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2021 北京西城初一（上）期末
数 学
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分） 的相反数是
A． B． C． D．
2．（2分）国家统计局公布的数据显示，经初步核算，2020年尽管受到新冠疫情的影响，前三个季度国内生产总
值仍然达到近697800亿元，按可比价格计算，同比增长了 ．将数据697800用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（2分）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
4．（2分）如图是某个几何体的平面展开图，则这个几何体是
A．长方体 B．三棱柱 C．四棱锥 D．三棱锥
5．（2分）下列方程变形中，正确的是
A．方程 ，去分母得
B．方程 ，去括号得
C．方程 ，系数化为1得
D．方程 ，移项得
6．（2分）如图， 表示北偏东 方向的一条射线， 表示南偏西 方向的一条射线，则 的度数是
1 / 16A． B． C． D．
7．（2分）若 ，则 的值是
A．20 B．16 C．4 D．
8．（2分）如图，数轴上的点 表示的数为有理数 ，下列各数中在0，1之间的是
A． B． C． D．
9．（2分）下列说法正确的是
（1）如果互余的两个角的度数之比为 ，那么这两个角分别为 和
（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角不一定相等
（3）如果两个角的度数分别是 和 ，那么这两个角互余
（4）一个锐角的余角比这个锐角的补角小
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2分）如图表示 的数表，数表每个位置所对应的数都是 1，2或3．定义 为数表中第 行第 列的数，
例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以 ．若 ，则 的值为
A．0，2 B．1，2 C．1，0 D．1，3
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）用四舍五入法取近似数： ．（精确到
12．（2分）若 是关于 的方程 的解，则 的值是 ．
13．（2分）若 与 是同类项，则 ．
14．（2分）如图所示的网格是正方形网格，则 ．（填“ ”，“ ”或“ ”
15．（2 分）用符号 ， 表示 ， 两数中的较大者，用符号 表示 ， 两数中的较小者，则 ，
的值为 ．
2 / 1616．（2分）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题“今有五等诸侯，共分橘子 60颗，
人别加三颗，问五人各得几何？”题目大意是：诸侯5人，共同分60个橘子，若后面的人总比前一个人多分3个，
问每个人各分得多少个橘子？若设中间的那个人分得 个，依题意可列方程得 ．
17．（2分）如图， ， ， 为线段 上三点，
（1）若 ，则 的长为 ；
（2）在（1）的条件下，若点 是 的中点， ，则 的长为 ．
18．（2分）有四个大小完全相同的小长方形和两个大小完全相同的大长方形按如图所示的位置摆放，按照图中所
示尺寸，小长方形的长与宽的差是 （用含 ， 的式子表示）．
三、解答题（本题共45分，第20题20分，第22题10分，其余每题5分）
19．（5分）如图，已知平面内有四个点 ， ， ， ．
根据下列语句按要求画图．
（1）连接 ；
（2）作射线 ，并在线段 的延长线上用圆规截取 ；
（3）作直线 与射线 交于点 ．
观察图形发现，线段 ，得出这个结论的依据是： ．
20．（20分）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
3 / 1621．（5分）先化简，再求值： ，其中 ， ．
22．（10分）解下列方程：
（1） ；
（2）
23．（5分）解方程组： ．
四、解答题（本题共19分，第24题5分，第5题6分，第26题8分）
24．（5分）请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）
已知：如图，点 ， ， 在同一条直线上， 平分 ， ．
求证： 是 的平分线．
证明：因为 是 的平分线，
所以 ．（理由：
因为 ．
所以 ，
．
因为 ，
所以 ．（理由：
所以 是 的平分线．
25．（6分）某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批 ， 两种型号的新能源汽车．据了解，2辆 型汽车
和3辆 型汽车的进价共计80万元；3辆 型汽车和2辆 型汽车的进价共计95万元．
（1）求 ， 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；
（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的 种
型号的新能源汽车数量多于 种型号的新能源汽车数量，请直接写出该公司的采购方案．
26．（8分）数轴上有 ， 两个点，点 在点 的左侧，已知点 表示的数是2，点 表示的数是 ．
（1）若 ，则线段 的长为 ；（直接写出结果）
（2）若点 在线段 之间，且 ，求点 表示的数；（用含 的式子表示）
（3）在（2）的条件下，点 在数轴上 点左侧， ， ，求 的值．
一、填空题（本题6分）
