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导数与单调性、极值、最值
一、函数的单调性与导数注意点：
(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，即解决问
题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间．
(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中
间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
(4)注意在某一区间内f'(x)>0(或f'(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)
函数的充分不必要条件，而不是充要条件．(例如f(x)＝x
3)．
(5)如果函数在某个区间内恒有f'(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝3，
则f'(x)＝3'＝0.
(6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化
规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想．
(7)若在某区间上有有限个点使f'(x)＝0，在其余的点恒有f'(x)＞0，则f(x)
在该区间上仍为增函数．
二、求函数的单调区间的方法
求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)＞0 或f′(x)＜0，这些不等式的解
就是所求的单调区间．
求函数单调区间的步骤如下：
(1)求f(x)的定义域；
(2)求出f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)可得函数的增区间(或减区间)．
题型一：利用导数求函数的单调区间
例：求下列函数的单调区间．
y＝2x
3－3x
解：由题意得y′＝6x
2－3.
令y′＝6x
2－3＞0，解得x＜－2
2 或x＞2
2 ，
当x∈(－∞，－
2
2 )时，函数为增函数，当x∈(
2
2 ，＋∞)时，函数也为增函数．
2
令y′＝6x
2－3＜0，
解得－2
2 ＜x＜2
2 ，
当x∈(－2
2 ，2
2 )时，函数为减函数．
故函数的递增区间为(－∞，－2
2 )和( 2
2 ，＋∞)，递减区间为(－2
2 ，2
2 )．
例：讨论函数f(x)＝bx
x
2－1(－1＜x＜1，b≠0)的单调性．
【思路探究】 (1)函数的定义域是怎样的？函数是奇函数还是偶函数？(2)若先
讨论x∈(0,1)上的单调性，能否判断f′(x)在(0,1)上的正负？b 的取值对其有
影响吗？
解：因f(x)的定义域为(－1,1)；函数f(x)是奇函数，∴只需讨论函数在(0,1)
上的单调性．
∵f′(x)＝
2
2
2
)1
(
)1
(
x
x
b
当0＜x＜1 时，x
2＋1＞0，(x
2－1)
2＞0，∴
0
)1
(
)1
(
2
2
2
x
x
∴当b＞0 时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(0,1)上是减函数；
当b＜0 时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在(0,1)上是增函数；
又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知：
当b＞0 时，f(x)在(－1,1)上是减函数；
当b＜0 时，f(x)在(－1,1)上是增函数．
规律方法：
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证
明不等式
f′(x)＞0(f′(x)＜0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f′(x)；②
判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．
2．导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行
分类讨论．
题型二：利用函数单调性求参数
3
例：(2013·郑州模拟)函数f(x)＝ax＋xln x，且图象在点
))
1
(
,
1
(
e
f
e
处的切线斜
率为1(e 为i 自然对数的底数)．(1)求实数a 的值；(2)设
( )
( )
1
f x
x
g x
x
，研究
函数g(x)的单调性
解：(1)f(x)＝ax＋xln x，f′(x)＝a＋1＋ln x，依题意
)
1
(' e
f
＝a＝1，所以a
＝1.
(2)因为
( )
( )
1
f x
x
g x
x
＝xln x
x－1 ，所以g′(x)＝x－1－ln x
x－
2 .
设φ(x)＝x－1－ln x，则φ′(x)＝1－1
x.
当x>1 时，φ′(x)＝1－1
x>0，φ(x)是增函数，
对∀x>1，φ(x)>φ(1)＝0,即当x>1 时,g′(x)>0,故g(x)在(1,＋∞)上为增函数；
当0<x<1 时，φ′(x)＝1－1
x<0，φ(x)是减函数，
对∀x∈(0,1)，φ(x)>φ(1)＝0，即当0<x<1 时，g′(x)>0，故g(x)在(0,1)上
为增函数．
规律方法：
1．导数法求函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0 和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
2．导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：
(1)求f′(x)；
(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；
(3)作出结论：f′(x)>0 时为增函数；f′(x)<0 时为减函数．
3．导数法求参数的取值范围：已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条
件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)，转化为不等式恒成立求解．
三、函数的极值
4
1.函数极值定义
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)
＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x0)，x0 是极大值
点。
如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小
值，记作y 极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值
2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若
0x 满足
0
)
(
0
x
f
，且在
0x 的两侧
)
(x
f
的导数异号，则
0x 是
)
(x
f
的极值点，
)
(
0x
f
是极值，并且如果
)
(x
f
在
0x 两侧满足“左正右负”，则
0x 是
)
(x
f
的极大
值点，
)
(
0x
f
是极大值；如果
)
(x
f
在
0x 两侧满足“左负右正”，则
0x 是
)
(x
f
的
极小值点，
)
(
0x
f
是极小值.
3. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0 的根
(3)用函数的导数为0 的点，将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检
查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得
极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符
号，那么f(x)在这个根处无极值
四、极值的要点总结
（1）极值是一个局部概念。由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点
的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小
值可以不止一个
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即函数的极大值未必大于极小值
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使
函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
（5）可导函数的极值点的导数为0，但是导数为0 的点不一定是极值点，如函
数y=x
3在x=0 处导数为0，但x=0 不是极值点。
奎屯
王新敞
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新疆
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（6）函数在一点x0处有极值，不一定在该点可导。如函数y=|x| 在x=0 有极小
值，但在x=0 处不可导即导数不存在。
五、最值要点总结
（1）在闭区间
b
a,
上图像连续不断的函数
)
(x
f
在
b
a,
上必有最大值与最小值．
（2）在开区间( , )
a b 内图像连续的函数
)
(x
f
不一定有最大值与最小值．如函数
x
x
f
1
)
(
在
)
,0
( 内连续，但没有最大值与最小值；
（3）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极
值点附近函数值得出的．
（4）函数
)
(x
f
在闭区间
b
a,
上的图像连续不断，是
)
(x
f
在闭区间
b
a,
上有最
大值与最小值的充分条件而非必要条件．如函数
1,
1
0
( )
0,
0
x
x
x
f x
x
但
在
1,1
上有最大值，最小值，（最大值是0，最小值是-2），但其图像却不是连续
不断的。
（5）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能
不止一个，也可能没有。
（6）若函数f(x)只有一个极值，则必为最值。若函数f(x)在闭区间[a,b]上递
增，则
min
( )
( )
f x
f a
，
max
( )
( )
f x
f b
；若函数f(x)在闭区间[a,b]上递减，则
min
( )
( )
f x
f b
，
max
( )
( )
f x
f a
。
此类题目的做题口诀为：一定二导三求根，四标五穿六列表。这个步骤来解决。
分别指：
1.求函数定义域
2.求函数导数
3.求f'(x)=0 的根
4.在数轴上标根
5.在数轴上“穿针引线”标出大于零小于零的部分
6.列出f（x）的变化情况表
