重难点11 极值点偏移与拐点偏移问题（举一反三专项训练）
【全国通用】
【题型1 对称化构造函数求极值点偏移问题】.....................................................................................................2
【题型2 比值代换求极值点偏移问题】..................................................................................................................4
【题型3 指数、对数均值不等式求极值点偏移问题】.........................................................................................5
【题型4 极值点偏移：加法型】..............................................................................................................................5
【题型5 极值点偏移：减法型】..............................................................................................................................6
【题型6 极值点偏移：乘积型】..............................................................................................................................8
【题型7 极值点偏移：商型】..................................................................................................................................9
【题型8 极值点偏移：平方型】............................................................................................................................10
【题型9 极值点偏移：复杂型】............................................................................................................................11
【题型10 拐点偏移问题】......................................................................................................................................12
1、极值点偏移与拐点偏移问题
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题
常常出现在高考数学的压轴题中，是近几年高考的热点问题，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦
琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色，
复习是要注意此类问题的求解.
知识点
1
极值点偏移问题及其解题策略
1．极值点偏移的概念
(1)已知函数y=f(x)是连续函数，在区间(a,b)内只有一个极值点x0，f(x1)=f(x2)，且x0在x1与x2之间，由于函
数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有
，这种情
况称为极值点偏移.
(2)极值点偏移
若
，则极值点偏移，此时函数f(x)在x=x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3).
(左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x1)=f(x2)，则x1+x2>2x0；
(左缓右陡，极值点向右偏移)若f(x1)=f(x2)，则x1+x2<2x0.
2．极值点偏移问题的一般题设形式
(1)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(2)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(3)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令
，求证：f'(x0)>0；
(4)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)=f(x2)，令
，求证：f'(x0)>0.
3．极值点偏移问题的常见解法
(1)(对称化构造法)：构造辅助函数：
①对结论x1+x2>2x0型，构造函数
.
②对结论
型，方法一是构造函数
，通过研究
的单调性获得不等式；方
法二是两边取对数，转化成lnx1+lnx2>2lnx0，再把lnx1，lnx2看成两变量即可.
(2)(比值代换法)：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换
化为单变量的函数不等式，利用函
数单调性证明.
知识点
2
指数、对数均值不等式解决极值点偏移问题
极值点偏移问题是近几年高考的热点问题，求解此类问题的一个重要工具就是指数均值不等式和对数均值
不等式.
1．对数均值不等式
结论1 对任意的a,b>0(a≠b)，有
.
2．指数均值不等式
结论2 对任意实数m, n( m≠n)，有
.
【题型1 对称化构造函数求极值点偏移问题】
【例1】（2025·云南·二模）已知常数a>0，函数f ( x)= 1
2 x
2−ax−2a
2ln x.
(1)若∀x>0,f ( x)>−4 a
2，求a的取值范围;
(2)若x1、x2是f ( x)的零点，且x1≠x2，证明:x1+ x2>4 a.
【变式1-1】（24-25 高二下·广东深圳·期末）已知函数f (x)=(x +a)e
x，直线y =2 x +1是曲线y = f (x)的一
条切线．
(1)求a的值，并讨论函数f (x)的单调性；
(2)若f (x1)= f (x2)，其中x1< x2
，证明：x1⋅x2>4．
【变式1-2】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f (x)= ax
e
x (a≠0)．
(1)若对任意的x∈R，都有f (x)≤1
e
恒成立，求实数a的取值范围；
(2)设m、n是两个不相等的实数，且m=ne
m−n．求证：m+n>2．
【变式1-3】（2025 高二下·云南曲靖·学业考试）已知函数f (x)=loga x−x
a (a>1)．
(1)若f (x)只有一个零点，求a的值；
(2)若f (x)有两个零点x1, x2，证明：x1+ x2> 2a
lna
．
【题型2 比值代换求极值点偏移问题】
【例2】（2025 高三·全国·专题练习）若x1, x2是函数f (x)=e
x−ax (x>0)的两个零点，且x1< x2，求证：
x1+ x2>2且x1 x2<1．
【变式2-1】（24-25 高二下·重庆·期末）已知函数f (x)=ae
−2 x+ln x−1(a∈R)．
(1)若函数f (x)在(0,+ ∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若函数f (x)恰有两个极值点x1, x2(x1< x2)，且x2
x1
的最大值为e
2，求证：x1+ x2≤e
2+1
e
2−1
．
【变式2-2】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数ℎ(x)=ln x和g(x)=ax，若存在两个实数x1, x2，且
x1≠x2
，使得ℎ(x1)= g(x1)，ℎ(x2)= g(x2)，证明：x1 x2>e
2．
【变式2-3】（2025·北京通州·三模）已知函数f (x)=ax−a
x −ln x(a>0)
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y = x−1，求实数a 的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围.
