文档文本内容
微专题拓展13 玩转极值点偏移问题与拐点偏移问题
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 3
题型一：不含参数的和型极值点偏移................................................................................................3
题型二：不含参数的积型极值点偏移..............................................................................................10
题型三：含参数的和型极值点偏移..................................................................................................15
题型四：含参数的积型极值点偏移..................................................................................................20
题型五：平方型的极值点偏移..........................................................................................................22
题型六：综合混合型的极值点偏移..................................................................................................24
题型七：拐点偏移的综合问题..........................................................................................................29
03 课后拓展精练............................................................................................................................31
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对
称性。若函数f ( x)在x=x0 处取得极值，且函数y=f ( x)与直线y=b 交于A(x1,b),B(x2,b)两点，则
AB 的中点为M ( x1+x2
2
,b)，而往往x0≠x1+x2
2
。如下图所示。
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数y=f ( x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0 ，方程f ( x)的解分别为
x1、x2，且a<x1<x2<b ，（1）若
x1+x2
2
≠x0 ，则称函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0 偏移；
（2）若
x1+x2
2
>x0 ，则函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0左偏，简称极值点x0 左偏；（3）若
x1+x2
2
<x0 ，则函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0 右偏，简称极值点x0右偏。
2、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点
为
)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数
，若证
，则令
.
(3)判断单调性，即利用导数讨论
的单调性．
(4)比较大小，即判断函数
在某段区间上的正负，并得出
与
的大小关系．
(5)转化，即利用函数
的单调性，将
与
的大小关系转化为
与
之间的关
系，进而得到所证或所求．
题型一：不含参数的和型极值点偏移
例1．（2026·高三·河北唐山·阶段检测）已知函数
.
(1)若函数
有两个零点，求的取值范围；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
.
【解析】（1）
，
该方程有两个不等实根，由
，
所以直线
与函数
的图象有两个不同交点，
由
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，因此
，
当
时，
，当
，
，
如下图所示：
所以要想有两个不同交点，只需
，即的取值范围为
；
（2）因为
是函数
的两个极值点，
所以
，由（1）可知：
，不妨设
，
要证明
，只需证明
，显然
，
由（2）可知：当
时，
单调递增，所以只需证明
，
而
，所以证明
即可，
即证明函数
在
时恒成立，
由
，
显然当
时，
，因此函数
单调递减，
所以当
时，有
，所以当
时，
恒成立，因此命题得以证明.
例2．（2026·高三·江苏南通·期中）已知
，其极小值为-4.
(1)求的值；
(2)若关于的方程
在
上有两个不相等的实数根
，
，求证：
.
【解析】（1）因为
，所以
.
当
时，
，
所以
单调递增，没有极值，舍去.
当
时，在区间
上，
，
单调递增，
在区间
上，
，
单调递减，
在区间
上，
，
单调递增，
所以当
时，
的极小值为
，舍去
当
时，在区间
上，
，
单调递增，
在区间
上，
，
单调递减，
在区间
上，
，
单调递增，
所以当
时，
的极小值为
.
所以
.
（2）由（1）知，在区间
上，
，
单调递增，
在区间
上，
，
单调递减，
在区间
上，
，
单调递增，
所以不妨设
.
下面先证
.
即证
，因为
，所以
，
又因为区间
上，
单调递减，
只要证
，又因为
，
只要证
，只要证
.
设
，
则
，
所以
单调递增，
所以
，所以
.
下面证
.
设
，因为
，
在区间
上，
；在区间
上，
.
设
，
，因为
，
所以
，所以
.
设
，
，因为
，
所以
，所以
.
因为
，所以
，
所以
.
例3．（2026·江西·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，且
，证明：
，且
．
【解析】（1）
的定义域为R，
由题意，得
，
，
当
时，
恒成立，
在
上单调递增；
当
，且当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增．
（2）证明：由
，得
，
是方程
的两个实数根，
即
是方程
的两个实数根．
令
，则
，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
．
因为当
时，
；当
时，
，
，所以
．
不妨设
，因为
，
是方程
的两个实数根，则
．
要证
，只需证
．
因为
，
，
所以只需证
．
因为
，
所以只需证
．
令
，
，
则
在
恒成立．
所以
在区间
上单调递减，
所以
，
即当
时，
．
所以
，
即
成立．
变式1．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有两个不同零点
，求的取值范围，并证明
.
【解析】（1）当
时，
，易知
，
所以曲线
在点
处的切线方程为：
；
（2）
，证明：由已知可得
，
①若
，则
，
，
即
在
上单调递增，
上单调递减，
，
又
时，
，所以函数存在两个零点；
②若
时，
，显然不符合题意；
③若
时，令
，
当
时，令
或
，令
，
即
在
上单调递减，
和
上单调递增，
函数极小值为
，函数极大值为
，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
当
时，
，则
单调递增，至多一个零点，不符合题意；
当
时，令
或
，令
，
即
在
上单调递减，
和
上单调递增，
函数极大值为
，函数极小值为
，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
综上所述，
时函数有两个零点
，则
一正一负，
不妨令
，设
，
令
，即
在R 上单调递增，
所以
，
，
故
时，有
，
时，有
，
即
，所以
，
则
，
又因为
在
上单调递减，故
，证毕.
