(82)--11.6笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

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C C C C C C C C C C C
O 曲O 线积分O 与曲面O 积分O O O O O O O
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大 大 高斯大公式 大 大 大 大 大 大 大 大
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主讲 武忠祥 教授
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大一、高斯大公式 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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定理 设空间有界闭区域 由分片光滑的闭曲面 所围成的，
 
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O
在该区域
O
上具有一阶
O
连续偏导数,
O
则
O O O O O
PM(x, y, z),Q(xM, y, z), R(x, yM, z) M M M M M M M M
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P Q R
 Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   (   )dv
C C C  Cx y z C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
 
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中 例1 计算 中 面积分 I  中  x 2 dydz  y中 2 dzdx  z 2 dx中dy ,其中 中 为长方 中 中 中 中 中

O C   (x, y, z)O0 C  x  a,0 O C y  b,0  z O C c  的表面外 O C侧. O C O C O C O C O C O C
[(abc)abc]
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例2 计算面积分
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
I   x 3 d y d z  y 3 d z d x  (z 3  x 3  y 3 )d x d y.
C C C C C C C C C C C
O (S) O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M (1) (S) 为球M面 x 2  y 2 M z 2  R 2 的M外侧. [ M12R5 ] M M M M M M
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5
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中 中为上半球面 中 中 的上侧中. 中 中 中 中 中 中
(2) (S) z  R 2  x 2  y 2
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大三、散度大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
A(x, y, z)  {P,Q, R}
C C C C C C C C C C C
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大 大P Q 大R 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 divA中   中  中 中 中 中 中 中 中 中
x y z
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
例O3 向量场 O u(x, y, z)  x O y 2 i  ye z j  x O ln(1  z 2 )k O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 在点 P 中 (1,1,0) 处的 中 散度 divu 中 . 中 中 中 中 中 中 中
[2]
C C C C C C C C C C C
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大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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内容小结
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M1. 高斯公式 M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
P Q R
 Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   (   )dv
C C C  Cx y z C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
 
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2. 散度
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O
P Q RO
O O O O O O O O
M divA M   M M M M M M M M M
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大 大 x y 大z 大 大 大 大 大 大 大 大
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OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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M M M M M M M M M M M
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O O O O O O O O O O O
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作业
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O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
P239 1 ;
(2), (4), (5)
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 3 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大(1)(3); 大 大 大 大 大 大 大 大
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C C C C C C C C C C C
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中