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淘宝：学思创想
专题14 三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型
等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客，
并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系
统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。
....................................................................................................................................................2
模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）......................................................................2
模型2.等边截等长模型（定角模型）......................................................................................................... 8
模型3.等边内接等边.................................................................................................................................... 12
..................................................................................................................................................18
淘宝：学思创想
模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）
帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。
条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC 于G，结论：①DF=FE；②
。
证明：如图，过点D 作
交
于H，则
，
，
∵
，∴
，∴
，∴
，∵
，∴
，
在
和
中,
，∴
，∴
；
∵
，∴
，∵
，
，∴
，
∴
，∴
．
例1．（23-24 八年级上·广东中山·期末）如图，
中，
，
， 点P 从点B 出发沿线
段
移动到点A 停止，同时点Q 从点C 出发沿
的延长线移动，并与点 P 同时停止． 已知点 P，Q 移
动的速度相同，连接
与线段
相交于点D(不考虑点 P 与点A，B 重合时的情况)．
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(1)求证:
；(2)求证:
；(3)如图，过点P 作
于点E，在点P，Q 移动的过
程中，线段
的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
为定值5，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，
准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．
（1）利用
、
的移动速度相同，得到
，利用线段间的关系即可推出
；（2）过
点P 作
，交
于点F，利用等边对等角结合已知可证
，即可得出结论；
（3）过点P 作
，交
于点F，由（2）得
，可知
为等腰三角形，结合
，
可得出
即可得出
为定值．
【详解】（1）证明：
、
的移动速度相同，
，
，
；
（2）如图，过点P 作
，交
于点F，
，
，
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，
，
，
，由（1）得
，
，
在
与
中，
，
，
；
（3）解：
为定值5，理由如下：如图，过点P 作
，交
于点F，
由（2）得：
，
为等腰三角形，
，
，由（2）得
，
，
，
为定值5．
例2．（24-25 九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究
问题情境：在
中，
，在射线
上截取线段
，在射线
上截取线段
，连结
，
所在直线交直线
于点M．
猜想判断：（1）当点D 在边
的延长线上，点E 在边
上时，过点E 作
交
于点F，如图
①．若
，则线段
、
的大小关系为_______．
深入探究：（2）当点D 在边
的延长线上，点E 在边
的延长线上时，如图②．若
，判断线
段
、
的大小关系，并加以证明．
拓展应用：（3）当点D 在边
上（点D 不与
、
重合），点E 在边
的延长线上时，如图③．若
，
，
，求
的长．
【答案】（1）
；（2）
，理由见解析；（3）
【分析】（1）过点E 作
交
于点F，证明
即可得解；
（2）过点E 作
交
的延长线于点F，证明
即可得解；
（3）过点E 作
交
的延长线于点F，证明
，由相似三角形的性质即可得解．
【详解】（1）解：
，理由如下：过点E 作
交
于点F，
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∵
，
，∵
，
，
，
，∵
，∴
，
在
和
中，
，∴
，∴
；
（2）解：
理由如下：如图，过点E 作
交
的延长线于点F，
∵
，
，
，
在
和
中，
，∴
，
；
（3）解：如图，过点E 作
交
的延长线于点F
∵
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平
行线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
例3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6 的等边△ABC 的边AB 上一点P，作PE⊥AC 于E，Q
为BC 延长线上一点，连PQ 交AC 边于D，当PA＝CQ 时，DE 的长为（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据题意过P 作BC 的平行线，交AC 于M；则△APM 也是等边三角形，在等边三角形APM 中，
PE 是AM 上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE＝EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM＝CD；
此时发现DE 的长正好是AC 的一半，由此得解．
【详解】解：过P 作PM∥BC，交AC 于M，
∵△ABC 是等边三角形，且PM∥BC，∴△APM 是等边三角形；
又∵PE⊥AM，∴AE＝EM＝
AM；（等边三角形三线合一）
∵PM∥CQ，∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；
又∵PA＝PM＝CQ，在△PMD 和△QCD 中，
，
∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD＝DM＝
CM；
∴DE＝DM+ME＝
（AM+MC）＝
AC＝3．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边
三角形△APM 是解答此题的关键．
例4．（2024·河南·校考一模）问题背景：已知在
中，边AB 上的动点D 由A 向B 运动(与A，B 不
重合)，同时点E 由点C 沿BC 的延长线方向运动(E 不与C 重合)，连接DE 交AC 于点F，点H 是线段AF
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上一点，求
的值．
（1）初步尝试：如图①，若
