重难点07：破解极值点偏移：导数极值点
偏移问题之题型归纳（八大压轴考法）
（下）
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................3
题型一、极值点偏移之“和”型....................................................................3
题型二、极值点偏移之“积”型....................................................................9
题型三、极值点偏移之“对数”型..............................................................14
题型四、极值点偏移之“指数”型..............................................................22
题型五、极值点偏移之“平方”型..............................................................29
题型六、极值点偏移之“分式”型..............................................................37
题型七、极值点偏移之“三极值点”型......................................................43
题型八、极值点偏移之“其它复杂”型......................................................50
题型精析・方法突破提能力..............................................................................59
知识点
1 ：对称构造解决极值点偏移问题
基于极值点偏移的定义：若函数
f(x)有唯一极值点x0，且f(x1)=f(x2)（x1<x0<x2），则偏移本质是 “函数在x0
两侧的对称性缺失”。
对称构造函数法通过构造与
f(x)关于x=x0对称的函数F(x)=f(x)−f(2x0−x)，利用F(x)的单调性判断
f(x)与f(2x0−x)的大小关系，进而推导x1+x2与2x0的关系。
对称构造函数法的通用解题步骤（适配所有函数类型）
步骤 1：确定函数f(x)的唯一极值点x0
步骤 2：构造对称函数F(x)=f(x)−f(2x0−x)
步骤 3：分析F(x)的单调性与符号（关键推导环节）
知识网络・核心根基深扎牢
步骤 4：结合f(x1)=f(x2)推导偏移关系（核心结论）
步骤 5：总结偏移结论（呼应问题目标）
知识点
2 ：比值代换解决极值点偏移问题
极值点偏移问题的核心矛盾是 “双变量x1,x2的关联性”，比值代换法通过设t=x2
x1
（或t=x1
x2
)，t>1以保证x2>x1），将双变量转化为单变量t，再结合 “f(x1)=f(x2)
” 建立关于t的等式，最终将 “证明x1+x2>2x0”或“x1x2>x0
2” 转化为 “证明关于
t的不等式”，降低多变量分析难度。
比值代换法的通用解题步骤（适配指数/对数型函数）
步骤 1：确定函数\(f(x)\)的唯一极值点x0
步骤 2：设比值变量，建立双变量关联
步骤 3：结合极值点，消去参数/多余变量
步骤 4：将偏移目标转化为关于t的不等式
步骤 5：构造关于t的函数，证明不等式
步骤 6：总结偏移结论
知识点
3 ：差值代换法解决极值点偏移问题
极值点偏移问题中，当 “设比值” 易出现复杂分式（如指数函数e
x−e
y）时，差值
代换法通过设d =x2−x1（d>0，保证x2>x1），将双变量x1,x2转化为“x1与单变量
d”（即x2=x1+d），再结合 “
f(x1)=f(x2)”建立关于x1与d的等式，最终将偏移目标（如x1+x2>2x0）转化
为 “关于d的不等式”，规避比值代换的分式化简难题。
差值代换法的通用解题步骤（适配指数型/复杂函数）
步骤 1：确定函数f(x)的唯一极值点x0
步骤 2：设差值变量，建立双变量关联
步骤 3：解出x1关于d的表达式，消去多余变量
步骤 4：将偏移目标转化为关于d的不等式
步骤 5：构造关于d的函数，证明不等式
步骤 6：总结偏移结论
知识点
4 ：差值代换法解决极值点偏移问题
极值点偏移问题中，当函数含对数或指数时，“f(x1)=f(x2)” 可转化为 “对数
差 / 指数差与变量差” 的关联，而对数均值不等式（LMI）和指数均值不等式（EMI）恰
好建立了这类 “差关系” 与 “均值关系” 的桥梁：
（1）对数均值不等式（LMI）：对正实数
(x1≠x2)，有❑√x1x2<x1−x2
lnx1−lnx2
<x1+x2
2
（几何均值 < 对数均值 < 算术均值）；
（2）指数均值不等式（EMI）：对实数(x1≠x2)，有e
x1+x2
2
<e
x1−e
x2
x1−x2
<e
x1+e
x2
2
（指
数几何均值 < 指数均值 < 指数算术均值）。
通过将 “f(x1)=f(x2)” 推导的 “差关系” 代入不等式，可直接关联 “
x1+x2”“x1x2” 与极值点x0，快速证明偏移目标。
对数指数均值不等式法的通用解题步骤（分对数 / 指数场景）
场景 1：含对数函数（适配 LMI，如f(x)=lnx−ax）
步骤 1：确定函数唯一极值点x0
步骤 2：由f(x1)=f(x2)推导 “对数差与变量差” 关系
步骤 3：代入 LMI，关联偏移目标
场景 2：含指数函数（适配 EMI，如f(x)=e
x−ax）
步骤 1：确定函数唯一极值点x0
步骤 2：由f(x1)=f(x2)推导 “指数差与变量差” 关系
步骤 3：代入 EMI，关联偏移目标
极值点偏移之“和”型特征：x1+x2>2x0或x1+x2<2x0
【例题1】已知函数f ( x)= x
2−2 x +1+ae
x有两个极值点x1, x2
，且x1< x2
，求证：
x1+ x2>4.
