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３ ０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§２．２ 函数的基本性质
函数的单调性与最值 学生用书Ｐ１５ ｙ １ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ － ｘ
Ａ． ＝ ｘ Ｂ． ＝ｃｏｓ Ｃ． ＝ｌｎ（ ＋１） Ｄ． ＝２
１－
１．（２０２１全国甲文，４，５分）下列函数中是增函数的为
（ ） 答案 Ｄ 选项 中 ｙ １ １ 的图象是将ｙ １
( )ｘ Ａ ， ＝ ｘ＝ ｘ ＝－ ｘ
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ２ １－ －（ －１）
Ａ． （ ）＝－ Ｂ． （ ）＝
３ 的图象向右平移 个单位得到的 故ｙ １ 在 上为增
Ｃ． ｆ （ ｘ ）＝ ｘ２ Ｄ． ｆ （ ｘ ）＝ ３ｘ １ ， ＝ １－ ｘ （－１，１）
１． 答案 Ｄ 函数 不符合题意 选项 中 ｙ ｘ在 上为增函数
， ； Ｂ ， ＝ｃｏｓ （－１，０） ，
２．（２０２０新高考
Ⅱ
，７，５分）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝ｌｇ（
ｘ２
－４
ｘ
－５）
在
（
ａ
，
在
（０，１）
上为减函数
，
不符合题意
；
选项
Ｃ
中
，
ｙ
＝ｌｎ（
ｘ
＋１）
的图
单调递增 则ａ的取值范围是 象是将ｙ ｘ的图象向左平移 个单位得到的 故ｙ ｘ
＋∞） ， （ ） ＝ｌｎ １ ， ＝ｌｎ（ ＋１）
在 上为增函数 不符合题意 选项 符合题意．
Ａ．（－∞，－１］ Ｂ．（－∞，２］ （－１，１） ， ； Ｄ
评析 本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换，
Ｃ．［２，＋∞） Ｄ．［５，＋∞）
２． 答案 Ｄ 属中档题．
３．（２０２０课标 理，９，５分）设函数ｆ ｘ ｘ ｘ 则
Ⅱ （ ）＝ｌｎ｜２ ＋１｜－ｌｎ｜２ －１｜， ３．（２０１５课标 文，１２，５分）设函数ｆ ｘ ｘ １ 则
ｆ ｘ Ⅱ （ ）＝ｌｎ（１＋｜ ｜）－ ｘ２，
（ ） （ ） １＋
( ) 使得ｆ ｘ ｆ ｘ 成立的ｘ的取值范围是
是偶函数 且在 １ 单调递增 （ ）＞（２ －１） （ ）
Ａ． ， ，＋∞ ( ) ( )
２ １ １
( ) Ａ． ，１ Ｂ． －∞， ∪（１，＋∞）
是奇函数 且在 １ １ 单调递减 ３ ３
Ｂ． ， － ， ( ) ( ) ( )
２ ２ １ １ １ １
( ) Ｃ． － ， Ｄ． －∞，－ ∪ ，＋∞
是偶函数 且在 １ 单调递增 ３ ３ ３ ３
Ｃ． ， －∞，－
２ 答案 Ａ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ １ ｆ ′ ｘ １
是奇函数 且在
(
１
)
单调递减
＞０ ，（ ）＝ｌｎ（１＋ ）－
１＋
ｘ２，∴ （ ）＝
１＋
ｘ＋
Ｄ． ， －∞，－ ｘ
２ ２ ｆ ｘ 在 上为增函数 ｆ ｘ ｆ ｘ
３． 答案 Ｄ
（１＋
ｘ２
）
２＞０，∴ （ ） （０，＋∞） ，∵ （－ ）＝ （ ），
ｆ ｘ 为偶函数 由ｆ ｘ ｆ ｘ 得ｆ ｘ ｆ ｘ
４．（２０１７浙江，１７，４分）已知ａ Ｒ 函数ｆ ｘ ｘ ４ ａ ａ在 ∴ （ ） ， （ ）＞（２ －１） （｜ ｜）＞（｜２ －１｜），
∈ ， （ ）＝ ＋ ｘ － ＋
区间 上的最大值是 则ａ的取值范围是 ． ∴ ｜
ｘ
｜＞｜２
ｘ
－１｜，
即
３
ｘ２
－４
ｘ
＋１＜０，
解得 １
＜
ｘ
＜１，
故选
Ａ
．
［１，４］ ( ] ５， ３
４． 答案 ９ ４．（２０１６浙江，７，５分）已知函数ｆ （ ｘ ） 满足 ： ｆ （ ｘ ）≥｜ ｘ ｜ 且ｆ （ ｘ ）≥
－∞， ２ ｘ ｘ Ｒ．
２ ， ∈ （ ）
以下为教师用书专用（１—７） 若ｆ ａ ｂ 则ａ ｂ 若ｆ ａ ｂ 则ａ ｂ
Ａ． （ ）≤｜ ｜， ≤ Ｂ． （ ）≤２ ， ≤
１．（ 增 ２ 的 ０１ 是 ９北京文，３，５分）下列函数中 ， 在区间 （０，＋∞） 上单调递 Ｃ． 若 答案 ｆ （ ａ ） Ｂ ≥｜ ｂ 依 ｜， 题 则 意 ａ 得 ≥ ｂ ｆ ａ Ｄ ａ ． 若ｆ （ ａ ）≥２ ｂ ， 则ａ ≥ ｂ
（ ）≥２ ，
（ ）
若ｆ ａ ｂ 则 ａ ｆ ａ ｂ ａ ｂ
Ａ． ｙ ＝ ｘ１ ２ Ｂ． ｙ ＝２ － ｘ Ｃ． ｙ ＝ｌｏｇ１ ２ ｘ Ｄ． ｙ ＝ １ ｘ 又ｙ （ ＝２ ） ｘ ≤ 是 ２ Ｒ ， 上 ２ 的 ≤ 增函 （ 数 ）≤ ，∴ ２ ａ ， ≤ ∴ ｂ ２ ．故 ≤ 选 ２ ， Ｂ ．
答案 Ａ 本题主要考查指数函数 对数函数 幂函数的单 ｘ
、 、 ５．（２０１６ 北京文，１０，５ 分）函数 ｆ ｘ ｘ 的最大
调性 考查数形结合的思想．考查的核心素养是直观想象． （ ）＝ ｘ （ ≥２）
， －１
值为 ．
Ａ
选项
，
１
＞０，
所以幂函数ｙ
＝
ｘ１ ２在
（０，＋∞）
上单调递增．
答 案
２ ２
( )ｘ
选项 指数函数ｙ － ｘ １ 在 上单调递减． 解析 解法一 ｆ ′ ｘ －１ ｘ 时 ｆ ′ ｘ 恒
Ｂ ， ＝２ ＝ （０，＋∞） ：∵ （ ）＝ ｘ ２，∴ ≥２ ， （ ）＜０
２ （ －１）
成立
Ｃ 选项 ， 因为 ０＜ １ ＜１， 所以对数函数ｙ ＝ｌｏｇ１ ２ ｘ在 （０，＋∞） 上单 ｆ ｘ ， 在 上单调递减
２ ∴ （ ） ［２，＋∞） ，
调递减． ｆ ｘ 在 上的最大值为ｆ ．
∴ （ ） ［２，＋∞） （２）＝２
Ｄ 选项 ， 反比例函数ｙ ＝ １ ｘ 在 （０，＋∞） 上单调递减． 解法二 ：∵ ｆ （ ｘ ）＝ｘ ｘ ＝ ｘ － ｘ １＋１ ＝１＋ｘ １ ，
－１ －１ －１
解题关键 熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决本
ｆ ｘ 的图象是将ｙ １ 的图象向右平移 个单位 再向上平
题的关键． ∴ （ ） ＝ ｘ １ ，
２．（２０１６北京文，４，５分）下列函数中 在区间 上为减函数
， （－１，１） 移 个单位得到的． ｙ １ 在 上单调递减
的是 １ ∵ ＝ ｘ ［２，＋∞） ，
（ ）
第二章 函数 ３ １
ｆ ｘ 在 上单调递减 故ｆ ｘ 在 上的最大值
∴ （ ） ［２，＋∞） ， （ ） ［２，＋∞） Ａ．［－２，２］ Ｂ．［－１，１］ Ｃ．［０，４］ Ｄ．［１，３］
为ｆ ． ４． 答案 Ｄ
（２）＝２
５．（２０２１新高考 ，１３，５分）已知函数ｆ ｘ ｘ３ ａ ｘ － ｘ 是偶
解法三 由题意可得 ｆ ｘ １ ． Ⅰ （ ）＝ （ ·２ －２ ）
： （ ）＝１＋ｘ 函数 则ａ ．
－１ ， ＝
５． 答案
ｘ ｘ １ １
∵ ≥２，∴ －１≥１，∴０＜ｘ ≤１， 解题指导 利用偶函数的定义，取定义域内的特殊值即可
－１
ｘ 求出ａ的值．
