(274)--第三章《向量》习题册解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第三章 向量
巩固练习
题型05 向量组的线性相关性
1.【答案】C
【解析】
, ,
,
线
, , 线
无 关 
关
, 线 无 关 
 , 线
 
 
 又
性
性 相
性
可 由 性 表 出
, ,    可 由 线 性 表 出 ，故应选（C）.
2.【答案】D
【解析】（A），（B）均是线性无关的必要条件. 例如，
1
 ( 1 , 1 , 1 ) T  ，
2
 ( 1 , 2 , 3 ) T  ，
3
 ( 2 , 3 , 4 ) T  ，虽
1
， ，
2 3
均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但
1

2

3
 0    ，，
1 2
 ，线性相关.
3
（C）是线性无关的充分非必要条件. 由
1
,
2
, ,
s
,
s  1
    线性无关 
1
,
2
, ,
s
  线性
无关. 但由
1
,
2
, ,
s
  线性无关
1
,
2
, ,
s
,
s  1
    线性无关.例如
1
 ( 1 , 1 , 1 ) T  ，
2
 ( 1 , 2 , 3 ) T  ， (2,3,4)T，虽
3
，1
2
  线性无关，但是 ，1 ，2
3
  线性相关.
（D）是线性无关的性质. 故应选（D）.
3.【答案】C
【解析】若
1
 ( 1 , 0 )  ， (2,0)，
2 3
 ( 0 , 2 )  ，
4
 ( 0 , 3 )  ，则
1
，
2
 线性相关，
3
，
4
 线性相关，但
1

3
 ( 1 , 2 )   ，
2

4
 ( 2 , 3 )   线性无关. 故（A）不正确.
对于（B），取
4
 
1
 ，即知（B）不对.
对于（D），可考察向量组(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,1)，可知（D）不
对.
至于（C），因为4个3维向量必线性相关，如若，
1 2
 ，线性无关，则 必可由
3 4
，
1 2
 ，线性表出. 现在
3 4
 不能由，
1 2
 ，线性表出，故，
3 1 2
 ，必线性相
3
关. 故应选（C）4.【答案】D
【解析】用观察法. 由 (
1

2
)  (
2

3
)  (
3

1
)  0       ，可知
1

2
 ，
2

3
 ，
3

1
 线性相关. 故应选（D）.
至于（A），（B），（C）线性无关的判断可以用秩.
例如，（A）中 r (
1
,
1

2
,
1

2

3
)  r (
1
,
1
 ，2
3
)  r (
1
,
2
,
3
)  3              .
1 1 1 1 1 1
 
或(,, )(,,) 0 1 1 ，由行列式 0 1 1 0，而知
1 1 2 1 2 3 1 2 3  
 
0 0 1 0 0 1
1
,
1

2
,
1

2

3
     的秩为3，
所以
1
,
1

2
,
1

2

3
     线性无关.
5.【答案】C
【解析】秩 r (
1
,
2
, ,
s
)  r     向量组
1
,
2
, ,
s
  的极大线性无关组含 r 个线性无关
的向量  向量组
1
,
2
, ,
s
  中任 r  1 个向量必线性相关. 所以应选（C）.
6.【答案】C
【解析】（A）：
(
1

2
,
2

3
, ,
s  1

s
,
s

1
)  (
1
,
2
,
3
, ,
s
)
 1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1

           
记
 1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1

 B , B  1  (  1 ) s  1 当 s 为偶数时， B 0，
1

2
 ，
 ， ， 线性相关.
2 3 3 4 4 1
（B）：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，如果个数一样多，它们
的线性相关性是一样的，如果后者多，虽然前面的向量组线性无关，但是后面的向量组线
性相关.（C）：因为 (
1
,
2
, ,
s
)  (
1
,
2
, ,
s
)       A A A A ，于是
r ( A
1
, A
2
, , A
s
)  r [ A (
1
,
2
, ,
s
) ]  r (
1
,
2
, ,
s
)  s          ，
所以， A
1
, A
2
, , A
s
  必线性相关. 故应选（C）.
（D）：
1
,
2
, ,
s
  线性相关只能推出：必存在一个向量可以被其他向量线性表出，这个
被表示的向量不一定是
s
.
7.【答案】A
0 1 0
【解析】例如， ，只用初等行变换就不能化为
0 0 1
( E
2
, 0 ) 形式，（A）不正确. 故
应选（A）.
因为 A 是 m  n 矩阵， m  r ( A )  r ( A | b )  m . 于是 r ( A )  r ( A | b )  m  n .（B）
正确.
由 B A  O 知 r ( B )  r ( A )  m ，又r(A)m，故 r ( B )  0 ，即BO.（C）正确.
ATA是 n 阶矩阵， r ( A T A )  r ( A )  m  n ，故 A T A  0 ，（D）正确.
8.【答案】 a  0 或 a  b
【解析】 n 个 n 维向量线性相关 
1
,
2
, ,
n
 0    . 而
1
,
2
,
3

a
a
a

a
b
a 


a
a
b

a
a
a

a
b
a
a
0
0
 b
 2 a 2  a  b     ，
故a0或 a  b .
9.【答案】 a  3
【解析】任何3维向量可由
1
,
2
,
3
  线性表出r(,,)3.
1 2 3
因而
1
0
1

1
3
2
a
1
2

1
0
0

1
2
2
2
a
1
 a
 2 ( a  3 )  0 ，所以 a  3 时，任何 3 维向量均可由
1
,
2
,
3
  线性表出.
10.【答案】r1
【解析】r(,, ,)r(,, ,,)r表明可由,, ,线性表出，于
1 2 s 1 2 s 1 2 s是r(,, ,,,)r(,, ,,)r1.
1 2 s 1 2 s
11.【答案】 0
【解析】由A可逆，知A 可逆，那么 r ( A X A  )  r ( X ) ，从而 r ( B )  2 ， B  0 . 于是
1
2
 1
2
a
 3