是等边三角形，
，且点D､E 的运动速度相等，小王同学发现
可以过点D 作
交AC 于点G，先证
，再证
，从而求得
的值为________；
（2）类比探究：如图②，若
中，
，且点D，E 的运动速度之比
是
，求
的值；
（3）延伸拓展：如图③，若在
中，
，记
，且点D､E 的运动
速度相等，试用含m 的代数式表示
的值(直接写出结果，不必写解答过程)．
【答案】（1）2；（2）2；（3）
【详解】解：（1）2；
【解法提示】如解图①，过点D 作
交AC 于点G，
图①
图②
图③
∵△ABC 是等边三角形，∴△AGD 是等边三角形，
∴
，由题意知
，∴
，
∵
，∴
，
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在
与
中，
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
，∴
；
（2）如解图②，过点D 作
交AC 于点G，则
，
∵
，∴
，
，
，∴△DGH 为等边三角形，∴
，
．
由题意可知，
．∴
．∵
，∴
．
在
与
中，
，∴
，∴
．
，即
，∴
，即
；
（3）
．如解图③，过点D 作
交AC 于点G，
易得
，
，
．
在
中，∵
，
，
∴
，
，
，∴
，
∵
，∴
．
∴
，∴
．由
可得
．
∵
，∴
．∴
．
∴
，即
．∴
．
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模型2.等边截等长模型（定角模型）
条件：如图，在等边
中，点
，
分别在边
，
上，且
，
与
相交于点
，
于点
．结论：①
；②AD=BE；③
；④BQ=2PQ。
证明：在等边三角形
中，
，
，
在
和
中，
，
，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE；
．
，
，∴BQ=2PQ．
例1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E 分别是等边三角形
边
、
上的点，且
，
与
交于点F．求证：
．
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【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出
，
，然后根据
证明
，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明∶∵
是等边三角形，∴
，
，
又
，∴
，∴
．
例2．（2024 八年级·重庆·培优）如图，
为等边三角形，且
与
相交于点
，则
（ ）．
A．等于
B．等于
C．等于
D．大小不确定
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，先证明
，得到
，在三角形外角性质求解即可．
【详解】∵等边
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
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∵
，∴
，故选B．
例3．（23-24 八年级·广东中山·期中）如图，在等边
中，点
分别在边
上，且
，
与
相交于点
，
于点
．(1)求证：
；(2)若
，求
的长．
【答案】(1)见解析(2)8
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含
角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练
掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）证明
即可得证；
（2）求出
，再根据含
角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵
为等边三角形，∴
，
在
和
中
，∴
，∴
．
（2）解：∵
，∴
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，∴
，又∵
，∴
．
例4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边三角形
的
，
边上各取一点
，
（均不与端
点重合），且
，
，
相交于点
，下列结论不正确的是（ ）
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A．
B．
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】D
【分析】先根据等边三角形的性质得
，
，据此可判定
和
全等，从而
得
，然后根据三角形的外角定理可求出
，由此可求出
的度数，进而可对
结论
进行判定；由
和
全等可得出
，据此可判定
和
相似，进而根
据相似的性质可对结论B 进行判定；过
作
于点
，根据等边三角形的性质
，
，然后分别用勾股定理求出
，进而再求出
，最后可求出
，由此可对结论C 进行判定；
设
，
，则
，
，
，
，先由结论A 正确得出
，过点
作
于点
，则
，然后在
中利用勾股定理求出
，最后在
中再利用勾股定理可求出
，
之间的关系，从而可对结论D 进行判定．
【详解】解：
为等边
，
，
，
在
与
中，
，
，
，
，
，因此结论A 正确；
，即：
，
又
，
，
，
，因此结论B 正确；过
作
于点
，
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为等边
，
，
，
，
，
在
中，
，
，由勾股定理得：
，
在
中，
，
，由勾股定理得：
，
，因此结论C 正确；设
，
，则
，
，
，
，
，
，过点
作
于点
，
，
在
中，
，
，
由勾股定理得：
，
在
中，
，
，
由勾股定理得：
，即：
，
，
将
代入上式得：
，
整理得：
，因此结论D 不正确．故选D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理
的应用等，解答此题的关键是熟练掌握似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，难点是灵活运
用勾股定理进行相关的计算．
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模型3.等边内接等边
图1 图2
1）等边内接等边（截取型）
条件：如图1，等边三角形ABC 中，点D，E，F 分别在边AB，BC，CA 上运动，且满足AD=BE=CF；
结论：三角形DEF 也是等边三角形。
证明：∵
是等边三角形，∴
，
．
∵
，∴
．
在
和
中，
∴
（
），
∴
．同理
，∴
，∴
是等边三角形．
2）等边内接等边（垂线型）
条件：如图，点
、
、
分别在等边
的各边上，且
于点
，
于点
，
于点
，结论：三角形DEF 也是等边三角形。
证明：
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
例1．（2024 七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形
的顶点
、
、
依次作
、
、
的垂线
、
，三条垂线围成
，若
，则
的周长为（ ）
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A．12
B．18
C．20
D．24
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30 度的直角三角形的性
质，先证明
是等边三角形．得出
．根据直角三角形的性质求出
，证明
，得出
，求出
，最后求出结果即可．
【详解】解：∵
，∴
，
∵
是等边三角形，∴
，∴
，
∴
，同理：
，∴
是等边三角形．∴
．
在
中，
，∴
，∴
，∵
，∴
，
在
与
中，
，∴
∴
，∴
，∴
的周长为
．故选：B．
例2．（24-25 九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知等边三角形
，点
，
，
分别为边
上的黄金分割点（
，
，
），连接
，
，
，我们称
为
的“内含黄金三角形”，若在