27．（6分）观察下列等式，探究其中的规律并回答问题：
，
4 / 16，
，
，
，
（1）第4个等式中正整数 的值是 ；
（2）第5个等式是： ；
（3）第 个等式是： ．（其中 是正整数）
二、解答题（本题共14分，第28题6分，第29题8分）
28．（6分）如图所示的三种拼块 ， ， ，每个拼块都是由一些大小相同、面积为1个单位的小正方形组成，
如编号为 的拼块的面积为3个单位．
现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平移、旋转，或翻转．
（1）若用1个 种拼块，2个 种拼块，4个 种拼块，则拼出的正方形的面积为 个单位．
（2）在图1和图2中，各画出了一个正方形拼图中1个 种拼块和1个 种拼块，请分别用不同的拼法将图1和图
2中的正方形拼图补充完整．要求：所用的 ， ， 三种拼块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之
间无缝隙，且不重叠．
29．（8分）对于数轴上的点 ， ， ， ，点 ， 分别是线段 ， 的中点，若 ，则
将 的值称为线段 ， 的相对离散度．特别地，当点 ， 重合时，规定 ．设数轴上点 表示的数为
0，点 表示的数为2．
（1）若数轴上点 ， ， ， 表示的数分别是 ， ，3，5，则线段 ， 的相对离散度是 ，线段
， 的相对离散度是 ；
（2）设数轴上点 右侧的点 表示的数是 ，若线段 ， 的相对离散度为 ，求 的值；
（3）数轴上点 ， 都在点 的右侧（其中点 ， 不重合），点 是线段 的中点，设线段 ， 的相对
离散度为 ，线段 ， 的相对离散度为 ，当 时，直接写出点 所表示的数 的取值范围．
5 / 16参考答案
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．【分析】一个非0数的相反数就是只有符号不同的两个数．
【解答】解： 的相反数为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“ ”号：一个正数的相反数是负数，
一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成
时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：697800用科学记数法表示为 ，
故选： ．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数，
表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
3．【分析】直接利用合并同类项分别计算得出答案
【解答】解： 、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，无法合并，故此选项错误；
、 ，正确．
故选： ．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
4．【分析】由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为棱锥，再由底面为四边形，则可得此几何体．
【解答】解：由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为棱锥，再由底面为四边形，则可得此几何体为四棱锥．
故选： ．
【点评】此题主要考查的是几何体的展开图，熟记几何体的侧面、底面图形特征即可求解．
5．【分析】根据等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解： 方程 ，去分母得 ，
选项 符合题意；
方程 ，去括号得 ，
选项 不符合题意；
方程 ，系数化为1得 ，
选项 不符合题意；
6 / 16方程 ，移项得 ，
选项 不符合题意．
故选： ．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．
6．【分析】根据方向角的定义可直接确定 的度数．
【解答】解：因为 表示北偏东 方向的一条射线， 表示南偏西 方向的一条射线，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了方向角及其计算．掌握方向角的概念是解题的关键．
7．【分析】先把 变形为 ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解： ，
，
故选： ．
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想进行解答是解题关键．
8．【分析】根据数轴上 的位置可得 得范围，从而得到答案．
【解答】解：由图可知 ，
、 ，故 不符合题意，
、 ，故 不符合题意，
、 ，则 ，故 符合题意，
、 ，则 ，故 不符合题意，
故选： ．
【点评】本题考查数轴、绝对值及有理数的运算，题目较容易，关键是根据数轴上点的位置判断 得范围．
9．【分析】根据余角和补角的定义，结合度分秒的换算逐项计算可判断求解．
【解答】解：（1）如果互余的两个角的度数之比为 ，那么这两个角分别为 和 ，故原说法错误；
（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角一定相等，故原说法错误；
（3）如果两个角的度数分别是 和 ，那么这两个角互余，故原说法正确；
（4）一个锐角的余角比这个锐角的补角小 ，故正确．
正确的个数有2个，
