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不计算,也能说清——第十七届小学数学教学改革观摩交流展示培训活动观课思考之四
不计算,也能说清——第十七届小学数学教学改革观摩交流展示培训活动观课思考之四
第十七届小学数学 教学改革观摩课 观课三十三篇之第4篇 
不计算，也能说清：张悦老师《乘法分配律》让验算走向讲理，孩子用意义和图形说明等式为何成立，规律才真正归自己。 
01 两面墙，一百六十张 TECH ITERATION, NEW ERA 
河北省唐山市路北区光明实验小学的张悦老师，上的是人教版四年级下册第36至37页《乘法分配律》。这节课的墙上有东西。课前，孩子们把自己做的作品贴到了教室侧面的墙上，一面贴了三行，一面贴了五行，每行都贴满，每行二十张。课一开口，张老师没有另起话题，直接把手往墙上引：现在一共贴了多少张作品呢？这一句问得很省。情境不是包装出来的，就是刚才孩子们自己干过的事；问题也不是老师另编的，是从这件事里长出来的。张老师不急着让人说，先让所有人写：别着急，先在自己的学习单上面写一写，算一算。写到一半，后排有个孩子小声哼起了歌。张老师听见了，回头笑着问一句“唱什么呀，大花轿吗”，教室里笑了一下，孩子们又低头接着算。这个小插曲没什么教学含量，但它说明一件事：这个时候教室里是松的。孩子敢哼歌，说明他不怕算错。 
02 为什么可以先求行数 TECH ITERATION, NEW ERA 
第一个孩子站起来，说得很快：每行都是二十张，一面墙贴了三行，另一面墙贴了五行，就是三加五，综合算式就是二十乘三加五的和，等于二十乘八，等于一百六十张。张老师问：谁和他的方法是一样的，举手。一片手举起来。到这儿本来可以过了。张老师没让它过，追了一句：那我想问问，为什么就可以先求行数？孩子答得很干脆：每个数都是一样的，所以你就把它们加起来就行了。这句话是全课的第一块砖。“每个数都是一样的”——孩子说的“数”，其实是每行的张数。两面墙每行都是二十张，所以行数可以直接相加；如果一面每行二十张、另一面每行十八张，这个加法就做不成了。孩子未必想得这么细，但他摸到了那个前提。张老师接住这句，评了一句“他说到了问题的关键”。第二个孩子是徐宇航，走上来指着墙讲：每份数是二十，一面墙贴了三行，那我们可以用二十乘三；另一面墙贴了五行，每份数一样，所以可以用二十乘五；然后把它们两个相加，等于一百六十。张老师问全班：你们听懂他的话了吗？听懂了。张老师给的评价是：他是分别算了每面墙上的作品，再相加，求得的总数，也是很好的方法。这句评价值得留意。第一种方法是“先合后乘”，第二种是“先乘后合”，两条路都对。很多课在这里只认一条路，另一条匆匆带过；张老师把两条都写上黑板，让它们并排站着。并排站着，才有后面那个等号。两个式子的得数都是一百六十，张老师问：我们可以用什么方法把它们连接起来？等号。黑板上，二十乘三加五的和，和二十乘三加二十乘五，中间画了一个大大的等号。这个等号不是老师写上去的，是孩子从两个一百六十里读出来的。 
03 数变了三次，等式有了三个 TECH ITERATION, NEW ERA 
一个等式不够。张老师开始变数。第一次变每行的张数，二十张变成二十五张，孩子给出两个式子：二十五乘三加五的和、二十五乘三加二十五乘五，都得二百。第二次变行数。屏幕上作品图一动，张老师提醒一句“这一次一定要睁大眼睛看仔细”，然后问：哪里变了？孩子看出：一面墙贴了四行，另一面墙贴了六行，每行还是二十五张。两个式子又上来了：二十五乘四加六的和、二十五乘四加二十五乘六，都得二百五十。黑板上三个等式从上往下排着。左边都是一个数乘两个数的和，右边都是两个积相加。张老师问：观察观察这些等式，它们有什么特点？孩子看了一会儿。张老师没有停在这个问题上，紧接着推了一步：你能试着再写出一个这样的等式吗？能。张老师补了一句要求：我们写完等式之后，还要去说明你的等式为什么是成立的。这句话是全课的分水岭。前面三个等式，孩子都可以靠算来确认。二十五乘八是二百，二十五乘五加二十五乘三也是二百，两个二百相等，完事。可这是验算，不是讲理。要说明“为什么成立”，就得离开算，往别处找理由。小组活动，孩子把想法写在小组学习单上。张老师在下边走，弯下腰看孩子写的东西，偶尔问一句。 