中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概
率是 ．
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【答案】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，概率的计算方法，
根据题意，设
，可得等边
的面积，根据黄金分割点可得
，
，可证
，可得
，根据图形面积可得
，再
根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：∵
是等边三角形，∴
，设
，
如图所示，过点
作
于点
，
∴在
中，
，
∴
，
，∴
，
∵点
分别是
的黄金分割点，∴
，
∴
，∴
，
∴
，则
，
如图所示，过点P1作
于点
，∴在
中，
，
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∴
，∴
，
∴
，
∴
，
∴
，故答案为：
．
例3．（23-24 八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N 分别在等边三角形
的各边上，且
于点P，
于点M，
于点N．(1)求证：
是等边三角形；(2)若
，
求
的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）先求得
．
得
．则
，再求得
．
即可得到结论；
（2）由
得到
．由
得到
，则
．由
得到
．即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵
是等边三角形，∴
．
∵
，∴
．
∴
．
∴
．∴
是等边三角形．
（2）解：∵
是等边三角形，∴
．
淘宝：学思创想
在
和
中，
，∴
．∴
．
∵
，∴
．∴
．
∵
，∴
．∴
．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含
角的直角三角形的性质
等知识，证明
是等边三角形是解题的关键．
例4．（2023·广西·中考真题）如图，
是边长为4 的等边三角形，点D，E，F 分别在边
，
，
上运动，满足
．(1)求证：
；(2)设
的长为x，
的面积为y，求y
关于x 的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述
的面积随
的增大如何变化．
【答案】(1)见详解(2)
(3)当
时，
的面积随
的增大而增大，当
时，
的面积随
的增大而减小
【分析】（1）由题意易得
，
，然后根据“
”可进行求证；
（2）分别过点C、F 作
，
，垂足分别为点H、G，根据题意可得
，
，然后可得
，由（1）易得
，则有
，进而问题可求解；（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵
是边长为4 的等边三角形，
∴
，
，∵
，∴
，
淘宝：学思创想
在
和
中，
，∴
；
（2）解：分别过点C、F 作
，
，垂足分别为点H、G，如图所示：
在等边
中，
，
，
∴
，∴
，
设
的长为x，则
，
，
∴
，∴
，
同理（1）可知
，∴
，
∵
的面积为y，∴
；
（3）解：由（2）可知：
，∴
，对称轴为直线
，
∴当
时，y 随x 的增大而增大，当
时，y 随x 的增大而减小；
即当
时，
的面积随
的增大而增大，当
时，
的面积随
的增大而减小．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二
次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．
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1．（23-24 九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，
是等边三角形，点D，E 分别在
，
上，且
，
，
与
相交于点F，则下列结论：①
，②
，
③
．其中正确的有（ ）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
【答案】A
【分析】由
是等边三角形，求得
，证明
，得到
，即可求得
，故①正确；由
，证明
，即可得到
，
故②正确；由
，
，证明
，即可求得
，
故③正确；
【详解】∵
是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，且
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
淘宝：学思创想
∵
是
的外角，
∴
，
∴①正确；
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴②正确；
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴③正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质，熟练掌握
相似三角形的判定和性质是解决问题的关键
2．（2024 广东九年级二模）如图，在等边三角形ABC 中，点P，Q 分别是AC，BC 边上的动点（都不与
线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP 相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若
BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP⋅AQ；④若AB=3，则OC 的最小值为
，其中正确的是（ ）
A．①③④
B．①②④
C．②③④
D．①②③
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质得到AC=BC，根据线段的和差得到CP=BQ，过P 作PD∥BC 交AQ 于D，
根据相似三角形的性质得到①正确；过B 作BE⊥AC 于E，解直角三角形得到②错误；在根据全等三角形
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的性质得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，根据相似三角形的性质得到③正确；以AB 为边作等边三角形NAB，
连接CN，证明点N，A，O，B 四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB 的中心M，设CM 于圆M 交点O′，
CO′即为CO 的最小值，根据30 度角的直角三角形即可求出结果．
【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AC=BC，
∵AP=CQ，∴CP=BQ，∵PC=2AP，∴BQ=2CQ，
如图，过P 作PD∥BC 交AQ 于D，
∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，∴
，
，
∴CQ=3PD，∴BQ=6PD，∴BO=6OP；故①正确；
过B 作BE⊥AC 于E，则CE=
AC=4，∵∠C=60°，∴BE=4
，
∴PE=
=1，∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误；
在等边△ABC 中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABP 与△CAQ 中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，
∵∠APO=∠BPA，∴△APO∽△BPA，∴
，
∴AP2=OP•PB，∴AP2=OP•AQ．故③正确；
以AB 为边作等边三角形NAB，连接CN，∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，
∵∠PBA=∠QAC，∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA
=60°+∠BAQ+60°+∠QAC=120°+∠BAC=180°，