【1-1】已知函数f (x)=e
x(cos x +1)−ax，a∈R.
(1)若a=1，求曲线y = f (x)在x =π处的切线方程；
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、极值点偏移之“和”型
典例探究
举一反三
(2)若a=0，求y = f (x)在(0,π)内的极值；
(3)设g(x)= f (x)−e
xcos x，若g(x)有2 个零点x1
，x2
，且x1< x2
，求证：
x1+ x2<2lna.
【1-2】已知函数f (x)= xe
x−a恰有两个零点x1, x2
．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：x1+ x2<−2．
【1-3】已知函数f (x)=ln x−a ❑√x +1,a∈R.
(1)若f (x)≤0，求a的取值范围；
(2)若关于x的方程f (x
2)=e
ax−e x
2有两个不同的正实根x1, x2
，证明：x1+ x2>2❑√e.
极值点偏移之“积”型特征：x1∙x2>x0
2或x1∙x2<x0
2
【例题2】已知函数h(x)=ln x和g(x)=ax，若存在两个实数x1, x2，且x1≠x2，使得
题型二、极值点偏移之“积”型
典例探究
h(x1)= g(x1)，h(x2)= g(x2)，证明：x1 x2>e
2．
【2-1】若x1, x2
是函数f (x)=e
x−ax (x>0)的两个零点，且x1< x2
，求证：x1+ x2>2且
x1 x2<1．
【2-2】已知函数f (x)= x−ln x−a．
(1)若f (x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f (x)有两个零点x1，x2，则x1 x2<1．
【2-3】已知函数f ( x)=e
x
x −ln x + x−a.若f ( x)有两个零点x1, x2，证明：x1 x2<1.
举一反三
题型三、极值点偏移之“对数”型
极值点偏移之“对数”型特征：lnx1+ ln x2，a ln x1+b ln x2，ln(x1+x2)，ln(x1∙x2)
【例题3】已知函数f (x)=e
x+ x
2，g(x)= x ln x +(a+1) x.
(1)求曲线y = g(x)在(1, g(1))处的切线方程；
(2)若f (x)≥g(x)，求a的取值范围；
(3)若f (x)= g(x)有两个实数解x1，x2，证明：ln x1+ ln x2<0.
【3-1】2024 年9 月25 日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，
飞行轨迹复杂，飞行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀
螺仪才能引导导弹精准命中目标.为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度.
如图所示的光滑曲线C : y = f (x)上的曲线段´AB，其弧长为Δ s，当动点从A沿曲线段
´AB运动到B点时，A点的切线l A也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为
Δθ（它等于lB的倾斜角与l A的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯
曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =|
Δθ
Δ s)
为曲线
段´AB的平均曲率；显然当B越接近A，即Δ S越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯
曲程度，因此定义K = lim
Δ s→0|
Δθ
Δ s)=
|y
″)
(1+ y
′2)
3
2
（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率.（其
中y
′，y
″分别表示y = f (x)在点A处的一阶、二阶导数）
典例探究
举一反三
(1)求函数f (x)= x
2−3 x−4在点(−1,0)处的曲率；
(2)已知函数g(x)=sin x +cos x，求函数g(x)的曲率K的最大值.
(3)设函数h(x)= x
2ln x−a
3 x
3−3
2 x
2，a∈(0, 1
e)，若存在x1，x2使得h(x)的曲率为
0，求证：2ln x1+ ln x2> 8
3
.
【3-2】设函数f (x)=ln x−ax (a∈R).
(1)若a=3，求函数f (x)的最值；
(2)若函数g(x)= xf (x)−x +a有两个不同的极值点，记作x1, x2，且x1< x2，求证：
ln x1+2ln x2>3.
