每日一题第2879题(2026年全国高中数学联赛浙江预赛填空6)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联浙江预赛的填空题的第6题，难度中等。

题干中给出了一个抽象函数的式子，只不过，这个式子最终等于0或者1并没有确定，同时给出了f(2)=0和f(3)>0，那么肯定还是先尝试一些简单的赋值，f(2)显然可以通过令m=n=1去得到，也就是f(2)-2f(1)=0或1，再结合f(x)是N*到N的函数，那么f(1)就只能是0，同样的，f(3)可以令m,n其中一个为2，一个为1得到，再结合非负整数的条件，也可以确定f(3)=1。

接下来又给出了一个f(9999)=3333，这里注意到给出的这个数据，9999=3333×3，也就是说在f(3)=1的情况下，如果题干中的式子f(m+n)-f(m)-f(n)全部取0的话，就会有f(km)=kf(m)，那么f(9999)就会刚好取到3333，但中间如果有一些取的是1，那么可能就不满足条件了，所以这里基本上可以猜测会有f(3k)=k，同时f(x)肯定是单调不减的，所以通过这个也就可以得到f(2025)≤f(2026)≤f(2028)，也就是f(2026)要么取675，要么取676。

接下来就尝试证明f(3k)=k，按照上述思路对f(m+n)进行拆分即可，得到f(3k)≥k，然后通过f(9999)的值验证>不成立即可，再通过f(3k)=k去得到f(2026)<676即可。