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∴点N，A，O，B 四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB 的中心M，
设CM 于圆M 交点O′，CO′即为CO 的最小值，
∵NA=NB，CA=CB，∴CN 垂直平分AB，∴∠MAD=∠ACM=30°，
∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，在Rt△MAC 中，AC=3，
∴MA=AC•tan∠ACM=
，CM=2AM=2
，∴MO′=MA=
，
即CO 的最小值为
，故④正确．综上：正确的有①③④．故选：A．
【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三
角形的性质，四点共圆，锐角三角函数，最短路径问题，综合掌握以上知识并正确的作出辅助线是解题的
关键．
3．（2024·广西·一模）如图，在等边
中，
，点
，
分别在边
，
上，且
，连
接
，
交于点
，在点D 从点B 运动到点C 的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关性质等知识．首先证明
，推出点
的运动轨迹是
为圆心，
为半径的弧上运动，连接
交
于
，当点
与
重合时，阴影部分的面积的值最小．
【详解】解：如图，
是等边三角形，
淘宝：学思创想
，
，
，
，
，
，
∴
，又
，
，
，
，
点
的运动轨迹是
为圆心，
为半径的弧上运动
，
连接
交
于
，当点
与
重合时，
的面积最大，则阴影部分的面积的值最小，
此时点
是等边
的中心，∴阴影部分的面积的最小值为
，故选：B．
4．（23-24 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在
中，
，点
在边
上，点
在边
上，连接
并延长
交
的延长线于点
，连接
，且
，过点
作
于点
交
于点
，过点
作
交
的延长线于点
，以下四个结论中：
；
；
当
时，
；
．正确的有（ ）
个．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
淘宝：学思创想
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，
证明
可知
正确；
先证明
，则
，过
作
，交
于
，证明
，可得结论；
由已知得
是等腰直角三角形，
得
，计算
，可作判断；
由
作判断，熟练掌握三角形全
等的判定是解题的关键．
【详解】
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
∴
，故
正确；
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
过
作
，交
于
，则
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
淘宝：学思创想
∴
，
∴
，故
正确；
当
时，
∵
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
由 ( ) 知：
，
∴
，
∴
，
∵
不一定是
的中点，
∴
与
不一定相等，故
不正确；
由 ( ) 知：
，
∴
，故
正确，
综上
正确，共个，
故选：
．
5．（2023·福建莆田·一模）如图，
和
都是等边三角形，将
先向右平移得到
，
再绕顶点
逆时针旋转使得点
，
分别在边
和
上．现给出以下两个结论：①仅已知
的周
长，就可求五边形
的周长；②仅已知
的面积，就可求五边形的面积．下列说法正确的是（
）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②均正确 D．①②均错误
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题
的关键．由“
”可证
，
，可得
，
，
，由线段的和差关系和面积和差关系可求解．
【详解】解：
，
，
都是等边三角形，
淘宝：学思创想
，
，
，
，
，
，
同理可证：
，
，
，
五边形
的周长
，
仅已知
的周长，就可求五边形
的周长；故①正确；
，
，
，
，
，
五边形
的面积
，
仅已知
的面积，就可求五边形
的面积．故②正确，故选：C．
6．（23-24 九年级上·北京昌平·期末）如图，
是等边三角形，D，E 分别是
，
边上的点，且
，连接
，
相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①
； ②
；③
；④若
，则
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
【答案】B
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌
握等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得
，则有
，然后可得
，进而根据三角形外角的
性质及相似三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：∵
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，故①正确；
∴
，
，
∴
，故②正确；
淘宝：学思创想
∵
，
∴
不成立，故③错误；
过点E 作
，交
于点H，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
；故④正确；
综上所述：说法正确的有①②④；
故选B．
淘宝：学思创想
7．（23-24 九年级上·四川达州·期末）如图，ΔABC是等边三角形，点
分别在边
上，且
与
相交于点
．若
，则ΔABC的边长等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先证明△ABD
△BCE，推出∠BDA=∠FDB，BE= DA=8，再证明△BDA
△FDB，利用相似三
角形的性质求得BD=CE=
，作EG⊥BC 于G，根据解直角三角形的知识即可求解
【详解】∵ΔABC是等边三角形，，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60 ，
在△ABD 和△BCE 中，
，
∴△ABD
△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，BE= DA=1+7=8，
∵∠BDA=∠FDB，
∴△BDA
△FDB，
∴
，即
，
∴BD=
，则CE=BD=
，
作EG⊥BC 于G，
淘宝：学思创想
∵∠C=60 ，
∴CG=CE
，EG=CE
，
在Rt△BEG 中，BG=
，
∴BC= BG+ CG=
，故选：C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，等边三
角形各边长相等、各内角为60°的性质．关键是利用了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质求解，
有一定的综合性．
8．（23-24 八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，过等边
的顶点A，B，C 依次作
的垂线
三条垂线围成
，已知
，则
的周长是
．
【答案】36
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形判定与性质，
所对的直角边是斜边的一半
等知识，本题中
为等边三角形，通过
证明
，得
．证明
是等边三
角形，易得
，
，即可作答．
【详解】解：∵
为等边三角形，
淘宝：学思创想
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
即
，
∵
为等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
∴
，
同理：
，
∴
为等边三角形，
∵
，
∴
，
∵
，
所以
的周长
，
故答案为：36
9．（23-24 天津九年级上期中）如图，点
分别在正三角形
的三边上，且
也是正三角形.
