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九年级数学第一次阶段性测试试卷(第二套)

发布时间：2026-09-30 22:06:40 最近访问：2026-09-30 22:06:40
九年级数学第一次阶段性测试试卷(第二套)
九年级数学第一次阶段性测试试卷
考查范围：第二十五章　一元二次方程　·　第二十六章　二次函数
满分：120 分　　时间：100 分钟　　命题依据：新人教版（2024 版）
班级：____________　　姓名：____________　　学号：____________
题号
一
二
三
总分
核分人
得分
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．把方程 (x + 1)² = 2x + 3 化为一般形式后，它的常数项是（　　）
A．2　　B．−1　　C．−2　　D．1
2．若 x = a 是方程 x² − 2x − 3 = 0 的一个根，则代数式 2a² − 4a + 1 的值是（　　）
A．5　　B．7　　C．9　　D．−5
3．关于 x 的方程 x² − 3x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　）
A．m ≤ 9/4　　B．m ＞ 9/4　　
C．m ≥ 9/4　　D．m ＜ 9/4
4．若关于 x 的方程 x² + 2x + k = 0 有两个相等的实数根，则 k 的值是（　　）
A．−1　　B．1　　C．0　　D．2
5．若 x₁、x₂ 是方程 x² + 3x − 5 = 0 的两个根，则 x₁ + x₂ − x₁x₂ 的值是（　　）
A．−2　　B．8　　C．−8　　D．2
6．对于二次函数 y = 3x² 的图象，下列说法中正确的是（　　）
A．开口向下　　B．对称轴是 y 轴　　
C．顶点坐标是 (0, 3)　　D．有最大值 0
7．对于抛物线 y = −3(x + 2)² − 5，下列结论中正确的是（　　）
A．开口向上　　B．对称轴是直线 x = 2　
C．顶点坐标是 (−2, −5)　　D．当 x ＞ −2 时，y 随 x 的增大而增大
8．若二次函数 y = x² − 2x + m 的图象与 x 轴只有一个公共点，则 m 的值是（　　）
A．1　　B．0　　C．−1　　D．2
9．二次函数 y = x² + x − 2 的图象如图所示，则关于 x 的方程 x² + x − 2 = 0 的解是（　　）
A．x₁ = 1，x₂ = 2　　B．x₁ = −2，x₂ = −1　　
C．x₁ = −2，x₂ = 1　　D．x₁ = −1，x₂ = 2
10．二次函数 y = ax² + bx + c 的图象开口向上，与 x 轴交于 (−2, 0)、(4, 0) 两点，则当 y ＜ 0 时，x 的取值范围是（　　）
A．x ＜ −2　　B．x ＞ 4　　
C．−2 ＜ x ＜ 4　　D．x ＜ −2 或 x ＞ 4
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若关于 x 的一元二次方程 (m − 3)x² + 2x − 1 = 0 有两个实数根，则 m 的取值范围是________。
12．已知关于 x 的方程 x² + kx − 6 = 0 的一个根是 2，则它的另一个根是_______。
13．用配方法解方程 x² + 6x + 4 = 0，配方后的结果是 (x + 3)² =________。
14．抛物线 y = −2(x − 1)² + 3 与 y 轴的交点坐标是_______。
15．若二次函数 y = x² − 4x + m 的图象与 x 轴有两个不同的交点，则 m 的取值范围是_______。
16．已知抛物线 y = ax² + bx + c 的对称轴是直线 x = 2，且经过点 (1, 0)，则它与 x 轴的另一个交点坐标是_______。
三、解答题（共 72 分）
17．（6 分）解下列方程：
（1）3x² − 6x = 0；
（2）x² + 4x − 1 = 0。
18．（6 分）已知关于 x 的方程 x² − (k + 3)x + 2k + 2 = 0。
（1）求证：无论 k 取何值，x = 2 都是该方程的一个根；
（2）若该方程的两个实数根恰好相等，求 k 的值。
19．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x² − (2m + 1)x + m² = 0 有两个实数根 x₁、x₂。
（1）求 m 的取值范围；