１ 即 ．
∴１＜１＋ｘ －１ ≤２， １＜ｘ －１ ≤２ ６．（２０２０江苏，７，５分）已知ｙ ｆ ｘ 是奇函数 当ｘ 时 ｆ ｘ
＝ （ ） ， ≥０ ， （ ）＝
故ｆ ｘ 在 上的最大值为 ．
（ ） ［２，＋∞） ２ ｘ２ ３ 则ｆ 的值是 ．
评析 本题考查函数的最值，有多种解法，属中档题． ， （－８）
６． 答案
{ｘ２ ｘ －４
６．（２０１５浙江文，１２，６ 分）已知函数 ｆ ｘ
， ≤１，
则
７．（２０１８课标
Ⅲ
文，１６，５分）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝ｌｎ（ １＋
ｘ２
－
ｘ
）＋１，
（ ）＝ ｘ ６ ｘ ｆ ａ 则ｆ ａ ．
＋ ｘ －６， ＞１， （ ）＝４， （－ ）＝
７． 答案
ｆ ｆ ｆ ｘ 的最小值是 ． －２
（ （－２））＝ ， （ ） ８．（２０１７山东文，１４，５分）已知ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的偶函数 且
（ ） ，
答案 － １ ；２ ６－６ ｆ （ ｘ ＋４）＝ ｆ （ ｘ －２） ．若当 ｘ ∈［－３，０］ 时 ， ｆ （ ｘ ） ＝ ６ － ｘ ， 则
２
ｆ ．
解析 ｆ （－２）＝（－２） ２ ＝４， ｆ （ ｆ （－２））＝ ｆ （４）＝４＋ ６ －６＝－ １ ． ８． （９ 答 １９ 案 ）＝
４ ２ ６
当ｘ ≤１ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ ｘ２ ≥０， ９．（２０１８江苏，９，５分）函数ｆ （ ｘ ） 满足ｆ （ ｘ ＋４）＝ ｆ （ ｘ ）（ ｘ ∈ Ｒ ）， 且在区
ì ｘ
当ｘ ＞１ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ ｘ ＋ ６ ｘ －６≥２ ６－６， ï ïｃｏｓ π ，０＜ ｘ ≤２，
间 上 ｆ ｘ í ２ 则 ｆ ｆ 的值为
（－２，２］ ， （ ）＝ ï （ （１５））
当且仅当ｘ 时 等号成立 ï ｘ １ ｘ
＝ ６ ， ， î ＋ ，－２＜ ≤０，
又 所以ｆ ｘ ． ２
７．（２０
２
１６
６
天
－６
津
＜０
，
，
１３，５分
（
）已
）ｍ
知
ｉｎ＝
ｆ
２
ｘ
６－
是
６
定义在Ｒ上的偶函数 且在
．
（ ） ，
区间
（－∞，０）
上单调递增．若实数ａ满足ｆ
（２
｜ ａ －１｜
）＞
ｆ
（－ ２），
则 ９． 答案
２
２
ａ的取值范围是 ．
( )
以下为教师用书专用（１—９）
答案 １
，
３ １．（２０１５北京文，３，５分）下列函数中为偶函数的是
２ ２ （ ）
解析 由题意知函数 ｆ ｘ 在 上单调递减．因为 ｙ ｘ２ ｘ ｙ ｘ２ ｘ ｙ ｘ ｙ － ｘ
（ ） （０，＋∞） Ａ． ＝ ｓｉｎ Ｂ． ＝ ｃｏｓ Ｃ． ＝｜ｌｎ ｜ Ｄ． ＝２
答案 Ｂ 中函数为奇函数 中函数为偶函数 与
ｆ ｜ ａ －１｜ ｆ ｆ ｆ 所以ｆ ｜ ａ －１｜ ｆ 所 Ａ ，Ｂ ，Ｃ Ｄ
（２ ）＞（－ ２）， （－ ２）＝ （ ２）， （２ ）＞ （ ２）， 中函数均为非奇非偶函数 故选 ．
， Ｂ
以 ｜ ａ －１｜ １ ２ 解之得 １ ａ ３ ． ２．（２０１４课标 ，理３，文５，５分）设函数ｆ ｘ ｇ ｘ 的定义域都
２ ＜２ ， ＜ ＜ Ⅰ （ ）， （ ）
２ ２ 为Ｒ 且ｆ ｘ 是奇函数 ｇ ｘ 是偶函数 则下列结论中正确的是
， （ ） ， （ ） ，
函数的奇偶性与周期性 学生用书Ｐ１５ （ ）
ｆ ｘ ｇ ｘ 是偶函数 ｆ ｘ ｇ ｘ 是奇函数
Ａ． （ ） （ ） Ｂ．｜ （ ）｜ （ ）
ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ 是奇函数 ｆ ｘ ｇ ｘ 是奇函数
１．（２０２１全国乙理，４，５分）设函数ｆ ｘ １－ 则下列函数中为 Ｃ． （ ）｜ （ ）｜ Ｄ．｜ （ ） （ ）｜
（ ）＝ ｘ， 答案 Ｃ 由题意可知 ｆ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ ｇ ｘ 对于
１＋ （－ ）＝－ （ ）， （－ ）＝ （ ），
奇函数的是 选项 ｆ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ 所以ｆ ｘ ｇ ｘ 是奇函
（ ） Ａ， （－ ）· （－ ）＝－ （ ）· （ ）， （ ） （ ）
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 数 故 项错误 对于选项 ｆ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ
Ａ． （ －１）－１ Ｂ． （ －１）＋１ Ｃ． （ ＋１）－１ Ｄ． （ ＋１）＋１ ， Ａ ； Ｂ，｜ （－ ）｜ （－ ）＝ ｜－（ ）｜ （ ）＝
１． 答案 Ｂ ｆ ｘ ｇ ｘ 所以 ｆ ｘ ｇ ｘ 是偶函数 故 项错误 对于选
｜ （ ）｜ （ ）， ｜ （ ）｜ （ ） ， Ｂ ；
２．（２０２１全国甲文，１２，５分）设ｆ ｘ 是定义域为Ｒ的奇函数 且 项 ｆ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ 所以ｆ ｘ ｇ ｘ 是奇函
（ ） ， Ｃ， （－ ）｜ （－ ）｜＝－（ ）｜ （ ）｜， （ ）｜ （ ）｜
( ) ( ) 数 故 项正确 对于选项 ｆ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ
ｆ ｘ ｆ ｘ ．若ｆ １ １ 则ｆ ５ ， Ｃ ； Ｄ，｜ （－ ） （－ ）｜＝｜－（ ） （ ）｜＝
（１＋ ）＝ （－ ） － ＝ ， ＝ （ ） ｆ ｘ ｇ ｘ 所以 ｆ ｘ ｇ ｘ 是偶函数 故 项错误 选 ．
３ ３ ３ ｜ （ ） （ ）｜， ｜ （ ） （ ）｜ ， Ｄ ， Ｃ
评析 本题考查函数奇偶性的定义及其应用，考查学生的知
５ １ １ ５
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． 识应用能力及逻辑推理论证能力，准确理解函数奇偶性的定
３ ３ ３ ３
２． 答案 Ｃ 义是解决本题的关键．
３．（２０２０新高考
Ⅰ
，８，５分）若定义在Ｒ的奇函数ｆ
（
ｘ
）
在
（－∞，
３．（２０１１课标，理２，文３，５分）下列函数中
，
既是偶函数又在
（０，
单调递减 且ｆ 则满足ｘｆ ｘ 的ｘ的取值范 单调递增的函数是
０） ， （２）＝ ０， （ －１）≥０ ＋∞） （ ）
围是 （ ） Ａ． ｙ ＝ ｘ３ Ｂ． ｙ ＝｜ ｘ ｜＋１ Ｃ． ｙ ＝－ ｘ２ ＋１ Ｄ． ｙ ＝２ －｜ ｘ ｜
Ａ．［－１，１］∪［３，＋∞） Ｂ．［－３，－１］∪［０，１］ 答案 Ｂ ｙ ＝ ｘ３ 是奇函数 ， ｙ ＝－ ｘ２ ＋１ 和ｙ ＝２ －｜ ｘ ｜在 （０，＋∞）
上都是减函数 故选 ．
