认证时间：2026 年 9 月 19 日 09:30–11:30　满分 100 分

一、单项选择题（每题 2 分，共 30 分）

第 1 题下列 C++ 数据类型中，能够精确存储 10^18+1 这个整数的是（ ）。A. float　B. long long　C. double　D. int

【答案】B【解析】 10^18+1 远超 int（约 2.1×10^9）；float/double 为浮点类型，无法精确表示该整数；long long 上限约 9.2×10^18（2^63−1），可以精确存储。

第 2 题十六进制数 2F5 转换为八进制数是（ ）。A. 1364　B. 1635　C. 1405　D. 1365

【答案】D【解析】 0x2F5 = 2×256+15×16+5 = 757；757 = 1×8³+3×8²+6×8+5 = 1365₈。

第 3 题执行下列 C++ 代码，输出是（ ）。

int a = 7, b = 3;std::cout << a / b * b + a % b;

A. 9　B. 10　C. 7　D. 6

【答案】C【解析】 a/b=2（整除），2*b=6，a%b=1，输出 6+1=7。

第 4 题初始时栈为空，将 1、2、3、4 依次入栈，入栈过程中允许随时出栈。下列出栈序列中不可能出现的是（ ）。A. 2, 4, 3, 1　B. 1, 2, 3, 4　C. 3, 1, 2, 4　D. 1, 4, 3, 2

【答案】C【解析】 要第一个弹出 3，必须先入 1、2、3，此时栈中自底向上为 1、2，1 不可能在 2 之前弹出。A：入1入2弹2入3入4弹4弹3弹1；B：边入边弹；D：弹1后入2入3入4再依次弹出，均可实现。

第 5 题一棵有 100 个结点的完全二叉树，其叶子结点个数是（ ）。A. 49　B. 50　C. 64　D. 51

【答案】B【解析】 完全二叉树 100 个结点中，非叶子结点恰为前 ⌊100/2⌋=50 个，叶子 100−50=50。

第 6 题执行下列代码后 s 的值是（ ）。

int s = 0;for (int i = 1; i <= 100; i++) {    if (i % 3 == 0 || i % 5 == 0)        s += i;}

A. 3048　B. 2733　C. 2318　D. 2418

【答案】D【解析】 容斥：3 的倍数和 3×(1+…+33)=1683；5 的倍数和 5×(1+…+20)=1050；15 的倍数和 15×(1+…+6)=315。s=1683+1050−315=2418。陷阱项 2318 是漏算 i=100 的结果（注意循环条件是 i<=100）。

第 7 题上楼梯每步可上 1 级、2 级或 3 级，从地面（可视为第 0 级）走到第 8 级台阶共有多少种不同走法（ ）。A. 44　B. 121　C. 149　D. 81

【答案】D【解析】 递推 f(k)=f(k−1)+f(k−2)+f(k−3)，f(0)=1, f(1)=1, f(2)=2，依次为 4,7,13,24,44,81，f(8)=81。干扰项 44=f(7)、149=f(9)，都是差一级的经典错误。

第 8 题下图为 5×5 网格，行号、列号均从 0 开始，#为障碍，. 为可通行格：

     列0  列1  列2  列3  列4行0    S    .    .   #    .行1    .    .    .    .   #行2    .    .    .    .   #行3    #    #    .    E   .行4    .    .    .    .   #

从 S 出发做广度优先搜索（BFS）：初始时把 S 入队；每次取出队首格子，按"上、下、左、右"（上=行号减 1，下=行号加 1，左=列号减 1，右=列号加 1）的顺序遍历它的四个相邻格子，越界、障碍或已访问的格子跳过，其余格子标记为已访问并入队。当 E 第一次入队时，已经入队过的格子（含 S 和 E）共有多少个（ ）。A. 15　B. 12　C. 14　D. 13

【答案】C【解析】 按规则逐层模拟（入队即标记已访问）：

处理 (3,2) 时按 U/D/L/R 顺序：上已访问、下 (4,2) 入队（第 13 个）、左是障碍、右 E 入队（第 14 个）。(3,4)、(4,0)~(4,3) 等都在 E 之后才入队，不计入。手模拟最容易在层数上错一格，从 14 错成 13 或 15。