若
的边长为
，
的边长为
，则
的内切圆半径为 ．
【答案】
淘宝：学思创想
【分析】根据△ABC、△EFD 都是等边三角形，可证得△AEF≌△BDE≌△CDF，即可求得
AE+AF=AE+BE=a，然后根据切线长定理得到AH=
（AE+AF-EF）=
（a-b）；，再根据直角三角形的
性质即可求出△AEF 的内切圆半径．
【详解】解：如图1，⊙I 是△ABC 的内切圆，由切线长定理可得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，
∴AD=AE=
[（AB+AC）-（BD+CE）]=
[（AB+AC）-（BF+CF）]=
（AB+AC-BC），
如图2，∵△ABC，△DEF 都为正三角形，
∴AB=BC=CA，EF=FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；
在△AEF 和△CFD 中，
，∴△AEF≌△CFD（AAS）；
同理可证：△AEF≌△CFD≌△BDE；∴BE=AF，即AE+AF=AE+BE=a．
设M 是△AEF 的内心，过点M 作MH⊥AE 于H，
则根据图1 的结论得：AH=
（AE+AF-EF）=
（a-b）；
∵MA 平分∠BAC，∴∠HAM=30°；
∴HM=AH•tan30°=
（a-b）•
=
故答案为
．
【点睛】本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，切线的性质，
圆的切线长定理，根据已知得出AH 的长是解题关键．
10．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在等腰直角
中，
为
的中点，
淘宝：学思创想
为
上一点，连接
并延长，交
的延长线于点
，若
，则
的长为 ．
【答案】
【分析】过点E 作
于点G，过点F 作
于点F， 由勾股定理和等腰三角形的性质得
，
，则
和
是等腰直角三角形，得
，
，再证明
，得
，则
，然后由勾股定
理求出
的长即可．
【详解】解：如图，
过点E 作
于点G，过点F 作
于点F，
则
，
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
和
是等腰直角三角形，
∴
，
，
∵E 为
的中点，
，
∴
，
，
淘宝：学思创想
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股
定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
11．（23-24 八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，过边长为a 的等边
的边
上一点P，作
于E，Q 为
延长线上一点，当
时，连
交
边于D，则
的长为
．
【答案】
【分析】过点P 作
交
于点F，根据题意可证
是等边三角形，根据等腰三角形三线合一
证明
，根据全等三角形判定定理可证
，
，进而证明
，计算
求值即可．
【详解】解：过点P 作
交
于点F，
淘宝：学思创想
∵
，
是等边三角形，
∴
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
；
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了平行线性质、等边三角形性质与判定、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定
淘宝：学思创想
定理是解题关键．
12．（2023 浙江中考一模）如图，在等边三角形ABC 的AC，BC 边上各取一点P，Q，使AP=CQ，AQ，
BP 相交于点O．若BO=6，PO=2，则AP 的长，AO 的长分别为 ．
【答案】4，
．
【分析】先通过条件证明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP=∠CAQ，可证明△APO∽△BPA，得出
，则AP2=OP•BP，可求出AP，设OA=x，则AB=2x，在Rt△ABE 中，由AE2+BE2=AB2，
得出x 的值即可得解．
【详解】解：解：∵△ABC 是等边三角形
∴∠BAP=∠ACQ=∠ABQ=60°，AB=AC=BC，
∵在△ABP 和△ACQ 中
，
∴△ABP≌△ACQ （SAS），∴∠ABP=∠CAQ，
∵∠APO=∠BPA，∴△APO∽△BPA，
∴
，∴AP2=OP•BP，
∵BO=6，PO=2，∴BP=8，∴AP2=2×8=16，∴AP=4，
∵∠BAC=60°，∴∠BAQ+∠CAQ=60°，∴∠BAQ+∠ABP=60°，
∵∠BOQ=∠BAQ+ABP，∴∠BOQ=60°，过点B 作BE⊥OQ 于点E，∴∠OBE=30°，
淘宝：学思创想
∵OB=6，∴OE=3，BE=3
，∵
，
设OA=x，则AB=2x，在Rt△ABE 中，AE2+BE2=AB2，
∴(x+3)2+(3
)2＝(2x)2，解得：x=
或x=1-
（舍去），
∴AO=1+
．故答案为：4，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角
形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（23-24 八年级上·上海浦东新·期末）如图，在等边
的
，
上各取一点D，E，使
，
，
相交于点M，过点B 作直线
的垂线
，垂足为H．若
，则
的长为 ．
【答案】
【分析】首先用
证
，由全等三角形的性质可得
，可证
，
由含30°直角三角形的性质可得
，过点A 作
于F，结合已知条件利用直角三角形的
性质和勾股定理得出
，
，然后根据三角形的面积相等求出
，进而求出
．
【详解】解：∵
是等边三角形，
∴
，
，
在
和
中，
∴
，
∴
，
∴
，
淘宝：学思创想
∵
，
∴
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
如图，过点A 作
于F，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，以及含
的直角三
角形，解题的关键是利用等边三角形的性质，作出辅助线，灵活运用这些性质解决问题.
14．（2023·辽宁鞍山·一模）如图，在三角形
中，
，
，
，
与
相
交于点F，若
，则E 到
的距离为 ．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】证明出
是等边三角形，再结合条件证明
，得出
，接着
证明出
，得到
，利用对顶角得到
，过点
作
的
垂线，交于
于点
，在
中求解即可．
【详解】解：
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点
作
的垂线，交于
于点
，
，
淘宝：学思创想
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识
点，解题的关键是构造直角三角形进行求解．
15．（23-24 九年级下·河南商丘·阶段练习）【问题提出】
数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等边三角形
中，点
，
分别在
，
边上，
，
交于点
，且
．
（1）线段
，
的数量关系为______，
的度数为______．
【类比探究】老师继续提出问题，若改变