(3)已知g(x)= f (x)+ a
x
有两个零点x1，x2，求实数a 的取值范围并证明x1 x2>e
2.
【题型3 指数、对数均值不等式求极值点偏移问题】
【例3】（24-25 高三上·浙江宁波·开学考试）已知函数f (x)= ln x
x
，对于正实数a，若关于t 的方程
f (t )= f(
a
t )恰有三个不同的正实数根，则a 的取值范围是（ ）
A．(1,8)
B．(e
2,8)
C．(8,+∞)
D．(e
2,+ ∞)
【变式3-1】（2025·湖南长沙·一模）已知a=(e−0.1)
e+0.1，b=e
e，c =(e+0.1)
e−0.1，则a，b，c 的大小关
系是（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<a<c
D．a<c<b
【变式3-2】（2025·山东·模拟预测）已知函数ℎ(x)= x−aln x (a∈R).
(1)若ℎ(x)有两个零点，a的取值范围；
(2)若方程xe
x−a(ln x + x)=0有两个实根x1、x2，且x1≠x2，证明：e
x1+ x2>e
2
x1 x2
.
【变式3-3】（24-25 高二下·湖南·期末）已知函数f (x)=ae
x−x
2+3(a∈R).
(1)若方程f (x)=0有3 个零点，求实数a的取值范围；
(2)若φ(x)=−x
2+2 x + 4−f (x)有两个零点x1, x2(x1< x2)，求证：0<a< 2❑√e
e
，且❑√
2 x2+1
2 x1+1 <e
x2−e
−x1
x2+ x1
.
【题型4 极值点偏移：加法型】
【例4】（24-25 高三上·河北·阶段练习）已知函数f (x)= ln x + a
x
.
(1)若该函数在[1,+∞)单调递增，求a的取值范围.
(2)当a=1时，若方程f (x)=m有两个实数根x1, x2，且x1< x2，证明：x1+ x2>2.
【变式4-1】（2024 高三下·全国·专题练习）已知函数f (x)=2 x ln x−x
2+1．
(1)证明：f (x)<1；
(2)若0< x1< x2
，且f (x1)+ f (x2)=0，证明：x1+ x2>2．
【变式4-2】（2025·江苏扬州·模拟预测）已知函数f (x)= ln (mx)−x (m>0)．
(1)若f (x)≤0恒成立，求m的取值范围；
(2)若f (x)有两个不同的零点x1, x2，证明x1+ x2>2．
【变式4-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)=e
x−a x
2(a>0)．
(1)当a=e
2
4
时，判断f (x)在区间(1,+∞)内的单调性；
(2)若f (x)有三个零点x1, x2, x3，且x1< x2< x3．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x1+ x2+ x3>3.
【题型5 极值点偏移：减法型】
【例5】（2025·山东日照·一模）已知函数f (x)=3 ln x +a x
2−4 x (a>0)．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)当a= 1
2
时，若方程f (x)=b有三个不相等的实数根x1, x2, x3，且x1< x2< x3，证明：x3−x1<4．
【变式5-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)=(x−e−1)e
x−1
2 e x
2+e
2 x．
(1)求函数f (x)的单调区间与极值；
(2)若f (x1)= f (x2)= f (x3)(x1< x2< x3)，求证：x3−x1
2
<e−1．
【变式5-2】（23-24 高三上·河南·开学考试）f (x)=ln(e
x +a+1)−x
2 + x
2
4 +b有两个零点x1, x2(x1< x2)．
(1)a=0时，求b的范围；
(2)b=−1且a< 5
4
时，求证：x2−x1<2❑√5−4 a．
【变式5-3】（24-25 高三下·天津·阶段练习）已知函数f ( x)= x
2−2ax + 4 ln x．
(1)讨论f ( x)的单调区间；
(2)已知a∈[ 4,6]，设f ( x)的两个极值点为λ1, λ2(λ1< λ2)，且存在b∈R，使得y = f ( x)的图象与y =b有
三个公共点x1, x2, x3(x1< x2< x3)；
①求证：x1+ x2>2 λ1；
②求证：x3−x1<4 ❑√7．
【题型6 极值点偏移：乘积型】
【例6】（24-25 高二下·北京西城·期中）已知函数f (x)= x−ln x−a．
(1)若f (x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f (x)有两个零点x1，x2，则x1 x2<1．
【变式6-1】（24-25 高二上·江苏连云港·期末）已知函数f (x)=2 x +a x
2+ xln x ,a∈R.