0
3
2

1
2
 1
0
a
0

0
3
2
 a  0 .
12.【答案】 
3
2
【解析】由BAT O有 r ( B )  r ( A T )  3 ，即r(A)r(B)3.
又BO，有r(B)1，从而r(A)3，即 A 0. 于是
2
1
 1
2

2
1
3
a
3

3
1
 1
0

2
1
0
a
3
 3 (  2 a  3 )  0  a  
3
2
.
13.【答案】 (  1 , 0 , 2 ) 或者(1,0,2)T
【解析】设 x
1 1
 x
2 2
 x
3 3
    ，由
 1
0
1
1

0
1
2
1
1
3
2
1


 1
0
0
1


1
1
2
1
 1 
3
2
2


 1
0
0
0
1
0
0
0
1

0
2
1 
，
解出 x
1
  1 ，x 0，x 2. 故在基
2 3 1
,
2
,
3
  的坐标是(1,0,2)或者 (  1 , 0 , 2 ) T .
14.【答案】
1
1
1 0
( 3 , 1 , 0 , 0 ) T    ，
2
1
5 1 0
( 1 , 3 , 2 0 , 1 0 ) T   
【解析】
 1
2
3
3
6
9
2
5
4
3
8
5


 1
0
0
3
0
0 
2
1
2 
3
2
4


 1
0
0
3
0
0
2
1
0
3
2
0


 1
0
0
3
0
0
0
1
0

2
0
1 
.
求得 A x  0 的一个基础解系：(3,1,0,0)T，(1,0,2,1)T.
Schmidt正交化处理，有
 (3,1,0,0)T，
1
3 1
 (1,0,2,1)T  (3,1,0,0)T  (1,3,20,10)T ，
2 10 10 1  1
单位化，得  1  (3,1,0,0)T，  2  (1,3,20,10)T.
1  10 2  510
1 2
15.【答案】
 1
2
 1
0
1
1
1
3
2

【解析】由于 (
1
,
2
,
3
)  (
1
,
2
,
3
)
 1
2
 1
0
1
1
1
3
2

      ，按过渡矩阵定义，知由
1
,
2
,
3
  到
1
,
2
,
3
  的过渡矩阵是
 1
2
 1
0
1
1
1
3
2

.
16.【答案】
 2
0
3

【解析】令  (
1
,
2
,
3
) 
 1

0
1
1
1
0
1
0
2

   A ， B  (
1
,
2
,
3
) 
 1
0
1

0
1
1 0
1
0

   ，设向量
在基
1
,
2
,
3
  下的坐标为
 a
b
c

，即 
 a
b
c

 B ，
 a
b
c

  1  B ，因为 
 
2
1
1 
 A ，所以
a 1 2
     
b  B1A 2  0 .
     
     
c 1 3
     
17.【答案】B
【解析】由结论＂以少表多，多的相关＂，命题①正确，而命题③是命题①的逆否命题，
故命题①和命题③正确.命题②是少由多表示，多的相关性不一定，故命题②不正确，命题
④是命题②的逆否命题，故命题②和命题④不正确.答案选（B）.
18.【答案】 ( 1 , 1 ,  1 )
【解析】设 xx x  x (1,1,0)x (1,0,1)x (0,1,1)(2,0,0)，可得
1 1 2 2 3 3 1 2 3 x
x
x
1
1
2



x
x
x
2
3
3



2
0
0
，解得 x
1
 1 ，x 1，
2
x
3
  1 . 故 
1

2

3
    ，向量  ( 2 , 0 , 0 )  在
上述基下的坐标为(1,1,1).
19.【答案】C
【解析】 r Ⅱ( )  r  A (
1
,
2
, ,
t
)   r Ⅰ( )  t   
（1）若Ⅰ相关，则 r Ⅱ( )  r Ⅰ( )  t ，所以Ⅱ相关.
若Ⅰ无关，则 r Ⅱ( )  r Ⅰ( )  t ，所以Ⅱ可能相关，也可能无关.故(A),(D)错误；
（2）若Ⅱ无关，则 r Ⅱ( )  t ，因为 r Ⅱ( )  r  A (
1
,
2
, ,
t
)   r Ⅰ( )  t    ，所以
r(Ⅰ)t，所以Ⅰ无关.故选(C)
若Ⅱ相关，则 r Ⅱ( )  t ，所以 r Ⅱ( )  r Ⅰ( )  t ，Ⅰ可能相关，也可能无关.故（B）错
误.
20.【答案】C
【解析】由
2
,
3
,
4
  线性无关，当 B
3  3
可逆时，有
1
,
2
,
3
   线性无关. 答案选（C）.
对于（A），因
1
,
2
,
3
  线性相关，无论 A
3  3
是什么矩阵，
1
,
2
,
3
  均线性相关,故
（A）不正确.
对于（B），（D），令A B O,可得
33 33 1
,
2
,
3
  和
1
,
2
,
3
   必线性相关，故
（B），（D）不正确.
21.【答案】B
【解析】若低维无关，高维必无关，抽取,,的前三个元素，
1 2 3
1
0
6
1

2
1
2
0
7
 0 ，所以
r(,,)3，又因为r(,,)3，所以r(,,)3，所以,,必线
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
性无关. 答案选（B）.
22.【答案】D【解析】（A）选项不对，任意 s  1 个向量都线性无关无法保证
1
,
2
, ,
s
  线性无关，例
如：3个3维向量
 1
0
0

，
 0
1
0

，
 1
1
0

，其中任意2个向量都线性无关，而这3个向量线性
相关.
（B）选项不对，存在向量
s  1
 使向量组
1
,
2
, ,
s
,
s  1
    仍线性无关，可推出
1
,
2
, ,
s
  线性无关，但是反过来，若
1
,
2
, ,
s
  线性无关，不一定存在向量
s  1
 使
向量组
1
,
2
, ,
s
,
s  1
    仍线性无关，例如：3个3维向量
1