【3-3】已知函数f (x)= xln x−x．
(1)求函数f (x)的最值；
(2)若函数g(x)= f (x)−a x
2+a有两个不同的极值点，记作x1, x2
，且x1< x2
，求证：
ln x1+2ln x2>3．
极值点偏移之“指数”型特征：a
x1∙a
x2，e
x1∙e
x2，a
x1+x2，e
x1+x2，ln(x1∙x2)
【例题4】已知函数f (x)=(x−1)ln x−x
2+ax (a∈R)．
(1)若函数y = f
′ (x)有两个零点，求a的取值范围；
(2)设x1, x2是函数f (x)的两个极值点，证明：2
x1⋅2
x2>4．
【4-1】已知函数h(x)= x−aln x (a∈R).
(1)若h(x)有两个零点，求a的取值范围；
(2)若方程xe
x−a(ln x + x)=0有两个实数根x1, x2，且x1≠x2，证明：e
x1+ x2>e
2
x1 x2
.
【4-2】已知函数f ( x)=e
x−ax（e是自然对数的底数）.
(1)讨论函数f ( x)的单调性；
(2)若g( x)=e
x( x −1)−a ln x + f ( x)有两个零点分别为x1, x2
.
①求实数a的取值范围；
②求证：x1 x2>e
2
e
x1+ x2 .
题型四、极值点偏移之“指数”型
典例探究
举一反三
【4-3】设a，b为函数f (x)= x⋅e
x−m（m<0）的两个零点．
(1)求实数m的取值范围；
(2)证明：e
a+e
b<1．
极值点偏移之“平方”型特征：x1
2+x2
2，ax1
2+bx2
2，
【例题5】曲率是指曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲率越大，表示曲线在
该点处的弯曲程度越大．记f
″ (x)=[f
′ (x))
′，定义曲线y = f (x)在点P(x0,f (x0))处的曲率为
K =
|f
″(x0))
[1+(f
′(x0))
2)
3
2
．
(1)比较曲线y = xln x在点A (1,0)和B(e
−1,−e
−1)处弯曲程度的大小；
(2)若函数f (x)= x
2ln x−a x
3−1
2 x
2的图象上存在两个不同的点P1(x1,g(x1))、
P2(x2, g(x2))，使得曲线y = g(x)在P1、P2处的曲率均为0．
（i）求a的取值范围；
题型五、极值点偏移之“平方”型
典例探究
（ii）证明：x1
2+ x2
2>2．
【6-1】已知函数f (x)=ln x
x
−ax．
(1)若f (x)≤−1，求实数a的取值范围；
(2)若f (x)有2 个不同的零点x1, x2(x1< x2)，求证：2 x1
2+3 x2
2> 12
5a
．
【6-2】已知函数f (x)= 1+ ln x
ax
，其中e为自然对数的底数．
(1)当a=1时，求f (x)的单调区间；
(2)若方程f (x)=1有两个不同的根x1, x2．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x1
2+ x2
2>2．
【6-3】已知函数f ( x)= 2ln x−a
x
2
.
(1)若x>0时，f ( x)≤1恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当实数a取第（1）问中的最小值时，若方程f ( x)=m有两个不相等的实数根x1，x2，
举一反三
请比较x1
2+ x2
2，2 x1
2 x2
2，2 这三个数的大小，并说明理由.
极值点偏移之“分式”型特征：x2
x1
或x1
x2
，1
x1
+ 1
x2
，
1
lnx1
+
1
lnx2
，1
x1
2 + 1
x2
2 等
【例题6】已知函数f (x)= x
2+ ax +a
e
x
(a∈R)有两个零点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）设x1、x2是f (x)的两个零点，求证：1
x1
+ 1
x2
<0.
【6-1】已知函数f (x)=ae
−x+ ln x−1（a∈R）.
（1）当a≤e时，讨论函数f (x)的单调性；
（2）若函数f (x)恰有两个极值点x1，x2（x1< x2），且x1+ x2≤(2e+1)⋅ln 2e
2e−1
，求
x2
x1
的最大值.
题型六、极值点偏移之“分式”型
典例探究
举一反三
【6-2】已知函数f ( x)=(2e−x)ln x，其中e =2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数.
（1）讨论函数f ( x)的单调性；
（2）若x1, x2∈(0,1)，且x2ln x1−x1ln x2=2e x1 x2(ln x1−ln x2)，证明：
2e< 1
x1
+ 1
x2
<2e+1.
【6-3】已知函数
f ( x)= x−e
x
a(a>0)
有两个相异零点x1
､x2
，且x1< x2
，求证：x1
x2
<e
a
.