04 三种说法，说的是同一件事 TECH ITERATION, NEW ERA 
交流的时候，三组孩子上来，说的是同一件事，走的是三条路。第一条路是算。第一组的孩子把学习单举得高高的：第一个算式，二十四乘三加六的和，结果是二百一十六；第二个算式，二十四乘三加二十四乘六，结果也是二百一十六，所以这两个是相等的。张老师问：谁和他的方法一样，举手。然后点明：他是通过计算来说明这两个式子是相等的。这条路最稳，也最浅。它证明了两边相等，没说明为什么必然相等。第二条路是意义。第二组的孩子说得慢，一句一句：我的等式是，二十乘五加六的和，等于二十乘五加二十乘六。第一个算式是十一个二十，因为五加六等于十一，就是十一个二十；这边二十乘五是五个二十，二十乘六是六个二十，五个二十加六个二十，也是十一个二十。十一个二十等于十一个二十，所以它们相等。张老师转过身，在黑板上把“11个20”写在等式两边。然后给了一句很重的评价：他是从乘法的意义来说明等式是成立的，一下就看到了算式背后的道理。“背后的道理”这五个字，点得准。孩子数的不是数，是二十的个数；个数一样，结果当然一样。这一步一走通，等式就不再是两个得数碰巧相等，而是同一件事的两种数法。张老师没有让这一组说完就过去，反问全班：刚才这些等式，都可以用乘法的意义来说明吗？我选一个，大家一起说。孩子对着黑板上最早的那个等式说起来：二十乘三加五的和，是八个二十；二十乘三加二十乘五，是三个二十加五个二十，也是八个二十。一个孩子会，不算会；全班能顺着说下来，才算把这条路修通了。接着是全课最动人的一问。张老师问：他的这种方法，跟刚才计算的方法相比，你们更喜欢哪一种？一个男生说：我喜欢用乘法意义的那种方法。张老师追问：说说为什么？孩子答：因为如果用算的方法，算数比较大的话，那就算数比较难算了。这个方法比较更简便一点。这段话，四年级的孩子说出来，不容易。他没有说“这个方法快”，也没有说“老师教的这个方法好”，他说的是“算数比较大就算数比较难算”。他已经预见到了一种情况：数一大，算就不牢靠了；而讲理不看数的大小，数再大，理还是那个理。张老师的总结顺着他的话往上抬了一格：他的这种方法和计算的方法都能够说明等式是成立的，但是他不用计算，可以从本质上说明等式是相等的。掌声送给我们这位小老师，感谢他带给我们这么好的方法。“不用计算，可以从本质上说明”——这句话是全课的题眼。第三条路是形。第三组的学习单投到屏幕上，上面画着一个长方形，分成了两块。式子报出来：十乘三加二的和，等于十乘三加十乘二。张老师请孩子解释。孩子说：这是一个长方形，长是十，宽是三加二；左边是整个长方形，右边是把它分成两块，一块是十乘三，一块是十乘二。张老师问：你是通过面积公式想到这个长方形的吗？是。张老师评：能够学用这个知识解决这种问题。他是通过数格子的数量来说明左右表示的是相同的。然后又追了一问，这一问很关键：那你跟大家比划比划，左边这个式子表示的是长方形的哪一部分？孩子伸出手，在空中从左边划到右边，把两块圈在一起，说：合起来。“合起来”三个字，把这个式子和那张图钉死了。左边的十乘五，是整个长方形；右边的三十加二十，是两块拼起来。整块和两块拼起来，是同一块。三条路走完，张老师收了一句：刚才我们通过计算、通过乘法的意义，还有什么？图形。用图形来说明这些等式都是成立的。三种说法，说的是同一件事。这不是重复三遍，是让同一件事在三个地方站住：算式上站得住，意义上站得住，图形上也站得住。孩子以后遇到一个新的等式，手里就有三把尺子。 
05 形和数互相翻译 TECH ITERATION, NEW ERA 