变式2．已知函数
有两个零点
，且
．
(1)求a 的取值范围；
(2)证明：
．
【解析】（1）函数
有两个零点，即方程
有两个不同的实根，
当
时，
，
所以
在
上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意，
当
时，
，
令
，解得
，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增，
所以
在
处取得极小值，也是最小值，且
，
因为
有两个零点，所以
，即
，解得
，
又当
时，
，
，故
；
当
时，
增长速度远大于
，故
，
所以，当
时，
有两个零点，
综上，的取值范围是
；
（2）由
是
的零点，得
，
，所以
，
令
，则
，代入上式得
，所以
，
：
要证
，即证
，
因为
，等价于证明
：
令
，
，
令
，
，
时，
，故
在
单调递增，所以
，
所以
在
单调递增，故
，即
，
所以
．
变式3．（2026·河南周口·三模）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
，求实数的取值范围；
(3)若
，且存在
，
，使得
，证明：
．
【解析】（1）若
，则
，
，
，又
，
故曲线
在点
处的切线方程为
；
（2）由
时，
，即
，整理得
，
令
，
，则
，
故
在
上单调递减，则
，即
；
（3）若
，则
，
，
故当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
时，
，
时，
，
则
，不妨设
，则
，
由
，则
，
两边同取对数，可得
，
故
，令
，则
，
即
，
，故
，
要证
，只需证
，即只需证
，
令
，
则
，
故
在
上单调递增，则
，
即有
恒成立，即得证.
变式4．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
，
.
(1)若对于任意
，都有
，求实数的取值范围；
(2)若函数
有两个零点
，求证：
.
【解析】（1）结合题意：对于任意
，都有
，所以
，
因为
，所以只需
，
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
所以只需
；
（2）
等价于
，
设函数
，
，易知
在区间
上单调递增；
上单调递减，
由
知
且
，
，
设函数
，其中
，
知
，
知
在区间
上单调递增，即
时
，
即
时，
，
即
，
又由已知由
且
，
有
且
，由
在
上单调递减，
所以
，即
.
题型二：不含参数的积型极值点偏移
例4．已知函数
．
(1)若
，求的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，
，则
．
【解析】（1）由题意知函数
的定义域为
，
解
得
，解
得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
又
，所以
，解得
，
所以的取值范围为
．
（2）证明：不妨设
，则由（）知
，
，
构造函数
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，
所以当
时，
，即当
时，
，
所以
，
又
在
上单调递减，
所以
，即
．
例5．（2026·高三·北京房山·期中）已知函数
(1)求函数
单调区间；
(2)设函数
，若
是函数
的两个零点，
①求的取值范围；
②求证：
．
【解析】（1）
定义域为
，
，
当
时，
；当
时，
；
的单调递增区间为
；单调递减区间为
.
（2）①若
是
的两个不同零点，则
与
在
上有两个不同交点；
由（1）知：
，又
，
在
的图象如下图所示，
由图象可知：
，
，即的取值范围为
.
②不妨设
，由①知：
，
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减；
设
，则
，
在
上单调递减，
，
，
又
，
，又
，
；
，
，
在
上单调递增，
，则
.
例6．（2026·高三·江苏连云港·阶段检测）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的零点个数.
(2)若关于的方程
有两个不同实根
，求实数的取值范围并证明
.
【解析】（1）当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，
又因为
，
所以函数
有且仅有一个零点.
（2）方程
有两个不同实根
，等价于
有两个不同实根
，
得
，令
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
取得最大值
，
由
，得当
时，
；
当
的大致图象如图所示，
所以当
，即
时，
有两个不同实根
；
证明：不妨设
且
两式相加得
，两式相减得
，
所以
，
要证
，只需证
，
即证
，
设
，令
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，且
，
所以
，即
，
所以
，原命题得证.
变式5．（2026·高三·山东临沂·开学考试）已知函数
.
(1)证明：
.
(2)若函数
，若存在
使
，证明：
.
【解析】（1）令
，
，
，
令
，解得：
；令
，解得：
，
∴
在
递增，在
递减，则
，
∴
恒成立，即
.
（2）∵
，
，∴
，
令
，解得：
；令
，解得：
；
∴
在
递增，在
递减.
又∵
，
，
，
，且
，
.
要证
，即证
.
∵
，∴
，
又∵
，∴只证
即可.
令
，
，
恒成立，
∴
在
单调递增.
又∵
，∴
，∴
，
即
，∴
.
题型三：含参数的和型极值点偏移
例7．设函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)设
，记
，当
时，若方程
有两
个不相等的实根
，求证：
．
【解析】（1）
的定义域为
，
.
