(58)--8.1笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 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中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 第一节 向量及其线性运算 M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 主讲 武忠祥 教授 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 向量及其线性运算 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 一、向量的概念 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 二、向学量的线性学运算 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 三、空间直角坐标系 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 四、利用坐标作向量的线性运算 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 五、向量的模、方向角、投影 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 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O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M 向量: 既有 M 大小 , 又有 M 方向的量 M 称为向量 M( 又称矢量M). M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中或 或 中 中 中 中 中 中 中 表示法: 有向线段 M M , a , a . 1 2 C C C C C C C C C C C 向O 量的模 :O 向量的大 O 小 , 记作 MO M , 或 O a , 或 a . O O O O O O O O O O O O O O O O O 1 2 M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 自由向量:与起点无关的向量 国 国 国 国. 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 M 2 单位向量: 模为 的向量 记作 或 1 , e e . C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O OM O O O O O O M M M M M 1 M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 零向量:大 模为 0 的 大 向量 , 记作 大0 ，或 0 . 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 若向量 与 大小相等 方向相同 则称 与 相等 a b , , a b , 记作C ＝ C C C C C C C C C C O a b ; O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 若向量 与 方向相同或相反 则称 与 平行 记作 国 国 a b 国 国 , a国 b ,国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 ∥ 规定 零向量与任何向量平行 a b ; : ; C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M与 的模M相同 但方M向相反的向M量称为 M的负向量 M M M M M M a , a , 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 记作－ 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 a ; 因平行向量可平移到同一直线上 故两向量平行又称 C C C C, C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 两向量共线 大 大 . 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 若 个向量经平移可移到同一平面上 则称此 k (≥3) , k CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC 个OO向量共面 OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO . OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O1. 向量的加O 法 O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 平行四国边形法则 :国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 b a  b C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M a 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 三角形法大则 大 大 大 大 大 大 大 大 大 : 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 a  b b C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O a O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 运算规律 交换律 大 大 : 大 a  b  b大 a 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 结合律 ( a  b )  c  a  (b  c )  a  b  c CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M  a M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 b 国 a 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中b 中 中 中 中 中 中 b  a  b  (a ) b  a C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O Oa O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 特别当 学b  a 时 , 有 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 a  a  a  (a )  0 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中  O C 是一个数 O C ,  与 a 的 O C乘积是一个 O C新向量 , 记 O C作a . O C O C O C O C O C O C O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 规定 :大 0 时，大 a 与 a 同 大 向，a   大 a ; 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中  0 时 ,  a 与 a 反向，a   a ; C C C C C C C C C C C O O  O O  0 时 , aO O  0 . O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 可见 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 总之国: 国 a   a 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 1a中 a 中 中 中 中 中 运算律 : 结合律 (a )  (a)  a 1a  a ; C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M 分M 配律 M M M M M M M M M 学 学 ( 学  ) a   学a  a 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 ( a  b)  a  b 1 若CCa  0, 则有 CC 单位向量 CCe  aCC. 因此 a CC a e CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO a a OO OO a OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 设 为非中零向量 中则 中 中 中 中 中 中 中 a , C ∥C Cb  a ( C 为唯一实 C 数 ) C C C C C C O a Ob O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 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O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C 1. 空间直角坐标系的基本概念 O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 过空间一定点 由三条互相垂直的数轴按右手规则 国 国 O ,国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 组成一个空间直角坐标系 . 轴 竖轴 z z ( ) C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M 坐标原 M 点 M M M Ⅱ M M M M M M 学 • 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 Ⅲ 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 坐标轴 • 面 yOz Ⅳ 面 Ⅰ 坐标面 •C C C xC C C C C C C C O O O z OO O O O O O O O O O O O O y O O O O O O M M M M M M M M M M M 面 学 学 学 学 O xOy 学 学 学 学 学 学 学 卦限 八个 大 • (大 ) 大 大 大 轴 纵大轴 大 大 大 大 大 y ( ) 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 Ⅶ 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 x x 轴 ( 横轴 ) Ⅵ CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO Ⅴ OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 Ⅷ 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 点 1  1 有序数组(x, y, z) 1  1 向径 M r C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M 称M为点 的坐M 标 M M M M M M M ( M ) 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 特殊点国的坐标 : 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 原点 坐标轴上的点 O(0,0,0) ; P, Q , R ; C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 坐标面上的点 M M A ,M B , C M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 z 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 B(0, y, z) R(0,0, z) C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M C(x,0M, z) Mr M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 y 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 