三条路里，图形这一条张老师走得最远。他先让孩子正着走：图形在这儿，等式是什么？屏幕上出现一个长方形，横着分成两块。孩子答：九乘四加二的和，等于九乘四加九乘二。再让孩子反着走：等式在这儿，图形长什么样？张老师请全班把一个式子读出来，他一笔一笔画。然后问：请你想象一下，这个等式对应的图形长什么样子？一个女生说：第一个算式的图形，它是横着有二十五个格子，竖着有十个格子。张老师问：那你想画一个什么样的图形？孩子答：长方形，长为二十五，宽为十。长二十五，宽十。这个回答说明她不是在看符号，是在看面积。二十五乘十，在她眼里就是一个二十五格长、十格宽的矩形。张老师把图调出来，问：跟我想的一样的同学举手。手举起来一片。再问一句：左边的式子表示的是图形的哪一部分？全部，合起来。到这儿，形和数已经能互相对话了。张老师又推了一层：这样的等式，还能写出多少个来？孩子们说，要多少有多少。张老师顺着这句往下走：是不是总有这样一个图形，能够说明这个等式是成立的呢？我们试着变一变，仔细看，看数在变。屏幕上的数一个一个换掉，图形跟着变。换一组，问一句：那这个图形还能够解释这个等式吗？能。收在一句话上：我们就发现了，这个数可以用形来表示，而形呢，又体现了这个数的规律。这句话说得不轻。它把前面所有的图都收进去了：图形不是用来帮忙理解的插图，图形是等式的另一种写法。一个等式有无数个，一个图形也有无数个，但“整块等于两块拼起来”这件事，只有一件。孩子在这一段里学到的，不只是分配律能用面积解释，而是数和形可以互相翻译。这条经验，往后学分数、学比、学函数，都要用。 
06 左边一个数，右边两个积 TECH ITERATION, NEW ERA 
三条路都走通了，张老师才回头收规律。他把黑板上的等式又摆了一遍，问：这些式子到底有什么样的规律呢？我们再来观察观察。一个孩子说：它们左右的数字都是相同的。张老师说：你观察到了数字的相同点。我们再去看看，左边它是一个数乘上两个数的和，那这边呢？第二个孩子说：第二个算式是一个数乘一个数，加一个数乘一个数。张老师问全班：说的清楚吗？清楚。第三个孩子又补了一遍，说得更顺：都是一个数乘一个数，再加一个数乘一个数。张老师这才把话收到位：也就是说，左边都是一个数乘上两个数的和的形式，这边呢，就是这个数分别与这两个数相乘，再相加。是这样吗？一起读一读。注意这里的次序。三个孩子说的都是半截话，张老师没有替他们说完整，而是让第二个、第三个接着说，说到第三个，那句话自己长齐了。老师只做了一次归拢。然后是字母。张老师问：那你能像交换律和结合律那样，用字母去表示这个规律吗？一个女生说：我觉得前面是a乘b加c的和，后面第二个算式是a乘b加a乘c。又一个孩子说了一遍，说得更完整：a乘b加c的和，然后另一边是a乘b加a乘c，它们是相等的。全班齐说，张老师把字母式写在黑板正中，框了起来。到这儿本来可以收了。张老师又拐了一下：我们刚才探究的是一个数乘上两个数的和的形式。仔细看，两个数的和乘一个数，它又等于什么呢？孩子答：我觉得等于b乘a加c乘a。张老师追问：我想问问你，为什么会这样去写？孩子的回答，是这节课里我最想记住的一句：因为它们不管变成什么顺序，结果都一样。张老师再追：为什么结果都一样？孩子说：因为它只是交换了顺序，并没有将本质变。“只是交换了顺序，并没有将本质变”——这句话从一个四年级孩子嘴里出来，得承认它有点超出预期。他不光知道两个式子相等，还知道它们为什么相等：变的是位置，没变的是关系。张老师顺着确认：也就是它只是交换了位置，结果变了吗？没变。第二个字母式也上了黑板：括号，b加c，括号，乘a，等于b乘a加c乘a。两个字母式并排站着，张老师问：无论是一个数乘上两个数的和的形式，还是两个数的和乘一个数，都可以写成什么？孩子答：都可以写成分配的形式。张老师这才写下课题：这就是我们今天所要学的，乘法对加法的分配律。也可以简称分配律。粉笔在“分配律”三个字上停了一下。 
07 这个规律，三年级就在用了 TECH ITERATION, NEW ERA 