 1
0
0

 ，
2

 0
1
0

 ，
3

 0
0
1

 线性无关，不存在向量
4
 使得
1
,
2
,
3
,
4
    线性无关，因为
4
 必能被
1
,
2
,
3
  
线性表示.
（C）选项不对，
1

 1
0
0

 ，
2

 2
0
0

 ， k
1
 1 , k
2
 0 ，满足
1
 0 
2
 0   但
1
,
2
  线
性相关
（D）选项正确，该命题是线性无关的等价定义.
23.【答案】略
【解析】由题意可得 Ti
j
 0 , i  j ,   且
i
 0 , i  1 , 2 , , s 
令k k 0（1），对（1）左乘
1 1 s s 1
T  ： k
1 1
T
1
  k
s 1
T
s
 0     ，
得 k
1 1
T
1
 0   0  0   ，因为 0,所以
1 1
T
1
 0   ，于是k 0，同理可证
1
k
2
  k
n
 0 ，故,, ,线性无关.
1 2 s题型06 向量组的线性表示与极大无关组
1.【答案】（1） a  1 ， b  2 或 a  1 0 ，b1；（2） a  1 且a10；
（3）请参照解析
【解析】设 x
1 1
 x
2 2
 x
3 3
 x
3 4
     ，对增广矩阵 ,,,  作初等行变
1 2 3 4
换，有
 1
1
0
2
 1
1
2
4
2
3
a
7

5

a 
1
3
6
1
0
2
b





1
0
0
0
1
0
0
0
 1
2
2
6
 1
2
0
0
2
1
a
3
a
2
1

0
a
1

6


1
3
8
a

6


1
9
1 0
b
1

2

1
2
b

1

3

1
1

.
（1）当 a  1 ，b2或a10，b1时，方程组均无解. 所以不能由,,,
1 2 3 4
线性表出.
（2）当a1且 a  1 0 时，b方程组均有唯一解. 所以能用
1
,
2
,
3
,
4
    线性表示且
表示法唯一.
（3）方程组在两种情况下有无穷多解，即
①当 a  1 0 ， b   1 时，方程组有无穷多解：
1 1 2 1 1 
 
0 2 1 6 1
 
(,,,,) 
1 2 3 4 0 0 9 9 3 
 
0 0 0 0 0 
 9 1
1 0 0 
 
2 3
 
 7 2
0 1 0 
 2 3
 
1
0 0 1 1 
 3 
 
0 0 0 0 0 
1 7 2 9 1
x t，x t ，x  t ，x  t ，
4 3 3 2 2 3 1 2 3即 


9
2
t 
1
3

1



7
2
t 
2
3

2


t 
1
3

3
 t
4
     ，其中t为任意常数.
②当 a  1 ，b2时，方程组有无穷多解：
(
1
,
2
,
3
,
4
, )
1
0
0
0
2
0
0
5 0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
4
3
1
3
     

 


x
4
 
1
3
， x
2
 t ， x
3
 1  2 t
4
，x 5t ，即
1 3


5 t 
4
3

1
 t
2
 (1  2 t )
3

1
3 4
     ，其中t为任意常数.
2.【答案】 a  1 5 , b  5
【解析】因为
3
 可由,,线性表示，故方程组
1 2 3
x
1 1
 x
2 2
 x
3 3

3
   有解. 由
1 3 9 b  
 
2 0 6 1
 
 
 3 1  7 0
 




1
0
0
1
0
0

1
3
1
0
3
6
0
9
2
0

9
1
2 0
2
1
b
3
1 0

1
5
1
b
b
b
 2
3 b



b

b  5
.
所以 r (
1
,
2
,
3
)  2    . 于是 r (
1
,
2
,
3
)  2    .
从而
1
,
2
,
3

0
1
 1
a
2
1
5
1
0
  ( a  1 5 )  0  a  1 5    .
3.【答案】（1）b2，a为任意实数；（2）当b2， a  1 时，  
1
 2
2
 0
3
   b ；
当b2，a1时，b(2k1)(k2) k（k为任意常数）
1 2 3
【解析】b由
1
,
2
,
3
  线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组
xx x b有解.
1 1 2 2 3 3A 

(

1
1
0
0
0
, ,
2
2
1
0
0
3
a
b )
0
 1
 1
0


b
1
4
0
2
3
2
0
 2
2
7
1
3

0
1

a
1
1
3
0
b
4


 1
0
0
0
2

1

1
1
0
1

a
1
3

b

2
2

  
（1）当 b  2 ， a 为任意实数时， b 不可由,,线性表示；
1 2 3
（2）b2时，设b可由,,线性表示.
1 2 3
1 2 0 3 1 0 0 1
   
0 1 1 2 0 1 0 2
   
情形一：当a1时，A  ，方程组
0 0 1 0 0 0 1 0 
   
0 0 0 0 0 0 0 0 
x
1 1
 x
2 2
 x
3 3
    b 有唯一解，故  
1
 2
2
 0
3
   b ；
1 2 0 3 1 0 2 1
   
0 1 1 2 0 1 1 2
   
情形二：当a1时，A  ，方程组
0 0 0 0 0 0 0 0 
   
0 0 0 0 0 0 0 0 
x
1 1
 x
2 2
 x
3 3
    b 的通解为 X  k
 
1
1
2 

 
2
0
1 

  2
k
k

k

2
1 
，
则  (  2 k  1 )
1
 ( k  2 )
2
 k
3
   b （k为任意常数）.
4.【答案】略
【解析】令 k
1 1
 k
2 2
  k
n n
 0    （*），在（*）两边左乘 A 得，
k
1 1
 k
2 2
  k
n n
 0    A A A ，即 k
1 2
 k
2 3
  k
n  1 n
 0    ，
再对 k
1 2
 k
2 3
  k
n  1 n
 0    左乘 A 并以此类推得， k
k
k
k
1
1
1
1
2
3
n
n


 1

k
k

0
2
2
k
2
3
4


n
 0


k
k
n
n


1
2
n
n


0
0
  
  
 