(1)当a=0时，求曲线y = f (x)在x =e处的切线方程；
(2)若f (x)有两个零点x1, x2，且x2>3 x1，证明：x1 x2> 9
e
4 .
【变式6-2】（24-25 高三上·北京房山·期中）已知函数f (x)= ln x−x
(1)求函数f (x)单调区间；
(2)设函数g(x)= f (x)+a，若x1, x2∈(0,e)是函数g(x)的两个零点，
①求a的取值范围；
②求证：x1 x2<1．
【变式6-3】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数f ( x)= ln x + 1
2 a x
2−(a+1)x ,(a∈R).
(1)当a=1时，判断函数y = f ( x)的单调性；
(2)若关于x的方程f ( x)= 1
2 a x
2有两个不同实根x1, x2，求实数a的取值范围，并证明x1⋅x2>e
2.
【题型7 极值点偏移：商型】
【例7】（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数f (x)=a x
2，g(x)= x (1−ln x).
(1)若对于任意x∈(0,+ ∞)，都有f (x)< g(x)，求实数a的取值范围；
(2)若函数y = g(x)−m有两个零点x1, x2，求证：1
x1
+ 1
x2
>2.
【变式7-1】（24-25 高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数f ( x)= a
x + ln x ,g( x)=ax−ln x−2.
(1)若a>0，当f ( x)与g( x)的极小值之和为0 时，求正实数a的值；
(2)若f (x1)= f (x2)=2(x1≠x2)，求证：1
x1
+ 1
x2
> 2
a.
【变式7-2】（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知函数f (x)=−2ln x−a
x
2 +1.
(1)当a=1时，求f (x)在区间[
1
2 ,2)上的最值；
(2)若f (x)有两个不同的零点x1, x2
，证明：1
x1
2 + 1
x2
2 > 2
a
.
【变式7-3】（24-25 高二上·湖北武汉·期末）已知函数f ( x)=(2e−x)ln x，其中e =2.71828⋅⋅⋅为自然
对数的底数.
（1）讨论函数f ( x)的单调性；
（2）若x1, x2∈(0,1)，且x2ln x1−x1ln x2=2e x1 x2(ln x1−ln x2)，证明：2e< 1
x1
+ 1
x2
<2e+1.
【题型8 极值点偏移：平方型】
【例8】（24-25 高二下·辽宁·期末）已知函数f (x)=ln x +1
ax
.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若(e x1)
x2=(e x2)
x1（e 是自然对数的底数），且x1>0，x2>0，x1≠x2
，证明：x1
2+ x2
2>2.
【变式8-1】（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，另一个顶点
B在函数f (x)=ln x
x
图象上
(1)当顶点B在x轴上方时，求 Rt△OAB以x轴为旋转轴，边AB和边OB旋转一周形成的面所围成的几何体
的体积的最大值；
(2)已知函数g(x)=e
a x
2
−e x +a x
2−1
x
，关于x的方程f (x)= g(x)有两个不等实根x1，x2 (x1< x2).
（i）求实数a的取值范围;
（ii）证明：x1
2+ x2
2> 2
e
.
【变式8-2】（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）已知函数f (x)= 1+ ln x
ax
，其中e为自然对数的底数．
(1)当a=1时，求f (x)的单调区间；
(2)若方程f (x)=1有两个不同的根x1, x2．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x1
2+ x2
2>2．
【变式8-3】（2025·山西·模拟预测）已知函数f (x)= ln x
x −ax.
(1)若f (x)≤−1，求实数a的取值范围；
(2)若f (x)有2 个不同的零点x1, x2（x1< x2），求证：2 x1
2+3 x2
2> 12
5a
.
