高中物理 · 高二通关 第 01 讲

       静电场的力的性质：电场看不见，怎么变成能算的数库仑定律的两个条件、电场强度的比值定义、电场线的三个陷阱     

人教版必修第三册 · 第九章 静电场及其应用

这一讲解决什么：电场是高中物理第一个完全看不见、摸不着的研究对象。这一讲要完成一次视角转换——从"两个电荷互相拉"，变成"一个电荷在电场里受力"。转换不过来，后面整座电磁学大山都上不去。

       读完你就能判断：库仑定律什么时候能用、电场强度到底由谁决定、电场线画的到底是什么。     

先问孩子一个问题，看他现在在哪一档

电场中某点放一个电荷量为 q 的检验电荷，它受到的电场力是 F。如果把检验电荷换成电荷量为 2q 的，这一点本身的电场强度变成多少？

· 答"变成 2E" → 请一定看第三节 3.3，这是本篇最要紧的一处，也是高二第一个分水岭

· 答"还是 E"，但说不清为什么 → 也看3.3，重点看"公式右边的 q 被约掉了"

· 答"还是 E"且能说出"电场强度是电场自己的性质" → 直接跳到3.4 场强叠加和第五节例 6，那里另有一个坑

全篇约 9000 字，读完约 18 分钟。建议顺序：先自测 → 看第三节 3.3 → 做例题 → 存速查表。中途想退出，请至少看完 3.3、3.5 和第四节速查表，这三处最实用。     

高一力学有个特点：研究对象都看得见。小车、木块、斜面、绳子，实在不行还能画个图。到了高二第一章，孩子第一次遇到一个完全看不见的东西——电场。

很多孩子在这一章的成绩还不错，靠的是背公式、套题型。但这种"不错"是虚的：一旦到下一章讲"电势"，看不见的东西再叠一层抽象，成绩会在两三周内掉下来一大截。根源就在这一讲——"场"这个概念没有真正立住。

这一章其实只在做一件事：把看不见的电场，变成一个能算的数。下面这三个问题，可以直接拿去问孩子：

三道题，孩子能答对几道？这一讲就把这三处逐个拆开——不是重新讲一遍课本，是把"场"这个东西在孩子脑子里先立起来。

不少家长觉得"电荷那点东西，初中就学过，不难"。看一下这张表：

这一章看着是五个知识点，其实是一条线，走完是一次视角的转换：

看出这条线了吗？前两层还在说"电荷与电荷"的事，第三层开始换成"场与电荷"。这个转换就是这一讲的全部意义。转换完成，孩子才能处理"三个电荷""四个电荷""一块带电板"这种题——因为不用再数谁拉谁了。

先立一条规矩：电荷既不会凭空产生，也不会凭空消失，只能从一个物体转移到另一个物体。这就是电荷守恒定律。

三种起电方式，看着是三件事，本质全是同一件事——电子在搬家：

这里有两个数要记住：

· 元电荷 e = 1.60 × 10⁻¹⁹ C——这是电荷量的最小单位，任何带电体带的电荷量都是 e 的整数倍。所以"某个物体带了 2.5 × 10⁻¹⁹ C"这种说法，一看就是错的。

· 电子的比荷 e/m_e = 1.76 × 10¹¹ C/kg——这个数在 03 讲算带电粒子在电场中的加速时会直接用到。

真空中两个静止点电荷之间的作用力：

F = k q₁q₂ / r²k = 9.0 × 10⁹ N·m²/C²

这个公式孩子高一就见过一个长得几乎一样的——万有引力。把两个并排看，比单独背好记得多：

两个常量一个 10⁹、一个 10⁻¹¹，差了 20 个数量级。所以电子和质子之间算相互作用，只算库仑力，万有引力连提都不用提。

两个不能忘的条件：

· 真空中——严格说是空气中也近似成立，但题目说"真空中"就是提醒你可以直接用。

· 点电荷——这是理想化模型，跟高一"质点"完全同理。带电体的大小比起它们之间的距离不能忽略时，就不能当点电荷。所以"r → 0 时 F 趋于无穷"这个说法是没意义的——那时候已经不是点电荷了，公式本身就不成立。

