高中数学公式大全|必修与选择性必修核心公式一篇查全

一、集合、逻辑与不等式

集合运算

A∪B＝{x｜x∈A或x∈B}

A∩B＝{x｜x∈A且x∈B}

若全集为U，则∁ᵤA＝{x｜x∈U且x∉A}

有限集合：n(A∪B)＝n(A)＋n(B)−n(A∩B)

充分、必要条件

p⇒q：p是q的充分条件，q是p的必要条件。

p⇔q：p是q的充分必要条件。

一元二次式

ax²＋bx＋c＝0（a≠0），Δ＝b²−4ac

x₁＋x₂＝−b/a，x₁x₂＝c/a（方程有实根时）

二次函数对称轴：x＝−b/(2a)

基本不等式

若a＞0、b＞0且ab为定值，则a＋b在a＝b时取最小值2√(ab)。

若a＞0、b＞0且a＋b为定值，则ab在a＝b时取最大值(a＋b)²/4。

二、函数、指数与对数

函数性质

偶函数：f(−x)＝f(x)；图象关于y轴对称。

奇函数：f(−x)＝−f(x)；图象关于原点对称。

周期函数：f(x＋T)＝f(x)，其中T＞0。

复合函数：y＝f(g(x))，定义域要同时满足g(x)有意义且g(x)属于f的定义域。

指数运算

aᵐaⁿ＝aᵐ⁺ⁿ

aᵐ/aⁿ＝aᵐ⁻ⁿ（a＞0）

(aᵐ)ⁿ＝aᵐⁿ

a⁰＝1（a≠0）

a⁻ⁿ＝1/aⁿ（a≠0）

a^(m/n)＝ⁿ√(aᵐ)（a＞0，m、n为整数且n＞0）

对数运算

logₐN＝b ⇔ aᵇ＝N（a＞0，a≠1，N＞0）

logₐ1＝0，logₐa＝1

logₐ(MN)＝logₐM＋logₐN

logₐ(M/N)＝logₐM−logₐN

logₐ(Mⁿ)＝nlogₐM

换底公式：logₐN＝logᵦN/logᵦa（b＞0，b≠1）

常见函数模型

指数函数：y＝aˣ（a＞0，a≠1）

对数函数：y＝logₐx（a＞0，a≠1，x＞0）

幂函数：y＝xᵅ（α为常数，定义域依α而定）

零点：f(x)＝0的实数根，对应图象与x轴交点的横坐标。

三、三角函数与解三角形

角度、弧度与弧长

180°＝π rad

α rad＝α×180°/π

α°＝απ/180 rad

弧长：l＝|α|r（α用弧度表示）

扇形面积：S＝|α|r²/2＝lr/2

同角三角函数

sin²α＋cos²α＝1

tan α＝sin α/cos α（cos α≠0）

诱导与和差公式

sin(−α)＝−sin α，cos(−α)＝cos α，tan(−α)＝−tan α

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β

cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β

tan(α±β)＝(tan α±tan β)/(1∓tan αtan β)

二倍角与辅助角

sin 2α＝2sin αcos α

cos 2α＝cos²α−sin²α＝2cos²α−1＝1−2sin²α

tan 2α＝2tan α/(1−tan²α)

asin x＋bcos x＝√(a²＋b²)sin(x＋φ)，其中cos φ＝a/√(a²＋b²)，sin φ＝b/√(a²＋b²)。

正弦、余弦定理

正弦定理：a/sin A＝b/sin B＝c/sin C＝2R

余弦定理：a²＝b²＋c²−2bccos A

三角形面积：S＝bcsin A/2＝acsin B/2＝absin C/2

海伦公式：S＝√[p(p−a)(p−b)(p−c)]，p＝(a＋b＋c)/2。

四、平面向量与复数

平面向量

若a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，则a±b＝(x₁±x₂，y₁±y₂)。

λa＝(λx₁，λy₁)

|a|＝√(x₁²＋y₁²)

a·b＝|a||b|cos θ＝x₁x₂＋y₁y₂

a⊥b ⇔ a·b＝0（a、b均为非零向量）

a∥b ⇔ x₁y₂−x₂y₁＝0

复数

z＝a＋bi（a、b∈R，i²＝−1）

z̄＝a−bi

|z|＝√(a²＋b²)