（2）若 x₁² + x₂² = 5，求 m 的值。
20．（8 分）某超市 2026 年 1 月份的销售额为 100 万元，3 月份的销售额为 121 万元。
（1）求 1 月至 3 月销售额的月平均增长率；
（2）若保持同样的月平均增长率，预测 4 月份的销售额。
21．（8 分）如图，抛物线 y = ax² + bx − 3 与 x 轴的一个交点为 (3, 0)，对称轴为直线 x = 1。
（1）求该抛物线与 x 轴的另一个交点坐标；
（2）求 a、b 的值；
（3）根据图象，直接写出当 y ＜ 0 时 x 的取值范围。
22．（10 分）如图，抛物线经过点 A(−1, 0)、B(2, 0)、C(0, −2)。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将该抛物线先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，求平移后抛物线的解析式。
23．（12 分）如图，某农户准备用长 32 m 的篱笆围成一个矩形羊圈，其中一面靠墙（墙长 18 m），另外三边用篱笆围成。设垂直于墙的一边长为 x m，矩形羊圈的面积为 S m²。
（1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）当 x 为何值时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
24．（14 分）已知二次函数 y = x² − 2mx + m² − 1（m 为常数）。
（1）求证：无论 m 取何值，该函数的图象与 x 轴总有两个不同的交点；
（2）设该函数的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），求线段 AB 的长；
（3）若该抛物线经过原点 (0, 0)，求 m 的值，并直接写出此时抛物线的解析式。
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参考答案与评分标准（第二套）
满分 120 分　·　选择题每小题 3 分，填空题每小题 3 分，解答题按步骤给分
命题双向细目表
考查内容
题号
分值
难度
一元二次方程的概念与根的意义
1、2
6
易
一元二次方程的解法（配方法、因式分解法）
13、17
9
易／中
根的判别式与图象公共点个数
3、4、8、11、15
15
易／中
根与系数的关系
5、12、18、19
20
中
一元二次方程的实际应用（增长率）
20
8
中
二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点）
6、7、14
9
易
二次函数与一元二次方程的关系（读图、待定系数、平移）
9、10、16、21、22
27
中
二次函数的实际应用（最值）
23
12
中／难
含参数的二次函数综合
24
14
难
合　计
—
120
7∶2∶1
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1—5：C　B　D　B　D　　
6—10：B　C　A　C　C
1．展开，得 x² + 2x + 1 = 2x + 3，移项合并，得 x² − 2 = 0，常数项是 −2。
2．由 a² − 2a − 3 = 0 得 a² − 2a = 3，整体代入：2a² − 4a + 1 = 2(a² − 2a) + 1 = 7。
3．Δ = 9 − 4m ＞ 0，∴ m ＜ 9/4。
4．Δ = 4 − 4k = 0，∴ k = 1。
5．x₁ + x₂ = −3，x₁x₂ = −5，∴ x₁ + x₂ − x₁x₂ = −3 − (−5) = 2。
6．y = 3x²：开口向上、对称轴是 y 轴、顶点 (0, 0)、有最低点（最小值 0），只有 B 正确。
7．顶点式 y = a(x − h)² + k 的顶点是 (h, k)，故顶点为 (−2, −5)；a = −3 ＜ 0 开口向下，x ＞ −2 时 y 随 x 增大而减小。
8．与 x 轴只有一个公共点 ⟺ Δ = 0，即 4 − 4m = 0，m = 1。
9．图象与 x 轴交点的横坐标就是对应方程的根，读图得 x₁ = −2，x₂ = 1。
10．开口向上时，两交点之间的图象位于 x 轴下方，∴ y ＜ 0 时 −2 ＜ x ＜ 4。
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．m ≥ 2 且 m ≠ 3　（Δ = 4 + 4(m − 3) ≥ 0，且二次项系数 m − 3 ≠ 0）
