2026 数学高联预赛 A 卷试题分析

整体而言，基础题需要抓住特殊关系，难题则要把条件转化为可计算的量，并兼顾极值估计与构造。下面以几个题目为例进行讲解。我认为第 7, 8 题和第 10, 11 题是比较难的。当然，整张试卷的难题是不低的，至少我做起来不是很顺，尤其第 11 题。

第 1 题要利用 Cauchy 不等式取等，故 。第 3 题令 ，条件化为 ，直接得到 。这里应保留共同量，避免分别解出两角。第 7 题考查分数部分。由对称性设 ，写成 ，原式为 。当  时，利用整数范围可得上界 。当  时，令 ，原式为 ，在  上递增。结合 ，最大比值为 ，故最大值为 。分数部分在整数处跳变，因此必须先分段，再讨论单调性。

第 8 题宜计算“所有面均不恰含两条红棱”的反事件。若某面全非红，余下八棱中只有两条非红棱；考察它们所属的侧面，可找到恰含两条红棱的面，产生矛盾。互换颜色又可排除全红面。因此每面只能含一条或三条红棱。每条红棱属于两面，故六面计数之和为 ，恰有三个面各含一条红棱。两个这样的面不能相对，否则四条连接棱全红，六面计数之和将变为 。于是三个面交于顶点 。设其对角顶点为 ，两点的红棱数分别为 ，对经过  的三面计数得 ，迫使 。余下六棱组成六边形，颜色必须交替，故反事件有  种，所求概率为 。

第 10 题先确定球心位置。两大球半径等于圆柱底面半径，球心只能在轴线上，高度只能为 。小球与两大球等距，球心必在高度  的平面内。设其半径为 ，球心到轴线距离为 ，侧面相切与球面相切分别给出

解得 。两小球不重叠要求 ，即最小球心角为 。由 ，十个球心必有一对相邻角不超过 ，无法容纳；正九边形排列的最小角为 ，可以实现九球。

第 11 题应研究等比子列的相邻差。记十项非零等比子列为 ，则  是非零整数，且仍成等比数列。所以  为既约分数，其中 。由于  为整数，互素性给出 。写成 ，便有

这里总步数至少等于九段位移绝对值之和；末步不等式利用  是不同正整数。取 ，选出 ，即达到最短长度 。取等时只能有 ，且 ；每段必须同向走，首项又由  唯一确定。

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