因为
n
 0  ，所以 k
1
 k
2
  k
n
 0 ，故
1
,
2
, ,
n
  线性无关.
5.【答案】C
【解析】两个向量组等价是指这两个向量组可以互相线性表示.
由已知条件 k
1 1
 k
2 2
 k
3 3
 0    ， k
1
k
3
 0 ， k
2
是否为零不能确定，故不能确定
2
 是否
可由
1
,
3
 线性表示，所以（B）（D）排除；同样也不能确定与是否等价，所以
1 3
（A）不正确.
对于（C），由 k
1
k
3
 0 ，知
1
可由
2
,
3
 线性表示，即
1
 
k
k
2
1
2

k
k
3
1
3
  . 同理，
3
可
由,线性表示，又
1 2 2

2
 0 
3

2
 0 
1
    ，故
1
,
2
 与
2
,
3
 等价.
6.【答案】D
【解析】对于（A）：在选项（A）的条件下，可得 r ( I I )  r ( I ) ，不能保证 r ( I I )  r ( I ) ，故
不能推得（Ⅱ）线性无关.
对于（B）：由 k  r Ⅱ( )  r ( I )  k ，得 r ( I I )  k ，故
1
,
2
, ,
k
   线性无关，（B）的条件
是充分条件，但不是必要条件，如（Ⅰ）
 1
0

，（Ⅱ）
 0
1

，均线性无关，但（Ⅰ）不能由
（Ⅱ）线性表示.
对于（C）：由（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，即（Ⅰ）与（Ⅱ）可相互线性表示，故r(Ⅱ)r(I)，
因为向量组（Ⅰ）线性无关，故（Ⅱ）也线性无关.
反之：由向量组（Ⅰ）线性无关，与向量组（Ⅱ）线性无关，推不出（C），比如
1

 1
0

,
1

 0
1

  ，它们不等价，所以（C）是充分而不必要条件.
对于（D）：矩阵A(,, ,)与B(,, ,)等价是指：A经过有限次初等
1 2 k 1 2 k
变换化为B ，故同型矩阵A与B 等价的充分必要条件是r(A)r(B). 在（D）的条件下，可知 r ( A )  r ( B ) ，又,, , 线性无关，故
1 2 k 1
,
2
, ,
k
   线性无关.
反之：若,, , 线性无关，则
1 2 k
r ( I I )  r ( I )  k ， r ( A )  r ( B )  k ，故 A 与B 等价.
7.【答案】A
【解析】令 
 T1T2T3  


A ，由与
i 1
,
2
,
3
  正交，知
i
( i  1 , 2 , 3 , 4 )  均是方程组Ax0的
非零解向量. 由 r ( A )  3 ，知Ax0的基础解系最多只含一个非零解向量，故
1  r (
1
,
2
,
3
,
4
)  n  r ( )  4  3  1     A ，从而r(,,,)1，选项（A）正确.
1 2 3 4
8.【答案】（1）
1
,
2
,
3
  是
1
,
2
,
3
,
4
    的一个极大线性无关组；
 1 0 0
 
（2）P  1 1 0 ，
33  
 
0 2 1
 
Q
4  4

 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1

【解析】（1）对 A 进行初等行变换，得
A 
 1
1
2
0
2
4
0
0
3
0
0
 3


 1
1
0
0
2
0
0
0
3
0
0
 3


 1
0
0
0
2
0
0
0
3
0
0
 3

显然，向量组
1
,
2
,
3
  是
1
,
2
,
3
,
4
    的一个极大线性无关组.
（2）
 A E

 


1
0
0
1
1
2
0
2
0
0
2
4
0
0
3
0
0
3
0
0

0
0

3
3
1

0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
 2
0
0
1

0
0
1

P
3  3

 1

0
1

0
1
2
0
0
1

1 0 0 0
 
0 1 0 0
 
，Q 
44 0 0 1 1
 
0 0 0 1
9.【答案】a5， 24 ， 2， 510 2
1 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3【解析】4个3维向量






i
 i            一定线性相关. 若
1
,
2
,
3
  线性无关，则
(i1,2,3)可由,,线性表示，这与题设矛盾，于是,,线性相关，从而
i 1 2 3 1 2 3
1 1 3
(,,)  1 2 4 a50，解得
1 2 3
1 3 a
a  5 ，此时，向量组
1
,
2
,
3
  不能由
1
,
2
,
3
  线性表示.
令A(,,,,,)，对
1 2 3 1 2 3
A 进行初等行变换.
A 
 1
0
1
0
1
1
1
3
5
1
1
1
1
2
3
3
4
5


 1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
4
 1
1
2
0
1

5
0
2

故 24 ，
1 1 2 3 2

1
 2
2
  ，
3
 5
1
 1 0
2
 2
3
    .
10.【答案】（1） a  3 , b  1 ；（2）请参照解析
【解析】（1）对增广矩阵 ( A : B ) 实行初等行变换有
1 1 1  1 1  
 
0 1 2 2 0
 
 
1 2 a 1 b
 




1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
a
a
1
2

1
2

1
3
 1
2
2

2
0
1
b
1
0

b
1
1
0


1

当 a  3 , b  1 时， A X  B 无解，即, 不能同时由
1 2 1
,
2
,
3
  线性表示.
（2）当 a  3 ，对任意 b ，AX  B有唯一解,，记
1 2
 (
1
,
2
)  X ，则
1

1
  A 的解
为(3,2,0)T，A  的解为
2 2

1 
b
a


1
3
,
 2
a
( b


3
1 )
,
b
a


1
3

T
，即表达式为
1
  3
1
 2
2
 0 
3
   ，
2


1 
b
a


1
3

1

2 (
a
b

 1
3
)
2

b
a


1
3 3
   
当 a  3 , b  1 时， A X  B 有无穷多解，A的解为k(1,2,1)T (3,2,0)T，
1 1
2

2
  A 的解为 l (1 ,  2 , 1 ) T  (1 , 0 , 0 ) T ，
表达式为 (k3)(2k2) k， (l1)2l l，其中k,l为任
1 1 2 3 2 1 2 3
意常数.11.【答案】略
【解析】方法一：（用定义）由已知条件，需证明从
1
,
2
, ,
k
,
k  1
    中去掉一个后，剩
下的 k 个是线性无关的，不失一般性，不妨设去掉
1
，即需证明
2
, ,
k
,
k  1
   线性无关.
设
2 2 3 3 k k k 1 k 1
       