令
，则得到导函数的两个零点，
或
，由于分母为正，
故我们只关注分子函数
，其为二次函数，借助其图像，
以两个零点的大小关系为分类标准得到如下：
①当
时，即
时，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增；
②当
时，即
时，
恒成立，即
恒成立，故
在
上单调递增；
综上所述，当
时，
的单减区间为
，单增区间为
；
当
时，
只有单增区间
；
（2）由题可知，
，
设
是方程
的两个不等实根，不妨设为
，
则
，两式相减整理得到
，从而得到
，
要证
，故只需要证明
，
由于
，
转化为
，
即
，即
，
令
，则上述式子转化为
设
，则
，
当且仅当
时等号成立，故
在
上单调递增，故有
，
故
得证，
即
.
例8．已知函数
，e 为自然对数的底数.
(1)若函数
在
上有零点，求的取值范围；
(2)当
，
，且
，求证：
.
【解析】（1）令
，即
，则
函数
在
上有零点等价于方程
在
上有解，
设
，则
，
故函数
在
上是减函数，在
上是增函数，故
所以a 的范围是
.
（2）因为
，故
，
因为
，所以
得
，
故
在
上是减函数，在
上是增函数
因为
，
，
所以不妨设
，
，
设
（
）
，
故
，
所以
在
上是增函数，
所以
，即
，
故
，即
，
因为
，
，且
，
所以
，
因为
在
上是减函数，
所以
，故
.
例9．已知函数
有两个零点．
(1)求a 的取值范围；
(2)设
，
是
的两个零点，证明：
．
【解析】（1）
的定义域为
，
，
当
时，
，
在
上递增，
至多一个零点，不符合题意，舍去；
当
时，令
得
，所以
在
上递增，
当
，此时
在
上递减，
所以
的极大值也是最大值
，∴
．
又
时，
；趋向于
时，
趋向于
．
所以，
有两个零点，a 的取值范围为
．
（2）不妨设
，由
，则
．
构造函数
，
，
因为，
，∴
，即
，所以
在
是递增，又
，所以
，∴
，
∴
．
又
，∴
．
而
，
，
在
上递减，所以，
，即
，所以，
．
变式6．已知函数
．若函数
有两个不相等的零点
．
(1)求a 的取值范围；
(2)证明：
．
【解析】（1）由题意可知：
，
若
，则
恒成立，即
单调递增，不存在两个不等零点，
故
，
显然当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以若要符合题意，需
，
此时有
，且
，
令
，
而
，
即
在
上递减，故
，
所以
，
又
，
故在区间
和
上函数
存在各一个零点，符合题意，
综上
；
（2）结合（1），不妨令
，
构造函数
，
则
，
即
单调递减，所以
，
即
，
因为
，所以
，
由（1）知
在
上单调递增，所以由
，
故
.
变式7．（2026·高三·广东东莞·期中）已知函数
，
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)当
时，设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
【解析】（1）
,
,
,
,
上单调递增，
上单调递减.
（2）
,
,
在
上单调递增，
上单调递减.
，
，
因为
，所以函数
在区间
上为上凸函数，
函数
在区间
的图象如图所示.
不妨设
，则
.
连接
和点
的直线l2的方程为：
,
当
时，
,
由图可知
,所以要证明
，只需证明
，即只需证明
，
连接
的直线的方程为
,设函数
的图象的与
平行的切线是直线，
，
，
直线的方程为
,即
，
令
,得直线
与直线的交点横坐标为
,
由图可知，
，
故要证不等式成立.
题型四：含参数的积型极值点偏移
例10．已知函数
（
，
）.若函数
有两个零点
，
.证明：
.
【解析】因为
，有两个零点
，
，
，
令
，则
，
即证明
，即证
，
设
，
由于
，即
，
左边即证
，
即证
，
设
，则
，
单调递增，
则当
时，
，即
成立，故
.
要证
，
即证
即
,
而
,
故即证
，
即证：
，
令
，即证：
.
则
，
设
，
则
，
设
，则
，
设
，则
，其
，
而
，故
在
为减函数，
而
，
，故存在
，
使得
时，
，
时，
，
故
在
上为增函数，在
为减函数，
故
，且
，
故
，故
即
恒成立，
故
在
上为减函数，而
，
故当
时，
即
，
时，
即
，
故
在
上为增函数，在
上为减函数，
故
，故
（不恒为零），故
为减函数，
故
，即
，
即
得证.
例11．设函数
，
(1)若
有极值点、无零点，求的取值范围；
(2)若
的图象在区间
内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围；
(3)设
，若方程
有两个实数根
、
，且
，求证：
，且
．
【解析】（1）因为
，则
，
当
时，
，此时函数
在
上单调递增，函数
无极值点，不符合题意；
当
时，由
可得
，由
可得
，
此时函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则函数
有极小值点
，故
的极小值为
，
因为函数
无零点，所以
，即
，即
，解得
，
综上，的取值范围为
．
（2）由
的图象在区间
内存在两条互相垂直的切线，
可知存在
、
使得
．
当
，则
，不符合题意．
当
时，
在
上单调递增．
所以
在
内的值域为
．
所以，由题意可得
，
整理可得
，解得
，
因此，的取值范围为
．
（3）设
，则
，
因为
，所以
．
当
时，
，
在
上单调递增，不符合题意，所以
．
由
，得
．
设
，则
，所以
在
上单调递增．
又因
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
设
，则
，
因为当
时，
，所以
在
上单调递减，
又因为
，所以当
时，
，即
．
因为
，所以
，即
，
又因
，所以
，所以
，
又因为
，
，所以
．
题型五：平方型的极值点偏移
例12．（2026·山东聊城·二模）已知函数
.