【题型9 极值点偏移：复杂型】
【例9】（2025·湖北武汉·三模）已知函数f (x)=ax +(a−1)ln x + 1
x
，a∈R．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)若关于x的方程f (x)= xe
x−ln x + 1
x
有两个不相等的实数根x1、x2，
（
）求实数
ⅰ
a 的取值范围；
（
）求证：
ⅱ
e
x1
x2
+e
x2
x1
> 2a
x1 x2
．
【变式9-1】（23-24 高二下·四川成都·阶段练习）已知函数f (x)=e
x−ax，x∈(0,+∞)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若函数g(x)= f (x)−x ln x−1有两个零点x1, x2(x1< x2)；
（i）求a的取值范围；
（ii）证明
x2−x1
ln x2−ln x1
<1．
【变式9-2】（2025·陕西安康·二模）已知函数f (x)=a ln x，g(x)=be
x（e 为自然对数的底数）
(1)当a=e时，恰好存在一条过原点的直线与f (x)，g(x)都相切，求b 的值；
(2)若b=1，方程xg(x)−f (x)−ax =0有两个根x1，x2
，（0< x1< x2
），求证：x1⋅x2>e
2−(x1+ x2)．
【变式9-3】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f ( x)=e
x−ax（e是自然对数的底数）.
(1)讨论函数f ( x)的单调性；
(2)若g( x)=e
x( x−1)−aln x + f ( x)有两个零点分别为x1, x2
.
①求实数a的取值范围；
②求证：x1 x2>e
2
e
x1+ x2 .
【题型10 拐点偏移问题】
【例10】（24-25 高三下·陕西西安·阶段练习）
拐点
又称
反曲点
，是曲线上弯曲方向发生改变的
“
”
“
”
点.设φ
′ (x)为函数φ(x)的导数，若α为φ
′ (x)的极值点，则(α ,φ(α ))为曲线y =φ(x)的拐点.
已知函数f (x)=ae
x−x ln x有两个极值点x1, x2，且Q(x0,f (x0))为曲线C：y = f (x)的拐点.
(1)求a 的取值范围；
(2)证明：C 在Q 处的切线与其仅有一个公共点；
(3)证明：f
′(x0)<
1
x1 x2
.
【变式10-1】（23-24 高二下·云南·开学考试）给出定义:设f
′( x)是函数y = f ( x)的导函数，f
″( x)是函数
f
′( x)的导函数，若方程f
″( x)=0有实数解x = x0，则称(x0,f (x0)))为函数y = f ( x)的
拐点
“
”.
(1)经研究发现所有的三次函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a≠0)都有
拐点
，且该
拐点
也是函数
“
”
“
”
y = f ( x)的图象的对称中心.已知函数f ( x)= x
3+b x
2−9 x +a的图象的对称中心为(−1,10)，讨论函数
f ( x)的单调性并求极值.
(2)已知函数g( x)=2m x
3+[6 ln(mx)−15) x
2+ 18
m x−5
m
2 +1，其中m>0.
（i）求g( x)的拐点；
（ii）若g(x1)+ g(x2)=2(0< x1< x2)，求证:x1+ x2> 2
m
.
【变式10-2】（24-25 高二下·陕西咸阳·阶段练习）给出定义：设f
′ (x)是函数y = f (x)的导函数，f
″ (x)是函
数f
′ (x)的导函数，若方程f
″ (x)=0有实数解x = x0，则称(x0,f (x0))为函数y = f (x)的
拐点
“
”.经研究发现
所有的三次函数f (x)=a x
3+b x
2+cx +d (a≠0)都有
拐点
，且该
拐点
也是函数
“
”
“
”
y = f (x)图象的对称
中心.
(1)若函数f (x)= x
3+3 x
2−9 x−1，求函数f (x)图象的对称中心；
(2)已知函数g(x)=2m x
3+[6ln(mx)−15) x
2+ 18
m x−5
m
2 +1，其中m>0.
（
）求
ⅰ
g(x)的拐点；
（
）若
ⅱ
g(x1)+ g(x2)=2(0< x1< x2)，求证：0< x1< 1
m < x2.
【变式10-3】（24-25 高三上·河南·阶段练习）阅读材料一：设函数f ( x)在区间D上有定义，若对任意
x1, x2∈D和任意λ∈(0,1)，都有f ( λ x1+(1−λ)x2)≤λf ( x1)+(1−λ)f ( x2)，则称f ( x)是区间D上的下
凸函数；反之，如果都有f ( λ x1+(1−λ)x2)≥λf ( x1)+(1−λ)f ( x2)，则称f ( x)是区间D上的上凸函数.