第 9 题满足 1 ≤ n ≤ 100 且 gcd(n, 60) = 6 的正整数 n 共有多少个（ ）。A. 8　B. 6　C. 4　D. 5

【答案】B【解析】 n 必为 6 的倍数：n=6k，gcd(6k,60)=6·gcd(k,10)=6 ⟺ gcd(k,10)=1，即 k 为奇数且非 5 的倍数：k∈{1,3,7,9,11,13}（6×17>100），对应 n=6,18,42,54,66,78，共 6 个。

第 10 题某国硬币面值为 1 元、4 元、6 元且数量不限，凑出 9 元最少需要多少枚（ ）。A. 3　B. 4　C. 5　D. 2

【答案】A【解析】 9=4+4+1，3 枚即可；2 枚无法凑出 9（6+3、4+5 均不行）。

第 11 题执行下列代码，输出是（ ）。

int a[5] = {1, 3, 5, 7, 9};int *p = a + 2;*(p - 1) = p[0] + p[2];p[1] = *(a + 1) - a[0];cout << a[1] << ”,” << a[3];

A. 14,13　B. 8,13　C. 14,7　D. 14,2

【答案】A【解析】 p 指向 a[2]：p[0]=5，p[2]=9，故 (p−1)=a[1]=5+9=14；随后 p[1]=a[3]=(a+1)−a[0]=a[1]−a[0]=14−1=13。注意第二句用的是已经更新后的 a[1]=14。输出 "14,13"。

第 12 题在含 1000 个互不相同元素的升序数组中，用二分法查找给定值（返回元素位置或报告不存在），最坏情况下需要与数组元素比较多少次（ ）。A. 500　B. 9　C. 11　D. 10

【答案】D【解析】 最坏比较次数 = ⌈log₂(1001)⌉ = 10。

第 13 题数组 a[1..n] 的前缀和数组 s（即 s[i]=a[1]+a[2]+…+a[i]）满足 s[i] = 3i²+i。则 a[10] 的值是（ ）。A. 252　B. 310　C. 58　D. 61

【答案】C【解析】a[10]=s[10]−s[9]=(3×100+10)−(3×81+9)=310−252=58。

第 14 题数轴上有 7 个点，坐标分别为 1、3、4、7、10、15、20。在数轴上选取一个整数坐标点 P，使 P 到这 7 个点的距离之和最小，这个最小距离和是（ ）。A. 37　B. 42　C. 40　D. 38

【答案】A【解析】 距离和在 P 取中位数（第 4 个点，坐标 7）时最小：6+4+3+0+3+8+13=37。

第 15 题一个无向图有 10 个顶点，其中 4 个顶点的度为 3，其余顶点的度均为 4，则该图的边数是（ ）。A. 36　B. 18　C. 17　D. 20

【答案】B【解析】 握手定理：边数=(4×3+6×4)/2=36/2=18。

二、阅读程序（判断题 1.5 分/题，选择题 3 分/题，第 16 题 1 分，共 40 分）

程序（1）

#includeusing namespace std;intmain() {    int n;    cin >> n;    int x = 1, y = 1;    while (n > 0) {              // 第 7 行        if (n % 2 == 0) {            ++x;        } else {            ++x;                 // 第 11 行            ++y;        }        n = n / 2;    }    cout << x << ” ” << y << endl;    return 0;}

第 16 题（判断，1 分）　当输入为 3 时，程序输出为 3 3。（ ）

【答案】√【解析】 n=3（二进制 11）：两次迭代均为奇数，两个分支都有 ++x，故 x=1+2=3；else 分支各有一次 ++y，y=1+2=3。输出"3 3"。

第 17 题（判断）　将第 11 行的 ++x; 删除后，程序输出的两个数一定相等。（ ）

【答案】×【解析】 删除后 else 分支只剩 ++y：x=1+偶数商的个数，y=1+二进制中 1 的个数，两者一般不等。反例 n=3：x=1，y=3。

第 18 题（判断）　假设输入为非负整数，则程序输出的第一个数一定不小于第二个数。（ ）

【答案】√【解析】 每个迭代分支都有 ++x，故 x=1+二进制位长；y=1+二进制中 1 的个数。位长 ≥ 1 的个数恒成立（n=0 时输出 1 1，取等号）。

