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14.1.4整式的乘法
一、单选题
1．探索：
……
判断22020+22019+22018+…+22+2+1的值的个位数是几？（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【分析】仔细观察，探索规律可知：22020+22019+22018+…+2+1=（22021-1）÷（2-1），依此计算即可求解．
【详解】观察所给等式得出如下规律：
变形得
令其x=2，n=2020得
22020+22019+22018+…+2+1=
=（22021-1）÷（2-1）
=22021-1，
∵2n的个位数字分别为2，4，8，6，即4次一循环，且2020÷4=505，
∴22020的个位数字是6，
∴22021的个位数字为2，
∴22021-1的个位数字是1，
∴22020+22019+22018+…+2+1的个位数字是1．
故选：A．【点评】此题考查了多项式的乘法，乘方的末位数字的规律，注意从简单情形入手，发现规律，是解决问
题的关键．
2． ， ， ，则 的值为．（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】B
【分析】根据幂的运算的逆运算，把所求变成同底数幂相乘和除法即可．
【详解】 ，
=
=1.5
故选：B．
【点评】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算，把所求式子变形．
3．一个长方形的面积为 ，长为 ，则这个长方形的宽为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据整式除法计算即可；
【详解】由题可得： ；
故答案选A．
【点评】本题主要考查了整式除法的计算，准确计算是解题的关键．
4．若 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并后即可得出答案．
【详解】 ，∵ ，
∴m=-2，
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，能够灵活运用法则进行计算是解此题的关键．
5．若计算关于 的代数式 得 的系数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用多项式乘以多项式法则将原式化简，根据 的系数为3即可求出m的值；
【详解】原式= ，
∵ 的系数为3，
∴ 1-m=3，
解得m=-2，
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别用同底数幂的乘法法则、多项式与多项式的乘法、积的乘方以及同底数幂的除法公式来进行
判断即可；
【详解】A、 ，故该选项错误；
B、 ，故该选项错误；
C、 ，故该选项正确；D、 ，故该选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则、多项式与多项式的乘法、积的乘方以及同底数幂的除法公式，
正确掌握公式是解题的关键；
7． 的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用单项式乘单项式计算得出答案．
【详解】3ab•a2=3a3b．
故选：D．
【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
8．若 ， ，则 的值是（ ）
A．50 B．100 C． D．
【答案】A
【分析】先开平方，然后组成方程组，解方程组求出y与（2x+3z），整体代入求值计算即可．
【详解】∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
∴， ， ， ，
，解得 ， ， ，
，
，
，
，
．
故选择：A．
【点评】本题考查开平方，解方程组，因式分解，整体代入求代数式的值，掌握开平方，解方程组，因式
分解，整体代入求代数式的值．
9．下列运算：① ；② ；③ ；④ ．其中结果正确的有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】按照幂的运算法则直接判断即可．【详解】① ，原式错误；
② ，原式正确；
③ ，原式错误；
④ ，原式正确；
故选：B．
【点评】本题考查了幂的运算，熟记幂的运算法则，注意它们之间的区别是解题关键．
10．若 ，则实数b等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】等式左边去括号后两边经过比对可以得解 ．
【详解】原等式可变为：
，
∴可得： ，
解之得：a=-1,b=2，
故选B．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用和多项式的乘法，熟练掌握代数式相等的意义、多项式的乘法法
则及二元一次方程组的解法是解题关键．
二、填空题
11．观察下列式子： ； ；
； ；……，根据上面揭示的规律，则 ________
【答案】
【分析】观察、发现规律 ，根据规律解题．
【详解】根据题意，观察可知，
故答案为： ．
【点评】本题考查整式的除法、有理数的数字规律等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题
关键．
12．若多项式A与单项式2a2b的积是8a3b2﹣6a2b2，则多项式A为_____．
【答案】4ab﹣3b
【分析】直接利用多项式除以单项式运算法则计算得出答案．
【详解】∵多项式A与单项式2a2b的积是8a3b2﹣6a2b2，
∴多项式A为：（8a3b2﹣6a2b2）÷2a2b
＝8a3b2÷2a2b﹣6a2b2÷2a2b
＝4ab﹣3b．
故答案为：4ab﹣3b．
