域为 的增函数 满足对任意的 都有
，函数 满足 ，且 时，
．若 在 上取得最大值时 的值从小到大依次为 ，取得最小值时 的值
从小到大依次为 ，则 （ ）
A．2800 B．2700 C．2600 D．2500
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 及其导数 的定义域为 ，记 ，且都为奇函数．若 ，则 （ ）
A．0 B． C．2 D．
4．（2024·海南海口·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数，
， ，则 （ ）
A． B． C．0 D．
5．（2024·河南·模拟预测）已知函数 ， ，则（ ）．
A． 的图象关于y轴对称， 的图象关于点 对称
B． 的图象关于y轴对称， 的图象关于y轴对称
C． 的图象关于原点对称． 的图象关于点 对称
D． 的图象关于原点对称． 的图象关于y轴对称
6．（2024·四川雅安·统考一模）已知函数 的定义域为 恒成立.当
时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·广东惠州·统考三模）设定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若
， ，且 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A． 是奇函数
B．函数 的图象关于点 对称
C．点 （其中 ）是函数 的对称中心
D．
二、多选题
8．（2024·山西·校联考模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，且 为奇
函数，当 时， ，则（ ）
A． 是周期为 的周期函数 B．
C．当 时， D．
9．（2024·山东淄博·山东省淄博实验中学校联考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，函数 的图
象关于点 对称，且满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 是奇函数
B．函数 的图象关于 轴对称
C．函数 是最小正周期为2的周期函数
D．若函数 满足 ，则【强化训练】
一．选择题（共9小题）
1．（2024•重庆模拟）已知函数 满足 ， （1） 且当 时， ，
若存在 ， ，使得 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
2．（2024•攀枝花模拟）已知函数 对 都有 （2），若函数 的图象
关于直线 对称，且对 ， ， ，当 时，都有 ．给出如下结
论：
① 是偶函数；
② （2） ；
③ 是周期为4的周期函数；
④ （3） ．
其中正确的结论个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024•昆明一模）若将函数 的图象平移后能与函数 的图象重合，则称函数 和
互为“平行函数”．已知 ， 互为“平行函数”，则
A．2 B．1 C． D．
4．（2024•吉林模拟）已知函数 ，则关于 的不等式 解集为A． B．
C． D．
5．（2024•天津模拟）已知函数 是 上的偶函数，对任意 ， ， ，且 都有
成立．若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
6．（2024•淮北模拟）已知定义在 上奇函数 满足 ，当 时， ，则
A． B． C． D．
7．（2024•重庆模拟）已知函数 满足： ， ， 成立，且
，则
A． B． C． D．
8．（2024•拉萨一模）已知函数 的定义域为 ， ， （5） ，且 ， ，
，当 时， ，则不等式 的解集为
A． 或 B． C． 或 D．
9．（2024•惠州模拟）设定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若
， ，且 为奇函数，则下列说法中一定正确的是
A． 是奇函数B．函数 的图象关于点 对称
C．点 （其中 是函数 的对称中心
D．
二．多选题（共7小题）
10．（2024•1月份模拟）已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则
A． B．
C．函数 是偶函数 D．函数 是减函数
11．（2024•临沂模拟）已知函数 的定义域为 ，且 ， （1） ，则
A． B． 有最小值
C． D． 是奇函数
12．（2024•泉州模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，
当 时， ，则
A． B．
C． D．
13 ． （ 2024• 良 庆 区 校 级 模 拟 ） 已 知 定 义 域 为 的 函 数 对 任 意 实 数 ， 都 有
，且 ， ，则以下结论一定正确的有A． B． 是奇函数
C． 关于 中心对称 D． （1） （2）
14．（2024•大庆一模）已知定义在 的函数 满足 ，且 （4） ，当
时， ，则
A． （1）
B． 是偶函数
C． 在 上单调递减，在 上单调递增
D．不等式 的解集是
15．（2024•北京模拟）存在定义域为 的函数 满足
A． 是增函数， 也是增函数
B． 是减函数， 也是减函数
C．对任意的 ， （a） ，但
D． 是奇函数，但 是偶函数
E． 的导函数 的定义域也是 ，且
16 ． （ 2024• 新 疆 一 模 ） 定 义 在 上 的 函 数 满 足 （ 1 ） ， 且 ， 均 有
，当 时， ，则下列说法正确的是
A．B． 时，数列 是公比为2的等比数列
C． 在 上单调递增
D． （1） （2） （3）
三．填空题（共3小题）
17．（2024•郑州一模） ，不等式 恒成立，则正实数 的最大值是 ．
18．（2024•河南模拟）以maxM表示数集M中最大的数．设0＜a＜b＜c＜1，已知b≥2a或a+b≤1，则
max{b﹣a，c﹣b，1﹣c}的最小值为 ．
19．（2024•广东模拟）已知 为函数 图象上一动点，则 的最大值为 ．
四．解答题（共3小题）
20．（2024•凉山州模拟）已知函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）对 及 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
21．（2024•南充模拟）已知函数 ．
（1）若 恒成立，求 取值范围；
（2）若 的最大值为 ，正实数 ， ， 满足： ，求 的最大值．22．（2024•攀枝花模拟）已知函数 ．
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