极值点偏移之“三极值点”型特征：
x1+x2+x3，ax1+bx2+cx3，题干中含x1，x2，x3证明中含其中两项等
【例题7】已知函数f ( x)=e
x+e
−x−a
2 x
2有三个极值点x1, x2, x3．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：e
x1+e
x2+e
x3>2a−1．
题型七、极值点偏移之“三极值点”型
典例探究
【7-1】若函数f (x)=a ln x−1
2 x
2+a+ 1
2
(x>0)有两个零点x1, x2，且x1< x2.
(1)求a 的取值范围；
(2)若f (x)在(x1,0)和(x2,0)处的切线交于点(x3, y3)，求证：2 x3< x1+ x2<2(a+1).
【7-2】已知函数f (x)=e
x−a x
2(a>0)．
(1)当a=e
2
4
时，判断f (x)在区间(1,+ ∞)内的单调性；
(2)若f (x)有三个零点x1, x2, x3，且x1< x2< x3．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x1+ x2+ x3>3.
【7-3】已知函数f (x)=(x−e−1)e
x−1
2 e x
2+e
2 x．
(1)求函数f (x)的单调区间与极值；
(2)若f (x1)= f (x2)= f (x3)(x1< x2< x3)，求证：x3−x1
2
<e−1．
举一反三
极值点偏移之“其它复杂”型特征：
混合型（“
”“
”“
”“
”“
”“
和
积
分式
对数
指数），其它复杂型。
【例题8】已知函数f ( x)= 1
2 x
2+ x−x ln x的导函数为f
′( x).
(1)判断f ( x)的单调性；
(2)若关于x的方程f
′( x)=m有两个实数根x1
，x2( x1< x2)，求证：x1 x2
2<2.
【8-1】已知函数f ( x)= x ln x −a x
2−2 x.
(1)若过点(1,0)可作曲线y = f ( x)两条切线，求a的取值范围；
(2)若f ( x)有两个不同极值点x1, x2.
①求a的取值范围；
②当x1>4 x2
时，证明：x1 x2
2>16e
3.
【8-2】已知函数f (x)=e
x−ax，x∈(0,+ ∞)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若函数g(x)= f (x)−x ln x−1有两个零点x1, x2(x1< x2)；
（i）求a的取值范围；
题型八、极值点偏移之“其它复杂”型
典例探究
举一反三
（ii）证明
x2−x1
ln x2−ln x1
<1．
【8-3】设函数f (x)= x
2+ ln x.
(1)求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)设函数g(x)= f (x)−ax (a∈R)
（i）当x =1时，g(x)取得极值，求g(x)的单调区间；
（ii）若g(x)存在两个极值点x1, x2
，证明：g(x2)−g(x1)
x2−x1
> 4
a −a
2
.
【突破提升训练・1】已知函数f ( x)= x + m
e
x ．
(1)讨论f ( x)的单调性；
(2)若x1≠x2
，且f (x1)= f (x2)=2，证明：0<m<e，且x1+ x2<2．
【突破提升训练・2】已知函数f (x)= ln x + 2a
x ,a∈R．若函数f (x)有两个不相等的零点
题型精析・方法突破提能力
x1, x2．
(1)求a 的取值范围；
(2)证明：x1+ x2>4 a．
【突破提升训练・3】已知函数f ( x)= aln x +a
x
．
(1)讨论f (x)的极值；
(2)若(e x1)
x2=(e x2)
x1（e 是自然对数的底数），且x1>0，x2>0，x1≠x2
，证明：
x1+ x2>2．
【突破提升训练・4】已知函数f (x)=kx +ln x−5
4 k (k ∈R)．
(1)求函数f (x)的单调区间和最大值；
(2)设函数g(x)= f (x)−kx + 1
x
有两个零点x1, x2，证明：x1+ x2>2．
【突破提升训练・5】已知函数f ( x)= 1
2 a x
2−(2a+1)x +2ln x(a∈R).
(1)若f ( x)有唯一极值，求a的取值范围；
(2)当a≤0时，若f ( x1)= f ( x2)，x1≠x2，求证：x1 x2<4.
【突破提升训练・6】已知函数f (x)=e
x
x −x⋅e
1
x.
(1)求f (x)在[1,+∞)上的最小值.
(2)设g(x)= f (x)+ xe
1
x + x−ln x−a，若g(x)有两个零点x1, x2，证明：x1 x2<1.