还有一条最容易忘的：库仑力是矢量。两个以上的电荷对一个电荷作用时，要用平行四边形定则合成，不能直接把数值加减。

电场是客观存在的物质。它看不见，但可以用一个数把它描述出来——这个数就是电场强度 E。

办法是：放一个检验电荷（也叫试探电荷）进去，看它受多大的力。

E = F / q　　单位：N/C（以后还会见到 V/m）

检验电荷有两个要求：电荷量足够小（不影响原来的电场）、体积足够小（可以看成点）。

现在说这一讲最要紧的一句话——

这不是孩子第一次遇到这类公式了。把学过的四个并排放在一起看，混乱一下子就散了：

这类公式有个统一的长相：左边是"性质"，右边只是"量它的尺子"。理解了这一句，四个公式一次性全通。

还有一条要钉死——电场强度的方向规定：正电荷在该点所受电场力的方向。

· 放正电荷：受力方向与 E 同向

· 放负电荷：受力方向与 E 反向（但该点的 E 本身一点没变）

这就是为什么开头那道自测题这么重要。孩子答"换成 2q 场强变成 2E"，说明他把它当成了 F 与 q 成正比的普通比例关系，"场"这个概念还没立起来。

最后把最容易混的一对并排放在一起。这两个量名字只差一个字，性质却完全不同：

表末给一条最快的判据：题目问"这一点本身怎么样"，答 E；问"放在这里的电荷怎么样"，答 F。

把库仑定律和定义式接起来，就能推出点电荷的场强。这一步推导值得让孩子自己写一遍，因为它是"E 与 q 无关"最硬的证据：

检验电荷 q 放在距场源电荷 Q 为 r 的地方：　F = k Qq / r²　E = F / q = (k Qq / r²) / q = k Q / r²——看清楚，q 被约掉了。最后的式子里只有场源电荷 Q 和位置 r。

E = k Q / r²

方向怎么定：

· Q 为正：E 沿连线向外（背离 Q）

· Q 为负：E 沿连线指向 Q

注意这里同样有条件——这个式子只对点电荷成立，r → 0 时也不能用，理由跟库仑定律一样。

如果有多个场源电荷呢？这时候就用到叠加原理：

这里跟高一力学是同一套东西：高一的合力求法是平行四边形定则，高二的合场强求法还是平行四边形定则。孩子高一这一步没练熟，到这里会直接卡住。

电场线是把场"画出来"的办法。规定是：曲线上每一点的切线方向 = 该点场强方向，曲线的疏密 = 场强大小。

关于电场线，孩子几乎必错的有三条，记住"三个不是"就够了：

另外两条基本性质要记住：电场线不相交（交点处场强方向会有两个，不可能），静电场的电场线不闭合（它从正电荷或无穷远出发，终止于负电荷或无穷远）。

课本上常见的几种分布，孩子要能默出来。这里把五种种齐：

最后一种值得单独说一句：匀强电场的电场线是等间距的平行直线，场强处处相同。这个概念 03 讲讲带电粒子在电场中运动时要反复用，这里先认识一下。

把"等量异种中点不为零"和"等量同种中点为零"这两条放在一起记，效果最好——同样是中点，一个最强区里的低谷，一个是彻底抵消。这两个结论在选择题里出现频率很高。

现在把这六个小节收成一句话，这一讲的全部意义就在这一句里：

这个转换到底有什么用？举个数：如果有五个电荷同时在拉一个检验电荷，用库仑定律要算五次力、再矢量合成；换成电场强度，只要知道这五者在那一点产生的总场强 E，一步 F = qE 就出来了。

更重要的是——这个思路孩子高一其实已经用过一次。

看出来了吗？是完全同一套思路，只是把"力"换成了"场"。所以孩子如果高一受力分析学得扎实，这一讲会走得比别人顺很多；反过来，高一那道坎没过的，到这里会第一次明显感到吃力。

最后预告一句，也方便孩子有个心理准备：电场有两副面孔——一副是"力的性质"（这一讲的 E），一副是"能的性质"（下一讲的电势 φ）。这一讲的 E 还能靠电场线想象出方向，下一讲的电势完全抽象。那才是高二的第一道坎。

【例 1】真空中两个点电荷相距 r，相互作用力大小为 F。若两个电荷的电荷量都变为原来的 2 倍，它们之间的距离也变为原来的 2 倍，此时作用力多大？

解析：原来：F = k q₁q₂ / r²后来：F′ = k (2q₁)(2q₂) / (2r)² = k · 4q₁q₂ / 4r² = F关键点：答案是不变。这道题的价值全在"看起来三个量都变了，结果没变"——分子乘了 4，分母也乘了 4，正好抵消。做比例题一定要整体看，不能一个一个单独改、单独下结论。