 
 0     ①
将
k 1 1 1 2 2 k k
  

        代人①式整理得
k 1 1 1
(
2 k 1 2
)
2
(
k k 1 k
)
k
       

 

  

 0   
由,, , 线性无关，故
1 2 k k 1 1 2 k 1 2 k k 1 k
0        

 

  


又
i
0 ( i 1 , 2 , , k )    ，得
k 1
0 ,
2
0 , ,
k
0   

   ，故, ,, 线性无关. 同
2 k k1
理可得从
1
,
2
, ,
k
,
k  1
    中去掉
2
 ，即可证明,, ,, 线性无关.同理可得
1 3 k k1
1
,
2
, ,
k
,
k  1
    中任何 k 个向量都线性无关.
方法二：不失一般性，考查向量组（Ⅰ）
1
,
2
, ,
k
   ，（Ⅱ）
2
, ,
k
,
k  1
  
由已知条件，（Ⅰ）与（Ⅱ）可互为线性表示，所以r(I)r(II)k，即（Ⅱ）中 k 个向量
是线性无关的. 同理可得
1
,
2
, ,
k
,
k  1
    中任何 k 个向量都线性无关.
方法三：（反证法）
假设
2
, ,
k
,
k  1
   线性相关，而, ,线性无关，故
2 k k  1
 可由, ,线性表示，
2 k
设 a  a ①，
k1 2 2 k k
又
k 1 1 1 2 2 k k
  

        ②
②－①得
1 1
(
2
a
2
)
2
(
k
a
k
)
k
   0         
其中至少有
1
0   ，表明
1
,
2
, ,
k
   线性相关，与已知条件矛盾，故
2
, ,
k
,
k  1
   线
性无关. 同理可得
1
,
2
, ,
k
,
k  1
    中任何k个向量都线性无关.
12.【答案】（1）a0且a3；（2）a0；（3）a3
【解析】方法一：
1a 1 1 0 
 
A(,,,) 1 1a 1 a
1 2 3  

1 1 1a
a2
 
 1
0
0 
1
a
a 
1
2


a
a

a
a 2 
a
a 2
a

(1
2
a

2
a )


 1
0
0
1
a
0 
1
3


a
a

a
a 2  a ( a
a
2
a


2
a
2
2
a  1 )

.
（1）当 a  0 且 a   3 时，因为 r ( A )  r ( A )  3 ，所以可由
1
,
2
,
3
  唯一线性表示；
（2）当 a  0 时， A 
 1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0


 1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0

，因为 r ( A )  r ( A )  1  3 ，所
以可由
1
,
2
,
3
  线性表示，但表示方法不唯一.
令 x
1 1
 x
2 2
 x
3 3
    ，通解为 X  k
1
 
1
0
1 
 k
2
 
0
1
1 

  k
1
k
k

1
2
k
2

，于是
 (  k
1
 k
2
)
1
 k
1 2
 k
2 3
   ，其中 k
1
, k
2
为任意常数.
（3）当 a   3 时， A 
 
1
1
2

1
1
2

1
1
2
0

9
3


 1
0
0
1

0
3

3
0
2

9
1
6
2

，因为
r ( A )  r ( A ) ，所以不可由
1
,
2
,
3
  线性表示；
方法二： D  A 
1 
1
1
a
1
1

1
a
1
1
1
 a
 ( a  3 ) a 2 .
（1）当 D  0 ，即 a  0 且 a   3 时， 可由
1
,
2
,
3
  唯一线性表示；
（2）当 a  0
1 1 1 0 1 1 1 0
   
时，A 1 1 1 0  0 0 0 0 ，
   
   
1 1 1 0 0 0 0 0
   
因为 r ( A )  r ( A )  1  3 ，所以可由
1
,
2
,
3
  线性表示，但表示方法不唯一.
1 1 k k 
1 2
     
令xx x ，通解为X k 1 k 0  k ，
1 1 2 2 3 3 1  2   1 
     
0 1 k
     
2
于是(k k )k k，其中k ,k 为任意常数.
1 2 1 1 2 2 3 1 2（3）当 a   3 时， A 
 
1
1
2

1
1
2

1
1
2
0

9
3


 1
0
0
1

0
3

3
0
2

9
1
6
2

，
因为 r ( A )  r ( A ) ，所以不可由
1
,
2
,
3
  线性表示.
综合测试
1.【答案】 4
【解析】
方法一： α
1
, α
2
, α
3
是 3 个 3 维向量，若其线性无关，则任一个 3 维向量均可由 α
1
, α
2
, α
3
线
性表示，现在 γ 不能由 α
1
, α
2
, α
3
线性表示，故必有
α
1
, α
2
, α
3

11
1
1a
1
a21
 ( a  4 ) ( a  1 )  0 , 可得 a  4 或 a   1 ，
若a1，
( α
1
, α
2
, α
3
, β ) 
 1
1
 1
1


1
1

2
1
1

4
1
4


 1
0
0

1
0
2

3
0
1

4
5
8

,
β 不能由α ,α ,α 线性表示，故
1 2 3
a  4 .
方法二： α
1
, α
2
, α
3
是3个3维向量，若其线性无关，则任一个3维向量均可由 α
1
, α
2
, α
3
线
性表示，现在 γ 不能由 α
1
, α
2
, α
3
线性表示，故必有
α
1
, α
2
, α
3

11
1
1a
1
a21
 ( a  4 ) ( a  1 )  0 , 可得 a  4 或 a   1 ，
( α
1
, α
2
, α
3
, β ) 
 1
1
 1
1

a
1
a
2
1
4

a
4
2


 1
0
0
1
2
0 ( a 
a
1
 1
 2
) ( a  4 ) 2 a (
4
8
4  a )