【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
13．若 ， ，则 的值为______．
【答案】2
【分析】根据同底数幂的除法逆运算计算即可；【详解】∵ ， ，
∴ ；
故答案是2．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法应用，准确计算是解题的关键．
14．观察等式： ； ； ；…已知按一定规律排列
的一组数： ， ， ，…， ， ，若 ，用含 的式子表示这组数据的和是
__________．
【答案】
【分析】根据已知条件和2100=S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可
用含S的式子表示这组数据的和．
【详解】∵2100=S，
∴2100+2101+2102+…+2199+2200
=S+2S+22S+…+299S+2100S
=S（1+2+22+…+299+2100）
=S（1+2100-2+2100）
=S（2S-1）
=2S2-S．
故答案为：2S2-S．
【点评】本题考查了规律型-数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
三、解答题
15．如图，某市有一块长为 米，宽为 米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿
化，中间将修建一座雕像，左右两边修两条宽为米的道路．（ ）．（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
（2）若 ，请求出绿化面积．
【答案】（1）（3a2+3ab）平方米；（2）4500平方米
【分析】（1）根据图形可得长方形的面积减去中间正方形的面积减去两个小长方形的面积即可得结果；
（2）把a=30，b=20代入（1）所得整式，即可得结果．
【详解】（1）由题意可得：
（3a+b）（2a+b）-（a+b）2-a（3a+b-a-b）
=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2-2a2
=（3a2+3ab）平方米；
答：绿化的面积是（3a2+3ab）平方米；
（2）当a=30，b=20，
绿化面积是3a2+3ab=3×900+3×30×20=4500平方米．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，看懂题图掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
16．第三届长江上游城市花卉艺术博览会在重庆园博园举办，在布置会场时，准备对一块长为2a米，宽为
a米的草地进行改造．如图，图中阴影部分将用来种植观赏植物，它是由一块矩形草地和两块正方形草地
组成．
（1）请用代数式表示种植观赏植物的草地面积并化简；
（2）若a＝30，c＝5，求种植观赏植物的草地面积．【答案】（1）（2a2﹣4ac+4c2）平方米；（2）种植观赏植物的草地面积是1300平方米
【分析】（1）根据长方形和正方形的面积计算方法可表示出种植观赏植物的草地面积，再进行化简即可；
（2）将a＝30，c＝5代入代数式进行计算即可得解．
【详解】（1）种植观赏植物的草地面积为：
(2a－2c)(a－c)+2c2
＝2a2－4ac+2c2+2c2
＝(2a2－4ac+4c2)平方米；
（2）当a＝30，c＝5时，2a2－4ac+4c2＝2×900－4×30×5+4×52＝1300，
故种植观赏植物的草地面积是1300平方米．
【点评】本题考查了整式的实际应用，明确题意列出整式，掌握整式的运算法则是解题的关键．
17．观察下列各式：
9﹣1＝4×2＝8；
16﹣4＝6×2＝12；
25﹣9＝8×2＝16；
36﹣16＝10×2＝20；
……
（1）这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律是
．
（2）用含n的等式证明这个规律．
【答案】（1）（n+2）2﹣n2＝4（n+1）；（2）见解析
【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出发现的规律；
（2）先将等号左边化简，然后再变形，即可得到结论成立．
【详解】（1）∵9﹣1＝4×2＝8，即（1+2）2-12=2（2×1+2）；
16﹣4＝6×2＝12，即（2+2）2-22=2（2×2+2）；
25﹣9＝8×2＝16，即（3+2）2-32=2（2×3+2）；
36﹣16＝10×2＝20，即（4+2）2-42=2（2×4+2）；
…，
∴第n个式子是（n+2）2﹣n2＝2（2n+2）＝4（n+1），
故答案为：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）；
（2）证明：∵（n+2）2﹣n2
＝n2+4n+4﹣n2＝4n+4
＝4（n+1），
∴（n+2）2﹣n2＝4（n+1）成立．
【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，
写出相应的式子．
18．阅读材料
∵（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，∴（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3，这说明多项式x2+x﹣6能被x﹣2整除，同时
也说明多项式x2+x﹣6有一个因式为x﹣2，另一个因式为x+3；另外，当x＝2或x=—3时，多项式x2+x﹣6
的值为零．
根据上述信息，解答下列问题
（1）根据上面的材料猜想：已知一个多项式有因式x+2，则说明该多项式能被 整除，当x＝—2时，
该多项式的值为 ；
（2）探索规律：一般地，如果一个关于x的多项式M，当x＝k时，M的值为0，请写出M与代数式x﹣k