(1)当
时，求
的最小值；
(2)若当
时，
恒成立，求的取值范围；
(3)若关于的方程
有两个不等实根
，证明：
.
【解析】（1）当
时，
，
.
令
，得
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增，
故
在
处取得最小值，
.
（2）当
时，
恒成立，
即
，
即
.
令
，即求
在
时恒成立，
.
①当
时，
恒成立，故
在
上单调递减，
则当
时，
恒成立；
②当
时，
在
上单调递减，且
，
则
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
则
成立，与题干矛盾，舍掉；
③当
时，
恒成立，故
在
上单调递增，
则
恒成立，与题干矛盾，舍掉.
综上所述，
满足要求.
（3）将
代入，原方程化为
，
即
，
则有
，
两式相减，得
，
即
，
故原不等式变形为
.
不妨令
，不等式两端同时除以
，则不等式可变形为
.
令
，则不等式可继续变形为
，
即证
在
时恒成立，
故令
，
则
恒成立，
故
在
时单调递增，则
恒成立，
故命题得证.
例13．（2026·高三·河北衡水·阶段检测）已知函数
（
）．
(1)当
时，求证：
；
(2)若函数
的两个零点为
（
）．
①求实数的取值范围；
②求证：
．
【解析】（1）若
，则
，
可知函数
的定义域为
，且
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知函数
在
内单调递减，在
内单调递增，
所以
.
（2）①因为
，可知函数
的定义域为
，且
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知函数
在
内单调递减，在
内单调递增，则函数
的最小值为
，
且当趋近于
或
时，
趋近于
，
若函数
的两个零点，则
，即
，解得
，
所以实数的取值范围为
；
②因为函数
的两个零点为
，
令
，
，
则
，
可知
在
内单调递减，则
，
可得
，
，
若函数
的两个零点为
，且
，则
，
可得
，
又因为
，
，且函数在
内单调递增，
则
，可得
，
所以
.
例14．已知函数
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
有2 个不同的零点
（
），求证：
.
【解析】（1）因为函数
的定义域为
，所以
成立，等价于
成立.
令
，则
，
令
，则
，所以
在
内单调递减，
又因为
，所以当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递
减，
所以
在
处取极大值也是最大值.
因此
，即实数
的取值范围为
.
（2）
有2 个不同的零点等价于
有2 个不同的实数根.
令
，则
，当
时，解得
.
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取极大值为
.
又因为
，当
时，
，当
时，
.
且
时，
.
所以
，且
.
因为
是方程
的2 个不同实数根，即
.
将两式相除得
，
令
，则
，
，变形得
，
.
又因为
，
，因此要证
，只需证
.
因为
，所以只需证
，即证
.
因为
，即证
.
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
，
即当
时，
成立，命题得证.
变式8．已知函数
（为自然对数的底数，
）．
(1)求
的单调区间和极值；
(2)若存在
，满足
，求证：
．
【解析】（1）
.
当
时，
，所以
在
上单调增，无极值；
当
时，令
，得
，
当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递减，在
单调递增．
所以函数
的极小值为
，无极大值.
（2）由题（1）可知，当
时才存在
，满足
，
不妨设
，
设
，则
，
因为
，所以
，所以
，
所以
在
上单调递减，
所以
，所以
，即
故
，
因为
，又
在
上单调递增，
所以
，所以
，
下面证明：
；
因为
，
所以
，所以
，
所以
，得证.
题型六：综合混合型的极值点偏移
例15．（2026·高三·河南新乡·阶段检测）已知函数
.
(1)求
的极值.
(2)若
，
，证明：
.
【解析】（1）（1）由题意可得
.
当
或
时，
；当
时，
.
所以
在
与
上单调递增，在
上单调递减.
故
的极大值为
，
的极小值为
.
（2）证明：由（1）可知
.
设
，
，
则
.
设
，则
.
因为
，所以
在
上恒成立，即
在
上单调递增，
因为
，所以
在
上恒成立，即
在
上单调递增，
因为
，所以
在
上恒成立.
因为
，所以
，
因为
，所以
.
由（1）可知
在
上单调递增，且
，
，
则
，即
.
例16．已知
，若
有两个不等实根
，
，求证：
．
【解析】设
，
，则
，
则
有两不等实根，
（不妨设
），
要证
，只要
即可；又
，
令
，解得
，
所以
时，
，
单调递增；
时
，
单调递减；
所以
，
方程
要有两个不等实根，则
，即
，且
，
下面证明
，由
，两式作差得
（①），
作和得
（②），
由①②两式化简可得
，
若要证明
，只需证明
，
只需证明
，只需证明
，
令
，即证明
，
只需证明
，
令
，
令
，解得
，故
，
单调递减，
所以
，故不等式
成立，从而原不等式成立.