O Q(0, y,0) x P(x,0,0) A(x, y,0) CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 z 坐标轴 : C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M My  0 M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 x 轴  大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 z  0 中 中 中 中 中 中 O y C C C C z  C0 C C C C C C O O O O O O O O O O O x O O O O y 轴  O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 x  0 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 坐标面 x  0 : z 轴  C C C C C C C C C C C O O xOy 面 O O  z  0O O O O yO O  0 O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 yO 国 z 面  x 国 0 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 面 zOx  y  0 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 在空间直角坐标系下 任意向量 可用向径 表示 , r OM . C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O    O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 以 i , j , k学分别表示学x , y , z 轴上学的单位向学量 , 设点 M学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 的坐标为 M (x , y , z), 则 z C C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O OM  ON O  NM O OA  OB O OC O M O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 r 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大k 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 j 国 国 国 国 国 国 B 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 OA  x i, OB  y j, OC  z k O y i C C 记 C C A C C C C C C C O O O O O O O O O O O O r  x i  Oy j  z k O  (x , y , z )O O O O O O O O x N M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 此式称为 中 向量 r 的 中 坐标分解式 中 , xi, y j ,中z k 称为向量中 r 中 中 中 中 中 沿三个坐标轴方向的分向量 称为向量 的坐标 , x, y , z r . CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O M O设 a  ( aM O ,a ,a ), b M O (b ,b , M b O ), 为实 M 数O ，则 M O M O M O M O M O M O 学 学x y z 学 x y 学 z 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 a  b  (a  b , a  b , a  b ) x x y y z z C a C (a ,Ca ,a ) C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O x O y z O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 平行向大量对应坐标大成比例 大 大 大 大 大 大 大 大 : 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 当 a  0 时 , b  a x x C C C C C C C C C C C O O O O b  Oa O O O O O O O O O O O O O O O O O M b  M a b M  a M y M y M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 b 国  a 国 国 国 国 国 国 中 中 中 b b 中 b 中 中 中 中 中 中 中 z z x  y  z a a a OO CC OO CC x OO CC y z OO CC OO CC OO CC OO CC OO CC OO CC OO CC OO CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 z C C C C C C C C C C C 1O. 向量的模O与两点间O的距离公式O O O O O O O O R O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M M 学 学 学  学 学 学 学 学 学 学 学 大 设 r  ( 大 x, y , z ), 作大 OM  r , 则大有 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 Q 中 中 中 中 中 O r  OM  OONP  ONMQ  OR y C C C C P C C C C C C C O O O O O O O O O O O O由勾股定理O得 O O O O O O O O O N M M M M Mx M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 2 国2 2国 2 国2 2 国 国 国 国 国 中 r  中OM  中OP  OQ中  OR 中  x  y中  z 中 中 中 中 中 对两点 A(x , y , z ) 与 B(x , y , z ), 因 C C C C C C C C C C C O 1O 1 1 O 2 2 O2 O BO O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 AB 大 OB  OA 大( x  x , 大y  y , z 大 z ) 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 2 1 2 1 2 1 中 中 中 中 中 中A 中 中 中 中 中 得两点间的距离公式 : CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO AB  OO AB  (x OO x ) 2  ( y OO  y ) 2 OO (z  z ) 2 OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM2 1 MM 2 1 MM 2 1 MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 设O C 有两非零O C 向量 a ,b ,O 任 C 取空间一 O C 点 O , 作 O C OA  a, O C O C O C O C O C O C O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 国 大 OB  b, 称 国 大  = ∠ AO 国 大 B (0≤ ≤  国 大 ) 为向量 国 大 a ,b 的夹 国 角大 . 国 大 国 大 国 大 国 大 国 大 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 记作 ( a, b)  或 (b, a )  A C C C C C C C C C C C  O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 类似可定义向量与轴 轴与轴的夹角 学 学 学 , 学 . 学 学 学 学 学 学 学 B 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 给定 r  (x, y, z)  0, 称 r 与三坐标轴的夹角 ,  ,  C C C C C C C C C C C 为O其方向角 . O O O z O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 方向角的余弦称为其方向余弦 国 国 国 国 . 国 国 国 国 国 国 国 r 中 中 中 中 中  中 中 中 中 中 中  x x O cos    y CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO 2OO 2 2 OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO r xOO y  z OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM xMM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 x x 中 中 中 中 中z 中 中 中 中 中 中 cos   r x 2  y 2  z 2  C C C C  Cr C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M My M y M M  M M M M M M O 学 cos 学  学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 y 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 r 中x 2  y 2  中z 2 中 中 中 中 中 中 中 x z z Ccos  C  C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M Mr x 2 M  y 2  z 2 M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 方向余弦的性质 2 2 2 : cos  cos  cos   1 C C C C C C C C C C C O向量 r 的单O位向量 : O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 r 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 e  国 (cos, c 国 os, cos国 ) 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 r r CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 和 中 中 M中( 2, 2, 2中) 中 计算向中 量 中 中 中 中 中 M (1,3, 0 ), 1 2 C 的模 、C方向余弦C和方向角 C C C C C C C C MOM O O O. O O O O O O O O O O O O O O O O O O 1 2 M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 解 中 : 中M M  ( 中1 2, 3  2中, 0  2 ) 中 中 中 中 中 中 中 1 2  (1, 1,  2 ) C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 国 大 M 国 大 M  (国  大 1) 2 1 2  国 大 ( 2) 2  国 2 大 国 大 国 大 国 大 国 大 国 大 国 大 1 2 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 1 1 2 C cosC , co C s  , cCos   C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M 2 M 2 M M2 M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 2 π 中 π 中 3中π 中 中 中 中 中 中      , , 3 3 4 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O 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