,
可知 a  4 时，β 可由 α
1
, α
2
, α
3
线性表示.
2.【答案】  7
【解析】
由题设知，A ( α , α , α )
1 2 3



(
(
(
A
α
α
1
1
α
1

, α
,
2
2
A
α
,
α
2
α
, A
2
, α
2

)
 3


α

1
2
0
3
2
)
α , α
3
0
1
 2
3


0
1
2
2
α

1
)
令 P  ( α
1
, α
2
, α
3
) ， B 


1
0
2

0
1
2

0
1
2 
，则 A P  P B ，
由于 α
1
, α
2
, α
3
线性无关，故矩阵P 可逆，则A PBP1 ，
于是 A  P B P  1  B   7 .
3.【答案】C
【解析】
1 0 1  1 0 1 
(αkβ,βkγ,αγ)(α,β,γ)k 1 0 ，设Ak 1 0 ，
   
0 k 1 0 k 1
   
则 A  k 2  1 ，当向量组 α  k β , β  k γ , α  γ 线性无关时， A k2 10，即 k   1 ，
所以k 1是向量组 α  k β , β  k γ , α  γ 线性无关的必要条件；
当 k  1 但 k   1 时， A  0 ，向量组αkβ,βkγ,αγ线性相关，所以 k  1 不是向量
组αkβ,βkγ,αγ线性无关的充分条件；
故选（C）.
4.【答案】C
【解析】
只需对两种情况举出例子即可.
①取
1

 100 
,
2

 110 
  线性无关，
1

 001 
,
2

 011 
  线性无关，显然不能相互线性表
示，但4个 3 维列向量必定线性相关；
1 0 0 0
0 1 0 0
②取
1
 0 ,
2
 0线性无关，
1
 1 ,
2
 0线性无关，显然不能相互线性表
       
0 0 0 1示，此时 4 个列向量仍然线性无关；
由①②知，应选（C）.
5.【答案】C
【解析】
两个向量组等价的充要条件是 r ( α
1
, α
2
, α
3
)  r ( α
1
, α
2
, α
3
β
1
, β
2
, β
3
)  r ( β
1
, β
2
, β
3
) ，对
矩阵 ( α
1
, α
2
, α
3
β
1
, β
2
, β
3
) 作初等行变换，有
 12
 3
30
 3 
961
5
01
1
3a1 11b 




100
100
3
 6
6
3
 6
0
1

912
910
2
2
01
010
1
aa
a
1
3
30
64
6
b
1
b 
1
1

1
2
3


可见当 a   4 , b   2 时，r(α ,α ,α )r(α ,α ,α β ,β ,β )r(β ,β ,β )2，两
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
个向量组等价.
6.【答案】B
【解析】
对于（B），若 A x  0 与 B x  0 同解，考虑方程组
（I） A x  0 ，（II）
 A
B
x
x


0
0
，（III） B x  0 ，
A
则（I）（II）（III）同解，故r(A)r   r(B)，即
B
A , B 的行向量组等价，反之，若
α   β 
1 1
α   β 
A,B的行向量组等价，记A  2  ,B   2  ,则列向量组
   
α β
   
m m
α T1 , α T2 , , α Tm 与
β T1 , β T2 , β Tm 等价，故存在矩阵P,Q,使得(αT,αT, ,αT)(βT,βT, βT)P，
1 2 m 1 2 m
( β T1 , β T2 , β Tm )  ( α T1 , α T2 , , α Tm ) Q ，所以 A  P T B , B  Q T A ，
故由 A x  0 得 B x  Q T A x = 0 ，反之，由 B x  0 得Ax  PTBx 0，
即Ax0与Bx0同解；
对于（A），由（B）的证明知显然不正确；对于（C），相当于 r ( A )  r ( B ) ，它是必要条件而非充分条件；
1 0 0 2 0 0
对于（D），举反例，如A ,B ，显然，
2 0 0 1 0 0
A x  0 与 B x  0 同
解，但 A T x  0 与 B T x  0 不同解.
7.【答案】略
【解析】
设有一组数 k
1
, k
2
, , k
n
使得 k
1 1
 k
2 2
  k
n n
 0   
在上式两端同时左乘 Ti A  1  ，得
k
1
Ti A  1
1
 k
2
Ti A  1
2
  k
i
Ti A  1
i
  k
n
Ti A  1
n
 0        
由 Ti A  1
j
 0 ( i  j ; i , j  1 , 2 , , n )   可得kTA1 0(i1,2, ,n)
i i i
因 A 为正定矩阵，则 A  1 也为正定矩阵，且 0，故
i
Ti A  1
i
 0   ，
于是 k
i
 0 ( i  1 , 2 , , n ) ，所以向量组 α
1
, α
2
, , α
n
线性无关.
8.【答案】略
【解析】
设存在一组数 k
1
, k
2
, , k
s
，使得 k
1
β
1
 k
2
β
2
  k
s
β
s
 0 成立，即
k

1
(
k
α
1
1
α

1

t α
(
2
k
)
t
1


k
k
( α
2
) α
2
2
2


t α
( k
)
3
t
2

 k
3

) α
k
3
(
s

α
s


t α
( k
s  1
s  1
)
t  k
s
) α
s
 k
s
t α
s  1
 0
由于 α
1
, α
2
, , α
s  1
( s  1 )
k 0,
1
ktk 0,
 1 2
线性无关，故
k tk 0,
s1 s
k t 0,

s
得唯一解k k  k 0，故β ,β , ,β 线性无关.
1 2 s 1 2 s
9.【答案】
1
2
 101 
,
1
6
 21 1 
【解析】
由题设可知 ，所以
3 1 2
V 中的任意向量均可由, 线性表示，
1 2
又,线性无关，故,为向量空间V 的一个基，将其标准正交化，得
1 2 1 21 1
1
0
1
,
2 2
(
(
2
1
,
,
1
1
)
) 1
2
1
1
,
 
    
 
 
 
  
  