名字刚写上黑板，张老师就说了一句让人意外的话：其实呢，分配律并不是我们新创造的。我们早早就开始用它来学习了。屏幕上出来一道竖式：三乘十二。张老师问：这里就藏着分配律，你能找到它吗？想想我们怎么算的来着？一个孩子说：我觉得它跟这个算式是一样的。比如说三乘十加二，等于三乘十加三乘二。张老师顺着往下问：也就是我们在计算的时候，先用三乘的谁？三乘十。三乘十得到三十，再用三乘二得到六，再用三十加六，就是三十六。张老师确认：其实我们竖式计算的时候，先做三乘十，先算出来，再算三乘二。你说的对不对？对。张老师把这个式子写下来，又问：相当于把谁拆开了？把十二拆成十和二。再问一句：那十三呢？把十三拆成十和三。张老师收在这里：看来我们三年级就运用上了。这里我们也遇到了它。看来我们早早就运用分配律来进行运算了。这一段的分量，比它看上去重。孩子从三年级起就在列两位数乘一位数的竖式，一直在用分配律，只是不知道它叫什么。今天这个名字一贴上，那个用了两年的算法忽然有了道理——原来我不是在背一个步骤，我是在用一个规律。很多课讲分配律，讲完就练，练完就完。张老师往回走了一步，让新规律在自己的旧知识里认了亲。这一步走完，分配律对孩子来说就不是“今天新学的一条”，而是“我早就会、今天才知道名字的那件事”。 
08 练习里的两道坎 TECH ITERATION, NEW ERA 
练习有三道判断题，前两道是常规的，第三道是个坎。第一道，孩子判对，张老师追问一句：你能说说，这个等式和我们黑板上哪一边的形式是一样的吗？孩子指着黑板上的字母式，说清楚了它对应的是哪一边。这一问看似多余，其实是在做一件事：让每一道题都回到黑板上那个结构上去。孩子判对不算完，还得说出它对的是哪一半。第二道：五十六乘十九加二十八的和，等于五十六乘十九加二十八。孩子说：我觉得这是错的。错在哪儿？它只有一边乘了，另一边没乘。应该分别去乘。怎么修改？加号后面再加一个五十六乘二十八。张老师确认一句“应该分别去乘”，然后补了一句：刚才有同学说，这个等式是从右往左去算的。反着用，也成立，但右边这两个积，一个都不能少。这一补很要紧。孩子判错容易，判完知道“错在漏了一项”才是真懂；再知道“反过来用也成立”，才算把这个结构看全了。第三道是个真坎：三十二乘七乘三的积，等于三十二乘七加三十二乘三。一个孩子举手，说这个是对的。张老师说：你是这么想的，是吗？非常好，请坐。有同学举手了，谁还有不同想法？另一个孩子说：我觉得它是错误的。为什么呢？因为你看，它第一个算式是三十二乘七乘三，应该把这个算式改成三十二乘七加三的和。张老师转头问第一个孩子：我想问问刚才那位同学，你现在同意他的想法了吗？同意。好几个孩子都同意了。到这儿，一般的课就收了：错题改对，讲清“乘号要变加号”。张老师没有收，他往下追了一问：也就是说，他刚才是按照分配律的形式去修改的，把乘号变成了加号。那如果我们从左往右去算，怎么修改？教室里静了两秒。一个孩子说：用结合律。怎么改？我认为可以变成三十二乘七乘三。张老师这才总结：分配律是乘法和加法的两级运算，而结合律呢，只有一种乘法运算。这一问，把一道错题变成了两种律的分界线。孩子原来只看见“这个式子写错了”，现在看见的是：错在哪一步、按哪条律改、换一条律又该怎么改。同一道题，两种改法，改出来的式子不一样，因为背后的律不一样。分配律和结合律最容易混，混的原因不是记不住公式，是没看清“两级运算”和“一种运算”的区别。张老师把这句话放在两道错例之后说，孩子听着就有分量了。练习的后半段是算。学习单上两道题并排摆着，孩子快速算，报出得数，两个一样。张老师问：你们发现了什么？一个戴眼镜的男生说：我发现第二个算式是把第一个算式拆开来算的。张老师顺着问：刚才我们算的都是什么样的形式？乘法和加法。那这里呢？乘法与减法也有。张老师又问：那么这两个式子，哪个式子算得比较快？孩子指了其中一个。再问：那如果让你再遇到这个式子，你想怎么算？用分配律做。张老师收在：按照这样的形式来计算，是吗？说明有时候巧妙地运用分配律，就让我们运算更简单。减法这一步，来得不突兀。加法走通了，减法不必另讲一遍——孩子自己就看出“乘法与减法也有”。张老师没有展开证明，只问了一句“哪个算得快”“再遇到想怎么算”，把分配律从“一条成立的规律”推到了“一个能省事的选择”。规律成立，是数学的事；愿意用它，是人的事。后一件事，得靠这样的问句才能长出来。 
