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第44 课时 专题强化：电场中的图像问题 电场中功能关系的综合问题
目标要求 1.掌握电场中的几种常见图像。2.掌握静电力做功的计算方法及电场中常用的功能关系。
考点一 电场中的图像问题
1.v－t 图像
当带电粒子只受静电力时，从v－t 图像上能确定粒子运动的加速度方向、大小变化情况，进而可判定粒子
运动中经过的各点的电场强度方向、电场强度大小、电势高低及电势能的变化情况。
例1 (多选)一带负电粒子仅在静电力的作用下从A 点沿直线运动到B 点，速度由v1变为v2，其速度—
时间图像如图所示，下列说法正确的是( )
A.A、B 两点的电势关系为φA>φB
B.A 点附近的等势面要比B 点附近的等势面稀疏
C.A、B 两点的电场强度大小关系为EA>EB
D.粒子从A 点到B 点的过程中，可能两次经过同一个等势面
2.φ－x 图像(电场方向与x 轴平行)
(1)电场强度的大小等于φ－x 图线的切线斜率大小，沿x 轴方向电场强度为零处，φ－x 图线存在极值，其
切线的斜率为零；
(2)在φ－x 图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向；
(3)在φ－x 图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断。
试画出下图中几种典型电场的φ－x 图像(以无穷远处电势为零)。
(1)点电荷的φ－x 图像；
(2)两等量异种点电荷连线上的φ－x 图像；
(3)两个等量正点电荷的φ－x 图像。
1
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例2 (多选)(2024·天津卷)某静电场在x 轴正半轴的电势φ 随x 变化的图像如图所示，a、b、c、d 为x
轴上四个点。一负电荷仅在静电力作用下，以一定初速度从d 点开始沿x 轴负方向运动到a 点，则该电
荷( )
A.在b 点电势能最小
B.在c 点时速度最小
C.所受静电力始终做负功
D.在a 点受静电力沿x 轴负方向
[变式] 如图甲所示的xOy 坐标系中，y 轴上固定有两个等量同种点电荷P，与原点O 的距离相同，x 轴
上各点的电势φ 随x 坐标变化的图像如图乙所示。a、b 是x 轴上两点，其电势分别为φa和φb，对应φ－
x 图线上的a'、b'两点，这两点切线斜率的绝对值相等。现将一质量为m、电荷量为q 的正点电荷M 从
a 点由静止释放，M 运动过程中仅受静电力作用，下列说法正确的是( )
A.a、b 两点电场强度相同
B.M 从a 点运动到b 点的过程中电势能先增大后减小
C.M 从a 点运动到b 点的过程中加速度大小先减小后增大再减小
D.M 先后两次经过b 点的过程，静电力的冲量大小为2√2mq(φa−φb)
3.E－x 图像
以电场强度沿x 轴方向为例：
(1)E>0 表示电场强度沿x 轴正方向，E<0 表示电场强度沿x 轴负方向。
(2)E－x 图线与x 轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低需根据电
场方向判定。
例3 (多选)电场的某条电场线是一条直线，这条电场线上依次有O、A、B、C 四个点，相邻两点间
距离均为d，以O 点为坐标原点，沿电场强度方向建立x 轴正方向，该电场线上各点电场强度E 随x 的
变化规律如图所示。一个带电荷量为＋q 的粒子，从O 点由静止释放，仅受静电力作用。则( )
2
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A.若O 点的电势为零，则A 点的电势为－E0d
2
B.粒子从O 到A 做初速度为零的匀加速直线运动
C.粒子在OA 段电势能减少量小于BC 段电势能减少量
D.粒子运动到B 点时动能为3q E0d
2
4.Ep－x 图像、Ek－x 图像
(1)Ep－x 图像
由静电力做功与电势能变化关系F 电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x 图像的切线斜率k＝Δ E p
Δ x 。
①其绝对值等于静电力大小。
②正负代表静电力的方向：若斜率为正，说明电势能增加，静电力沿x 轴正方向做负功，静电力方向沿x
轴负方向；若斜率为负，说明电势能减小，静电力沿x 轴正方向做正功，静电力方向沿x 轴正方向。
(2)Ek－x 图像