故选： ．
【点评】本题主要考查补角和余角，灵活运用余角和补角的性质及求解角的度数是解题的关键．
10．【分析】首先根据题意，由 ，可得： ，然后根据数表，可得： 或
，据此求出 的值为多少即可．
【解答】解： ，
，
根据数表，可得： 或 ，
解得： 或 ．
7 / 16故选： ．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移
项、合并同类项、系数化为1．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．【分析】把千分位上的数字8进行四舍五入即可；
【解答】解： ．（精确到 ．
故答案为：2.77．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式
它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精
确一些．
12．【分析】把 代入方程计算即可求出 的值．
【解答】解：把 代入方程得： ，
解得： ，
故答案是： ．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
13．【分析】根据同类项的定义求解即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【解答】解：由题意得： ， ，
， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了同类项．解题的关键是熟练掌握同类项的定义．
14．【分析】根据正方形网格的特征，以及角叉开的程度进行判断即可．
【解答】解：根据网格的特征以及角的表示可知，
，
而 ，
因此 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查角的大小比较，理解角的意义和正方形网格特征是正确判断的前提．
15．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得： ， ， ．
故答案为： ．
8 / 16【点评】此题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较的方法是解答本题的关键．
16．【分析】设中间的那个人分得 个，则其它四人各分得 个， 个， 个， 个，根据共分
橘子60颗列出方程即可．
【解答】解：设中间的那个人分得 个，由题意得：
，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出
方程．
17．【分析】（1）由 计算可求解 的长；
（2）由中点的定义可求得 的长，结合 的长可得 ，结合已知条件可求解 的长．
【解答】解：（1） ，
；
（2） 点 是 的中点， ，
，
，
，
，
．
故答案为 ．
【点评】本题主要考查线段的中点，两点间的距离，求解线段 的长是解题的关键．
18．【分析】设小长方形的长为 ，宽为 ，根据题意由大长方形的长度相等列出方程求出 的值，即为长与宽
的差．
【解答】解：设小长方形的长为 ，宽为 ，
根据题意得： ，即 ，
整理得： ．
则小长方形的长与宽的差是 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程，注意整体思想
的运用．
三、解答题（本题共45分，第20题20分，第22题10分，其余每题5分）
19．【分析】（1）根据作图语句连接 即可；
9 / 16（2）根据射线和线段的定义即可作射线 ，并在线段 的延长线上用圆规截取 ；
（3）根据直线和射线定义即可作直线 与射线 交于点 ，进而可得出结论的依据．
【解答】解：（1）如图， 即为所求；
（2）如图，射线 即为所求；
（3）直线 即为所求；
线段 ，得出这个结论的依据是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点评】本题考查了作图 复杂作图，直线、射线、线段，线段的性质：两点之间，线段最短，解决本题的关键是
掌握基本作图方法．
20．【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可求出值；
（2）原式从左到右依次计算即可求出值；
（3）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（4）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把 与 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式
，
10 / 16当 ， 时，原式 ．
【点评】此题考查了整式的加减 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：（1）去括号，可得： ，
移项，可得： ，
合并同类项，可得： ，
系数化为1，可得： ．
（2）去分母，可得： ，
去括号，可得： ，
移项，可得： ，
合并同类项，可得： ，
系数化为1，可得： ．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移
项、合并同类项、系数化为1．
23．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解： ，
② ① 得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