09 五动是怎么动起来的 TECH ITERATION, NEW ERA 
手动，在墙上的作品和手上的学习单上。这节课没有摆具、没有拼片，手动看起来不多，但两次动得都实在：一次是每个人在自己的学习单上把两种算法写出来，一次是小组把新等式和理由写出来。写，是最老实的手动。口动，在三次讲理上。第一次讲为什么可以先求行数，第二次讲自己的等式为什么成立，第三次讲两个数的和乘一个数为什么等于b乘a加c乘a。三次都得用自己的话说，说不出就是没想清。脑动，在“说明你的等式为什么成立”这一问上。孩子得放下算盘，往意义和图形上找理由。这一步比算难，因为它没有现成的路可走。情动，在那句“我喜欢用乘法意义的那种方法”上。孩子敢在全班面前说自己偏好哪一种，还敢给出理由，说明这个教室里说“我更喜欢”是安全的。心动，在竖式那两行对上的一刻。用了两年的竖式，忽然和今天学的规律接上了头。那一下“原来是这样”，就是心动。五动不是五个环节，是一件事的五个面。孩子写的时候手动，说的时候口动，找理由的时候脑动，敢说偏好情动，认出旧知识里的新规律心动。一节课里五样都动过，学习才算真的发生过。 
10 六宜看这节课 TECH ITERATION, NEW ERA 
宜教，22分这一项，张老师的功夫在追问的层次上。第一层问“为什么可以先求行数”，第二层问“说明你的等式为什么成立”，第三层问“你们更喜欢哪一种方法”，第四层问“从左往右算怎么修改”。四层，一层比一层深，每一层都踩在孩子刚够得着的地方。宜学，32分这一项体现在说理的密度上。一节课里，孩子说了三种理由：算的、意义的、图形的；还说了一次偏好和一次改法。说的机会多，是因为老师把“说”当成了学习的必经之路，不是答对了之后的点缀。宜评，10分这一项在两处错例上。一道错在漏项，一道错在把结合律当成了分配律。张老师没有直接讲，让孩子自己判、自己改，改完再问“换一条律怎么改”。错例成了教材，评就成了学。宜用，18分这一项落在两道计算题和一道减法上。孩子算完发现第二个式子是第一个拆开的，又被问“再遇到你想怎么算”，答“用分配律做”。这一步走完，分配律从一条规律变成了一个工具。宜创，10分这一项在“图形猜等式、等式想图形”这一段。孩子不是照着老师给的图认等式，是自己想象“这个等式对应的图形长什么样”，还想出了长二十五、宽十。这一层有创造的成分。宜成，8分这一项收在“这个规律三年级就在用了”这一句上。三乘十二的竖式、把十三拆成十和三，两处一摆，孩子知道数学是连着的。加上课末那两个没答案的问题，这节课的收尾是开着的，不是关上的。 
11 三条可以搬走的做法 TECH ITERATION, NEW ERA 
第一条，让情境从孩子自己的事里长出来。墙上的作品是孩子们课前自己贴的，不是课件里画的。所以张老师一问“一共贴了多少张”，没有人觉得这是道题，大家觉得这是件要办的事。情境的真假，不在画面精不精美，在这件事跟孩子有没有关系。第二条，把“验算”和“讲理”分开。算出来两边都是一百六十，这叫验算。说明为什么一定相等，这叫讲理。两件事差着一层——很多课停在验算上，孩子就以为相等是算出来的。多问一句“说明你的等式为什么成立”，这一层就过去了。再问一句“你更喜欢哪一种”，孩子自己会把这一层说出来。第三条，把新规律接到旧知识上。三乘十二的竖式、把十三拆成十和三，两处都是分配律的老家。孩子在自己的旧知识里认出新规律，这份熟悉感比任何讲解都牢。新知识如果不往旧地方接，它就永远是新的；接上了，它才变成自己的。这三条里，第二条最容易被忽略，也最要紧。因为它不要老师多讲什么，只要多问一句，还愿意等孩子答。 
12 一句话 TECH ITERATION, NEW ERA 
一条规律，算出来相等只是看见了影子，说清楚为什么相等才算摸到了人。孩子能不用算就讲明白，还能说出自己为什么更信这一种讲法的那天，这条规律才真正归他。 北京市朝阳区教育科学研究院 正高级、特级教师 钱守旺 