当只有静电力对带电体做功，由动能定理F 电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x 图像的切线斜率k＝Δ Ek
Δ x ，斜率表
示静电力。
例4 (多选)在甲、乙电场中，电场方向均与x 轴平行，某试探电荷－q(q>0)具有的电势能Ep沿x 方向
的变化分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是( )
A.图甲中，试探电荷在O 点受到的静电力为零
B.图甲中，电场强度沿x 轴正方向
C.图乙中，x1处的电场强度小于x2处的电场强度
D.图乙中，x1处的电势高于x2处的电势
考点二 电场中功能关系的综合问题
几种常见的功能关系：
(1)合外力做功等于动能的变化，即W 合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(动能定理)。
(2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp。
(3)静电力做功等于电势能的变化，即W 电＝Ep 电1－Ep 电2＝－ΔEp 电。
(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W 弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp 弹。
(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W 其他力＝E 机2－E 机1＝ΔE 机。
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说明：(1)动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来。
(2)能量守恒定律可以把系统中参与变化的所有能量联系起来。
若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变；若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之
和保持不变。
例5 如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧，一端固定于倾角为θ 的光滑绝缘斜面顶端的挡板上，另一
端连接绝缘带正电可视为质点的小球A，弹簧与斜面平行，小球的质量为m，电荷量为q，弹簧处于原
长时小球在O 点。在空间中加一平行于斜面向上的匀强电场，电场强度大小为E，将小球从O 点由静
止释放，小球沿斜面运动至M 点时加速度为零，重力加速度为g，则小球从O 点运动至M 点过程中，
小球的( )
A.机械能一直增加
B.机械能先增大后减小
C.位移大小为x＝mgsinθ−qE
k
D.电势能的增加量等于重力势能的减少量
例6 (多选)(2024·山东卷·10)如图所示，带电量为＋q 的小球被绝缘棒固定在O 点，右侧有固定在水
平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为＋q 的小滑块从斜面上A 点由静止释放，滑
到与小球等高的B 点时加速度为零，滑到C 点时速度为零。已知AC 间的距离为s，重力加速度大小为
g，静电力常量为k，下列说法正确的是( )
A.OB 的距离l＝√
√3k q
2
mg
B.OB 的距离l＝√
√3k q
2
3mg
C.从A 到C，静电力对小滑块做功W＝－mgs
D.AC 之间的电势差UAC＝－mgs
2q
4
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答案精析
考点一
讨论交流
(1)
(2)
(3)
例1 AC [根据速度由v1变为v2，速度减小，可知静电力对粒子做负功，电势能增加。根据带电粒子在电
场中的运动规律可知，负电荷高势低能，则φA>φB，故A 正确；电场线密集的位置等势面密集，电场强度
更大，则带电粒子受到的静电力更大，加速度大，在v－t 图像中斜率的绝对值更大，A 处斜率的绝对值大
于B 处斜率的绝对值，则电场强度的关系EA>EB，A 点附近的等势面要比B 点附近的等势面密集，故B 错
误，C 正确；粒子从A 点到B 点的过程中，速度一直减小，则静电力一直做负功，电势能一直增大，故不
可能两次经过同一个等势面，故D 错误。]
例2 BD [根据题意，由公式Ep＝φq 可知，负电荷在高电势位置的电势能较小，由题图可知，a 点的电
