高中数学|蒙日圆开场三连问:斜率比 2/5,定点藏在 x 轴上

这道题的开场白不一般：先送你一个蒙日圆——椭圆的两条垂直切线，交点画出来恰好是个圆。这不只是文化背景，它直接把a²+b²白送给你当方程用。三问层层递进：定方程、证定值比、探定点。另有一个易踩的坑——题目把左顶点叫B、右顶点叫A，与习惯正好相反，审题稍一走神，后面全盘皆错。

法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为5π，短轴长为2，B，A分别为C的左、右顶点，M，N为C上不同于A，B的两点．

第一问：蒙日圆送面积，短轴送b。

蒙日圆半径的平方是a²+b²，面积为π(a²+b²)=5π，所以

a²+b²=5.

短轴长为2，即2b=2，b=1，代回得a²=4．于是

且a=2，，满足a>b>0✓．注意命名：B(−2,0)是左顶点，A(2,0)是右顶点——题目故意把字母顺序反着排，别想当然。以长轴为直径的圆是x²+y²=4。

第二问：对径弦+射线截圆，把P、Q用M表示出来。

设M(x₀,y₀)，则由对称性N(−x₀,−y₀)，直线MN过原点，

射线AM从A(2,0)出发经过M。关键观察：A本身就在圆x²+y²=4上，所以射线与圆的交点是A和另一个点P。沿射线方向设参数：

(x,y)=(2+t(x₀−2),ty₀),

代入x²+y²=4，t=0对应A，另一根满足，即

分母用椭圆关系化简：

于是

（x₀≠2，否则M=A被排除。）所以

以(−x₀,−y₀)代入同理得

求k₂：分母通分后公共因子是(10−3x₀)(10+3x₀)=100−9x₀²>0（因）：

二、四次项成对湮灭，只剩干净的

两件小事：（M在圆内），P确在射线前进方向、M的外侧；x₀≠0时，k₁、k₂同时存在，与题设吻合。

第三问：条件k₃=2k₄用一个字母贯穿，MN与x轴的交点直接算。

设k₃=t（t≠0：否则BM为x轴，M只能是A或B，被题设排除），则。

M由过B(−2,0)、斜率t的直线定：y=t(x+2)代入x²+4y²=4：

(1+4t²)x²+16t²x+16t²−4=0.

一根是x=−2（点B），由两根之积得另一根

N由过A(2,0)、斜率的直线定：把上面的推导中、x=−2→ x=2（这时两根之积给出的是），得

现在直接算MN与x轴的交点。先证MN不会是水平线：若，则，t≠0时化成−2(1+4t²)=4(1+t²)，即12t²=−6，无解。所以交点横坐标

总有意义。三项分别通分（公共分母(1+t²)(1+4t²)）：

于是

分子展开：

6(1−2t²−8t⁴)+32t⁴−8=−2−12t²−16t⁴=−2(1+2t²)(1+4t²),

与分母整块相消：

无论t取何值（t≠0），MN与x轴的交点横坐标恒为——这一步连竖直的情况都自动涵盖：当且仅当4t⁴=1，即，此时，竖直线同样穿过这个点。

所以直线MN恒过定点．

边界自检：M≠B、N≠A自动成立（二者是直线的第一个交点，M、N取另一根）；M≠A、N≠B由t≠0保证；M≠N也自动成立——若M=N，该点同时在y=t(x+2)与上，解出x=−6，在椭圆外，矛盾。定点在椭圆内部，一切相容。

其一，背景定理不是装饰，是送分的第一问。蒙日圆把a²+b²打包送出：见到”蒙日圆面积”就写π(a²+b²)，见到”短轴长”就写2b——两句联立，方程到手。顺便记结论本身：垂直切线交点的轨迹是x²+y²=a²+b²，它与”长轴为直径的圆”（x²+y²=a²）、椭圆本体三层嵌套，是椭圆大题里常见的布景板。

其二，射线截圆，先盯住”起点在圆上”。第二问最省力的一步，是发现A本身在x²+y²=4上：射线与圆的交点一个是A，参数方程代进去t=0直接解掉一根，只剩另一根。这类”起点自带一个交点”的结构（顶点引线、焦点引弦）都值得先找。

其三，定值比的分子分母会自己”对齐”。k₂的分子分母通分后出现同一个因子100−9x₀²，相消后剩下——定值问题的收官往往是”公共因子对消，剩下常数乘已知量”。这个比值甚至有通式：对一般椭圆，同样的装置给出

本题b²=1、a²+b²=5，恰是（换椭圆x²/6+y²/3=1验证得，与通式吻合）。

其四，定点也有通式，而且半角参数一眼看穿。第三问的装置换成一般倍数k₃=λ k₄，用椭圆参数点(acosθ,bsinθ)配半角、：，，条件k₃=λ k₄立刻变成pq=−λ；弦MN的方程里含p+q的项只有一个，令其系数为零，得定点

本题a=2、λ=2，定点，严丝合缝（换椭圆x²/6+y²/3=1、λ=3验证得）。半角参数把”斜率条件”翻成”参数乘积”，定点藏在一次项系数里——这是定点题里少见的”一行看穿”路线。