所以
得证，所以
，所以
．
例17．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)设a，b 为两个不相等的正数，且
，证明：
.
【解析】（1）因为
，在定义域内单调递增，
，得
，
且
时
，当
时
，
所以
的单调递减区间是
，单调递增区间是
.
（2）证明：
.
令
，
，设
，则
.
故问题等价于证明：
.
不妨设
，则
.
先证明左边：
.
证明：设
，
.
则
，
因为
，设
于是
.
所以
在
上单调递增，故
，从而
在
上单调递减，所以
，即
.
又
，且
，所以
.
又因为
，
，且
在
上单调递增，
所以
，故
.
再证明右边不等式：
.
证明：有
，可得
，
，所以
.
令
，
，
，其中
，
.
当
时，显然有
.
下面讨论
的情形.
因为
，易知当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
.
记
，
，则
.
记
，则
.
记
，则
，
所以
在
上单调递增，得
，所以
，故
在
上单调递减，
所以
，即
，所以
在
上单调递减，故
，得证.
变式9．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)若
在
上单调递增，求的取值范围；
(2)在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线
与轴相切，
且切点为格点．
（i）求的值；
（ii）若
，且
，证明：
.
【解析】（1）
，
由题意
恒成立，则
，
则
.
（2）（i）由题意，存在
使得
，
消去得
，
设
，
则
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
极大值
，当
时
，
极小值
，
，
则
在
存在1 个零点，
综上
的整数零点只有0，
则
.
（ii）
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则
，
设
，
则
，
由基本不等式
，则
，
单调递增，
则
时
，
，
则
，
由于
，
在
单调递增，
则
，
设
，
则
则
，
单调递增，
当
时
，
，
则
，
即
，
由于
，
在
单调递增，
则
，
由
，
可得，
则
，
即
.
题型七：拐点偏移的综合问题
例18．设函数
．
(1)判断函数
的单调性；
(2)若
，且
，求证：
．
【解析】（1）∵
，
，
∴
．
令
，则
．
令
，得
或
．
当
时，
；当
时，
；当
时，
．
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减．
又
，
，故
对一切
恒成立，
∴
，于是
，故
在
上单调递增．
（2）易知当
时，由（1）知，
，
所以
，当且仅当
时取等号，与题意不符，
当
，由（1）知，
，与题意不符，
所以
中一个在
内，一个在
内，不妨设
．
构造函数
，其中
，
则
．
由
，得
．
令
，
∵
，
∴
在
上单调递增，则
．
∴
在
上单调递减，∴
，
即
对
恒成立．
∵
，∴
，
∴
．
由（1）知
在
上单调递增，
∴
，故
．
例19．函数
.
（1）求
在
处的切线方程（为自然对数的底数）；
（2）设
，若
，满足
，求证：
.
【解析】（1）
，
则
，
故
在
处的切线方程为
即
；
（2）证明：由题可得
，
，
当
时，
，则
；当
时，
，则
，
所以，当
时，
，
在
上是增函数.
设
，
则
，
当
时，
，
则
，
在
上递减.
不妨设
，由于
在
上是增函数，则
，
又
，
，则
，于是
，
由
，
在
上递减，
则
，所以
，则
，
又
，
在
上是增函数，所以，
，即
.
例20．（2026·高三·全国·阶段检测）已知函数
.
(1)求
的单调区间
(2)若
的极值点为
，且
，证明：
.
【解析】（1）
的定义域为
，
，
由
，得
.
当
时，
；当
时，
.
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）证明：由（1）可知，由
的极值点为
，得
，
所以
，
.
当
时，
；当
时，
，
则函数
的大致图象，如图所示；
不妨设
，若
，
由图象知：
， 又
，
所以要证
，即证
，
当
时，
，
.
当
时，
，
，
=
，
.
设
，
，
则
，
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减，
所以
，
在
上单调递增，
则
，
所以
，即
，
又因为n，
，且
在
上单调递增，
所以
，即
，
则
.
综上，
.
1．（2026·辽宁丹东·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，证明：
；
(2)若
有两个不同的零点
，求a 的取值范围，并证明：
．
【解析】（1）当
时，
，定义域为
令
，则
当
时，
；当
时，
；
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，所以
，得
；
（2）因为
有两个不同的零点
，则
在定义域内不单调；
由
当
时，
在
恒成立，则
在
上单调递减，不符合题意；
当
时，在
上有
，在
上有
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
故
，所以
,
而
为增函数，且
，故
.
而当
时，
，
时，
，
故
时，
确有两个零点.
不妨设
令
则
当
时，
，则
在
上单调递增
所以
故
，因为
所以
，又
，
则
，又
在
上单调递减，
所以
，则
．
2．已知
.
(1)若
在定义域内单调递增，求
的最小值.