(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i

(a＋bi)(c＋di)＝(ac−bd)＋(ad＋bc)i

z·z̄＝|z|²

五、立体几何与空间向量

表面积与体积

柱体体积：V＝Sh

锥体体积：V＝Sh/3

台体体积：V＝h(S₁＋√(S₁S₂)＋S₂)/3

球表面积：S＝4πR²

球体积：V＝4πR³/3

空间向量

a＝(x₁，y₁，z₁)，b＝(x₂，y₂，z₂)

a·b＝x₁x₂＋y₁y₂＋z₁z₂

|a|＝√(x₁²＋y₁²＋z₁²)

cos〈a，b〉＝(a·b)/(|a||b|)

点A(x₁，y₁，z₁)与B(x₂，y₂，z₂)距离：|AB|＝√[(x₂−x₁)²＋(y₂−y₁)²＋(z₂−z₁)²]

空间角与距离

线面角：若直线方向向量为v、平面法向量为n，则sin θ＝|v·n|/(|v||n|)。

点P到平面距离：d＝|PP₀·n|/|n|，其中P₀为平面内一点。

六、解析几何

直线

斜率：k＝(y₂−y₁)/(x₂−x₁)（x₁≠x₂）

点斜式：y−y₀＝k(x−x₀)

两点式：(y−y₁)/(y₂−y₁)＝(x−x₁)/(x₂−x₁)（x₁≠x₂且y₁≠y₂）

一般式：Ax＋By＋C＝0（A、B不全为0）

两直线垂直：k₁k₂＝−1（斜率均存在）

点(x₀，y₀)到直线Ax＋By＋C＝0的距离：d＝|Ax₀＋By₀＋C|/√(A²＋B²)

圆

标准方程：(x−a)²＋(y−b)²＝r²

一般方程：x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，且D²＋E²−4F＞0

圆心：(−D/2，−E/2)，半径：r＝√(D²＋E²−4F)/2

椭圆

x²/a²＋y²/b²＝1（a＞b＞0）

c²＝a²−b²

离心率：e＝c/a（0＜e＜1）

双曲线

x²/a²−y²/b²＝1（a＞0，b＞0）

c²＝a²＋b²

离心率：e＝c/a＞1

渐近线：y＝±(b/a)x（焦点在x轴）

抛物线

y²＝2px（p＞0）：焦点(p/2，0)，准线x＝−p/2。

x²＝2py（p＞0）：焦点(0，p/2)，准线y＝−p/2。

部分教材也写作y²＝4ax或x²＝4ay，使用时先确认参数定义。

七、数列与导数

等差数列

aₙ＝a₁＋(n−1)d

aₙ＝aₘ＋(n−m)d

Sₙ＝n(a₁＋aₙ)/2＝na₁＋n(n−1)d/2

等比数列

aₙ＝a₁qⁿ⁻¹

aₙ＝aₘqⁿ⁻ᵐ

q≠1时：Sₙ＝a₁(1−qⁿ)/(1−q)

q＝1时：Sₙ＝na₁

基本导数

C′＝0

(xⁿ)′＝nxⁿ⁻¹

(sin x)′＝cos x

(cos x)′＝−sin x

(eˣ)′＝eˣ

(aˣ)′＝aˣln a

(ln x)′＝1/x

(logₐx)′＝1/(xln a)

导数运算

(u±v)′＝u′±v′

(uv)′＝u′v＋uv′

(u/v)′＝(u′v−uv′)/v²（v≠0）

复合函数：y＝f(g(x)) ⇒ y′＝f′(g(x))g′(x)

切线方程：y−f(x₀)＝f′(x₀)(x−x₀)

八、计数、概率与统计

排列组合与二项式

Aₙᵐ＝n!/(n−m)!

Cₙᵐ＝n!/[m!(n−m)!]

Cₙᵐ＝Cₙⁿ⁻ᵐ

(a＋b)ⁿ＝Σ Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ（k从0到n）

第k＋1项：Tₖ₊₁＝Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ

概率

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)−P(A∩B)

若A、B互斥：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)

条件概率：P(B｜A)＝P(A∩B)/P(A)（P(A)＞0）

相互独立：P(A∩B)＝P(A)P(B)

全概率公式：P(B)＝ΣP(Aᵢ)P(B｜Aᵢ)

离散型随机变量

期望：E(X)＝Σxᵢpᵢ

方差：D(X)＝Σ(xᵢ−E(X))²pᵢ＝E(X²)−[E(X)]²

E(aX＋b)＝aE(X)＋b

D(aX＋b)＝a²D(X)

若X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cₙᵏpᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ，E(X)＝np，D(X)＝np(1−p)。

统计

平均数：x̄＝(x₁＋x₂＋…＋xₙ)/n

方差：s²＝Σ(xᵢ−x̄)²/n

标准差：s＝√s²

参考资料