1
1
1
1
1
2
101
,
2
1
2
2
1
6
21
1
,  
 
γ  
 
γ  
  
从而
1
2
 101 
,
1
6
 21 1 
为向量空间V 的一个规范正交基.拓展提升
1.【答案】C
【解析】
如果 α
1
, α
2
, α
3
线性无关，由于 α
1
, α
2
, α
3
, α
4
为 4 个3维列向量，故 α
1
, α
2
, α
3
, α
4
线性相关，
则 α
4
必能由 α
1
, α
2
, α
3
线性表示，可知①是正确的；
1 0 0 0
令α 0,α 1,α 2,α 0，则α ,α ,α 线性相关，
1   2   3   4   1 2 3
0 0 0 1
       
α
2
, α
3
, α
4
线性相关，
但α ,α ,α 线性无关，可知②不正确；
1 2 4
r ( α
1
, α
1
 α
2
, α
2
 α
3
)  r ( α
1
, α
2
, α
2
 α
3
)  r ( α
1
, α
2
, α
3
) ，
r ( α
4
, α
1
 α
4
, α
2
 α
4
, α
3
 α
4
)  r ( α
4
, α
1
, α
2
, α
3
)  r ( α
1
, α
2
, α
3
, α
4
) ，
故当 r ( α
1
, α
1
 α
2
, α
2
 α
3
)  r ( α
4
, α
1
 α
4
, α
2
 α
4
, α
3
 α
4
) 时，有
r ( α
1
, α
2
, α
3
)  r ( α
1
, α
2
, α
3
, α
4
) ，即 α
4
可由 α
1
, α
2
, α
3
线性表示，可知③是正确的；故选
（C）.
2.【答案】D
【解析】
由于,,是非齐次线性方程组
1 2 3
A x  b 的三个互不相同的解，因此
1

2
,
2

3
,
1

3
     都是相应的齐次线性方程组Ax0的解.因为 A 是 m  n 矩阵，且
r ( A )  n  1 ，所以齐次线性方程组 A x  0 的基础解系中只有一个解向量，即只有一个线
性无关的解，从而
1

2
,
2

3
   线性相关，
1

2
,
1

3
   也线性相关，故选项（A）
（B）错误；
由
1

2
,
1

3
   线性相关知，存在不全为零的数k ,k ，使得
1 2
k
1
(
1

2
)  k
2
(
1

3
)  0     ，
即 ( k
1
 k
2
)
1
 k
1 2
 k
2 3
 0    ，也即(k k )(k k ) k ( )0，显然，
1 2 1 1 2 2 2 2 3
当k ,k 不全为零时，k k ,k 也不全为零，故,, 线性相关，因此选项（C）
1 2 1 2 2 1 2 2 3
错误；设存在数 k
1
, k
2
，使得 k
1 1
 k
2
(
2

3
)  0    ，在等式两端左乘 A ，得
k Ak (A A)0，由于,,是非齐次线性方程组
1 1 2 2 3 1 2 3
A x  b 的解，因此
A
i
 b  0 ( i  1 , 2 , 3 )  ，从而得到 k
1
b  0 即 k
1
 0 ，再将 k
1
 0 代入
k
1 1
 k
2
(
2

3
)  0    ，并注意到
2

3
 ，得 k
2
 0 ，于是, 线性无关，故选
1 2 3
（D）.
3.【答案】略
【解析】
由于 A
1
, A
2
, , A
s
  线性相关，故存在不全为零的数 k
1
, k
2
, , k
s
使得
k Ak A  k A 0，即A(kk  k) Aξ 0，
1 1 2 2 s s 1 1 2 2 s s
其中 ξ  k
1 1
 k
2 2
  k
s s
  ，已知
1
,
2
, ,
s
  线性无关，故对任意不全为零的数
k
1
, k
2
, , k
s
有 ξ  k
1 1
 k
2 2
  k
s s
 0    ，而 A ξ  0 ，说明线性方程组 A x  0 有非
零解，从而 A 0， A 是不可逆矩阵.
4.【答案】（1） 能由,,,线性表示；（2） 不能由
4 1 2 3 5 4 1
,
2
,
3
  线性表示
【解析】
（1）由非齐次线性方程组的通解(2,1,0,1)T k(1,1,2,0)T （ k 为任意常数）知，
5
 ( k  2 )
1
 (  k  1 )
2
 2 k
3

4
    ，可得
 (k2)(k1) 2k ，故
4 1 2 3 5 4
 能由
1
,
2
,
3
,
5
   线性表示.
（2）由于对应齐次线性方程组的基础解系只有一个非零解向量，
故r(,,,)r(,,,,)413，且由对应齐次线性方程组的通解知
1 2 3 4 1 2 3 4 5
 2 0，即,,线性相关，r(,,)3，若
1 2 3 1 2 3 1 2 3 4
 能由,,线性
1 2 3
表示，则 r (
1
,
2
,
3
,
4
)  r (
1
,
2
,
3
)  3        ，这和 r (
1
,
2
,
3
,
4
)  3     矛盾，故
4
 不能
由,,线性表示.
1 2 3
 3 
5.【答案】（1）略；（2）k 4  ,k是任意非零常数
 
1
 
【解析】（1）因为
1
,
2
,
1
,
2
   均是 3 维列向量， 4 个 3 维列向量必线性相关，由定义知，存在不
全为零的常数k ,k ,,，使得kk  0，
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
即kk  ，取
1 1 2 2 1 1 2 2
k
1 1
k
2 2 1 1 2 2
  ξ          ，若 ξ  0 ，
则 k
1 1
k
2 2 1 1 2 2
       0     ，因为
1
,
2
 线性无关，
1
,
2
  也线性无关，从而得出
k
1
 k
2
 0 ，且
1 2
0     ，这和 k
1
, k
2
,
1
,
2
 不全为零矛盾，故 ξ  0 ，所以存在既可由
1
,
2
 线性表示，也可由
1
,
2
  线性表示的非零列向量 ξ .
（2）设 k
1 1
k
2 2 1 1 2 2
  ξ          ，得齐次线性方程组
k
1 1
k
2 2 1 1 2 2
      0     ，将
1
,
2
,
1
,
2
   合并成矩阵，并作初等行变换，得
( , , , )
1 2 1 2