第 19 题（选择）　将第 7 行的 while (n > 0) 改为 while (n >= 0) 后，程序可能出现的问题是（ ）。

A. 陷入死循环　B. 输出结果比原来大　C. 输出结果比原来小　D. 输出结果不受影响

【答案】A【解析】 n>=0 时，0/2 恒为 0，n 永远是 0，循环条件恒真，陷入死循环。

第 20 题（选择）　当输入为 6 时，输出为（ ）。

A. 3 3　B. 4 2　C. 4 3　D. 5 2

【答案】C【解析】 n=6（110）：迭代 3 次，x=1+3=4；奇数商为 3、1 共 2 个，y=1+2=3。输出"4 3"。

第 21 题（选择）　若输入 n 依次取遍 0, 1, 2, …, 2^31−1 中的所有整数，则程序输出的第二个数恰好为 2 的次数为（ ）。

A. 16　B. 30　C. 31　D. 32

【答案】C【解析】 第二个数 y=2 ⟺ y=1+popcount(n)=2 ⟺ popcount(n)=1 ⟺ n 是 2 的幂。02^31−1 中 2^02^30 共 31 个（2^31 超出输入范围，勿多算）。

程序（2）（大整数加法）

#include#include#includeusing namespace std;int a[100007], b[100007], c[100007], carry[100007];string input_str;int a_len, b_len;intmain(){    cin >> input_str;    a_len = input_str.size();    for (int i = 0; i < a_len; i++) {        a[i] = input_str[a_len - i - 1] - '0';      // 低位在前存储    }    cin >> input_str;    b_len = input_str.size();    for (int i = 0; i < b_len; i++) {        b[i] = input_str[b_len - i - 1] - '0';    }    carry[0] = 0;    for (int i = 0; i < max(a_len, b_len) + 1; i++) {        c[i] = a[i] + b[i] + carry[i];              // 第 21 行        if (c[i] >= 10) {                           // 第 22 行            carry[i + 1] = 1;            c[i] -= 10;        } else {            carry[i + 1] = 0;        }    }    for (int i = max(a_len, b_len); i >= 0; i--) {        cout << c[i];                               // 最高位无条件输出    }    cout << endl;    return 0;}

第 22 题（判断）　当输入为 123 456 时，程序输出为 0579。（ ）

【答案】√【解析】 123+456=579；输出循环从 i=max=3 开始，c[3]=0 被先输出，结果为"0579"。

第 23 题（判断）　假设输入的两个数均不含前导零，则程序输出的结果也一定不含有前导零。（ ）

【答案】×【解析】 只要没有产生最终进位，最高位 c[max]=0 也会被输出——结果必带前导零（如 22 题的 0579）。

第 24 题（判断）　将第 21 行改为 c[i] = a[i] + b[i]; 后，程序输出的结果一定比原来的结果小。（ ）

【答案】×【解析】 反例 55+55：原输出 110；改后各位不再进位，c[1]=c[0]=10，输出"01010"（数值 1010 > 110），反而更大。

第 25 题（选择）　当输入为 12345 678 时，输出为（ ）。

A. 012923　B. 013023　C. 13023　D. 130230

【答案】B【解析】 12345+678=13023；max(a_len,b_len)=5，c[5]=0 打头，输出"013023"。

第 26 题（选择）　将第 22 行的 if (c[i] >= 10) 改为 if (c[i] > 10) 后，当输入为 95 15 时，输出为（ ）。

A. 01010　B. 110　C. 140　D. 1410

【答案】A【解析】 改为 >10 后，和为 10 不再进位：个位 5+5=10、十位 9+1=10 都不进位，c[0]=c[1]=10、c[2]=0，从高位输出"01010"。

第 27 题（选择）　假设输入的两个数均为 n 位正整数（不含前导零），且它们的和小于 10^n，则程序输出的字符串一定满足（ ）。

A. 第一个字符一定不为 '0'                       B. 长度一定为 n

C. 长度一定为 n+1，且第一个字符为 '0'   D. 长度可能为 n+2

【答案】C【解析】 两个 n 位数之和 ≥10^(n−1) 且 <10^n，是 n 位数，无最终进位：c[n]=0 被输出打头，总长 n+1，首字符必为 '0'。

程序（3）（可接长质数搜索）

#includeusing namespace std;boolcheck_prime(int x) {    if (x <= 1) return false;    for (int i = 2; i * i <= x; i++) {        if (x % i == 0) return false;    }    return true;}int n;voidsearch_result(int x) {    if (!check_prime(x)) return;    if (x >= n) {        cout << x << endl;        return;                 // 输出后不再向右扩展    }    for (int i = 0; i <= 9; i++) {              // 第 17 行        search_result(x * 10 + i);    }}intmain() {    cin >> n;    for (int i = 1; i <= 9; i++)        search_result(i);    return 0;}