阅读材料二：若函数f ( x)在区间D上可导，即f
′( x)存在，且导函数f
′( x)在区间D上也可导，则称f ( x)在
区间D上存在二阶导函数，即f
″( x)=(f
′( x))
′.设函数f ( x)在区间D上存在二阶导函数，则f ( x)在区间D
上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意x∈D都有f
″( x)≥0（f
″( x)≤0）且在区间D的任意子区间内
f
″( x)不恒为0.阅读材料三：设函数f ( x)在区间D上连续，( x0−δ , x0+δ )⊆D（其中δ为无限接近于0 的
正数），f ( x)在( x0−δ , x0+δ )上存在二阶导函数，若f
″( x)在( x0−δ , x0)和( x0, x0+δ )上的符号相反，
则点( x0,f ( x0))为曲线y = f ( x)的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题：
(1)证明：对任意a≥0，b≥0，不等式❑√
a+2b
3
≥
❑√a+2❑√b
3
恒成立；
(2)设函数f ( x)=m x
3+n x
2−6 x +9，若点(1,1)是曲线y = f ( x)的拐点，求实数m，n的值，并证明f ( x)
的图象关于拐点(1,1)中心对称：
(3)设函数g( x)=2ln x + x
2−3 x +3，若点( x0, g( x0))是曲线y = g( x)的一个拐点，且
g( x1)+ g( x2)=2g( x0)，其中0< x1<1< x2<2，试证明：x1+ x2>2 x0.
一、单选题
1．（2025·吉林通化·模拟预测）已知函数f ( x)=(x
2+2)(x
3−3a x
2+b)满足：①定义域为R；②1
2 <b<4
；
有且仅有两个不同的零点
③
x1，x2，则1
x1
+ 1
x2
的取值范围是（ ）
A．(−2,−1)
B．(−1,−1
2)
C．(
1
2 ,1)
D．(1,2)
2．（24-25 高二下·湖北恩施·期中）已知a>1，x1，x2，x3均为a
x = x
2的解，且x1< x2< x3，则下列说法正
确的是（ ）
A．x1∈(−2,−1)
B．a∈(1,e
2
e )
C．x1+ x2<0
D．x2+ x3<2e
3．（2024·全国·模拟预测）若函数f (x)=aln x + 1
2 x
2−2 x有两个不同的极值点x1, x2，且
t −f (x1)+ x2<f (x2)−x1
恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A．(−∞,−5)
B．(−∞,−5)
C．(−∞,2−2ln2)
D．(−∞,2−2ln2)
4．（2024·辽宁·三模）已知函数f ( x)= ln x + 1
2e x
2−ax存在两个极值点，若对任意满足
f ( x1)= f ( x2
❑)= f ( x3)的x1, x2, x3( x1< x2< x3)，均有f (e
x1)<f (e
x2)<f (e
x3)，则实数a的取值范围为
（ ）
A．( 2
❑√e ,e]
B．( 2
❑√e ,2+ 1
❑√e ]
C．( 2
❑√e ,1+ 1
e ]
D．( 2
❑√e ,2+ 1
e ]
5．（2025·四川南充·一模）已知函数f ( x)=|ln x−2
x +2)−m（0<m<3）有两个不同的零点x1，x2（
x1< x2），下列关于x1，x2的说法正确的有（ ）个
①x2
x1
<e
2m ②x1>
2
m+2
③e
m
3 < x2<
3
3−m
④x1 x2>1
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f ( x)=e
x−ax有两个零点x1
，x2
，则下列判断：①a<e；②
x1+ x2<2；③x1⋅x2>1；
有极小值点
④
x0，且x1+ x2<2 x0.则正确判断的个数是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
7．（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)=e
x−m x
2有两个极值点x1，x2（0< x1< x2），函数
g(x)= x ln x−1
4 m x
2−x有两个极值点x3
，x4
（0< x3< x4
），设M = x3
x1
+ x2
x4
，则（ ）
A．0< M < 1
e
B．0< M <e
2+1
e
C．M >e
2+1
e
D．M >e
8．（2025·四川南充·一模）已知函数f ( x)=|ln x−2
x +2)−m（0<m<3）有两个不同的零点x1，x2（
x1< x2），下列关于x1，x2的说法正确的有（ ）个