Ｃ．［－１，０］∪［１，＋∞） Ｄ．［－１，０］∪［１，３］ ， Ｂ
３． 答案 Ｄ 评析 本题考查函数的奇偶性和单调性的判定，属容易题．
４．（２０１７课标 理，５，５分）函数ｆ ｘ 在 单调递减 且 ４．（２０１６山东，９，５分）已知函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ．当ｘ 时
Ⅰ （ ） （－∞，＋∞） ， （ ） ＜０ ，
为奇函数．若ｆ 则满足 ｆ ｘ 的ｘ的取值范
（１）＝－１， －１≤ （ －２）≤１ ｆ ｘ ｘ３ 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｆ ｘ 当 ｘ １ 时
围是 （ ）＝ －１； －１≤ ≤１ ， （－ ）＝ － （ ）； ＞ ，
（ ） ２
３ ２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( ) ( ) ｆ ｘ ｆ ｘ 对任意ｘ恒成立
ｆ ｘ １ ｆ ｘ １ ．则ｆ ∴ （２＋ ）＝ （２－ ） ，
＋ ＝ － （６）＝ （ ） 令ｘ 得ｆ ｆ
２ ２ ＝１， （１）＝ （３）＝３，
ｆ ｆ ．
Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．２ ∴ （－１）＝ （１）＝３
( ) ( )
答案 Ｄ 当ｘ １ 时 由ｆ ｘ １ ｆ ｘ １ 可得ｆ ｘ ８．（２０１２课标文，１６，５分）设函数ｆ ｘ （ ｘ ＋１） ２ ＋ｓｉｎ ｘ 的最大值
＞
２
， ＋
２
＝ －
２
（ ）＝ （ ）＝ ｘ２
＋１
ｆ ｘ 所以ｆ ｆ 而ｆ ｆ ｆ ３ 为Ｍ 最小值为ｍ 则Ｍ ｍ ．
（ ＋１）， （６）＝ （１）， （１）＝－（－１）， （－１）＝（－１） －１ ， ， ＋ ＝
所以ｆ ｆ 故选 ． 答案
＝－２， （６）＝ （１）＝２， Ｄ ２
５．（２０１７课标
Ⅱ
文，１４，５分）已知函数ｆ
（
ｘ
）
是定义在Ｒ上的奇函
解析 ｆ ｘ
ｘ２
＋１＋２
ｘ
＋ｓｉｎ
ｘ
２
ｘ
＋ｓｉｎ
ｘ
令 ｇ ｘ
数
，
当ｘ
∈（－∞，０）
时
，
ｆ
（
ｘ
）＝２
ｘ３
＋
ｘ２
，
则ｆ
（２）＝
． （ ）＝ ｘ２
＋１
＝ １＋ ｘ２
＋１
， （ ）＝
答案 ｘ ｘ
１２ ２ ＋ｓｉｎ 则ｇ ｘ 为奇函数 有 ｇ ｘ ｇ ｘ 故 Ｍ ｍ
解析 本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值． ｘ２ ， （ ） ， （ ）ｍａｘ＋ （ ）ｍｉｎ＝０， ＋
＋１
由题意可知ｆ ｆ ｘ 时 ｆ ｘ ｘ３ ｘ２ ．
（２）＝－（－２），∵ ∈（－∞，０） ， （ ）＝２ ＋ ， ＝２
ｆ ｆ ． ９．（２０１６四川，１４，５分）已知函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的周期为
∴ （２）＝－（－２）＝－［２×（－８）＋４］＝－（－１２）＝１２ （ ） ２
６．（２０１５课标 Ⅰ 理，１３，５分）若函数ｆ （ ｘ ）＝ ｘ ｌｎ（ ｘ ＋ ａ ＋ ｘ２ ） 为偶 的奇函数 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 则 ｆ ( ５ ) ｆ
函数 则ａ ． ， ０＜ ＜１ ， （ ）＝ ４ ， － ＋ （１）＝
， ＝ ２
答案 ．
１
答案
解析 由已知得ｆ ｘ ｆ ｘ 即 ｘ ａ ｘ２ ｘ ｘ ｘ －２
（－ ）＝ （ ）， － ｌｎ（ ＋ － ）＝ ｌｎ（ ＋ 解析 ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇函数 ｆ ｘ ｆ ｘ 又
ａ
＋
ｘ２
），
则
ｌｎ（
ｘ
＋
ａ
＋
ｘ２
）＋ｌｎ（
ａ
＋
ｘ２
－
ｘ
）＝０， ｆ ｘ 的
∵
周期
（
为
） ，∴ （ ）＝－ （－ ），
∵ （ ） ２，
ａ ｘ２ ２ ｘ２ 得 ａ ａ ． ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｘ ｆ ｘ 令
∴ ｌｎ［（ ＋ ） － ］＝０， ｌｎ ＝０，∴ ＝１ ∴ （ ＋２）＝ （ ），∴ （ ＋２）＝－（－ ）， （ ＋２）＋ （－ ）＝０，
７．（２０１４课标 文，１５，５分）偶函数ｙ ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ ( ) ( )
Ⅱ ＝ （ ） ＝ ｘ 得ｆ ｆ ｆ ．又 ｆ ５ ｆ １
对称 ｆ 则ｆ ． ＝－１， （１）＋ （１）＝ ０，∴ （１）＝ ０ ∵ － ＝ － ＝
２ ， （３）＝３， （－１）＝ ２ ２
答案 ( ) ( )
３ ｆ １ １ ２ ｆ ５ ｆ ．
解析 函数ｙ ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ 对称 － ＝－４ ＝－２，∴ － ＋（１）＝－２
∵ ＝ （ ） ＝２ ， ２ ２
学生用书Ｐ１５
1 2
考点 函数的单调性与最值 考点 函数的奇偶性与周期性
１．单调函数的定义 １．函数的奇偶性及图象特点
增函数 减函数 奇偶性 定义 图象特点
一般地 设函数ｆ ｘ 的定义域为Ｉ 区间Ｄ Ｉ 对于任意的
， （ ） ， ⊆ ， 如果对于函数ｆ ｘ 的定义域内任意
ｘ ｘ Ｄ 且ｘ ｘ （ ）
定义 １， ２∈ ， １＜ ２ 偶函数 一个ｘ 都有ｆ ｘ ｆ（ｘ） 那么函 关于 ｙ轴对称
都有 ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ） 都有 ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ） ， （－ ）＝⑩ ，
① １ ＜ ２ ② １ ＞ ２ 数ｆ ｘ 是偶函数
（ ）
ｆ ｘ 在区间Ｄ上是增函数 ｆ ｘ 在区间Ｄ上是减函数
（ ） （ ）
如果对于函数ｆ ｘ 的定义域内任意
（ ）
奇函数 一个ｘ 都有ｆ ｘ ｆ（ｘ） 那么 关于 原点对称
， （－ ）＝ － ，
图象 函数ｆ ｘ 是奇函数
（ ）
描述
２．与奇偶性有关的几个结论
自左向右看图象是 ③ 上升的 自左向右看图象是 ④ 下降的 （１） 如果ｆ （ ｘ ） 是奇函数 ， 且ｆ （０） 有意义 ， 那么一定有ｆ （０）＝ ０ ．
如果函数ｙ ｆ ｘ 在区间Ｄ上是增函数或 减函数 那么 （２） 如果ｆ （ ｘ ） 是偶函数 ， 那么ｆ （ ｘ ）＝ ｆ （｜ ｘ ｜） ．
＝ （ ） ⑤ ， 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 偶
就说函数ｙ ｆ ｘ 在这一区间具有 严格的 单调性 区间Ｄ叫做 （３） ；
函数ｙ ｆ ｘ ＝ 的 （ ） 单调区间 ． （ ） ， 函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反 ．
＝ （ ） ⑥