【例 2】两个完全相同的金属小球，分别带 +4q 和 −2q，相距 r，此时相互作用力大小为 F。让两球接触后再放回原处，此时作用力多大？方向如何？

解析：第一步，算接触后的电荷量。两球完全相同，接触时先中和、再平分：　总电荷 = (+4q) + (−2q) = +2q　平分后各带 +q第二步，算原来的力。F = k · 4q · 2q / r² = 8kq²/r²（异种电荷，是引力）第三步，算后来的力。F′ = k · q · q / r² = kq²/r²（同种电荷，是斥力）所以 F′ = F/8，且由引力变成了斥力。关键点：三个地方最容易错——① 忘了"先中和"（直接把 4q 和 2q 平分）；② 忘了题目给的是电荷量带符号，−2q 的负号要参与中和；③ 只算大小、没说方向变了。另外务必注意"完全相同"这四个字——球不一样大就不能平分。

【例 3】真空中一条直线上有两个固定点电荷：A 带 +Q，B 带 +4Q，两者相距 d。求 A、B 连线上电场强度为零的位置。

解析：第一步，先判断在哪一侧。两个都是正电荷：　· 在 A 左侧：两者产生的场强都向左，同向，不可能抵消　· 在 B 右侧：两者产生的场强都向右，同向，不可能抵消　· 在 A、B 之间：A 的场向右，B 的场向左，方向相反，可以抵消所以零点在两电荷之间。第二步，列式。设零点距 A 为 x，则距 B 为 (d − x)：　kQ / x² = k · 4Q / (d − x)²　(d − x)² = 4x²　d − x = 2xx = d / 3关键点：零点在距 A 为 d/3 处，也就是离电荷量小的那一侧更近——这个结论可以记下来：场强为零的点总是靠近电荷量小的一方。顺带说一句对照：如果两个是异种电荷，两电荷之间场强方向相同、不抵消，零点就跑到电荷量小的那一侧的外面去了（见本讲例 6 的思路）。"同种在中间、异种在外侧"，这一句能省掉每道题都重新判断的时间。

【例 4】电场中某点放入电荷量 q = 2.0 × 10⁻⁹ C 的检验电荷，它受到的电场力 F = 4.0 × 10⁻⁵ N。（1）求该点的电场强度大小；（2）若改放 q′ = −6.0 × 10⁻⁹ C 的电荷，该点场强多大？它受多大的力、方向如何？（3）若把检验电荷撤去，该点场强多大？

解析：（1）E = F/q = 4.0 × 10⁻⁵ / 2.0 × 10⁻⁹ = 2.0 × 10⁴ N/C，方向与正电荷受力方向相同。（2）该点场强不变，仍是 2.0 × 10⁴ N/C，方向也不变。受力大小：F′ = |q′|E = 6.0 × 10⁻⁹ × 2.0 × 10⁴ = 1.2 × 10⁻⁴ N方向：与场强方向相反（因为放的是负电荷）。（3）仍是 2.0 × 10⁴ N/C。关键点：这一道题把"比值定义"的三个面全考到了——换电荷、换正负、撤走。三问的答案都是同一个数。孩子只要有一问答错，就说明 3.3 那一节还没有真正过。

【例 5】（只给思路，写完对照第六节）电场线是电荷在电场中运动的轨迹吗？请说明理由。

思路提示：先想清楚电场线上一点的切线方向代表什么，再想清楚运动轨迹上一点的切线方向代表什么。这两个"切线"是不是同一个东西？如果不一样，那什么特殊情况下它们才会重合？

【例 6】（只给思路，写完对照第六节）两个等量同种正电荷 Q，相距 2r。它们连线的中点处，电场强度是多少？

【例 5】电场线是运动轨迹吗？

完整答案：不是。理由分两层：① 电场线上某点的切线方向 = 该点场强方向 = 正电荷在该点受力的方向 = 加速度的方向。② 而运动轨迹上某点的切线方向 = 速度的方向。加速度方向和速度方向是两回事——高一讲曲线运动时已经反复强调过：加速度指向轨迹的凹侧，速度沿轨迹切线，两者一般不重合。什么时候才重合？要同时满足两个条件：电场线是直线，且电荷的初速度为零、或初速度方向就沿这条电场线。这时电荷一直沿电场线做直线运动，轨迹才与电场线重合。这句话的价值：它是选择题里的固定陷阱。"电荷由静止释放后沿电场线运动"这种说法，只要电场线是曲线就是错的。

【例 6】等量同种正电荷连线中点的场强

完整答案：为零。设两个电荷分别在左右，中点到两者距离都是 r：· 左边电荷在中点产生的场强 E₁ = kQ/r²，方向向右（正电荷的场背离它）· 右边电荷在中点产生的场强 E₂ = kQ/r²，方向向左两者大小相等、方向相反，矢量和：　E = E₁ − E₂ = 0最常见的错答是 2kQ/r²——那是把场强当成了标量直接相加。场强是矢量，方向相反要先相减。延伸一句：沿着两个电荷的中垂线往外走，场强先变大后变小；而沿着连线从一侧走向另一侧，场强在中点处正好穿过零。这两条线上一"零"一"变"，是这类题最爱考的两处。