①x2
x1
<e
2m ②x1>
2
m+2
③x1 x2>1
A．0
B．1
C．2
D．3
二、多选题
9．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知关于x的方程xe
x−a=0有两个不等的实根x1, x2，且x1< x2，则下列
说法正确的有（ ）
A．−e
−1<a<0
B．x1+ x2<−2
C．x2>a
D．x1+e
x1<0
10．（2024 高三·全国·专题练习）对于函数f (x)= xln x，下列说法正确的是（ ）
A．当0< x1< x2< 1
e
时，x1ln x1< x2ln x2
B．若f
′ (x)是函数f (x)的导数，则f
′ (x)≤x
C．对任意x>1都有f (x)<a(x
2−1)，则a≥1
2
D．设ℎ(x)=[
f (x)
x )
2
−2ax在定义域上有两个不同的极值点x1, x2
，则x1+ x2>2e
11．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）设函数f (x)的定义域为(0,+∞)，f (x)的导函数f
′ (x)满足
x f
′ (x)+ f (x)= 1
x
，且f (1)=1，则下列结论一定成立的是（ ）
A．f (x)的最大值为1
B．y = f (x)在点(
1
e ,f(
1
e))
处的切线为e
2 x−y −e=0
C．若方程f (x)=t有两个不同的解x1，x2，则x1+ x2<2
D．若x1>0，x2>0，x1 x2=e，则f (x1)f (x2)≤9
4e
三、填空题
12．（24-25 高二下·四川成都·期中）函数f (x)= a
e
x + ln x +b(a∈R ,b∈R)的两个极值点x1、x2满足
x1< x2≤2 x1，则x1+2 x2的最大值为 .
13．（24-25 高三上·全国·阶段练习）已知函数f ( x)=2ln x−2−ax有两个不同的零点为x1，x2，若
ln(x1⋅x2)≥m恒成立，则实数m的最大值为 ．
14．（24-25 高二下·山东临沂·期中）已知函数f (x)=(1+ x)e
x−a有两个零点x1, x2，则x1+ x2 −4
（填大于或小于号），实数a的取值范围是 ．
四、解答题
15．（24-25 高二下·吉林长春·期中）已知函数f (x)=−1
a(x + 1
a)e
−ax ,a>0.
(1)若f (x)的极小值为-4，求a的值；
(2)若g(x)= f (x)−aln x有两个不同的极值点x1, x2
，证明：x1+ x2>2
3√2e
2.
16．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数f (x)=ln x−m x
2+lnm,m>0．
(1)讨论函数f (x)的单调性．
(2)假设存在正实数x1, x2(x1≠x2)，满足f (x1)=e
x1
m −m x1
2,f (x2)=e
x2
m −m x2
2．
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：x1+ x2>2．
17．（2025·江苏南京·一模）已知函数f (x)= xe
x+asin x.
(1)当a=0时，求证：f (x)
x
> x +1；
(2)若f (x)>0对于x∈(0,π)恒成立，求a的取值范围；
(3)若存在x1, x2∈(0,π)，使得f (x1)= f
′(x2)=0，求证：x1<2 x2
.
18．（24-25 高三上·上海黄浦·期末）函数y = f (x)的定义域为D，在D上仅有一个极值点x0，方程f (x)=0
在D上仅有两解，分别为x1、x2，且x1< x0< x2．若x1+ x2
2
> x0，则称函数y = f (x)在D上的极值点左偏
移；若x1+ x2
2
< x0，则称函数y = f (x)在D上的极值点右偏移．
(1)设f (x)= x
2−1，D =R，判断函数y = f (x)在D上的极值点是否左偏移或右偏移？
(2)设m>0且m≠1，f (x)= x
3−m x
2−x +m，D =(0,+∞)，求证：函数y = f (x)在D上的极值点右偏移；
(3)设a∈R，f (x)= ln x−ax，D =(0,+ ∞)，求证：当0<a<e
−1时，函数y = f (x)在D上的极值点左偏
移．
19．（2025·湖南郴州·模拟预测）已知函数f ( x)=2aln x + 1
2 x
2−(a+2)x，其中a为常数.
(1)当a>0时，试讨论f ( x)的单调性；
(2)若函数f ( x)有两个不相等的零点x1，x2，
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x1+ x2>4.