２．函数的最值 ３．对于函数ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
），
如果存在一个非零常数Ｔ
，
使得当ｘ取
定义域内的任何值时 都有 ｆ（ｘ Ｔ） ｆ（ｘ） 那么就称函数ｙ
前提 设函数ｙ ｆ ｘ 的定义域为Ｉ 如果存在实数Ｍ 满足 ， ＋ ＝ ， ＝
＝ （ ） ， ， ｆ ｘ 为周期函数 Ｔ为这个函数的 周期 ．
对于任意 ｘ Ｉ 都有 对于任意 ｘ Ｉ 都有 （ ） ，
（１） ∈ ， （１） ∈ ， 如果在周期函数ｆ ｘ 的所有周期中存在一个最小的正数
条件 ｆ（ｘ） Ｍ ｆ（ｘ） Ｍ （ ） ，
⑦ ≤ ； ⑧ ≥ ； 那么这个最小的正数就叫做它的 最小正周期 ．
存在ｘ Ｉ 使得ｆ ｘ Ｍ 存在ｘ Ｉ使得 ｆ（ｘ） Ｍ
（２） ０∈， （ ０）＝ （２） ０∈， ⑨ ０ ＝
结论 Ｍ是ｙ ｆ ｘ 的最大值 Ｍ是ｙ ｆ ｘ 的最小值
＝ （ ） ＝ （ ）
第二章 函数 ３ ３
学生用书Ｐ１６
一、函数单调性的判断及解决应用问题的方法 解法一 定义法 取任意的ｘ ｘ 且ｘ ｘ
（２） （ ）： １， ２∈（－∞，１）， １＜ ２，
１．判断函数单调性（单调区间）的常用方法 (ｘ ) ( )
ｆ ｘ ａ －１＋１ ａ １
定义法 先求定义域 再根据取值 作差 变形 定号的顺 （ ）＝ ｘ ＝ １＋ｘ ，
（１） ： ， 、 、 、
－１ －１
序得结论．
ｆ ｘ ｆ ｘ ａ
(
１
)
ａ
(
１
) ａ
（
ｘ
２－
ｘ
１）
图象法 若函数是以图象形式给出的 或者函数的图象 （ １）－（ ２）＝ １＋ｘ － １＋ｘ ＝ ｘ ｘ ，
（２） ： ，
１－１ ２－１ （ １－１）（ ２－１）
可作出
，
可由图象的升
、
降判断它的单调性或写出单调区间． ∵ ｘ １＜ ｘ ２＜１，∴ ｘ ２－ ｘ １＞０， ｘ １－１＜０， ｘ ２－１＜０，
（３）
复合函数法
：
根据
“
同增异减
”
判断
，
即内外层函数的单 故当ａ ＞０ 时 ， ｆ （ ｘ １）－ ｆ （ ｘ ２）＞０， 即ｆ （ ｘ １）＞ ｆ （ ｘ ２），
调性相同时
，
为增函数
，
单调性不同时为减函数． ∴ 函数ｆ （ ｘ ） 在 （－∞，１） 上单调递减．
导数法 先求导 再利用导数的正负 确定函数的单调性 解法二 性质法 ｆ ｘ ａｘ ａ ａ
（４） ： ， ， （ ）： （ ）＝ｘ ＝ ＋ｘ ，
区间 ． －１ －１
（ ）
性质法 增 增 增 减 减 减 增 减 增 减 增 函数ｙ １ 在 上单调递减
（５） ：① ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， － ＝ ， － ∵ ＝ｘ （－∞，１） ，
减 －１
＝ ； 又 ａ 函数ｆ ｘ 在 上单调递减．
已知ｆ ｘ 单调递增 若ｋ 则ｋｆ ｘ 单调递增 若ｋ 则 ∵ ＞０，∴ （ ） （－∞，１）
② （ ） ， ＞０， （ ） ； ＜０， ａ ｘ ａｘ ａ
ｋｆ ｘ 单调递减． 解法三 导数法 ｆ ′ ｘ （ －１）－
（ ） （ ）： （ ）＝ ｘ ２ ＝－ ｘ ２，
２．求函数的单调区间 （ －１） （ －１）
ｘ ２ ａ
先求定义域 再在定义域内求单调区间．单调区间不连续时 ∵ （ －１） ＞０， ＞０，
， ， ｆ ′ ｘ
要用 和 或 连接 不能用 连接． ∴ （ ）＜０，
“ ” “，” ， “∪” 故ａ 时 ｆ ｘ 在 上单调递减．
３．单调性的应用 ＞０ ， （ ） （－∞，１）
答案 Ｂ
比较大小 将自变量转化到同一个单调区间内 利用函 （１）
（１） ： ， １－１ （２０２１湖南郴州３月第三次教学质量检测，８）已知ａ
数的单调性比较大小 ＝
； π ｂ π ｃ ３ 则ａ ｂ ｃ的大小关系是
解函数型不等式 例如ｆ ｇ ｘ ｆ ｈ ｘ 利用函数的 ４ｌｎ３ ， ＝３ｌｎ４ ， ＝４ｌｎ π ， ， ， （ ）
（２） ： （ （ ））≥（ （ ））， ｃ ｂ ａ ｂ ｃ ａ ｂ ａ ｃ ａ ｂ ｃ
单调性脱去 ｆ 转化为具体的不等式 组 此时要注意ｇ ｘ 与 Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
“ ”， （ ）， （ ） １－１． 答案 Ｂ
ｈ ｘ 的取值应在外层函数的定义域内
（ ） ；
求参数值或取值范围 利用函数的单调性构建参数满足 二、函数奇偶性的判断及应用
（３） ：
的方程 组 不等式 组 ． １．函数奇偶性的判断方法
（ ）、 （ ）
４．分段函数的单调性 定义法 利用定义或定义的等价关系式ｆ ｘ ｆ ｘ
（１） ： （ ）＋ （－ ）＝０
分段函数在定义域上单调时 不但要求各段上函数的单调 奇函数 与ｆ ｘ ｆ ｘ 偶函数 ．
， （ ） （ ）－（－ ）＝０（ ）
性一致 而且要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致 即 性质法 在公共定义域内 有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇
， ， （２） ： ， “ ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，
{ｇ ｘ ｘ ｘ 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 ．
如果ｆ ｘ （ ）， ＜ ０， 若ｆ ｘ 在Ｒ上递增 则在满足ｇ ｘ 在 × ＝ ， × ＝ ， × ＝ ”
（ ）＝ ｈ ｘ ｘ ｘ （ ） ， （ ） 图象法 利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．
ｘ 上递
（
增
），
ｈ
≥
ｘ
０，
在 ｘ 上递增的同时还应满足
（
２
３
．函
）
数奇偶
：
性的应用
（－∞， ０） ， （ ） ［ ０，＋∞）
ｇ ｘ ｈ ｘ 若ｆ ｘ 在Ｒ上递减 则在满足ｇ ｘ 在 ｘ 求函数值或函数解析式 利用奇偶性将所求值或解析式
（ ０）≤ （ ０）； （ ） ， （ ） （－∞， ０） （１） ：
上递减 ｈ ｘ 在 ｘ 上递减的同时还应满足 ｇ ｘ 对应的自变量转化到已知解析式的区间 构造方程 组 ．
， （ ） ［ ０，＋∞） （ ０）≥ ， （ ）
ｈ ｘ ． 求参数 由定义或定义的等价关系式 ｆ ｘ ｆ ｘ
（ ０）
例１ （１） 已知定义在Ｒ上的函数ｆ （ ｘ ）＝２ ｜ ｘ － ｍ ｜ ＋１（ ｍ ∈ Ｒ ） 为 （ 奇函
（２
数
）
） 与ｆ （ ｘ
：
）－ ｆ （－ ｘ ）＝０（ 偶函数 ） 得到恒等
（
式 ，
）
再
＋
利
（－
用
）
系
＝
数
０
偶函数 记ａ ｆ ｂ ｆ ｃ ｆ ｍ 则ａ ｂ ｃ的大小 相等构造方程 组 ．
， ＝ （ｌｏｇ２２）， ＝ （ｌｏｇ２４）， ＝ （２ ）， ， ， （ ）
关系为 例２ 已知函数ｆ ｘ ａ ｘ ｂ３ｘ ｃｘ 若ｆ
（ ） （１） （ ）＝ ｓｉｎ ＋ ＋ ＋１， （ｌｎ ２）＝４，
( )
ａ ｂ ｃ ｃ ａ ｂ ａ ｃ ｂ ｃ ｂ ａ