的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？
同学们根据老师的提问画出图形，如图2，
是等腰直角三角形，
，点
，
分别在
，
边上，
，
交于点
，同学们发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需要确定线段
，
的数量关系．
（2）请先将条件补充完整：线段
，
的数量关系为______；再根据图2 写出线段
，
的数量关
系和
的度数，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3，
是等腰直角三角形，
，若点
沿
边上一动点，点
是射线
上一动点，直线
，
交于点
，在（2）的条件下，当动点
沿
边从点
移动到点
（与点
重合）时，请直接写出运动过程中
长的最大值和最小值．
【答案】（1）
，60°；（2）
；
，
，理由见解析；（3）8，
【分析】（1）证明
，根据全等三角形的性质得出
，
，进而根据三
淘宝：学思创想
角形外角的性质即可求解；
（2）证明
，得出
，
，进而根据（1）的方法即可求解；
（3）由题意，可知点
在以
为弦．所对圆心角为90°的
上，根据题意画出图形，连接
．当点
在线段
上时，
取得最小值，当点
移动到点
时，点
与点
重合，此时
取得最大值，利用
勾股定理以及线段的和差即可求解．
【详解】解：（1）解：∵
是等边三角形
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
故答案为：
，60°．
（2）线段
，
的数量关系为：
；
，
．
理由如下：∵
是等腰直角三角形，
，
∴
，
∵
，即
．
∴
．
∴
，
，即
．
∴
．
（3）
长的最小值为
，最大值为．
由题意，可知点
在以
为弦．所对圆心角为90°的
上（
，则
，劣弧AB所
对的圆周角是
）．
如解图1 所示，
．
∵
，
∴
．
淘宝：学思创想
连接
．当点
在线段
上时，
取得最小值，
如解图1 所示，此时
．
∴
．
∴
长的最小值为
．
当点
移动到点
时，点
与点
重合，此时
取得最大值．
如解图2 所示，由（2），知
．
∴
长的最大值为8．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，
相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握综合运用以上知识是解题的关键．
16．（2023·浙江杭州·二模）如图，在等边三角形
中，点
，
分别是边
，
上的点，且
，连结
，
交于点
．(1)求证：
；(2)连接
，若
时，①求
的值；
②设
的面积为
，四边形
的面积为
，求
的值．
【答案】(1)见解析
(2)①
；②
【分析】（1）根据
可证明
；
淘宝：学思创想
（2）①证出
，即点
恰好落在以
为直径的圆上，点
也落在以
为直径的圆上，
得出
．连接
，则
，
，由直角三角形的性质可得出结论；
②证出
．过点
作
，得出
，
．则
．即
可得出答案．
【详解】（1）证明：
是等边三角形，
，
．
，
．
在
和
中，
，
；
（2）解：①由（1）知：
，
．
．
．
．
、
、
、
四点共圆．
，
，
即点
恰好落在以
为直径的圆上，点
也落在以
为直径的圆上，
，
淘宝：学思创想
．
连接
，则
，
，
．
，
．
②如图，连接
，设
．
，
．
．
，
．
．
过点
作
，
，
．
．
，
淘宝：学思创想
即
．
．
．
．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，平行线
分线段成比例定理，圆的有关性质等，熟练掌握有关的性质定理是解答此题的关键．
17．（23-24 九年级下·上海宝山·阶段练习）如图（1），已知
是等边三角形，点D、E、F 分别在边
、
、
上，且
．
(1)试说明
是等边三角形的理由．
(2)分别连接
与
相交于O 点（如图（2）），求
的大小．
(3)将
绕F 点顺时针方向旋转
得到图（3），
与
平行吗？说明理由．
【答案】(1)理由见解析
(2)
(3)
，理由见解析．
【分析】（1）由等边三角形的性质和
可证明
，根据等式的性质得
，再根据三角形的内角和定理即可求证
为正三角形；
（2）根据
为正三角形易得
，
，根据
，得到
，可证
，得到
，再根据三角形外角的性质即可求解；
（3）设顺时针旋转
后
交
于G，易证
，可得
，结合
，
得到
，
，即可证得
．
淘宝：学思创想
【详解】（1）∵
为正三角形，
∴
，
∵
，，
∴
∴
∴
，
∴
∴
为正三角形；
（2）∵
为正三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（3）
，理由如下：
设顺时针旋转
后
交
于点G，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
淘宝：学思创想
∴
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定等知识
点，相似三角形的判定方法有①两角对应相等，②两边对应成比例且夹角相等，③三边对应成比例．
18．（23-24 八年级下·辽宁沈阳·开学考试）
中
，点D 是
边中点，过点D 的直线交
边于点M，交
边的延长线于点N，且
．(1)如图①，当
时，求证：
；
(2)如图②，当
时，请直接写出线段
的数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，
添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键．
（1）过点C 作
交
于点E，证明
是等边三角形，得到
，证明
得到
，进而可得结论；
（2）过点C 作
交
于点F，同理，证明
是等腰直角三角形，得到，证明
得到
，进而可得结论．
【详解】（1）证明：过点C 作
交
于点E，如图①，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵D 是
中点，
淘宝：学思创想
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
（2）解：
，理由如下：
过点C 作
交
于点F，如图②，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∵D 是
中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
19．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，
是边长为2 的等边三角形，点D，E，F 分别在边
上运动，满足
．(1)求证：
；(2)设
的长为x，
的面积
淘宝：学思创想
为y，求y 关于x 的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述
的面积随
的增大如何变化．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当
时，
的面积随
的增大而减小，当
时，
的面积随
的增大而增
大
【分析】（1）根据等边三角形的性质结合题意可得出
，
，
，从而即可证
明
；
（2）分别过点C、F 作
，
，垂足分别为点H、G，根据锐角三角函数和三角形面积公式
可求出
；设
的长为x，则
，
，可求出
， 结合（1）可求出
，最后根据
求解即可；