12．−3　（由根与系数的关系，x₁x₂ = −6，另一根 = −6 ÷ 2 = −3）
13．5　（x² + 6x + 4 = (x + 3)² − 5 = 0，∴ (x + 3)² = 5）
14．(0, 1)　（x = 0 时，y = −2 × (−1)² + 3 = 1）
15．m ＜ 4　（Δ = 16 − 4m ＞ 0）
16．(3, 0)　（点 (1, 0) 关于直线 x = 2 的对称点：横坐标为 2 × 2 − 1 = 3）
17．（6 分）
解：（1）3x² − 6x = 0，因式分解，得 3x(x − 2) = 0。　……1 分
∴ x = 0 或 x − 2 = 0，∴ x₁ = 0，x₂ = 2。　……3 分
（2）x² + 4x − 1 = 0，移项，得 x² + 4x = 1，
配方，得 (x + 2)² = 5。　……4 分
∴ x + 2 = ±√5，∴ x₁ = −2 + √5，x₂ = −2 − √5。　……6 分
易错提醒：第（1）问不能两边约去 x，否则会漏掉根 x = 0；第（2）问二次项系数为 1 时首选配方法，两边同时加上“一次项系数一半的平方”4。
18．（6 分）
（1）证明：把 x = 2 代入方程左边，得
2² − (k + 3) × 2 + 2k + 2 = 4 − 2k − 6 + 2k + 2 = 0。　……2 分
∴ 左边 = 右边，即无论 k 取何值，x = 2 都是该方程的一个根。　……3 分
（2）∵ 方程的两个实数根相等，且其中一个根为 2，∴ 两个根都是 2。　……4 分
由根与系数的关系，x₁ + x₂ = k + 3，∴ 2 + 2 = k + 3，　……5 分
∴ k = 1。　……6 分
易错提醒：第（1）问是“验证根”的标准写法：代入化简到 0，并指明“左边 = 右边”。第（2）问也可因式分解：x² − (k + 3)x + 2k + 2 = (x − 2)(x − k − 1)，直接看出另一根为 k + 1，令 k + 1 = 2 得 k = 1。
19．（8 分）
解：（1）∵ 方程 x² − (2m + 1)x + m² = 0 有两个实数根，
∴ Δ = (2m + 1)² − 4m² = 4m² + 4m + 1 − 4m² = 4m + 1 ≥ 0，　……3 分
∴ m ≥ −1/4。　……4 分
（2）由根与系数的关系，得 x₁ + x₂ = 2m + 1，x₁x₂ = m²。　……5 分
∴ x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = (2m + 1)² − 2m² = 2m² + 4m + 1。　……6 分
由 x₁² + x₂² = 5，得 2m² + 4m + 1 = 5，即 m² + 2m − 2 = 0，　……7 分
解得 m₁ = −1 + √3，m₂ = −1 − √3。∵ m ≥ −1/4，∴ m = −1 − √3 舍去，
∴ m = √3 − 1。　……8 分
易错提醒：两条主线：①“有实数根”用判别式 ≥ 0；②对称式用 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ 转化。最后必须用第（1）问的范围检验：m = −1 − √3 ≈ −2.73 不满足 m ≥ −1/4，舍去——不检验要扣分。
20．（8 分）
解：（1）设月平均增长率为 x。　……1 分
由题意，得 100(1 + x)² = 121。　……3 分
解得 (1 + x)² = 1.21，∴ 1 + x = ±1.1，　……4 分
∴ x₁ = 0.1 = 10%，x₂ = −2.1（不合题意，舍去）。
答：月平均增长率为 10%。　……5 分
（2）121 × (1 + 10%) = 133.1（万元）。　……7 分
答：预测 4 月份的销售额为 133.1 万元。　……8 分
易错提醒：增长率问题的固定模型是 a(1 + x)² = b。开平方得 1 + x = ±1.1，负根对应 x = −2.1，表示销售额缩水 210%，不符合“增长”的实际意义，必须舍去。
21．（8 分）
解：（1）∵ 对称轴为直线 x = 1，一个交点为 (3, 0)，
由对称性，设另一交点为 (x₀, 0)，则 (x₀ + 3) ÷ 2 = 1，∴ x₀ = −1。　……2 分
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 (−1, 0)。　……3 分
（2）把 (3, 0) 代入 y = ax² + bx − 3，得 9a + 3b − 3 = 0；　……4 分