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ 则ｆ １ 的值为
ａｘ ｌｎ （ ）
讨论函数ｆ ｘ ａ 在 上的单调性． ２
（２） （ ）＝ｘ （ ＞０） （－∞，１）
－１ Ａ．４ Ｂ．－１ Ｃ．－２ Ｄ．－３
解题思路 （２０１９课标 文，６，５ 分）设 ｆ ｘ 为奇函数 且当 ｘ
（２） Ⅱ （ ） ， ≥０
时 ｆ ｘ ｘ 则当ｘ 时 ｆ ｘ
先依据ｆ ｘ 为Ｒ上的偶函数得出ｍ的值 然后借助函 ， （ ）＝ｅ －１， ＜０ ， （ ）＝ （ ）
（１） （ ） ， ｘ ｘ ｘ ｘ
数的单调性比较ａ ｂ ｃ的大小． Ａ．ｅ － －１ Ｂ．ｅ － ＋１ Ｃ．－ｅ － －１ Ｄ．－ｅ － ＋１
， ， （２０１９课标 理，１４，５分）已知ｆ ｘ 是奇函数 且当ｘ
可以借助单调性的定义或导数判断函数的单调性． （３） Ⅱ （ ） ， ＜０
（ 解 ２ 析 ） 定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ ｜ ｘ － ｍ ｜ ｍ Ｒ 为 时 ， ｆ （ ｘ ）＝－ｅ ａｘ．若ｆ （ｌｎ２）＝８， 则ａ ＝ ．
（１）∵ （ ）＝２ ＋１（ ∈ ） 解题思路
偶函数 ｍ ｆ ｘ ｜ ｘ ｜ 易知当ｘ 时 ｆ ｘ 是
，∴ ＝０，∴ （ ）＝２ ＋１， ∈（－∞，０） ， （ ）
减函数 当ｘ 时 ｆ ｘ 是增函数． ａ ｆ ｆ 可先设ｇ ｘ ａ ｘ ｂ３ｘ ｃｘ 判断函数ｇ ｘ 为奇函数
； ∈（０，＋∞） ， （ ） ∵ ＝ （ｌｏｇ２２）＝ （１）， （１） （ ）＝ ｓｉｎ ＋ ＋ ， （ ） ，
ｂ ｆ ｆ ｃ ｆ ｍ ｆ ａ ｂ ｃ的大小关系为ｃ ａ 然后结合对数的运算性质求解．
＝ （ｌｏｇ２４）＝ （２）， ＝ （２ ）＝ （０），∴ ， ， ＜ ＜
ｂ 故选 ． 当ｘ 时 必有 ｘ 把 ｘ看作一个整体 就满足 当ｘ
， Ｂ （２） ＜０ ， － ＞０， － ， “
３ ４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
时 ｆ ｘ ｘ 再利用奇函数满足的关系式 ｆ ｘ 若ｆ ｘ ａ ｆ ｘ 则函数的周期为 ａ
≥０ ， （ ）＝ ｅ －１”， （－ ）＝ ② （ ＋ ）＝－（ ）， ２ ；
ｆ ｘ 即可求得ｆ ｘ 的表达式．或用特值法求解．
－（ ）， （ ） 若ｆ ｘ ａ １ 则函数的周期为 ａ
由于 不在已知解析式的区间内 应先利用奇函 ③ （ ＋ ）＝－ｆ ｘ ， ２ ；
（３） ｌｎ２＞０， ， （ ）
数定义进行转化 ，８＝ ｆ （ｌｎ２）＝－ ｆ （－ｌｎ２）＝－［－ｅ ａ （－ｌｎ２） ］， 这就构建 ④ 函数ｆ （ ｘ ） 关于直线ｘ ＝ ａ与ｘ ＝ ｂ对称 ， 那么函数ｆ （ ｘ ） 的周
出了关于ａ的方程 解之即得． 期为 ｂ ａ
， ２｜ － ｜；
解析 （１） 设ｇ （ ｘ ）＝ ａ ｓｉｎ ｘ ＋ ｂ３ｘ ＋ ｃｘ ， 则ｇ （－ ｘ ）＝ ａ ｓｉｎ（－ ｘ ）＋ ⑤ 若函数ｆ （ ｘ ） 关于点 （ ａ ，０） 对称 ， 又关于点 （ ｂ ，０） 对称 ， 则
函数ｆ ｘ 的周期是 ｂ ａ
ｂ ３ ｘ ｃ ｘ ａ ｘ ｂ３ｘ ｃｘ ａ ｘ ｂ３ｘ ｃｘ ｇ ｘ （ ） ２｜ － ｜；
－ ＋ （－ ）＝－ ｓｉｎ － － ＝－（ ｓｉｎ ＋ ＋ ）＝－ （ ）， 若函数ｆ ｘ 关于直线ｘ ａ对称 又关于点 ｂ 对称 函
故ｇ ｘ ｇ ｘ 即函数ｇ ｘ 为奇函数． ⑥ （ ） ＝ ， （ ，０） ，
（－ ）＝－ （ ）， （ ） 数ｆ ｘ 的周期是 ｂ ａ
又因为ｆ ｇ 所以ｇ ． （ ） ４｜ － ｜；
（ｌｎ２）＝ （ｌｎ２）＋１＝４， （ｌｎ２）＝３ 若函数ｆ ｘ 是偶函数 其图象关于直线ｘ ａ对称 则其
( ) ⑦ （ ） ， ＝ ，
又因为 １ 故ｆ １ ｆ ｇ 周期为 ａ
ｌｎ ＝－ｌｎ２， ｌｎ ＝ （－ｌｎ２）＝ （－ｌｎ ２）＋１＝ ２ ；
２ ( ２ ) 若函数ｆ ｘ 是奇函数 其图象关于直线ｘ ａ对称 则其
⑧ （ ） ， ＝ ，
－ ｇ （ｌｎ２）＋１＝－３＋１＝－２， 即ｆ ｌｎ １ ＝－２， 故选 Ｃ ． 周期为 ａ．
４
２
（２） 解法一 ： 当ｘ ＜０ 时 ，－ ｘ ＞０， 则ｆ （－ ｘ ）＝ｅ － ｘ －１， 又 ∵ ｆ （ ｘ ） 注意 ： 结论 ④～⑧ 可结合函数ｙ ＝ｓｉｎ ｘ的图象理解与记忆．
是奇函数 ，∴ ｆ （ ｘ ）＝－ ｆ （－ ｘ ）＝－（ｅ － ｘ －１）＝－ｅ － ｘ ＋１ ．故选 Ｄ． ２．涉及函数周期性的问题 ， 一般先确定函数的周期 ， 再根据
解法二 ：（ 特值法 ） 令ｘ ＝－１， 则ｆ （－１）＝－ ｆ （１）＝－（ｅ １ －１） 周期性及函数的其他性质 ， 将所求量由待求区间转化到已知区
结合选项知 只有 正确． 间 再利用给定解析式求解．
＝－ｅ＋１， ， Ｄ ，
（３）∵ ｌｎ２＞０，∴ －ｌｎ ２＜０，∴ ｆ （－ｌｎ ２）＝ －ｅ ａ （－ｌｎ２） ＝ －ｅ － ａ ｌｎ２．又 例３ （２０１８课标 Ⅱ ，文１２，理１１，５ 分）已知 ｆ （ ｘ ） 是定义域
ｆ （ ｘ ） 是奇函数 ，∴ ｆ （－ｌｎ２）＝－ ｆ （ｌｎ ２）＝－８， 即 ｅ － ａ ｌｎ２ ＝８，∴ － ａ ｌｎ ２ 为 （－∞，＋∞） 的奇函数 ， 满足 ｆ （１－ ｘ ）＝ ｆ （１＋ ｘ ） ．若 ｆ （１）＝ ２，
ａ ． 则ｆ ｆ ｆ ｆ
＝ｌｎ８＝３ｌｎ２，∴ ＝－３ （１）＋（２）＋（３）＋…＋（５０）＝ （ ）
答案 Ｃ Ｄ
（１） （２） （３）－３ Ａ．－５０ Ｂ．０ Ｃ．２ Ｄ．５０
２－１ 已知函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的偶函数 且当ｘ 时 解题思路
（ ） ， ≤０ ，
ｆ ｘ ｘ２ ｘ．现已画出函数ｆ ｘ 在ｘ 时的图象 如图所示． 要求 个函数值的和 逐个求出再求和显然不是好办法．注
（ ）＝ ＋２ （ ） ≤０ ， ５０ ，
画出函数 ｆ ｘ 在 ｘ 时的图象 并写出函数 ｆ ｘ 意到ｆ ｘ 是奇函数 其图象关于原点中心对称 又有ｆ ｘ
（１） （ ） ＞０ ， （ ） （ ） ， ， （１－ ）＝
ｘ Ｒ 的解析式 ｆ ｘ 即其图象关于直线ｘ 对称 故ｆ ｘ 一定是周期函数
（ ∈ ） ； （１＋ ）， ＝１ ， （ ） ，
若函数ｇ ｘ ｆ ｘ ａｘ ｘ 当ａ 时 求 宜先求出其周期 再找规律．
（２） （ ）＝ （ ）－２ ＋２（ ∈［１，２］）， ＞１ ， ，
函数ｇ ｘ 的最小值． 解析 ｆ ｘ 是定义域为 的奇函数
（ ） ∵ （ ） （－∞，＋∞） ，
ｆ ｆ ｘ ｆ ｘ
∴ （０）＝０， （－ ）＝－（ ），①
又 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
∵ （１－ ）＝ （１＋ ），∴ （－ ）＝ （２＋ ），②
由 得ｆ ｘ ｆ ｘ
①② （２＋ ）＝－（ ），③
用 ｘ代替ｘ得ｆ ｘ ｆ ｘ ．