(2)当
时，若
有两个极值点
，求证：
.
【解析】（1）方法一：
，取
，得
，
所以
，
，
时，
，
所以取
，
时，
，
，分子随增大而增大，
而
，所以当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
而
，得
，符合单调递增，所以
.
方法二：
，
，
因为
在定义域内单调递增，
所以
在
上恒成立，
故
，设
，
若
，则当
时，
，故
在
上恒成立，这不可能.
若
，则
在
上恒成立，取
，则有
，故
.
若
，此时
，
令
，则
为
上的减函数，
而
，
取
，则当
时，
有
，故
在
上存在唯一零点，
设该零点为
，由零点存在定理可得
.
故当
时，
；当
时，
，
故
在
为增函数，在
上为减函数，故
.
所以
，
因为
，故
，
所以
，其中
.
设
，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
为减函数，在
为增函数，
故
，故
即
的最小值为
.
（2）方法一：当
时，
，
，
，
则
，令
，
，
令
，下证
恒成立，
，设分子为
，
，所以
在
上单调递增，
，
所以
在
上恒大于，即
在
上恒大于，
所以
，取
，则
，
所以
，即
.
方法二：当
时，
，
因为
有两个极值点
，
所以
，即
，从而
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上递增，在
上递减，
所以
，
又因当
时，
，当
时，
，
所以
，
由对数均值不等式得
，从而
，
所以
.
3．（2026·高三·辽宁丹东·阶段检测）已知
，
，
(1)若
恒成立，求的最大值
(2)若
，
是
的两个零点，且
求证：
【解析】（1）时
，
，
设
，则
恒成立
恒成立，
易知
符合要求，下面考虑
的情形，
由
，得
时，
；
时，
，
因此，
在区间
上为减函数，在
上为增函数，故
的最小值为
，
由
，得
，解得
，
所以的最大值为.
（2）由（1）知，
，
是
的两个零点，结合
的单调性可知，
，
若
，则
显然成立，
若
，设
（
），
则
，
，
所以，
在区间
上为增函数，因此有
，
因此，
，
，
又
，
，且
在区间
上为减函数，
所以，
，即
.
综上，
.
4．（2026·高三·广东清远·期末）已知函数
．
(1)讨论
的零点个数．
(2)若
有两个不同的零点
，证明：
．
【解析】（1）因为
，所以1 不是
的零点．
当
，可变形为
，
令
，则
的零点个数即直线
与
图象的交点个数．
因为
，
，得
，又
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
因为
，且当
时，
，
所以当
时，
没有零点；
当
时，
有一个零点；
当
时，
有两个零点．
（2）证明：由（1）知，当
时，
有两个零点．
设
，则
，
由
得
，
所以
，即
．
令
，则
，
易得
在
上单调递减，在
上单调递增．
要证
，即证
．
因为
，且
在
上单调递增，所以只需证
．
因为
，所以即证
．
令
，
则
，
所以
在
上单调递减．
因为
，所以
．
因为
，所以
，故
．
5．（2026·高三·江苏南通·期中）已知函数
．
(1)求函数
的最小值；
(2)求证：函数
存在两个零点（记为
），且
．
【解析】（1）由
设
，
因此当
时，函数
单调递增，
，
当
时，
，因此
，所以
单调递增；
当
时，
，因此
，所以
单调递减，
因此当
时，
有最小值，即
；
（2）由（1）可知：
在
时，单调递减，在
时，单调递增，
，因为
，
，
所以函数
在
内有且只有一个零点，
不妨设
，在
内有且只有一个零点，
设为
，即
，即函数
有两个零点， 即
构造函数
，当
时，
单调递减，
因此有
，即
，
因为
，所以
，
而
，因此
，
因为
，所以
，因为
在
时，单调递减，
所以由
.
6．（2026·高三·山西太原·阶段检测）已知函数
.
（1）求曲线
在点
处的切线方程.
（2）若正实数
满足
，求证：
.
【解析】（1）
，切点为
.
，
.
切线为：
，即
.
（2）
.
令
，
，
，
，
，
，
为减函数，
，
，
为增函数，
，所以
.
即
.
得：
，
得到
，即：
.
7．已知函数
.证明：当
，
时，
.
【解析】证明：对
求导，得
.
令
，则
.
因为令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
，
所以
在
上单调递减，且
.
因为
，所以不妨设
，则
.
要证
，只需证
.
因为
，所以
，即证
.
构造函数
，
则
，
，
因为
，即
，当且仅当
时等号成立，
又
，则
，
所以
，
所以
在
上单调递增，
，
从而
在
上单调递减，
所以
，即当
时，
.
又因为
，
所以
成立，故得证.