第 28 题（判断）　当输入为 10 时，程序的输出共有 10 行。（ ）

【答案】×【解析】 n=10 时输出 23、29、31、37、53、59、71、73、79，共 9 行。注意 31 很容易被漏数。

第 29 题（判断）　若输入的 n 不大于 5，则程序的输出中一定包含 5。（ ）

【答案】√【解析】 main 从 1~9 起搜，5 是质数；n≤5 时 5≥n，搜索到 5 时必然直接输出。

第 30 题（判断）　若输入的 n 大于 10，将第 17 行的 for (int i = 0; i <= 9; i++) 改为 for (int i = 1; i <= 9; i += 2) 后，程序的输出结果一定不变。（ ）

【答案】√【解析】 末位为偶数的扩展数（大于 2）必为合数，本来就会在 check_prime 处被剪掉；删去偶数 i 不影响任何输出。

第 31 题（选择）　当输入为 24 时，程序输出的第 3 行为（ ）。

A. 23　B. 29　C. 31　D. 239

【答案】B【解析】 深度优先顺序：2→23→233（≥24 输出）→239（输出）；回到 29（≥24 输出）。前 3 行：233、239、29。

第 32 题（选择）　下列关于该程序输出的说法中，正确的是（ ）。

A. 输出的数一定按照从小到大的顺序排列

B. 随着输入 n 的增大，输出的行数一定不会增加

C. 输出的数的个位数字只可能是 3 或 7

D. 输出的每个大于等于 10 的数，十进制下删去它的末位数字后得到的数一定是质数

【答案】D【解析】 每个输出的数都处在"前缀全为质数"的搜索路径上，删去末位即其前缀，必为质数。A 错（DFS 序非全局升序）；B 错（n 增大行数会增加）；C 错（个位可为 1、9 等，如 311、719）。

第 33 题（选择）　当输入为 200 时，程序输出的行数为（ ）。

A. 12　B. 13　C. 14　D. 15

【答案】C【解析】 ≥200 的可接长质数共 14 个：2 支 233、239、293；3 支 311、313、317、373、379；5 支 593、599；7 支 719、733、739、797。注意 613、673 等不会出现——前缀 61、67 的前缀 6 不是质数，从单位数出发根本到不了。本题是全卷"时间黑洞"，建议熟悉右接长质数（可截断质数）或按分支逐位硬判。

三、完善程序（每题 3 分，共 30 分）

（1）进制转换

给定 n, m，再给定一个 m·n 进制下的数 A，其各个数位上的数按照从高位到低位的顺序给出，请你将其转化为 n 进制，并按照从高位到低位的顺序输出。输入的第一行依次为 n, m 和 A 的位数 d，接下来 d 个数从高位到低位描述各个数位。数据满足 2 ≤ n, m ≤ 10，1 ≤ d ≤ 18，0 ≤ A < 2^63。

以下程序按"逐位除以 n"的方法完成进制转换。请补全程序。

#includeconstexpr int N = 100005;long long b[N];intmain(){    long long n, m, d;    std::cin >> n >> m >> d;    int len = 1;    for (int i = 0; i < d; i++) {        long long x;        std::cin >> x;        for (int j = len; j >= 1; j--)            b[j] = ①;        b[0] = ②;        len++;        for (int j = 0; j < len; j++)            if (b[j] >= n) {                b[j + 1] += ③;                b[j] = ④;                if (j + 1 == len) len++;            }    }    while (⑤) len--;    for (int i = len - 1; i >= 0; i--)        std::cout << b[i] << ' ';    return 0;}

第 34 题① 处应填（ ）。

A. b[j] * n　B. b[j] * m　C. b[j - 1] * n　D. b[j - 1] * m

【答案】D【解析】 b 数组低位在前表示 n 进制数。读入新数位 x 后 b ← b×(m·n)+x：乘 n 等价于整体右移一位（b[j]←b[j−1] 由循环从高到低完成），每位再乘 m 完成乘 m·n。故 ① 填 b[j−1]*m。