【突破提升训练・7】已知函数f (x)=2 x +a x
2+ xln x ,a∈R.
(1)当a=0时，求曲线y = f (x)在x =e处的切线方程；
(2)若f (x)有两个零点x1, x2，且x2>3 x1，证明：x1 x2> 9
e
4 .
【突破提升训练・8】已知函数f (x)= 1
2 x
2−(a+2) x +2aln x (a∈R)．
(1)讨论函数f (x)的单调区间；
(2)当a= 1
2
时，证明：f (x)−1
2 x
2+ 7
2 x ≤xe
x +1−2；
(3)函数h(x)= f (x)−1
2 x
2有两个零点x1、x2，求证：x1 x2>e
2．
【突破提升训练・9】已知函数f ( x)= x e
−x( x ∈R)．
（1）判断函数f ( x)的单调性；
（2）若方程f ( x)+2a
2−3a+1=0有两个不同的根，求实数a的取值范围；
（3）如果x1≠x2，且f ( x1)= f ( x2)，求证：ln( x1+ x2)>ln 2．
【突破提升训练・10】已知函数f (x)= x
2ln x−1
3 a x
3−3
2 x
2.
（1）若函数y = f (x)在定义域上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）设函数f (x)有两个极值点x1
，x2
，求证：ln(x1 x2)>4.
【突破提升训练・11】已知函数g(x)= ln x−1
2 mx−1，m∈R.
（1）当m=1时，求该函数在x =1处的切线方程；
（2）求该函数的单调区间和极值；
（3）若函数f (x)= xg(x)在其定义域上有两个极值点x1, x2，且x1< x2，求证：
ln x1+ ln x2>2.
【突破提升训练・12】设k ∈R，函数f (x)=ln x−kx.
(1)若k =2，求曲线y = f (x)在x =1处的切线方程；
(2)若f (x)无零点，求实数k的取值范围；
(3)若f (x)有两个相异零点x1，x2，求证：ln x1+ln x2>2.
【突破提升训练・13】已知函数f (x)= x−ln x +m,g(x)= x
e
x ．
(1)若函数f (x)和g(x)的图象都与平行于x轴的同一条直线相切，求m的值；
(2)若函数F (x)= f (x)−g(x)有两个零点x1, x2，证明：e
x1⋅e
x2>e
2．
【突破提升训练・14】已知函数f (x)= xe
x−a ln x−a，其中a>0．
(1)若a=2e，求f (x)的极值：
(2)令函数g(x)= f (x)−ax +a，若存在x1
，x2
使得g(x1)= g(x2)，证明：
x1e
x1+ x2e
x2>2a．
【突破提升训练・15】已知函数h(x)= x−a ln x (a∈R).
(1)若h(x)有两个零点，a的取值范围；
(2)若方程xe
x−a(ln x + x)=0有两个实根x1、x2，且x1≠x2，证明：e
x1+ x2>e
2
x1 x2
.
【突破提升训练・16】已知函数f (x)=e
x−2 x−(a+1)，g(x)= x
2+(a−1) x−(a+2)（其
中e≈2.71828是自然对数的底数）
(1)试讨论函数f (x)的零点个数；
(2)当a>1时，设函数h(x)= f (x)−g(x)的两个极值点为x1、x2且x1< x2，求证：
e
x2−e
x1<4 a+2.
【突破提升训练・17】在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，另一
个顶点B在函数f (x)=ln x
x
图象上
(1)当顶点B在x轴上方时，求 Rt△OAB以x轴为旋转轴，边AB和边OB旋转一周形成
的面所围成的几何体的体积的最大值；
(2)已知函数g(x)=e
a x
2
−e x +a x
2−1
x
，关于x的方程f (x)= g(x)有两个不等实根
x1，x2 (x1< x2).
（i）求实数a的取值范围;
（ii）证明：x1
2+ x2
2> 2
e
.
【突破提升训练・18】已知函数f (x)=ln x +1
ax
.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若(e x1)
x2=(e x2)
x1（e 是自然对数的底数），且x1>0，x2>0，x1≠x2
，证明：
x1
2+ x2
2>2.
【突破提升训练・19】已知函数f (x)=ln x−a x
2.
(1)讨论函数f (x)的单调性：
(2)若x1, x2
是方程f (x)=0的两不等实根，求证：x1
2+ x2
2>2e；
【突破提升训练・20】已知函数f (x)= ln x
x −ax.