8．已知函数
．
(1)证明：
；
(2)若
，且
，证明：
．
【解析】（1）由题意，
，设
，则
，当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，从而
，故
恒成立，
，故
．
（2）由题意，
，
，
，
，
，
从而
在
上单调递增，在
上单调递减，故
，
在
上单调递减，且
，
若
，则
，不合题意，
若
，则
，不合题意，∴
，
要证
，只需证
，结合
在
上单调递减知只需证
，
又
，
，故只需证
，即证
①，
令
，
，
则
，
，
在
上单调递增，
又
，
，从而
在
上单调递减，
，
，
，
，即不等式①成立，故
．
9．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，求的取值范围；
(3)若
有两个零点
，
，证明
.
【解析】（1）因为
，
所以
.
（ⅰ）若
，则
，所以
在
上单调递减；
（ⅱ）若
，则由
得
．
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）（ⅰ）若
，由（1）知，
至多有一个零点，不合题意；
（ⅱ）若
，由（1）知，当
时，
取得最小值为
．
①当
时，由于
，故
只有一个零点，不合题意；
②当
时，因
，即
，故
无零点，不合题意；
③当
时，
，即
．
又
，故
在
有一个零点．
设正整数
满足
，
则
．
由于
，因此
在
有一个零点．
综上，的取值范围为
．
（3）由（2）可设极值点
，即
，且
，
．
由（2）不妨设
.
要证
．只需证
，其中
.
而
在
单调递增，故只需证
．
又
，即证：
．
令
，
则
，
,
设
，根据基本不等式，
（因为
，等号不可取）.
设
，则
为开口向上的抛物线，对称轴为
.
因为当
时，
，所以
在
上单调递增.
因为
.
所以当
时，
，即
.
所以
在
上恒成立．
因此
在
单调递增，故
．
即
，结合
，得
，
因
、
，且函数在该区间单调递增，故
．
整理得：
，得证．
10．（2026·甘肃嘉峪关·三模）已知函数
，其中
.
(1)设
，若不等式
对
恒成立，求的取值范围.
(2)
，若
，求证：
【解析】（1）函数
的定义域为
，
.
当
时，令
，得
.
当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
的最小值为
.
因为不等式
对
恒成立，所以
.
设
，
则
恒成立，
所以
在
上单调递增.
因为
，所以
，解得
，即
.
综上所述：的取值范围是
.
（2）函数
的定义域为
，
，
当
时，
，所以
，所以
单调递增；
当
时，
，所以
，所以
单调递减.
因为
，所以可设
，则
.
令
，
则
，
当
，所以
，
，所以
；
当
，所以
，
，所以
，
又
，所以
恒成立，
所以函数
是增函数.
所以
，所以
，
即
.
11．已知函数
．
(1)若函数
在
上是减函数，求实数m 的取值范围；
(2)若函数
在
上存在两个极值点
，
，且
，证明：
．
【解析】（1）∵
在
上是减函数，
∴
在定义域
上恒成立，
∴
，设
，则
，
由
，得
，由
，得
，
∴函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴
．∴
．
故实数m 的取值范围是
．
（2）由（1）知
，
∵函数
在
上存在两个极值点
，
，且
，
则由
，
两式相加、相减分别可得
与
，
∴
，∴
，
设
，则
，要证
，
只需证
，只需证
，只需证
，
构造函数
，则
，
∴
在
上单调递增，
∴
，即
，∴
．
12．（2026·山西晋中·二模）已知函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性．
(2)若函数
有两个不同的零点
．
①求实数的取值范围；
②证明：
．
【解析】（1）由题意可知:
的定义域为
，且
，
若
，则
，
当
，则
;当
，则
;
可知
在
内单调递减，在
内单调递增;
若
，令
，解得
或
，
当
，即
时，令
，解得
或
;令
，解得
;
可知
在
内单调递增，在
内单调递减;
当
，即
时，则
，
可知
在
内单调递增;
当
，即
时，令
，解得
或
;令
，解得
;
可知
在
内单调递增，在
内单调递减;
综上所述:若
在
内单调递减，在
内单调递增;
若
在
内单调递增，在
内单调递减;
若
在
内单调递增;
若
在
内单调递增，在
内单调递减.
（2）①
有两个不同的零点
，
即
有两个不同实根
，
若
，则
，只有一个实数根，不符合题意，
故
，得
，
令
，
令
，得
，
当
时，
，可知
在
上单调递增，
当
时，
，可知
在
上单调递减，
当
时，
取得最大值
，且
时
，
，
当
时
，可得
可得不等式：
.
先解
，即
，解得
或
.
再解
，移项通分得
，
等价于
，即
.
因为
，故不等式等价于
，
解得
，
结合
或
，取交集得
.
所以实数的取值范围为
.
②当
时，
有两个不同的零点
.
两根满足
，
两式相加得:
，两式相减得:
，
上述两式相除得
，
不妨设
，要证:
，只需证:
，
即证
，
设
，令
，
则
，
可知函数
在
上单调递增，且
.
可得
，即
，所以
.
13．已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)记函数
，若
，存在两个相异的正实数
满足
，求证：
．
【解析】（1）当
时，
．
所以切线的方程是
即
．
（2）可得
．
令
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减．
不妨设
，令
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，从而
，
即
时，
恒成立．
而
，从而
，又
，
，函数
在
上单调递减．
，得
．
令
，则
，当
时
单调递增；
当
时
单调递减，所以
，即
，
由不等式
得
，
成立，所以
．
14．（2026·高三·陕西榆林·期末）已知函数
.