２＋ （４＋ ）＝－（２＋ ） ④
由 得ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 的周期为 ．
③④ （ ）＝ （ ＋４），∴ （ ） ４
由于ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ
（１－ ）＝ （１＋ ）， （１）＝２，
故令ｘ 得ｆ ｆ
＝１， （０）＝ （２）＝０，
２－１． 解析 ｆ ｘ 在ｘ 时的图象如图所示． 令ｘ ＝２， 得ｆ （３）＝ ｆ （－１）＝－ ｆ （１）＝－２，
（１） （ ） ＞０
令ｘ 得ｆ ｆ ｆ
＝３， （４）＝ （－２）＝－（２）＝０，
故ｆ ｆ ｆ ｆ
（１）＋（２）＋（３）＋（４）＝２＋０－２＋０＝０，
所以ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
（１）＋（２）＋（３）＋…＋（５０）＝１２×０＋（１）＋（２）＝０＋２＋
．故选 ．
０＝２ Ｃ
答案 Ｃ
３－１ 设ｆ ｘ 是定义在 Ｒ上周期为 的奇函数 若在区间
（ ） ４ ，
{ａｘ ｂ ｘ
上 ｆ ｘ ＋ ，－２≤ ＜０，则ｆ ．
［－２，０）∪（０，２］ ， （ ）＝ ａｘ ｘ （２０２１）＝
若ｘ 则 ｘ 函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的偶函数 且当 －１，０＜ ≤２，
＞０， － ＜０，∵ （ ） ，
ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ２ ｘ ３－１． 答案 １
≤０ ， （ ）＝ ＋２ ，∴ （ ）＝ （－ ）＝（－ ） ＋２×（－ ）＝ －２ －
{ｘ２ ｘ ｘ ２
ｘ ｆ ｘ ＋２ （ ≤０）， ３－２ 已知定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ 对任意实数ｘ有ｆ ｘ
（ ＞０），∴ （ ）＝ ｘ２
－２
ｘ
（
ｘ
＞０）
．
ｆ ｘ 若函数ｆ ｘ 的图象关于
（
直
），
线ｘ 对称 ｆ
（ ＋
由 知ｇ ｘ ｘ２ ｘ ａｘ ｘ 其图象的对 ４）＝－（ ）， （ －１） ＝１ ， （－２）＝
（２） （１） （ ）＝ －２ －２ ＋２（ ∈［１，２］）， 则ｆ ．
称轴方程为ｘ
＝
ａ
＋１，
当ａ
＞１
时
，
ａ
＋１＞２，
ｇ
（
ｘ
）＝
ｘ２
－２
ｘ
－２
ａｘ
＋２
在
３
２，
－２．
（
答
２０
案
１８）＝
上单调递减 则ｇ ｘ 在 上的最小值为ｇ ａ． ２
［１，２］ ， （ ） ［１，２］ （２）＝２－４ 四、求函数最值（或值域）的几种常用方法
三、函数的周期性问题的求解策略 １．配方法 对于形如ｙ ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ 的函数 配方转化
： ＝ ＋ ＋ （ ≠０） ，
１．周期函数的几个结论 为顶点式 利用二次函数值域的求法求解．
，
周期函数ｙ ｆ ｘ 满足 ２．单调性法 增函数在区间左端点处取最小值 在区间右端
＝ （ ） ： ： ，
若ｆ ｘ ａ ｆ ｘ ａ 则函数的周期为 ａ 点处取最大值 减函数则相反 在区间左端点处取最大值 在区
① （ ＋ ）＝ （ － ）， ２ ； ； ， ，
第二章 函数 ３ ５
间右端点处取最小值 即若ｆ ｘ 在 ａ ｂ 上单调递增 则ｆ ｘ
， （ ） ［ ， ］ ， （ ）ｍｉｎ 当且仅当ｘ １６ 即ｘ 时取等号
ｆ ａ ｆ ｘ ｆ ｂ 若ｆ ｘ 在 ａ ｂ 上单调递减 则ｆ ｘ －８＝ｘ ， ＝１２ ，
＝ （ ）， （ ）ｍａｘ＝ （ ）； （ ） ［ ， ］ ， （ ）ｍｉｎ＝ －８
ｆ ｂ ｆ ｘ ｆ ａ ． 所以当ｘ ｙ 时 ｘ ｙ取得最小值
（ ）， （ ）ｍａｘ＝ （ ） ＝１２， ＝６ ， ＋ １８，
ａ 从而ｘ ｙ的取值范围为 ．
３．基本不等式法 对解析式等价变形转化为形如ｙ ｘ ｂ ＋ ［１８，＋∞）
： ＝ ＋ ｘ ＋
解法二 由 ｘ ｙ ｘｙ 得 ｘ ｙ ｘｙ 即 ２ ８
ａ 的函数 使之具备 一正 二定 三相等 的条件后用基本 ： ２ ＋８ － ＝０ ２ ＋８ ＝ ， ｙ ＋ ｘ ＝１，
（ ＞０） ， “ 、 、 ”
不等式求出最值． ( ) ｙ ｘ ｙ ｘ
故ｘ ｙ ｘ ｙ ８ ２ ８ ２ ８ ２
４．导数法 求出在给定区间上的极值 结合端点值 确定 ＋ ＝（ ＋ ） ｘ ＋ ｙ ＝８＋ ｘ ＋ ｙ ＋２＝１０＋ ｘ ＋ ｙ ≥１０＋
： ， ，
最值． ｙ ｘ
８ ２ 当且仅当ｘ ｙ时等号成立
２ ｘ · ｙ ＝１８， ＝２ ，
例４ 已知函数ｙ ｘ２ ａｘ ａ 的值域为 则
（１） ＝ ＋ ＋２ －１ ［０，＋∞）， 从而ｘ ｙ的取值范围为 ．
实数ａ的取值范围为 ＋ ［１８，＋∞）
（ ） [ ]
原问题等价于 当θ π 时 不等式ｍ θ θ
Ａ．（－∞，４－２ ３］ （３） ： ∈ ０， ， ≤２ｓｉｎ ｃｏｓ
２
Ｂ．［４＋２ ３，＋∞）
＋ｓｉｎ
θ
＋ｃｏｓ
θ
＋１
恒成立
，
[ ]
Ｃ．［４－２ ３，４＋２ ３］ 令ｙ θ θ θ θ θ π
＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＋１， ∈ ０， ，
Ｄ．（－∞，４－２ ３］∪［４＋２ ３，＋∞） ２
设ｘ ｙ 且 ｘ ｙ ｘｙ 则 ｘ ｙ 的取值范围为 即求该函数的最小值．
（２） ＞０， ＞０ ２ ＋８ － ＝０， ＋ ( )
．
令ｔ θ θ θ π
[ ] ＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ２ｓｉｎ ＋ ，
４
已知θ π 不等式 θ θ θ θ ｍ [ ] [ ]
（３） ∈ ０， ， ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＋ｃｏｓ － ＋１
２ 因为θ π 所以θ π π ３π 所以ｔ
∈ ０， ， ＋ ∈ ， ， ∈［１， ２］，
恒成立 求实数ｍ的取值范围． ２ ４ ４ ４
≥０ ， ( )
２
解析 令ｔ ｇ ｘ ｘ２ ａｘ ａ 要使函数ｙ ｔ的值域 又 θ θ ｔ２ 所以ｙ ｔ２ ｔ ｔ １ １
（１） ＝ （ ）＝ ＋ ＋２ －１， ＝ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ －１， ＝ －１＋ ＋１＝ ＋ － ，
为 则说明 ｙ ｙ ｇ ｘ 所以二次函数的判 ２ ４
［０，＋∞）， ［０，＋∞）⊆｛ ｜ ＝ （ ）｝，
别式Δ ≥０， 即ａ２ －４（２ ａ －１）≥０， 解得ａ ≥４＋２ ３ 或ａ ≤４－２ ３， 当ｔ ＝１， 即θ ＝０ 或θ ＝ π ２ 时 ， ｙ ｍｉｎ＝２， 故ｍ ≤２ ．
ａ的取值范围是 ａ ａ 或ａ ． 答案 Ｄ
∴ ｛ ｜ ≥４＋２ ３ ≤４－２ ３｝ （１） （２）［１８，＋∞）
ｘ {
解法一 由 ｘ ｙ ｘｙ 得ｙ ２ １ ｘ ｍ ｘ