势最大，则在a 点电势能最小，同理可知，c 点的电势最小，则在c 点时电势能最大，电荷仅在静电力作用
下，电荷的电势能和动能之和不变，可知，电势能最大时，动能最小，则在c 点时，电荷的动能最小，即
速度最小，故A 错误，B 正确；根据沿电场线方向电势逐渐降低，结合题图可知，c 点左侧电场方向沿x
轴正方向，c 点右侧电场方向沿x 轴负方向，可知，c 点右侧负电荷受沿x 轴正方向的静电力，c 点左侧负
电荷受沿x 轴负方向的静电力，可知，在a 点受静电力沿x 轴负方向，从d 点开始沿x 轴负方向运动到a 点，
静电力先做负功后做正功，故C 错误，D 正确。]
[变式] D [根据电场强度与电势的关系E＝Δφ
Δ x ，可知φ－x 图线的斜率表示电场强度，由题知，a'、b'这
两点切线斜率的绝对值相等，说明电场强度大小相同，根据沿电场线电势降低，可知a、b 两点电场强度
方向不相同，故A 错误；若两电荷为等量的正电荷，两电荷连线的垂直平分线与y 轴的交点处的电势最高，
而由题图乙可知，两电荷连线的垂直平分线与y 轴的交点处的电势最低，则两电荷为等量的负电荷；由Ep
＝φq 知正点电荷M 从a 点运动到b 点的过程中，电势能先减小后增大，故B 错误；电荷量为q 的正点电荷
M 从a 点由静止释放，由题图乙分析知，φ－x 图线的斜率先增大后减小再增大，故M 从a 点运动到b 点的
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过程中加速度大小先增大后减小再增大，故C 错误；M 从a 经过b 点的过程，由动能定理知qUab＝1
2mvb
2
－0，设初动量为p，a→b 为正方向，则p＝mvb，解得p＝√2mq(φa−φb)，设末动量为p'，M 从b 点经过
一段距离返回b 点的过程，由对称性知p'＝－√2mq(φa−φb)，
静电力的冲量为I＝p'－p＝－2√2mq(φa−φb)，故M 先后两次经过b 点的过程，静电力的冲量大小为2
√2mq(φa−φb)，故D 正确。]
例3 AD [由于沿电场强度方向建立x 轴正方向，题图中给出的电场强度均为正值，表明O、C 两个点之
间的电场方向一直沿x 轴正方向，因a＝qE
m ，粒子从O 到A 做初速度为零、加速度变大的变加速直线运动，
故B 错误；E－x 图像中，图像与横轴所围几何图形的面积表示电势差，则有|UOA|＝E0d
2 ，沿电场线方向电
势降低，故φO>φA，解得φA＝－E0d
2 ，故A 正确；由以上分析，结合题图可知，UOA>UBC，根据W＝qU，
可知OA 段静电力做的正功大于BC 段静电力做的正功，即粒子在OA 段电势能减少量大于BC 段电势能减
少量，故C 错误；
OB 段静电力做功为WOB＝qUOB＝q(2d −d ＋2d)E0
2
＝3q E0d
2
，根据动能定理有，WOB＝EkB－0，解得EkB
＝3q E0d
2
，故D 正确。]
例4 BD [根据Ep－x 图像斜率的绝对值表示静电力的大小，题图甲中，试探电荷在O 点受到的静电力不
为零，A 错误；沿x 轴正方向，电势能增大，静电力做负功，又因试探电荷带负电，则电场强度沿x 轴正
方向，B 正确；题图乙中x1处的斜率大于x2处的斜率，即Fx1>Fx2，故Ex1>Ex2，C 错误；负电荷在电势越高
处电势能越小，故题图乙中φx1>φx2，D 正确。]
考点二
例5 C [小球沿斜面运动至M 点时加速度为零，该过程中弹力和静电力均做负功，所以小球的机械能减
小，故A、B 错误；在M 点时小球加速度为0，即mgsin θ＝Eq＋kx，位移大小x＝mgsinθ−qE
k
，故C 正
确；根据能量守恒可知，电势能、弹性势能和小球动能的增加量等于重力势能的减少量，故D 错误。]
例6 AD [由题意知小滑块在B 点处的加速度为零，则沿斜面方向根据受力分析有
mgsin 30°＝k q
2
l
2 cos 30°
解得l＝√
√3k q
2
mg
，故A 正确，B 错误；
设小滑块从A 到C 的过程，静电力对小滑块做的功为W，因为滑到C 点时速度为零，
根据动能定理有W＋mgssin 30°＝0
解得W＝－mgs
2 ，故C 错误；
6
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根据电势差与静电力做功的关系可知AC 之间的电势差UAC＝W
q ＝－mgs
2q ，故D 正确。]
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