由对称轴 x = −b/(2a) = 1，得 b = −2a。　……5 分
代入，得 9a − 6a − 3 = 0，∴ a = 1，b = −2。　……6 分
（3）由图象，当 −1 ＜ x ＜ 3 时，y ＜ 0。　……8 分
易错提醒：第（1）问用“两交点关于对称轴对称”：两点横坐标的平均值等于对称轴。第（2）问把“对称轴 x = 1”翻译成 b = −2a，再与代入 (3, 0) 所得的方程联立；也可以用交点式 y = a(x + 1)(x − 3) 展开后对比系数。
22．（10 分）
解：（1）∵ 抛物线经过 A(−1, 0)、B(2, 0)，可设 y = a(x + 1)(x − 2)。　……2 分
把 C(0, −2) 代入，得 a × 1 × (−2) = −2，∴ a = 1。　……4 分
∴ y = (x + 1)(x − 2) = x² − x − 2，
即所求抛物线的解析式为 y = x² − x − 2。　……6 分
（2）y = x² − x − 2 = (x − 1/2)² − 9/4，顶点坐标为 (1/2, −9/4)。　……8 分
向右平移 1 个单位长度、再向上平移 2 个单位长度后，顶点变为 (3/2, −1/4)，
∴ 平移后抛物线的解析式为 y = (x − 3/2)² − 1/4，即 y = x² − 3x + 2。　……10 分
易错提醒：已知与 x 轴的两个交点时，交点式 y = a(x − x₁)(x − x₂) 比一般式的三元方程组快得多。平移规律“左加右减、上加下减”作用在顶点式上最直观：顶点 (1/2, −9/4) 平移后为 (3/2, −1/4)，分数坐标不必化成小数。
23．（12 分）
解：（1）设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为 (32 − 2x) m。　……2 分
S = x(32 − 2x) = −2x² + 32x。　……4 分
∵ 平行于墙的一边不能超过墙长 18 m，∴ 32 − 2x ≤ 18，∴ x ≥ 7；
又 32 − 2x ＞ 0，∴ x ＜ 16。
∴ 自变量 x 的取值范围是 7 ≤ x ＜ 16。　……6 分
（2）S = −2x² + 32x = −2(x − 8)² + 128。　……9 分
∵ −2 ＜ 0，且 x = 8 在 7 ≤ x ＜ 16 内，
∴ 当 x = 8 时，S 取得最大值 128。　……11 分
答：当垂直于墙的一边长为 8 m 时，羊圈的面积最大，最大面积为 128 m²。　……12 分
易错提醒：一面靠墙问题：篱笆只围三条边，平行于墙的一边 = 篱笆总长 − 两条垂直边。取值范围有两个来源：①墙长限制 32 − 2x ≤ 18；②边长为正。求出最值后必须验证顶点横坐标在取值范围内。
24．（14 分）
（1）证明：Δ = (−2m)² − 4 × 1 × (m² − 1) = 4m² − 4m² + 4 = 4 ＞ 0。　……3 分
∴ 无论 m 取何值，该函数的图象与 x 轴总有两个不同的交点。　……4 分
（2）解：令 y = 0，得 x² − 2mx + m² − 1 = 0，即 (x − m)² = 1。　……6 分
∴ x − m = ±1，∴ x₁ = m − 1，x₂ = m + 1。　……8 分
∵ 点 A 在点 B 的左侧，∴ A(m − 1, 0)，B(m + 1, 0)，
∴ AB = (m + 1) − (m − 1) = 2，即线段 AB 的长为 2。　……10 分
（3）解：∵ 抛物线经过原点 (0, 0)，∴ 把 x = 0、y = 0 代入，得 m² − 1 = 0，　……11 分
∴ m = 1 或 m = −1。　……12 分
当 m = 1 时，y = x² − 2x；当 m = −1 时，y = x² + 2x。　……14 分
易错提醒：第（1）问判别式的结果与 m 无关（恒为 4），这是“总有两个交点”型证明题的关键特征。第（2）问配方得 x = m ± 1，两根之差恒为 2，说明抛物线随 m 变化只是左右平移，线段 AB 的长不变。第（3）问有两解，都要写出。
教师使用说明
1．本卷适用于新人教版（2024 版）九年级上册第二十五章（一元二次方程）、第二十六章（二次函数）学完后的第一次阶段性测试。范围自查：未涉及旋转、圆、反比例函数等后续章节内容。
2．本卷与第一套考点互补：本套侧重根与系数的关系、含参数的方程与抛物线、部分图象读图、待定系数法与平移；第一套侧重方程解法体系、判别式与二次函数图象性质，两卷合用覆盖更全。