四、解答题（本题共19分，第24题5分，第5题6分，第26题8分）
24．【分析】根据角平分线的定义，以及等角的余角相等逐步推理证明 即可求证 是 的平
分线．
【解答】证明：因为 是 的平分线，
所以 ．（理由：角平分线的定义），
因为 ．
所以 ，
，
因为 ，
所以 （理由：等角的余角相等），
所以 是 的平分线．
11 / 16故答案依次为：角平分线的定义， ，90， ， ，等角的余角相等．
【点评】本题考查角平分线的定义以及证明推理过程的正确书写，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等
逐步推理证明 是解题的关键．
25．【分析】（1）设 型汽车每辆的进价为 万元， 型汽车每辆的进价为 万元，根据“2辆 型汽车、3辆
型汽车的进价共计80万元；3辆 型汽车、2辆 型汽车的进价共计95万元”，列出关于 ， 的二元一次方程组，
解之即可得出结论；
（2）设购进 型汽车 辆，购进 型汽车 辆，根据总价 单价 数量，即可得出关于 ， 的二元一次方程，
结合 ， 均为正整数即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设 型汽车每辆的进价为 万元， 型汽车每辆的进价为 万元，
依题意，得： ，
解得： ，
答： 型汽车每辆的进价为25万元， 型汽车每辆的进价为10万元．
（2）设购进 型汽车 辆，购进 型汽车 辆， ，
依题意，得： ，
．
， 均为正整数，
为5的倍数，
或 或 ，
，
不合题意舍去，
共2种购买方案，
方案一：购进 型车4辆， 型车10辆；
方案二：购进 型车2辆， 型车15辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确
列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
26．【分析】（1）根据点 、 表示的数利用两点间的距离公式即可求出 的长度；
（2）设点 表示的数为 ，则 ， ，根据 ，即可得出关于 的一元一次方程，解
之即可得出结论；
（3）根据题意得到 ， ， ， ．再分①点 在点 的
左侧时， ；②点 在点 的右侧，点 的左侧时， ，分别列出方程，解之即可．
【解答】解：（1） ．
故答案为：5；
12 / 16（2）设点 表示的数为 ，则 ， ，
，
，
解得 ．
点 表示的数为 ；
（3）依题意 ，
，
，
．
分两种情况：
①当点 在点 的左侧时，
，
，
解得 ；
②当点 在点 的右侧，点 的左侧时，
，
，
解得 ．
综上， 的值是 或 ．
【点评】本题考查了数轴和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适
的等量关系列出方程，再求解．
一、填空题（本题6分）
27．【分析】（1）根据给出的算式计算即可；
（2）总结规律继续写出第5个算式即可；
（3）根据上面的式子可归纳第 个等式为 ．
【解答】解：（1） ，且 取正整数，
，
故答案为：9；
13 / 16（2）观察上面的规律可得：
第5个等式是： ，
故答案为： ；
（3）根据已知等式可归纳为：
第 个等式是： ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．
二、解答题（本题共14分，第28题6分，第29题8分）
28．【分析】（1）求出各个图形的面积和即可．
（2）分别用3个 ， ，1个 或4个 ，1个吧，1个 ，拼面积为25的正方形即可．
【解答】解：（1）1个 种拼块，2个 种拼块，4个 种拼块，面积 ，
故答案为：25．
（2）图形如图所示：
【点评】本题考查利用旋转，平移设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
29．【分析】（1）依据相对离散度的计算公式，解答即可；
（2）利用对离散度的计算公式，列出关于 的方程，解方程即可得出结论；
（3）设 ， 对应的数为 ， ，则 对应的数 ；利用对离散度的计算公式，分别得出 ， ，利用
时，根据分类讨论的思想得到 ， 的关系式，最终得出 的取值范围．
【解答】解：（1） 点 ， 表示的数分别是 ， ，
， 的中点 对应的数为 ．
数轴上点 表示的数为0，点 表示的数为2，
， 的中点 所对应的数为1．
．
，
．
14 / 16；
数轴上点 ， ， ， 表示的数分别是 ， ，3，5，
， 的中点 对应的数为1， ， 的中点 对应的数为1，
，
．
故答案为： ；0；
（2）设线段 ， 的中点为 ， ，
数轴上点 右侧的点 表示的数是 ，点 表示的数为2，
， ．
点 ， 在数轴上表示的数为 ，1，
．
线段 ， 的相对离散度为 ，
．
．
解得： 或 ．
答： 的值为 或6．
（3） ．理由：
数轴上点 ， 在数轴上对应的数为 ， ，
数轴上点 ， 都在点 的右侧（其中点 ， 不重合），
， ，且 ．
点 是线段 的中点，
点 所表示的数 ．
设线段 ， 的中点为 ， ，则 对应的数为 ， 点对应的数为1，
线段 ， 的相对离散度为 ，
．
．
15 / 16同理可得： ．
，
．
①当 ， 时，
解得： ，
点 ， 不重合，
，舍去；
②当 ， 时，
解得： ，同样，不合题意舍去；
③当 ， 时，
解得： ．
④当 ， 时，
解得： ．
综上， ．
，
．
．
．
即 ．
．
即 ．
【点评】本题主要考查了数轴，数轴上的点的几何意义，绝对值的意义，非负数的应用．本题是阅读型题目，准确
理解题目中的定义与公式并熟练应用是解题的关键．
16 / 16
