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数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练
考点目录
裂项相消法
错位相减法
分组与并项求和
考点一 裂项相消法
1
例3．（25-26 高二上·山东泰安·月考）已知等比数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
例4．（2026·重庆九龙坡·一模）设等比数列
的前
项和为
，已知
，
.
(1)求
和
；
(2)设
，证明：
.
2
变式1．（25-26 高三上·山东德州·期末）已知数列
的首项为2，前n 项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知
，记数列
的前
项和为
，求证：
．
变式2．（2026·黑龙江大庆·二模）已知数列
满足
.
(1)证明：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)记
，若数列
的前
项和为
，求证：
.
3
变式3．（2026·河北邯郸·模拟预测）设函数
的图象在
处的切线平行于直线
，记
的导函数为
，数列
满足：
.
(1)试判断数列
的单调性，并给出证明；
(2)当
时，求证：
.
变式4．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知数列
是首项为1 且公差不为零的等差数列，且
成等比数列，
数列
的前
项和为
，
条件①
，条件②
，条件③
，
(1)求
的通项公式；
(2)选择三个条件中的一个，求
的通项公式；
(3)若
，求数列
的前
项和
．
4
例1．（25-26 高二上·浙江温州·期末）已知数列
的前
项和为
，满足
.
(1)证明：
是等比数列；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，求
的前
项和
.
例2．（25-26 高二上·四川广安·期末）已知数列
的前
项和为
，且
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式及前
项和
．
考点二 错位相减法
5
例3．（25-26 高三上·辽宁·期末）记
为正项数列
的前
项和，已知
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)等差数列
满足
，
，
.
（i）求
的通项公式；
（ii）求
的前
项和
.
例4．（25-26 高三上·新疆喀什·月考）记
为数列
的前n 项和，已知
，
是公差为
的等差数列.
(1)求
的通项公式；
(2)数列
满足
，求数列
的前n 项和
.
6
变式1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列
是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64，数列
是公比大
于0 的等比数列
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
.
变式2．（25-26 高三上·山东济宁·期末）记
为正项数列
的前
项和，已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
.
7
变式3．（25-26 高二上·广东广州·期末）已知数列
的前n 项和为
，且首项
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，令
，求数列
的前n 项和
．
变式4．（25-26 高二上·贵州毕节·期末）已知数列
的前
项和为
，且
，正项等比数列
满足
，且
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)已知
，记数列
的前
项和为
，证明：
；
(3)已知
，求数列
的前
项和.
8
例1．（25-26 高二上·河北邢台·月考）设数列
的前
项和为
，且
.
(1)证明：
是等比数列.
(2)求
.
例2．（25-26 高二上·山东济南·月考）已知
是数列
的前
项和，已知对于任意
，都有
，数
列
是等差数列，
，
．
(1)求
与
的通项公式；
(2)若数列
的前
项和
，求
及
的最小值；
(3)设
，求数列
的前
项和
．
考点三 分组与并项求和
9
例3．（25-26 高三上·江苏盐城·月考）已知等差数列
的公差为
，且
，设
为
的前
项和，数列
满足
.
(1)若
，
，且
，求
；
(2)若数列
也是公差为
的等差数列.
①求数列
的通项公式；②求数列
的前
项和
.
例4．（2026·广西柳州·二模）设等差数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
10
变式1．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知数列
的首项
且满足
(1)求证:
是等比数列；
(2)求数列
的前n 项和
变式2．（25-26 高二上·内蒙古·期末）已知数列
满足：
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前
项和
．
11
变式3．（25-26 高二上·湖南长沙·期末）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)设数列
满足
，
为数列
的前
项和，求
.
变式4．（25-26 高二上·天津和平·期末）已知
，正项数列
的前
项和为
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
；
(3)若
，数列
的前
项和为
，求
.
12