3．第 19 题第（2）问与第 21 题第（2）问的“检验取舍 / 联立求参”是评分点；第 24 题第（3）问有两解，漏解扣 2 分。允许基础薄弱的学生只完成第 24 题第（1）、（2）问。
特别提醒：如需电子版，请先关注、点赞、收藏、转发，并在评论区留言“九年级第一次阶段性测试”。
题号
一
二
三
总分
核分人
得分
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．把方程 (x + 1)² = 2x + 3 化为一般形式后，它的常数项是（　　）
A．2　　B．−1　　C．−2　　D．1
2．若 x = a 是方程 x² − 2x − 3 = 0 的一个根，则代数式 2a² − 4a + 1 的值是（　　）
A．5　　B．7　　C．9　　D．−5
3．关于 x 的方程 x² − 3x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　）
A．m ≤ 9/4　　B．m ＞ 9/4　　C．m ≥ 9/4　　D．m ＜ 9/4
4．若关于 x 的方程 x² + 2x + k = 0 有两个相等的实数根，则 k 的值是（　　）
A．−1　　B．1　　C．0　　D．2
5．若 x₁、x₂ 是方程 x² + 3x − 5 = 0 的两个根，则 x₁ + x₂ − x₁x₂ 的值是（　　）
A．−2　　B．8　　C．−8　　D．2
6．对于二次函数 y = 3x² 的图象，下列说法中正确的是（　　）
A．开口向下　　B．对称轴是 y 轴　　C．顶点坐标是 (0, 3)　　D．有最大值 0
7．对于抛物线 y = −3(x + 2)² − 5，下列结论中正确的是（　　）
A．开口向上　　B．对称轴是直线 x = 2　　C．顶点坐标是 (−2, −5)　　D．当 x ＞ −2 时，y 随 x 的增大而增大
8．若二次函数 y = x² − 2x + m 的图象与 x 轴只有一个公共点，则 m 的值是（　　）
A．1　　B．0　　C．−1　　D．2
9．二次函数 y = x² + x − 2 的图象如图所示，则关于 x 的方程 x² + x − 2 = 0 的解是（　　）
A．x₁ = 1，x₂ = 2　　B．x₁ = −2，x₂ = −1　　C．x₁ = −2，x₂ = 1　　D．x₁ = −1，x₂ = 2
10．二次函数 y = ax² + bx + c 的图象开口向上，与 x 轴交于 (−2, 0)、(4, 0) 两点，则当 y ＜ 0 时，x 的取值范围是（　　）
A．x ＜ −2　　B．x ＞ 4　　C．−2 ＜ x ＜ 4　　D．x ＜ −2 或 x ＞ 4
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若关于 x 的一元二次方程 (m − 3)x² + 2x − 1 = 0 有两个实数根，则 m 的取值范围是____________。
12．已知关于 x 的方程 x² + kx − 6 = 0 的一个根是 2，则它的另一个根是____________。
13．用配方法解方程 x² + 6x + 4 = 0，配方后的结果是 (x + 3)² =____________。
14．抛物线 y = −2(x − 1)² + 3 与 y 轴的交点坐标是____________。
15．若二次函数 y = x² − 4x + m 的图象与 x 轴有两个不同的交点，则 m 的取值范围是____________。
16．已知抛物线 y = ax² + bx + c 的对称轴是直线 x = 2，且经过点 (1, 0)，则它与 x 轴的另一个交点坐标是____________。
三、解答题（共 72 分）
17．（6 分）解下列方程：
（1）3x² − 6x = 0；
（2）x² + 4x − 1 = 0。
18．（6 分）已知关于 x 的方程 x² − (k + 3)x + 2k + 2 = 0。
（1）求证：无论 k 取何值，x = 2 都是该方程的一个根；
（2）若该方程的两个实数根恰好相等，求 k 的值。
19．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x² − (2m + 1)x + m² = 0 有两个实数根 x₁、x₂。
（1）求 m 的取值范围；
（2）若 x₁² + x₂² = 5，求 m 的值。
20．（8 分）某超市 2026 年 1 月份的销售额为 100 万元，3 月份的销售额为 121 万元。
（1）求 1 月至 3 月销售额的月平均增长率；
（2）若保持同样的月平均增长率，预测 4 月份的销售额。