之间的关系；
（3）应用：若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求常数a，b的值．
【答案】（1）x+2，0；（2）M能被（x-k）整除；（3）a=4，b=0
【分析】（1）根据题意和多项式有因式x+2，说明多项式能被x+2整除，当x=-2时，多项式的值为0；
（2）根据（1）得出的关系，能直接写出当x=k时，M的值为0，M与代数式x-k之间的关系；
（3）根据上面得出的结论，当x=1或x=-1时，3x4-ax2+bx+1=0，得到关于a和b的二元一次方程组，再求
出a和b的值即可．
【详解】（1）已知一个多项式有因式x+2，说明此多项式能被（x+2）整除，
当x=-2时，该多项式的值为0；
（2）根据（1）得出的关系，得出M能被（x-k）整除；
（3）∵整式x2-1即（x+1）（x-1）是3x4-ax2+bx+1的因式，
∴当x=1时，3x4-ax2+bx+1=0，
∴3-a+b+1=0，①
当x=-1时，3x4-ax2+bx+1=0，
∴3-a-b+1=0，②
①+②得：8-2a=0，
解得：a=4，代入①中，
解得：b=0．【点评】此题考查了整式的除法和因式分解，二元一次方程组，是一道推理题，理解题意得到规律是解题
的关键．
19．如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为3cm的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁
盒，如图②，铁盒底面长方形的长为8xcm，宽为5xcm．
（1）请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积；
（2）现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，若每花1元钱可涂漆面积为2xcm2，则涂漆这个铁盒需要多
少钱（用含x的代数式表示）．
【答案】（1）（40x2+78x+36）（cm2）；（2）涂漆这个铁盒需要（20x+39）元钱
【分析】（1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可；
（2）根据原长方形铁皮的面积减去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，再乘单价即可得到结果．
【详解】（1）原铁皮的面积是（8x+6）（5x+6）＝（40x2+78x+36）（cm2）；
（2）油漆这个铁盒的表面积是：40x2+78x+36﹣4×32＝（40x2+78x）（cm2）；
则油漆这个铁盒需要的钱数是：（40x2+78x）÷（2x）＝（20x+39）（元）．
所以涂漆这个铁盒需要（20x+39）元钱．
【点评】此题考查了列代数式，掌握正方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键．
20．先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，-2
【分析】根据整式的混合运算进行化简，再代入求值即可；
【详解】原式
，
当 ， 时，原式 ．
【点评】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟知整式的运算法则；21．观察下列两个数的积（这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10）；
；
；
；
；
……
（1）计算 ________， ___________；
（2）根据观察与计算能得出什么结论，请将它用文字或字母表示出来；
（3）证明得出的结论．
【答案】（1）7221；3025；（2）十位上数字乘以十位上数字加一作为结果的千和百位数字，两个个位相
乘作为结果的个位和十位；（3）证明见解析．
【分析】（1）根据前四个算式的规律，算出二个算式的结果；
（2）得出规律：十位上数字乘以十位上数字加一作为结果的千和百位数字，两个个位相乘作为结果的个
位和十位；
（3）设十位数字为x，个位数字为y，一个数为10x+y，则另一个数为10x+10-y=10（x+1）-y，将两数相乘
即可验证（2）的规律．
【详解】（1）∵83×87=7221，552=3025，
故答案为： 7221；3025．
（2）可得规律为：十位上数字乘以十位上数字加一作为结果的千和百位数字，两个个位相乘作为结果的
个位和十位．
（3）设十位数字为x，个位数字为y，一个数为10x+y，则另一个数为10x+10-y=10（x+1）-y，
（10x+y）[10（x+1）-y]=100x（x+1）+y（10-y），
前一项就是十位上数字乘以十位上数字加一，后一项就是两个个位数字相乘．
【点评】本题考查了规律型中数字的变化类，整式的乘法运算．根据两数乘积的变化找出变化规律是解题
的关键．
22．已知：（1）当 时， ______．
（2）试求： 的值．
（3）判断 的值的个位数是______．
【答案】（1）80；（2）63；（3）7．
【分析】（1）根据有理数的乘方运算法则即可得；
（2）先根据已知等式归纳类推出一般规律，再将 代入求值即可得；
（3）先根据一般规律可求出结果，再根据有理数的乘方即可得．
【详解】（1） ，
故答案为：80；
（2）归纳类推得： ，其中 ，且为整数，
则 ，
，
；
（3） ，
，
∵ ， ， ， ， ， ，且 ，
∴ 的个位数与 的个位数相同，即为8，
∴ 的个位数为7，
即 的值的个位数为7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了有理数的乘方、整式乘法的规律性问题等知识点，根据已知等式，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