(1)若f (x)≤−1，求实数a的取值范围；
(2)若f (x)有2 个不同的零点x1, x2（x1< x2），求证：2 x1
2+3 x2
2> 12
5a
.
【突破提升训练・21】已知函数f (x)= x
2ln x−a(a∈R)．
(1)若f (x)恰有两个零点，求a 的取值范围；
(2)若f (x)的两个零点分别为x1, x2
（x1< x2
），求证：2a
x1
2 + a
x2
2 <−e
2
．
【突破提升训练・22】已知函数f (x)= x (1−ln x).
（1）讨论f (x)的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且b ln a−a ln b=a−b，证明：2< 1
a + 1
b <e.
【突破提升训练・23】已知函数f ( x)= a+ ln x
x
(a∈R)．
(1)求函数f ( x)的单调区间；
(2)当函数f ( x)与函数g( x)=lnx图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；
(3)证明：当a∈(0, 1
2 )时，函数h( x)= f ( x)−ax有两个零点x1，x2，且满足
1
x1
+ 1
x2
< 1
a．
【突破提升训练・24】已知函数f (x)=ae
−x+ ln x−1(a∈R).
(1)当a≤e时，讨论函数f (x)的单调性；
(2)若函数f (x)恰有两个极值点x1
，x2(x1< x2)，且x1+ x2≤3
2 ln5，求x2
x1
的取值范围.
【突破提升训练・25】已知函数f (x)=3ln x +a x
2−4 x(a>0).
(1)当a=1时，讨论f (x)的单调性；
(2)当a= 1
2
时，若方程f (x)=b有三个不相等的实数根x1, x2, x3，且x1< x2< x3，证明：
x3−x1<4.
【突破提升训练・26】已知函数f (x)= ae
x
x + ln x−x (a∈R)．
(1)讨论函数f (x)的极值点的个数；
(2)若函数f (x)恰有三个极值点x1
、x2
、x3(x1< x2< x3)，且x3−x1≤1，求x1+ x2+ x3
的最大值．
【突破提升训练・27】已知函数f ( x)=(1−
2
x +1)e
x−k( x−1), x>−1,k ∈R．
(1)若k =0，证明：x∈(−1,0)时，f ( x)<−1；
(2)若函数f ( x)恰有三个零点x1, x2, x3，证明：x1+ x2+ x3>1．
【突破提升训练・28】已知函数f (x)= (x−a)
2
ln x
（其中a为常数）．
(1)当a=1时，对于任意大于1的实数x，恒有f (x)≥k成立，求实数k的取值范围；
(2)当0<a<1时，设函数f (x)的3个极值点为x1、x2、x3，且x1< x2< x3，求证：
x1+ x3> 2
❑√e ．
【突破提升训练・29】已知函数f ( x)=ax−ln x，g(x)=e
x−ax +2．
(1)若f ( x)与g( x)都存在极值，且极值相等，求实数a的值；
(2)令h( x)= f ( x)
x
2
，若h( x)有2 个不同的极值点x1, x2
，求证：
x1h(x1)−x2h(x2)
x1−x2
< 1
2e
3
．
【突破提升训练・30】若函数f (x)在定义域内存在两个不同的数x1，x2，同时满足
f (x1)= f (x2)，且f (x)在点(x1,f (x1))，(x2,f (x2))处的切线斜率相同，则称f (x)为“切合
函数”.
(1)证明：f (x)=2 x
3−6 x为“切合函数”；
(2)若g(x)= xln x−1
e x
2+ax为“切合函数”（其中e为自然对数的底数），并设满足
条件的两个数为x1，x2.
（ⅰ）求证：x1 x2<e
2
4
；
（ⅱ）求证：(a+1)
2 x1 x2−❑√x1 x2< 3
4
.
【突破提升训练・31】已知h(x)=ln x−ax
(1)若h(x)有两个零点，求a的取值范围；
(2)若方程ax⋅e
x=ln x + x有两个实根x1、x2，且x2> x1，证明：h
′(
x1e
x1+ x2e
x2
2
)<0.
【突破提升训练・33】已知函数f (x)= ln x
x
2+a
（x>0），其中a∈R.
（1）讨论函数f (x)的单调性；
（2）若e
2[(x−1)
2(x +1)+ ln x)<e
2 x ln x，求x 的取值范围；
（3）当a=3e
4时，若x1，x2为函数g(x)= f (x)−m（m∈R）的两个零点，试证明：
4 e
2
(x1+e
2)(x2+e
2)
<m(x1+ x2)<
1+e
e(
❑√x1+ ❑√x2)
.