（２） ： ２ ＋８ － ＝０， ＝ｘ ， ４－１ 若函数ｆ ｘ － ＋ ， ＜ｅ，的值域是
－８ （ ）＝ ２ ［ｅ－１，＋∞），
因为ｘ ｙ是正实数 所以ｘ ｘ ｘ ｘ
， ， ＞８， －ｌｎ ， ≥ｅ
ｘ ｘ 其中 是自然对数的底数 则实数ｍ的最小值是 ．
所以ｘ ｙ ｘ ２ ｘ ２（ －８）＋１６ ｘ １６ ｅ ，
＋ ＝ ＋ｘ ＝ ＋ ｘ ＝ ＋２＋ｘ
－８ －８ －８ ４－１． 答案 ３ｅ
－１
ｘ １６ ｘ １６ ２
＝（ －８）＋ｘ ＋１０≥２ （ －８）·ｘ ＋１０＝１８，
－８ －８
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ１８
{ ｘ ｘ ｘ
函数的单调性与最值 ｅ ＋ ＋１， ≥０，若对任意的ｘ ｍ ｍ 不等式 ｆ ｘ
－ ｘ ｘ ｘ ∈［ ， ＋１］， （２－ ）≥
ｅ － ＋１， ＜０，
１．（２０２１百校大联考第 ６ 次联考，５）下列函数中 在区间 ｆ ｘ ｍ 恒成立 则ｍ的最大值为
， （０， （ ＋２ ） ， （ ）
上为减函数的是
＋∞） （ ） Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２
ｙ ｘ ｙ ｘ２ ｘ ３． 答案 Ｂ
Ａ． ＝－ｓｉｎ Ｂ． ＝ －２ ＋３
Ｃ． ｙ ＝ｌｎ（ ｘ ＋１） Ｄ． ｙ ＝２０２０ －２ ｘ ４．（２０２１江苏七市第二次调研，１４）能使 “ 函数ｆ （ ｘ ）＝ ｘ ｜ ｘ －１｜ 在区
１． 答案 Ｄ 间Ｉ上不是单调函数 且在区间Ｉ上的函数值的集合为
， ［０，２］”
２．（２０２０湖南长沙明德中学３月月考）已知函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ 是真命题的一个区间Ｉ为 ．
（ ）
上的偶函数 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ３ ｘ 则 ａ ｆ ３ ２ ｂ ４． 答案 ［０，２］（ 答案不唯一 ）
， ≥０ ， （ ）＝ ＋３ ， ＝ （２ ）， ＝
( )
ｆ １ ｃ ｆ 的大小关系为 函数的奇偶性与周期性
ｌｏｇ３ ， ＝ （ ２） （ ）
２７
Ａ． ａ ＞ ｂ ＞ ｃ Ｂ． ａ ＞ ｃ ＞ ｂ Ｃ． ｂ ＞ ａ ＞ ｃ Ｄ． ｂ ＞ ｃ ＞ ａ １．（２０２０广东揭阳摸底，１３）已知偶函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｘ２ － ｘ
２． 答案 Ｃ （ ） （ ）＝ ＋２
ｘ 则ｆ ｘ 在 上
３．（２０２０ 河北邯郸空中课堂备考检测，１２） 设 ｆ ｘ （ ≤０）， （ ） （０，＋∞） （ ）
（ ） ＝
单调递增 单调递减
Ａ． Ｂ．
３ ６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
先递增后递减 先递减后递增 是ｆ ｘ 的一个周期
Ｃ． Ｄ． Ｂ．２ （ ）
１． 答案 Ａ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ３
Ｃ． ∈（１，３） ， （ ）＝（１－ ）
２．（２０２０福建龙岩质量检查）已知ｆ ｘ 为奇函数 且当ｘ 时 ｆ ｘ 的解集为 ｋ ｋ ｋ Ｚ
（ ） ， ≥０ ， Ｄ． （ ）＞０ （４ ，４ ＋２）（ ∈ ）
( ) ５． 答案 Ｄ
ｆ ｘ ｘ 则ｆ １
（ ）＝ｅ －１， ｌｎ ＝ （ ） ６．（２０２０福建高三毕业班质量检查）已知ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的
２ （ ）
偶函数 其图象关于点 对称 给出下列关于ｆ ｘ 的结论
１ １ ， （１，０） ， （ ） ：
Ａ．－ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ． ｆ ｘ 是周期函数
２ ２ ①（ ） ；
２． 答案 Ｂ ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ
②（ ） （ ）＝ （４－ ）；
３．（２０２１ 湖 南 六 校 ４ 月 联 考， ８） 定 义 函 数 Ｄ ｘ ｆ ｘ 在 上单调递减
{ ｘ为有理数 （ ） ＝ ③（ ） （０，２ ｘ ） ；
１， ， 则下列命题中正确的是 ｆ ｘ π 是满足条件的一个函数．
ｘ为无理数 （ ） ④（ ）＝ｃｏｓ
－１， ， ２
Ｄ ｘ 不是周期函数 其中正确结论的个数是
Ａ． （ ） （ ）
Ｄ ｘ 是奇函数
Ｂ． （ ） Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．１
Ｄ ｘ 的图象存在对称轴 ６． 答案 Ｂ
Ｃ． （ ）
Ｄ ｘ 是周期函数 且有最小正周期 ７．（２０２１百校大联考第６次联考，１３）已知ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的
Ｄ． （ ） ， （ ）
３． 答案 Ｃ 奇函数 当ｘ 时 ｆ ｘ ａｘ ａ 且 ａ 若 ｆ
， ＞０ ， （ ）＝ １＋ （ ＞０， ≠１）， （－１）＝
ｘ
４．（２０２１广东肇庆二模，３）已知函数ｆ ｘ ｓｉｎ 为奇函 ３ 则ａ ．
（ ）＝ ｘ ｘ ａ － ， ＝
（ ＋１）（ － ） ２
数 则ａ
， ＝ （ ） ７． 答案 １
１ １ ２
Ａ．－１ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．１ ８．（２０２０福建漳州高中毕业班第二次高考适应性测试）定义在Ｒ
２ ２
４． 答案 Ｄ 上的函数ｆ ｘ 为奇函数 ｆ 又ｇ ｘ ｆ ｘ 也是奇函
（ ） ， （１）＝１， （ ）＝ （ ＋２）
５．（２０２１山东烟台一模，７）已知ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇函数 数 则ｆ ．
（ ） ， ， （２０２１）＝
ｆ ｘ ｆ ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ３ 则 ８． 答案
（２－ ）＝ （ ）， ∈［０，１］ ， （ ）＝ ， （ ） １
ｆ
Ａ． （２０２１）＝０
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ１９ ４０分钟 ５０分
一、单项选择题（每小题５分，共３０分） ３． 答案 Ｄ
１．（２０２０百校联盟普通高中教育教学质量监测）下列函数中 既 ４．（２０２１海南天一大联考四模，８）已知定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ 满足
， （ ）
不是奇函数 也不是偶函数的是 ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｆ ｙ 且当ｘ 时 ｆ ｘ 则关于ｘ 的不等式
， （ ） （ － ）＝ （ ）－ （ ）， ＜０ ， （ ）＞０，