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵
是边长为2 的等边三角形，
∴
，
．
∵
，
∴
，即
，
淘宝：学思创想
∴
；
（2）解：分别过点C、F 作
，
，垂足分别为点H、G，如图，
在等边
中，
，
，
∴
，
∴
．
设
的长为x，则
，
，
∴
，
∴
．
由（1）同理可证
，
∴
，
∵
的面积为y，
，
∴
；
（3）解：∵
，
∴
，该抛物线对称轴为
，∴该抛物线开口向上，
∴当
时，y 随x 的增大而减小，当
时，y 随x 的增大而增，即当
时，
的面
淘宝：学思创想
积随
的增大而减小，当
时，
的面积随
的增大而增大．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的实际应用及
其性质等知识．熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．
20．（23-24 山东八年级上期中）问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图（1），在正△ABC 中，M、N 分别是AC、AB 上的点，BM 与CN 相交于点O，若∠BON＝60°，则
BM＝CN；②如图（2），在正方形ABCD 中，M、N 分别是CD、AD 上的点，BM 与CN 相交于点O，若
∠BON＝90°，则BM＝CN．
然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图（3），在正五边形ABCDE 中，M、N 分别是CD、DE 上的
点，BM 与CN 相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．
任务要求：（1）请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索；
①在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N 分别是CD、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O，试问当∠BON
等于多少度时，结论BM＝CN 成立（不要求证明）；
②如图（4），在正五边形ABCDE 中，M、N 分别是DE、AE 上的点，BM 与CN 相交于点O，∠BON＝
108°时，试问结论BM＝CN 是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）选①或②或③，证明见详解；（2）①当
时，结论
成立；②当
淘宝：学思创想
时，
还成立，证明见详解．
【分析】（1）命题①，根据等边三角形的性质及各角之间的等量代换可得：
，然后依据全等三角
形的判定定理可得：
，再由全等三角形的性质即可证明；命题②，根据正方形的性质及各
角之间的等量代换可得：
，然后依据全等三角形的判定定理可得：
，再由全等三角
形的性质即可证明；命题③，根据正五边形的性质及各角之间的等量代换可得：
，然后依据全等
三角形的判定定理可得：
，再由全等三角形的性质即可证明；
（2）①根据（1）中三个命题的结果，得出相应规律，即可得解；
②连接BD、CE，根据全等三角形的判定定理和性质可得：
，
，
，
，利用各角之间的关系及等量代换可得：
，
，继续利用
全等三角形的判定定理和性质即可得出证明．
【详解】解：（1）如选命题①，证明：如图所示：
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
，
∴
；
如选命题②，
证明：如图所示：
淘宝：学思创想
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
，
∴
；
如选命题③，
证明：如图所示：
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
与
中，
淘宝：学思创想
，
∴
，
∴
；
（2）①根据（1）中规律可得：当
时，结论
成立；
②答：当
时，
成立．
证明：如图所示，连接BD、CE，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
．
∴
，
又∵
，
∴
，
在
和
中，
淘宝：学思创想
，
∴
，
∴
．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理和性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质，三角形内角
和定理等，理解题意，结合相应图形证明是解题关键．
21．（23-24 九年级·四川绵阳·期末）小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：
【习题回顾】：如图，在等边三角形
的
边上各取一点P，Q 使
，AQ，BP 相交于点
O，求
的度数．请你解答该习题．
【拓展延伸】：（1）如图1，在等腰
的
边上各取一点P，Q，使
，
平分
，
，
，求
的长．小明的思路：过点A 作
交
延长线于点G，证
明
，…
（2）如图2，在
的
边上各取一点P、Q，使
，
平分
，
，
，求
的数量关系，请你解答小明提出的问题．
【答案】习题回顾：
；拓展延伸（1）证明见解析；（2）
【分析】习题回顾：根据等边三角形的性质得到
，进而证明
，得到
．再由三角形外角的性质可得
；
拓展延伸（1）过点A 作
交
的延长线于点G，则
，由角平分线的定
淘宝：学思创想
义推出
，进而推出
，由此即可证明
；（2）如图2，过点P 作
于H，过点A 作
于T，设
，则
，由角平分线的性质得到
，利用等面积法求出
，则
；再利用等面积法求出
，则
，进而求出
，则
，则
．
【详解】解：习题回顾：∵
是等边三角形，∴
，
又∵
，∴
，∴
．
∵
，∴
；
拓展延伸：（1）过点A 作
交
的延长线于点G，∴
，
∵
平分
，∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∵
，∴
；
（2）如图2，过点P 作
于H，过点A 作
于T，设
，
∵
，∴
，
∵
平分
，
，
，∴
，
∵
，∴
，
淘宝：学思创想
∴
，∴
，
∴
；
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，
∴
，∴
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，三
角形内角和定理，等角对等边，平行线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题
的关键．
22．（23-24 八年级上·福建福州·阶段练习）如图：
是边长为
的等边三角形，
是
边上一动点，
由点
向点
运动（
与点
、
不重合），点
同时以点
相同的速度，由点
向
延长线方向运动
（点
不与点
重合），过点
作
于点
，连接
交
于点
．
(1)若设
的长为
，则
______，
______；
(2)当
时，求
的长；(3)点
，
在运动过程中，线段
的长是否发生变化？请说明理由．
【答案】(1)
，
(2)
(3)不变，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质及线段的和差关系即可求解；（2）易得
，由含
度角的
直角三角形的性质可得
，解之，即可求得
的长；（3）过点
作
交
延长线于