第 35 题② 处应填（ ）。A. x * n　B. x　C. 0　D. m

【答案】B【解析】 新读入的数位落在最低位 b[0]=x。

第 36 题③ 处应填（ ）。

A. b[j] / m　B. b[j] % n　C. b[j] % m　D. b[j] / n

【答案】D【解析】 归一化（进位）：高位 b[j+1] 加上 b[j] 除以 n 的商。

第 37 题④ 处应填（ ）。A. b[j] / m　B. b[j] % n　C. b[j] % m　D. b[j] / n

【答案】B【解析】 当前位保留除以 n 的余数。

第 38 题⑤ 处应填（ ）。

A. len > 0 && b[len - 1] == 0

B. len > 0 && b[0] == 0

C. len > 1 && b[len - 1] == 0

D. len > 1 && b[0] == 0

【答案】C【解析】 去掉高位多余的零；len>1 保证至少保留一位（A=0 时不会把数组删空）。b[0] 是最低位，与本题无关。

（2）平衡分割

给定一个长度为 n 的字符串，其中每个字符都是一个十六进制数位（如 016A 表示 0,1,6,10）。选择 k 个切分位置把字符串分成 k+1 段，使各段平均值中最大值与最小值之差尽可能小，输出这个最小值（保留 6 位小数）。其中 2 ≤ n ≤ 20，字符只可能是 09 或 AF。以下程序通过递归枚举所有可能的连续分段方案。请补全程序。

#include#include#includeusing namespace std;constexpr int N = 25;int n, a[N];char s[N];double ans = 1e100;intvalue(char c){ return ①; }voidsplit(int l, int cnt, double mxb, double mnb){    if (l > n) {        if (cnt == 0) return;        ans = min(ans, mxb - mnb);        return;    }    int sum = 0;    for (②) {        sum += a[i];        double nwb = ③;        split(④);    }}intmain(){    cin >> n >> s + 1;    for (int i = 1; i <= n; ++i)        a[i] = value(s[i]);    split(⑤);    cout << fixed << setprecision(6) << ans;    return 0;}

第 39 题① 处应填（ ）。

A. isdigit(c) ? c - '0' : c - 'A' + 10

B. c <= '9' ? c - '0' : c - 'A' + 10

C. c - 'A' + 10

D. c - '0'

【答案】B【解析】 A 是陷阱：isdigit 需要头文件，程序并未包含，严格编译下不可用；B 用纯字符比较，对保证合法的 0–9/A–F 输入完全正确。C、D 各只覆盖一半字符。

第 40 题② 处循环头应填（ ）。

A. int i = 0; i < n; i++

B. int i = 1; i < n; i++

C. int i = 0; i <= n; i++

D. int i = l; i <= n; i++

【答案】D【解析】 段的右端点 i 必须从当前位置 l 枚举到 n（数组 1 起始）。A、C 从 0 开始会读到 a[0] 垃圾值；B 起点错且 i<n 漏掉末元素。

第 41 题③ 处（求当前段平均值）应填（ ）。

A. (double)sum　                B. sum / (i - l + 1)　

C. (double)sum / (i - l + 1)　D. 1.0 * sum / i

【答案】C【解析】 必须强制双精度除法，且段长为 i−l+1。B 是整数除法（如 5/2=2）必错；D 段长错。

第 42 题④ 处（递归调用参数）应填（ ）。

A. i+1, cnt+1, max(mxb, nwb), min(mnb, nwb)

B. i, cnt+1, max(mxb, nwb), min(mnb, nwb)

C. i+1, cnt, max(mxb, nwb), min(mnb, nwb)

D. i, cnt, max(mxb, nwb), min(mnb, nwb)

【答案】A【解析】 下一段从 i+1 开始（B、D 填 i 会让 a[i] 被下一段重复计入）；每形成一段 cnt 加 1（C 漏加）；同时用新段平均值更新最大（mxb）和最小（mnb）。

第 43 题⑤ 处（main 中初始调用 split 的参数）应填（ ）。

A. 1, 0, 0, 0　

B. 0, 1, 1e100, 1e100　

C. 1, 1, 0, 0　

D. 1, 0, -1e100, 1e100

【答案】D【解析】 起点 l=1（1 起始数组）。注意形参顺序是 (l, cnt, mxb, mnb)：第三形参 mxb 初值取 −1e100，一路 max 上来成为最大平均值；第四形参 mnb 初值取 +1e100，一路 min 下来成为最小平均值；递归到底时 mxb−mnb 即该分段方案的"最大−最小"，再用 ans 取全局最小。A、C 的 0 初值会把最小值永远卡在 0；B 的 l=0 直接错位。

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