21．（8 分）如图，抛物线 y = ax² + bx − 3 与 x 轴的一个交点为 (3, 0)，对称轴为直线 x = 1。
（1）求该抛物线与 x 轴的另一个交点坐标；
（2）求 a、b 的值；
（3）根据图象，直接写出当 y ＜ 0 时 x 的取值范围。
22．（10 分）如图，抛物线经过点 A(−1, 0)、B(2, 0)、C(0, −2)。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将该抛物线先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，求平移后抛物线的解析式。
23．（12 分）如图，某农户准备用长 32 m 的篱笆围成一个矩形羊圈，其中一面靠墙（墙长 18 m），另外三边用篱笆围成。设垂直于墙的一边长为 x m，矩形羊圈的面积为 S m²。
（1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）当 x 为何值时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？
24．（14 分）已知二次函数 y = x² − 2mx + m² − 1（m 为常数）。
（1）求证：无论 m 取何值，该函数的图象与 x 轴总有两个不同的交点；
（2）设该函数的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），求线段 AB 的长；
（3）若该抛物线经过原点 (0, 0)，求 m 的值，并直接写出此时抛物线的解析式。
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参考答案与评分标准（第二套）
满分 120 分　·　选择题每小题 3 分，填空题每小题 3 分，解答题按步骤给分
命题双向细目表
考查内容
题号
分值
难度
一元二次方程的概念与根的意义
1、2
6
易
一元二次方程的解法（配方法、因式分解法）
13、17
9
易／中
根的判别式与图象公共点个数
3、4、8、11、15
15
易／中
根与系数的关系
5、12、18、19
20
中
一元二次方程的实际应用（增长率）
20
8
中
二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点）
6、7、14
9
易
二次函数与一元二次方程的关系（读图、待定系数、平移）
9、10、16、21、22
27
中
二次函数的实际应用（最值）
23
12
中／难
含参数的二次函数综合
24
14
难
合　计
—
120
7∶2∶1
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1—5：C　B　D　B　D　　6—10：B　C　A　C　C
1．展开，得 x² + 2x + 1 = 2x + 3，移项合并，得 x² − 2 = 0，常数项是 −2。
2．由 a² − 2a − 3 = 0 得 a² − 2a = 3，整体代入：2a² − 4a + 1 = 2(a² − 2a) + 1 = 7。
3．Δ = 9 − 4m ＞ 0，∴ m ＜ 9/4。
4．Δ = 4 − 4k = 0，∴ k = 1。
5．x₁ + x₂ = −3，x₁x₂ = −5，∴ x₁ + x₂ − x₁x₂ = −3 − (−5) = 2。
6．y = 3x²：开口向上、对称轴是 y 轴、顶点 (0, 0)、有最低点（最小值 0），只有 B 正确。
7．顶点式 y = a(x − h)² + k 的顶点是 (h, k)，故顶点为 (−2, −5)；a = −3 ＜ 0 开口向下，x ＞ −2 时 y 随 x 增大而减小。
8．与 x 轴只有一个公共点 ⟺ Δ = 0，即 4 − 4m = 0，m = 1。
9．图象与 x 轴交点的横坐标就是对应方程的根，读图得 x₁ = −2，x₂ = 1。
10．开口向上时，两交点之间的图象位于 x 轴下方，∴ y ＜ 0 时 −2 ＜ x ＜ 4。
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．m ≥ 2 且 m ≠ 3　（Δ = 4 + 4(m − 3) ≥ 0，且二次项系数 m − 3 ≠ 0）
12．−3　（由根与系数的关系，x₁x₂ = −6，另一根 = −6 ÷ 2 = −3）
13．5　（x² + 6x + 4 = (x + 3)² − 5 = 0，∴ (x + 3)² = 5）
14．(0, 1)　（x = 0 时，y = −2 × (−1)² + 3 = 1）
15．m ＜ 4　（Δ = 16 − 4m ＞ 0）