1以为摩擦起电"创造了电荷"。三种起电方式的实质都是电子转移，电荷总量守恒。

2接触带电不看条件就"平分"。只有完全相同的金属球才平分；先中和，再平分。

3库仑定律忘了适用条件。必须真空、点电荷；r 趋于 0 时公式不成立，不能硬套出"力无穷大"。

4库仑力当标量加减。它是矢量，多个电荷作用时用平行四边形定则合成。

5把电荷的正负号代进公式算大小。电荷量代绝对值算大小，方向另行判断（同号斥、异号吸）。

6认为 E 与 F 成正比、与 q 成反比。E 是电场自己的性质，与检验电荷无关；q 换成 2q，E 不变，F 才变。

7把电场线当成电荷的运动轨迹。切线是加速度方向不是速度方向；只有电场线为直线且初速为零（或沿电场线）时才重合。

8以为没画电场线的地方场强为零。电场线画不完，只画几条代表性的；空白处照样有场。

1今晚就能做的一件事。就问开头那一句：「电场中某点，检验电荷从 q 换成 2q，这点的场强变不变？」答"变大"的，说明"场"这个概念还没立住——这一道题的区分度，比刷二十道计算题都高。

2高二的坎跟高一不是一回事。高一的三道坎是"能不能用"（把工具建立起来），高二的四道坎是"能不能合"（把几套语言合起来用）。这一讲已经开始"合"了：库仑定律要合高一矢量合成，场强叠加要合平行四边形定则。孩子如果这里吃力，多半要先回头补高一的矢量运算。

3这一章别急着刷题。电场看不见，孩子靠背公式、套题型能把这一章的题做对，但一到下一章"电势"就会明显掉分。这一章值得多花两天，把"场"这个概念真正想明白。

4和下一讲连起来看。这一讲讲的是电场的力的性质（场强 E），下一讲讲电场的能的性质（电势 φ、电势能 E_p、电容器）。E 还能靠电场线想象出方向，电势完全抽象——那是高二的第一道坎，也是整个高二最先塌方的地方。

把"静电场的力的性质"作为高二第一讲，是因为它决定了后面整座山怎么上。

这一讲真正要孩子带走的，不是 F = kq₁q₂/r² 和 E = F/q 这两个式子，而是一次视角的转换：不再问"谁在拉它"，而是问"这里有一个什么样的场"。这个转换一旦完成，后面学电势、学带电粒子在电场中的运动、学电磁感应，都会顺很多。

还有一句想对家长说：孩子在这一章的成绩如果不理想，多半不是因为电场难，而是因为高一的矢量运算没练熟。这时候回头补高一，比往前赶新课划算得多。

孩子的物理有问题，或者这一讲做下来卡在哪儿了，直接发到后台，我尽量都回。也欢迎说说孩子答那道自测题时是怎么想的，我可以帮着看看他卡在哪一步。

— 本讲作业 —

上面【例 5】【例 6】只给了思路，今天就让孩子各写一遍完整过程（例 5 要说清"两个切线分别代表什么"，并给出轨迹与电场线重合的两个条件；例 6 要写清两个场强的方向再合成，并说明"2kQ/r²"错在哪），写完翻到「六、例 5、例 6 完整解析」对照。另外加一道动手题：把 ρ = m/V、R = U/I、a = Δv/Δt、E = F/q 四个式子抄在一张纸上，每个后面写一句"它跟什么无关"。写好拍下来发到后台，我逐份看。

— 下一讲预告 —

第 02 讲《静电场的能的性质：电势能、电势差与电容器》，讲电场看不见的第二副面孔：电场力做功与路径无关、电势的高低怎么判、以及电容器的两类动态变化——这是高二的第一道坎，也是不少孩子成绩开始分化的地方。点上方「关注」，别错过。

— 高二物理通关 —

【高二物理通关】按人教版必修第三册与选择性必修第一、二册，拆成 13 个专题推进，从静电场一路走到电磁感应与交变电流。本讲是第一讲，后面还有 12 讲。

连载节奏：每周二、周六各更新一讲，跟着走就不会漏。本系列按知识的先修关系分段，与学校课表顺序不必一致——学新课的孩子按顺序跟，补旧账的可以按薄弱点跳着看。