(1)当
时，求
的最小值；
(2)已知函数
有两个零点
，
，且
.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：
.
【解析】（1）当
时，
，
，
令
得
，
当
时，
；当
时，
，
因此
在
单调递减，在
单调递增，
故
的最小值为
；
（2）（ⅰ）解法1：令
得
，
设
，则
图象与直线
有两个交点，
，当
时，
；当
时，
，
因此
在
单调递增，在
单调递减，
时，
，
，
，故的取值范围为
；
解法2：函数
的定义域为
，
，
若
时，则
，故
在
上单调递减，不满足题意；
若
时，令
得
，
当
时，
；当
时，
，
因此
在
单调递减，在
单调递增，
因为函数
有两个零点，所以
，
即
，解得
，
此时
，
，
满足题意，故的取值范围为
；
（ⅱ）证明1：由（ⅰ）解法2 知，
，
，
要证
，即证
，
因为
，所以
，
又
在
单调递减，即证
，
又
，即证
.
设
，
，
则
，
当且仅当
时取等号，
所以
，函数
在
单调递增.
当
时，
，因此
，
，
因为
，所以
，故原不等式成立；
证明2：由题意可知
，
，两式相减得
，
要证
，即证
，即证
，
令
，则
，即证
（
），即证
（
），
设
（
），则
，
由（1）知，
，当且仅当
时取等号，
故
，即
，
在
单调递增，
当
时，
，故原不等式成立，
证明3：由题意可知
，
，两式相减得
，
要证
，即证
，即证
，
令
，
，则
，
，
，
即证
（
），即证
（
），
令
，即证
（
），
设
（
），则
，
在
单调递减，
，
因为
，所以
，故原不等式成立.
15．已知函数
．若函数
有两个零点
、
，求证：
．
【解析】因为
，该函数的定义域为
，
，
①若
，则
恒成立，
不可能有两个零点；
②若
，
，
令
，令
，可得
，令
，
由
可得
，由
可得
，
故
在
单调递增，在
单调递减，
且
，则
，
时符合题意，
因为函数
有两个零点
、
，
则
，可得
，同理可得
，
要证
，即证
，即证
，即证
，
即证
，即证
，
故只需证
，即证
．
构造函数
，则
，
令
，其中
，则
，
由
可得
，由
可得
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，则
，
即
，
在
上单调递增，
因为
，故
，即
，故原不等式得证.
16．已知函数
，其中
.当
时，设
的两个零点为
，
，求证：
.
【解析】由
，因为
，所以
定义域为
，
则
，
令
，得
，由
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
，又
，故
，
.
要证
，只需证
，而
，
又
在
上单调递减，只需证
即可.
又
，
令
，则
，所以
在
上单调递增，
故
，即
，则
，
所以
.
17．已知函数
有两个零点
(1)求a 的取值范围；
(2)记
，
为
的两个零点，证明：
【解析】（1）由题意得
的定义域为
，
由已知得
，
，
设
，
可得
，
由反比例函数性质得
在
上单调递减，
由幂函数性质得
在
上单调递减，
则
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
由于
，故
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
，
当
时，
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在区间
上单调递减，再区间
上单调递增，
所以
时，函数
有最小值，即
，
因为
在区间
上恒为正，而
，
所以
，
即
，
取
，则
，存在
，使
，
可得
，存在
，使
，符合题意；
当
时，
有且只有1 个零点，不符合题意；
当
时，
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
，
此时
单调递减，不会有两个零点；
当
时，当
时，
，
单调递增，
而
，
单调递减，得到
，
当
时，
存在
，
，
当
时，
，
单调递增，
，
当
时，
，
单调递减，
且由对数函数与幂函数增长速度可知，当趋于
时，
趋于
，
则存在
，
，
当
时，
，
单调递增，
，
当
时，
，
单调递减，
不会有2 个零点；
当
时，
，
，
存在
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
单调递减，
，
则
单调递减，在
上不会有2 个零点；
综上，
.
（2）由（1）得
，
，
设
，
则
，
则
，又
，
所以
，故
，
由于
，且
在
上单调递增，
则
，即
；
设
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
单调递增，
则
，则
，
由于
，
则
时，
，
当
时，
，
则
，
整理得
，
则
得，
，
由于
，则
，
则
；
综上得证.
18．已知函数
有两个零点
、
．证明：
．
【解析】令
，得
，则
，
即
，
令函数
，则
，
因为
在
上单调递增，所以
，即
令函数
，则
，
令
，得
，
，得
，
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
由题意可知，函数
有两个零点
、
，不妨设
，则
，
令函数
，则
，
所以
在
上单调递减．
因为
，所以当
时，
；当
时，
．
所以
，
，
即
，
，
所以由
有两个不相等的正根
、
，且
得
，则
，
，则
，即
，
所以
，
因为
，所以
．
