(212)--第八章：向量代数与空间解析几_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

s  {1,2,1} s  {1,1,2}
1 2
1
cos  s  s / | s || s | 
1 2 1 2
2

  .
3(1,3,2)  (4,2,1), (2,1,10)  (4,2,1),
n  (2x ,2 y ,1)
0 0
2x 2 y 1
0  0 
2 2 1
x  y  1, z  2.
0 0 0τ  {1,2t ,3t 2 }
0 0
1
τ  n  0  1  4t  3t 2  0  t  1 t 
0 0 0 0
3f y f x
  
x x 2  y 2 y x 2  y 2
grad f  i.
(0,1)
n  (1,1,1) x  y  z  2.[(a  b) (b  c)] (c  a)  2(a b) c  4.6  4
d   2.
9  16  25n  {1,1,1}.x  3 y  z  4  0.n  {1,0,1}{2,1,1}  {1,3,1}.
x  3 y  z  2  0.n  {4,1,2}
n  {6,3,2}
n  {2,2,3}.1  
0, 2, 3 .
5x 2  z 2  1  y 2 .2
 
1,2,2 .
92.3
.
32 3.u  4 4  3 13
 (6)  1  5 
l 41 41 41 411.x y z  a
  , x  ay  0.
2
a a 0 : A(x  1)  By  C(z  1)  0
1
A  B  2C  0, A  B  C  0,
x  3 y  2z  1  0.
x  y  2z  1  0,

x  3 y  2z  1  0,
x  2 y,
 1
 1 x 2  z 2  4 y 2  ( y  1) 2
z   ( y  1). 4


2【解】过直线 L 的平面束方程为 x  2z  7  (x  2 y)  0
即 (1  )x  2y  2z  7  0
设切点为 (x , y , z )
0 0 0
 1    2 2
 

2
x 2 y 3z
则  0, , M : (3,0,2) 或(1,2,2)
 0 0 0
 x 2  2 y 2  3z 2  21 3
0 0 0

(1  )x  2y  2z  7  0
 0 0 0

点(3,0,2)处切平面 x  2z  7 ；点 (1,2,2) 处切平面 x  4 y  6z  21
.【解】
  n  n  (1,1,1) (1,1,2)  (1,3,2)
1 2
 x  2 y  z  1  0
过直线 的平面束方程为

x  y  2z  3  0
x  2 y  z  1  (x  y  2z  3)  0
即 ( 1   )x  (2  ) y  (1  2)z  1  3 0
 (1  )  3(2  )  2(1  2)  0
5
  3x  9 y  12z  17  0.
2L   10x  8 y  ( y  2x)  0
x

L   10 y  8x  ( y  2x)  0,
y

 L   75  x 2  y 2  xy  0.
x
M (5 3,5 3), M (5 3,5 3).
3 4
，
M (5,5), M (5,5),
grad h(x, y)  ( y  2x )i  (x  2 y )j 1 2
(x ,y ) 0 0 0 0
0 0
g(x , y )  ( y  2x ) 2  (x  2 y ) 2  5x 2  5 y 2  8x y .
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
f (M )  f (M )  450
f (x, y)  g 2 (x, y) 1 2
L(x, y,)  5x 2  5 y 2  8xy  (75  x 2  y 2  xy) f (M )  f (M )  150.
1 4z z
gradz  i  j
x y
 
 
z z   x y 
{dx,dy}// ,     , 

x y
x
2
y
2
x
2
y
2
 
4 1   9 1  
 
 16 36 16 36 
dx dy 4
 , y  Cx9 x  1, y  3 C  3
x y
 
4 9  x 2 y 2
 z  4 1  
P(1,3, 11) 16 36

 4
 y  3x9