高中数学必修一_第05讲_全称量词与存在量词

学会辨认量词，就能更准确地判断命题真假、写出命题的否定，并处理“恒成立”与“存在解”的问题。

先看“所有”，还是“至少一个”

设 M 是给定集合，p(x) 是关于 x 的陈述：

• ∀x∈M，p(x)：M 中每个元素都满足 p(x)，称为全称量词命题。
• ∃x∈M，p(x)：M 中至少一个元素满足 p(x)，称为存在量词命题，也叫特称命题。

量词有时没有写出来。例如“矩形都是平行四边形”，说的是“任意矩形”。判断命题前，要先补出量词，明确 x 的取值范围。

判断真假：抓住“一个”

证明全称命题为真，要说明范围内任意元素都成立；判它为假，只需找一个反例。“所有实数都大于 0”是假命题，因为 0 不满足。

证明存在命题为真，只需找一个实例。“存在整数 n，使 n 能被 11 整除”为真，取 n=11 即可。

写否定：换量词，否定结论

¬［∀x∈M，p(x)］⇔∃x∈M，¬p(x)
¬［∃x∈M，p(x)］⇔∀x∈M，¬p(x)

记住：量词互换，结论取否定，范围保持不变。“所有都满足”的否定是“至少一个不满足”，不是“所有都不满足”。

不等式也要否定完整：≤ 的否定是 >，≥ 的否定是 <。例如，“∃x∈ℝ，x²+1≤0”的否定是“∀x∈ℝ，x²+1>0”。

解题时再检查两件事

含参数的“恒成立”问题，可转化为最值或判别式条件；“存在”问题，可检查解集是否非空。若二次项系数含参数，先考虑它等于 0 时是否退化，不能直接套用二次式判别式。

把命题转化为集合关系时，“∀x∈B，x∈A”等价于 B⊆A；别漏掉 B=∅ 的情况，也要留意区间端点能否取到。

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