16．(3, 0)　（点 (1, 0) 关于直线 x = 2 的对称点：横坐标为 2 × 2 − 1 = 3）
17．（6 分）
解：（1）3x² − 6x = 0，因式分解，得 3x(x − 2) = 0。　……1 分
∴ x = 0 或 x − 2 = 0，∴ x₁ = 0，x₂ = 2。　……3 分
（2）x² + 4x − 1 = 0，移项，得 x² + 4x = 1，
配方，得 (x + 2)² = 5。　……4 分
∴ x + 2 = ±√5，∴ x₁ = −2 + √5，x₂ = −2 − √5。　……6 分
易错提醒：第（1）问不能两边约去 x，否则会漏掉根 x = 0；第（2）问二次项系数为 1 时首选配方法，两边同时加上“一次项系数一半的平方”4。
18．（6 分）
（1）证明：把 x = 2 代入方程左边，得
2² − (k + 3) × 2 + 2k + 2 = 4 − 2k − 6 + 2k + 2 = 0。　……2 分
∴ 左边 = 右边，即无论 k 取何值，x = 2 都是该方程的一个根。　……3 分
（2）∵ 方程的两个实数根相等，且其中一个根为 2，∴ 两个根都是 2。　……4 分
由根与系数的关系，x₁ + x₂ = k + 3，∴ 2 + 2 = k + 3，　……5 分
∴ k = 1。　……6 分
易错提醒：第（1）问是“验证根”的标准写法：代入化简到 0，并指明“左边 = 右边”。第（2）问也可因式分解：x² − (k + 3)x + 2k + 2 = (x − 2)(x − k − 1)，直接看出另一根为 k + 1，令 k + 1 = 2 得 k = 1。
19．（8 分）
解：（1）∵ 方程 x² − (2m + 1)x + m² = 0 有两个实数根，
∴ Δ = (2m + 1)² − 4m² = 4m² + 4m + 1 − 4m² = 4m + 1 ≥ 0，　……3 分
∴ m ≥ −1/4。　……4 分
（2）由根与系数的关系，得 x₁ + x₂ = 2m + 1，x₁x₂ = m²。　……5 分
∴ x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = (2m + 1)² − 2m² = 2m² + 4m + 1。　……6 分
由 x₁² + x₂² = 5，得 2m² + 4m + 1 = 5，即 m² + 2m − 2 = 0，　……7 分
解得 m₁ = −1 + √3，m₂ = −1 − √3。∵ m ≥ −1/4，∴ m = −1 − √3 舍去，
∴ m = √3 − 1。　……8 分
易错提醒：两条主线：①“有实数根”用判别式 ≥ 0；②对称式用 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ 转化。最后必须用第（1）问的范围检验：m = −1 − √3 ≈ −2.73 不满足 m ≥ −1/4，舍去——不检验要扣分。
20．（8 分）
解：（1）设月平均增长率为 x。　……1 分
由题意，得 100(1 + x)² = 121。　……3 分
解得 (1 + x)² = 1.21，∴ 1 + x = ±1.1，　……4 分
∴ x₁ = 0.1 = 10%，x₂ = −2.1（不合题意，舍去）。
答：月平均增长率为 10%。　……5 分
（2）121 × (1 + 10%) = 133.1（万元）。　……7 分
答：预测 4 月份的销售额为 133.1 万元。　……8 分
易错提醒：增长率问题的固定模型是 a(1 + x)² = b。开平方得 1 + x = ±1.1，负根对应 x = −2.1，表示销售额缩水 210%，不符合“增长”的实际意义，必须舍去。
21．（8 分）
解：（1）∵ 对称轴为直线 x = 1，一个交点为 (3, 0)，
由对称性，设另一交点为 (x₀, 0)，则 (x₀ + 3) ÷ 2 = 1，∴ x₀ = −1。　……2 分
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 (−1, 0)。　……3 分
（2）把 (3, 0) 代入 y = ax² + bx − 3，得 9a + 3b − 3 = 0；　……4 分
由对称轴 x = −b/(2a) = 1，得 b = −2a。　……5 分
代入，得 9a − 6a − 3 = 0，∴ a = 1，b = −2。　……6 分
（3）由图象，当 −1 ＜ x ＜ 3 时，y ＜ 0。　……8 分