淘宝：学思创想
点
，连接
，
，可证得
，进而证得
，于是
，
，据此
可推出
，然后可证得四边形
是平行四边形，于是可得
．
【详解】（1）解：
是边长为
的等边三角形，
，
，设
，则
,
点
，
速度相同，
，
，故答案为：
，
；
（2）解：
，
，
，
，
，解得：
，
；
（3）解：线段
的长不变，理由如下：
如图，过点
作
交
延长线于点
，连接
，
，
，
，
，
，
是边长为
的等边三角形，
，
，
又
，
，
点
，
速度相同，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，即：
，
，且
，
四边形
是平行四边形，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含
度角的直角三角形，解一元一次
方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行四边形的判定与性质等
知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形和平行四边形是解题的关键．
23．（2023·河南开封·一模）教材呈现：如下为华师版八年级上册数学教材第65 页的部分类容．
淘宝：学思创想
做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个
三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗?此时，符合条件的角
形有多少种？
(1)【操作发现】如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形
__________全等．（填“一定”或“不一定”）
(2)【探究证明】已知：如图2，在
和
中，
，
，
．
求证：
．证明：在
上取一点
，使
．请补全完整证明过程：
(3)【拓展应用】在
中，
，点
在射线
上，点
在
的延长线上，且
，连接
DE，DE与
边所在的直线交于点
．过点
作
交直线
于点
，若
，
，则
_________．（直接写出答案）
【答案】(1)不一定(2)见解析(3) 或
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质（1）根据
可知两个三角形不一
定全等；（2）在
上取一点
，使
，根据
证明
，即可得到结论；（3）
分两种情况：当点
在线段AB上时，过点
作
交
的延长线于点
；当点
在
的延长线上
时，过点
作
交
的延长线于点
，分别证明
，
，进而即可求解．
【详解】（1）通过作图我们可以发现，此时(即“边边角”对应相等)的两个三角形不一定全等，
故答案是：不一定；
淘宝：学思创想
（2）证明：在
上取一点
，使
．
，
．
又
，而
，
．
，
又
．
．
（3）当点
在线段AB上时，过点
作
，
，
，
，
，
，
，
CE，
，
，
，
，
；过点
作
交
的延长线于点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点
在
的延长线上时，过点
作
交
的延长线于点
，同理可得
；
同理：
，
，
，
，
，
；故答案是：或．
24．（2023 九年级上·江苏·专题练习）已知，如图1，在等腰
中，
，点E 是射
线
上的动点，点D 是边
上的动点，且
，射线
交射线
于点F．
淘宝：学思创想
(1)求证：
；
(2)连接
，如果
是以
为腰的等腰三角形，求线段
的长；
(3)如图2，当点E 在边
上时，连接
，若
，线段
的长为 ．
【答案】(1)见解析(2)
或
或9(3)2
【分析】（1）可推出
，从而得出结论；（2）分为三种情形：当点E 在
上时，
设
，则
，根据
得出
，从而求得结果；当点E 在
的延长线
上，当
时，设
，则
，根据
得出
，进而求得结果；当
时，设
，由
得出
，求得m 的值，进一步得出结果；（3）作
，交
于点G，作
于H，作
于Q，作
于T，可得：
，
，
，从而得出比例式，设
，
则
，设
，则
，依次表示出
，根据
列出
①；可得出
，从而
，进而得出
②，由
①②求x 的值，进而得出结果．
【详解】（1）证明：
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图1，当点E 在
上时，设
，
是以
为腰的三角形，
，
，
由（1）得：
；∴
，即
，∴
，
，
淘宝：学思创想
如图2，当点E 在
的延长线上，当
时，由（1）得：
；
∴
，即
，设
，则
，
∴
，∴
，∴
，
如图3，当
时，设
，由
得，
，
，
，
综上所述：
的长为
或
或9；
（3）解：如图4，作
，交
于点G，作
于H，作
于Q，作
于T，
可得：
，
，
，∴
，
设
，则
，设
，则
，
∴
，
，
，
∴
，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∴
，
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
，由
得，
，
①，
，
，
，
，
，
，∴
，∴
②，
由①②得，
，
，故答案为：2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，
构造相似三角形．
25．（2024·陕西渭南·一模）【问题提出】（1）如图1，
，A、D 在上，B、C 在
上，
，
若
，则
的长为__________；
【问题探究】（2）如图2，已知
是等边三角形，D、E 分别为
上的点，且
，连接
．求证：
；
【问题解决】（3）如图3 是某公园一块四边形空地
，其中
，
米，
米，
，P、Q 分别在
上，且
，
是平行于
的一条绿化带，E、F 是线段
上的
两个动点（点E 在点F 的左侧），
米，M 在线段
上运动（不含端点），且保持
，管
理人员计划沿
铺设两条笔直的水管，为了节省费用，公园负责人要求这两条水管的长度之和（即
的值）最小，求这两条水管的长度之和的最小值．（绿化带、水管宽度均忽略不计）
淘宝：学思创想
【答案】（1）5（2）见解析（3）390 米
【分析】（1）首先根据条件证明四边形
是平行四边形，再根据平行四边形对边相等可得到
即可；（2）根据
证明
，进而解答即可；（3）连接
，过点D 作
于
，根据
米，
求出
米，
米，证明
，可
得
，在
上截取
米，连接
，可得四边形
是平行四边形，
，则
，根据
，可得
的最小值为
的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵
，A、D 在上，B、C 在
上，∴
，
∵
∴四边形
是平行四边形，∴
故答案为：5；
（2）证明：∵
为等边三角形，∴
，
在
与
中，
，∴
，∴
；
（3）解：连接
，过点D 作
于H，
∵
，∴
，设
，则
，
∵
米，
，∴
，
解得
（负值舍去），∴
米，
米，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
在
上截取
米，连接
，
∵
，∴四边形
是平行四边形，∴
，∴
，
∵
，∴
的最小值为
的长，∵
（米），
∴
（米），∴这两条水管的长度之和的最小值为390 米．
淘宝：学思创想
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形
的三边关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