 1
 2
3
1 
0

0

211
250

14
7
2
23
 5
 3
5
 5
 17

3



 100
 100

25
5
010
1
001
230

1
1
 5
 1 3
2 0

2 ,


   
解得 ( k
1
, k
2
,
1
,
2
) T k ( 1 , 2 , 1 , 1 ) T      ，故既可由
1
,
2
 线性表示，也可由
1
,
2
  线性表示
的所有非零列向量为
ξ  k
1 1
 k
2 2
  k
1
 2 k
2
  k


1
3
2

 2 k
 211 
 k
 34
1

,    
其中 k 是任意非零常数；
或
1 1 2 2
k
1
k
2
k 14
2
k
5
53
k
34
1
  ξ      
  

  




    ，
其中 k 是任意非零常数.
6.【答案】略
【解析】
用反证法.设
1
,
2
, ,
s
,    中存在s个向量,, , , , ,,线性相关，则存
1 2 i1 i1 s
在不全为零的数 k
1
, k
2
, , k
i 1
, k
i 1
, , k
s
, k 使得
kk  k  k   k k （1）
1 1 2 2 i1 i1 i1 i1 s s由题设有  l1
1
 l
2 2
  l
i i
  l
s s
    ，其中 l
i
 0 , i  1 , 2 , , s .
代入（1）式得
(

k
1
k

l
i
k
i
l1

)
( k

1
i 1
(

k
2
k l

i
k
)
1
l
2
)
i 1
2




(
(
k
k
s
i

1
k

l
s
k
)
l
i 1
s
)

i
0
1
  
  
因,, ,线性无关，从而有
1 2 s
k l
i
 0 ，又 l
i
 0 ，得 k  0 ，从而由（1）式得
k
1
, k
2
, , k
i 1
, k
i 1
, , k
s
均为零，矛盾.
故,, ,,中任意s个向量均线性无关.
1 2 s
7.【答案】略
【解析】
记 A  ( A | )  (
1
,
2
,
3
,
4
| )       ，对 A 作初等行变换，有
A 
 1
1
1
2
a
2
a
a
3



4
5
7 1
4
6
8
0
2 a
2
3
5
 3
0
1
3
b


 1
0
0
0
a
3

0
0
1
4
2
0
0
2 a
2
1
0
 1
b
0
1
1
 1

（1）当 a 
1
2
时， r (
1
,
2
,
3
,
4
)  r ( A )  3     ，且
1
,
3
,
4
  线性无关，故
1
,
3
,
4
  是
一个极大线性无关组；
1
当a  时，r(,,,)r(A)2，且,线性无关，故, 是一个极大线性
2 1 2 3 4 1 3 1 3
无关组.
1
（2）当a  ，
2
b 任意时， r ( A )  r ( A ) ，故Ax =无解，不能由,,, 线性
1 2 3 4
1
表示；当a  ,b1时，
2
r ( A )  r ( A ) ，故 A x = 无解，不能由,,, 线性表
1 2 3 4
示.
（3）若任意的  维非零列向量 ξ 均可由,,,,线性表示，即方程组
1 2 3 4(
1
,
2
,
3
,
4
, )
 x
x
x
x
x
1
2
3
4
5

 ξ      有解，也即 r (
1
,
2
,
3
,
4
, )  r (
1
,
2
,
3
,
4
, | ξ )           ，
又因为矩阵 (
1
,
2
,
3
,
4
, | ξ )      的行数为  ，所以 r (
1
,
2
,
3
,
4
, | ξ )  4      ，
若 r (
1
,
2
,
3
,
4
, )  4      ，则必有 r (
1
,
2
,
3
,
4
, )  r (
1
,
2
,
3
,
4
, | ξ )  4           ，即当
a 
1
2
且 b  1 时，任意的  维非零列向量 ξ 均可由,,,,线性表示.
1 2 3 4
8.【答案】略
【解析】
（1）由于 r ( A )  r ( B ) ，故可设向量组 A 的极大线性无关组为
1
,
2
, ,
r
  ，向量组 B
的极大线性无关组为
1
,
2
,
r
  ，则向量组A与
1
,
2
, ,
r
  等价，向量组B 与
1
,
2
,
r
  等价，由于向量组 A 可由向量组 B 线性表示，故
1
,
2
, ,
r
  可由
, ,线性表示，从而向量组
1 2 r 1
,
2
, ,
r
,
1
,
2
,
r
      的秩为 r ，且
1
,
2
, ,
r
  
与, ,均为向量组
1 2 r 1
,
2
, ,
r
,
1
,
2
,
r
      的极大线性无关组，故
1
,
2
, ,
r
  
与, ,等价，从而向量组
1 2 r
A 与向量组 B 等价.
（2）
( ,
1 2
,
3
| ,
1 2
) 




1
2
0
100
102
110
12a
a
12
124
4
10b
120


b
11
 100
2


122

14a
100
144
010
1 
2

b

 1
2
a  4
20 1
b
01
2

    
当a4时， r (
1
,
2
,
3
)  3  2  r (
1
,
2
)      ，此时，向量组,,不能由向量组
1 2 3
1
,
2
  线性表示，故,,与
1 2 3 1
,
2
  不等价；
当a4且b2时， 不能由,,线性表示，故,,与, 不等价；
2 1 2 3 1 2 3 1 2
当a4且 b  2 时， r (
1
,
2
,
3
)  2  r (
1
,
2
)      ，向量组
1
,
2
  可由向量组
1
,
2
,
3
  线
性表示，从而由（1）知，,,与, 等价.此时，
1 2 3 1 21
 (  1  k )
1
 ( 2  2 k )
2
 k
3
   （ k 为任意常数），
 m(12m) m（
2 1 2 3
m 为任意常数）.