易错提醒：第（1）问用“两交点关于对称轴对称”：两点横坐标的平均值等于对称轴。第（2）问把“对称轴 x = 1”翻译成 b = −2a，再与代入 (3, 0) 所得的方程联立；也可以用交点式 y = a(x + 1)(x − 3) 展开后对比系数。
22．（10 分）
解：（1）∵ 抛物线经过 A(−1, 0)、B(2, 0)，可设 y = a(x + 1)(x − 2)。　……2 分
把 C(0, −2) 代入，得 a × 1 × (−2) = −2，∴ a = 1。　……4 分
∴ y = (x + 1)(x − 2) = x² − x − 2，
即所求抛物线的解析式为 y = x² − x − 2。　……6 分
（2）y = x² − x − 2 = (x − 1/2)² − 9/4，顶点坐标为 (1/2, −9/4)。　……8 分
向右平移 1 个单位长度、再向上平移 2 个单位长度后，顶点变为 (3/2, −1/4)，
∴ 平移后抛物线的解析式为 y = (x − 3/2)² − 1/4，即 y = x² − 3x + 2。　……10 分
易错提醒：已知与 x 轴的两个交点时，交点式 y = a(x − x₁)(x − x₂) 比一般式的三元方程组快得多。平移规律“左加右减、上加下减”作用在顶点式上最直观：顶点 (1/2, −9/4) 平移后为 (3/2, −1/4)，分数坐标不必化成小数。
23．（12 分）
解：（1）设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为 (32 − 2x) m。　……2 分
S = x(32 − 2x) = −2x² + 32x。　……4 分
∵ 平行于墙的一边不能超过墙长 18 m，∴ 32 − 2x ≤ 18，∴ x ≥ 7；
又 32 − 2x ＞ 0，∴ x ＜ 16。
∴ 自变量 x 的取值范围是 7 ≤ x ＜ 16。　……6 分
（2）S = −2x² + 32x = −2(x − 8)² + 128。　……9 分
∵ −2 ＜ 0，且 x = 8 在 7 ≤ x ＜ 16 内，
∴ 当 x = 8 时，S 取得最大值 128。　……11 分
答：当垂直于墙的一边长为 8 m 时，羊圈的面积最大，最大面积为 128 m²。　……12 分
易错提醒：一面靠墙问题：篱笆只围三条边，平行于墙的一边 = 篱笆总长 − 两条垂直边。取值范围有两个来源：①墙长限制 32 − 2x ≤ 18；②边长为正。求出最值后必须验证顶点横坐标在取值范围内。
24．（14 分）
（1）证明：Δ = (−2m)² − 4 × 1 × (m² − 1) = 4m² − 4m² + 4 = 4 ＞ 0。　……3 分
∴ 无论 m 取何值，该函数的图象与 x 轴总有两个不同的交点。　……4 分
（2）解：令 y = 0，得 x² − 2mx + m² − 1 = 0，即 (x − m)² = 1。　……6 分
∴ x − m = ±1，∴ x₁ = m − 1，x₂ = m + 1。　……8 分
∵ 点 A 在点 B 的左侧，∴ A(m − 1, 0)，B(m + 1, 0)，
∴ AB = (m + 1) − (m − 1) = 2，即线段 AB 的长为 2。　……10 分
（3）解：∵ 抛物线经过原点 (0, 0)，∴ 把 x = 0、y = 0 代入，得 m² − 1 = 0，　……11 分
∴ m = 1 或 m = −1。　……12 分
当 m = 1 时，y = x² − 2x；当 m = −1 时，y = x² + 2x。　……14 分
易错提醒：第（1）问判别式的结果与 m 无关（恒为 4），这是“总有两个交点”型证明题的关键特征。第（2）问配方得 x = m ± 1，两根之差恒为 2，说明抛物线随 m 变化只是左右平移，线段 AB 的长不变。第（3）问有两解，都要写出。
教师使用说明
1．本卷适用于新人教版（2024 版）九年级上册第二十五章（一元二次方程）、第二十六章（二次函数）学完后的第一次阶段性测试。范围自查：未涉及旋转、圆、反比例函数等后续章节内容。
2．本卷与第一套考点互补：本套侧重根与系数的关系、含参数的方程与抛物线、部分图象读图、待定系数法与平移；第一套侧重方程解法体系、判别式与二次函数图象性质，两卷合用覆盖更全。
3．第 19 题第（2）问与第 21 题第（2）问的“检验取舍 / 联立求参”是评分点；第 24 题第（3）问有两解，漏解扣 2 分。允许基础薄弱的学生只完成第 24 题第（1）、（2）问。
特别提醒：如需电子版，请先关注、点赞、收藏、转发，并在评论区留言“九年级第一次阶段性测试”。

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