ｙ ｘ ｘ ｙ ｘ ｘ ｆ ｍｘ２ ｆ ｍ ｆ ｍ２ｘ ｆ ｘ 其中 ｍ 的解集为
Ａ． ＝ ｓｉｎ Ｂ． ＝ ｌｎ （ ）＋（２ ）＞（ ）＋（２ ）（ ０＜ ＜ ２） （ ）
ｘ { } { }
ｙ ｘ ｅ －１ ｙ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｍ ｘ ２ ｘ ｘ ｍ或ｘ ２
Ｃ． ＝ · ｘ Ｄ． ＝ ｌｎ（ ＋１－ ） Ａ． ＜ ＜ｍ Ｂ． ＜ ＞ｍ
ｅ ＋１
１． 答案 Ｂ { } { }
ｘ ２ ｘ ｍ ｘ ｘ ｍ或ｘ ２
２．（ 福建漳州高中毕业班第二次高考适应性测试）已知函数 Ｃ． ｍ＜ ＜ Ｄ． ＞ ＜ｍ
２０２０
ｘ ｘ ｘ ４． 答案 Ａ
ｇ ｘ （ ＋１）ｅ － ＋１ 则下列说法错误的是
（ ）＝ ｘ ， （ ） ５．（２０２１河北张家口一模，８）设ｆ ｘ 是Ｒ上的奇函数 且ｆ ｘ 在
ｅ ＋１ （ ） ， （ ）
ｇ ｘ 的定义域是Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ
Ａ． （ ） 上是减函数 又ｆ 则不等式 （ ＋４）－（－ －４）
ｇ ｘ 是偶函数
（－∞，０） ， （－４）＝０， ｘ
Ｂ． （ ） 的解集是
ｇ ｘ 在 上单调递减 ＞０ （ ）
Ｃ． （ ） （０，＋∞）
ｇ ｘ 的最小值为 Ａ．（０，４） Ｂ．（－８，－４）
Ｄ． （ ） １
２． 答案 Ｃ Ｃ．（－４，０）∪（０，４） Ｄ．（－８，－４）∪（０，４）
５． 答案 Ｂ
３．（２０２１河北衡水中学全国第二次联考，８）已知奇函数ｆ ｘ 的
（ ） ６．（２０２１山东德州二模，８）已知定义在 上的
定义域为Ｒ 且满足ｆ ｘ ｆ ｘ 以下关于函数 ｆ ｘ 的 （－∞，０）∪（０，＋∞）
， （２＋ ）＝ （２－ ）， （ ） 奇函数ｆ ｘ 在 上单调递增 且满足ｆ 则关
说法 （ ） （－∞，０） ， （－１）＝－２，
：
ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 于ｘ的不等式ｆ ｘ ２ ｘ的解集为
①（ ） （８－ ）＋（ ）＝０ （ ）＜ ｘ ＋ｓｉｎ π （ ）
为ｆ ｘ 的一个周期
②８ （ ）
ｘ Ａ．（－∞，－１）∪（１，＋∞） Ｂ．（－１，０）∪（１，＋∞）
ｆ ｘ π 是满足条件的一个函数
③（ ）＝ｓｉｎ Ｃ．（－∞，－１）∪（０，１） Ｄ．（－１，０）∪（０，１）
４ ６． 答案 Ｃ
ｆ ｘ 有无数个零点
④（ ）
其中正确说法的个数为 二、多项选择题（每小题５分，共１０分）
（ ）
７．（２０２１广东珠海一模，１２）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ
Ａ．１ Ｂ．２ （ ）＝３｜ｓｉｎ ｜＋４｜ｃｏｓ ｜，
则
Ｃ．３ Ｄ．４ （ ）
第二章 函数 ３ ７
是函数ｆ ｘ 的一个周期
Ａ．－π （ ） 三、填空题（每小题５分，共１０分）
ｋ
直线ｘ π ｋ Ｚ 为函数ｆ ｘ 图象的对称轴 ９．（２０２１ 上海黄浦二模，１２） 已知 ａ Ｒ 函数 ｆ ｘ
Ｂ． ＝ （ ∈ ） （ ） ∈ ， （ ） ＝
２ { ｘ ａ ｘ ｘ
函数ｆ ｘ 的最大值是 ｜ ＋ ｜＋｜ －２｜， ≥０，
Ｃ． （ ） ５ 的最小值为 ａ 则由满足条件的ａ的值
ｆ ｘ 在 上有三个解 ｘ２ ａｘ １ ａ ｘ ２ ，
Ｄ． （ ）＝４ ［０，π］ － ＋ ＋１， ＜０
７． 答案 ＡＢＣ ２
组成的集合是 ．
８．（２０２０福建泉州毕业班适应性线上测试）已知ｆ ｘ 是定义在Ｒ
（ ） ９． 答案
上的奇函数 ｆ ｘ ｆ ｘ 若ｆ 则 ｛－３－ １３｝
， （１＋ ）＝ （１－ ）， （１）＝１， （ ） １０．（２０２１上海普陀二模，１１）设 Ｍ ｘ ｙ 是直线 ｘ ｙ 上的动
ｆ ｘ 是周期函数 （ ， ） ＋ ＝３
Ａ． （ ）
Ｂ． 当ｎ为偶数时 ， ｆ （ ｎ ）＝０ 点 ， 若 １≤ ｘ ≤２， 则 ｘ ＋ １ ｙ － ｙ ＋ １ ｘ 的最大值为 ．
ｆ ２ｆ ２ｆ ２ｆ
Ｃ． （１）＋２ （２）＋３ （３）＋…＋６ （６）＝１６
Ｄ．
ｆ
（１）＋２
２ｆ
（２）＋３
２ｆ
（３）＋…＋（４
ｎ
＋２）
２ｆ
（４
ｎ
＋２）＝８
ｎ２
＋８
ｎ
＋１ １０． 答案 ６
８． 答案 ＡＢＤ ３－
２
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 ｆ ． ｆ ． ｆ ｆ ．故选 ．
（ｌｏｇ０ ． ５２５），∴ （ｌｏｇ０ ． ５２５）＜（ｌｏｇ２７）＜（１） Ｂ
１．（２０２１陕西渭南一模，４）已知函数ｆ （ ｘ ）＝３ － ｘ ＋ ａ ·３ ｘ 是奇函数 ， ４．（２０２１河南十所名校阶段检测，５）已知函数ｆ ｘ １ １ ａ
则ｆ （ ）＝ａｘ － （
（２）＝ （ ） ＋１ ２
且ａ 则ｆ ｘ 是
８２ ８２ ８０ ８０ ＞０， ≠１）， （ ） （ ）
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ ( )
９ ９ ９ ９ 偶函数 值域为 １
答案 Ｄ 因为ｆ ｘ 是奇函数 所以ｆ ｘ ｆ ｘ 即 ｘ ａ Ａ． ， ０，
（ ） ， （－ ）＝－ （ ）， ３ ＋ ２
( )
－ ｘ － ｘ ａ ｘ 解得ａ 则ｆ －２ ２ ８０． 非奇非偶函数 值域为 １ １
·３ ＝－（３ ＋ ·３ ）， ＝－１， （２）＝３ －３ ＝－ Ｂ． ， － ，
９ ２ ２
一题多解 由题意得ｆ（ ） ａ· ， ａ ，经检验符 ( )
０ ＝１＋ １＝０ ∴ ＝－１ 奇函数 值域为 １ １
Ｃ． ， － ，
合题意， ∴ ｆ（ｘ） ＝３ － ｘ －３ ｘ，则ｆ（ ２ ） ＝３ －２ －３ ２ ＝－ ８０，故选 Ｄ ． ( ２ ) ２
９ 奇函数 值域为 １
２．（２０２１宁夏银川重点高中第一次模拟，６）已知ｇ ｘ 是定义在 Ｄ． ， ０，
（ ） ２
Ｒ上的奇函数
，
ｆ
（
ｘ
）＝
ｇ
（
ｘ
）＋
ｘ２
，
若ｆ
（
ａ
）＝２，
ｆ
（－
ａ
）＝２
ａ
＋２，
则
答案 Ｃ 由题意可知函数的定义域为Ｒ．ｆ ｘ １ １－
ａｘ
ａ的值为 （ ）＝ · ａｘ，
（ ） ２ １＋
ａ－ ｘ ａｘ
Ａ．２ Ｂ．－１ ｆ ｘ １ １－ １ －１ ｆ ｘ 所以ｆ ｘ 是奇函数 因
或 或 （－ ）＝ · ａ－ ｘ＝ ·ａｘ ＝－（ ）， （ ） ，
Ｃ．２ －１ Ｄ．２ １ ２ １＋ ２ ＋１
答案 Ｃ ｇ ｘ 是奇函数 ｇ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｆ
∵ （ ） ，∴ （ ）＋ （－ ）＝ ０，∴ （ ）＋ 为ａｘ 所以ａｘ １ １ １ １ １ ．故选 ．
（－
ｘ
）＝２
ｘ２
，∵
ｆ
（
ａ
）＝２，
ｆ
（－
ａ
）＝２
ａ
＋２，∴ ４＋２
ａ
＝２
ａ２
，
解得ａ
＝２
＞０， ＋１＞１，０＜ａｘ
＋１
＜１，－
２
＜
１＋
ａｘ－
２
＜
２
Ｃ
或 故选 ５．（２０２１山西孝义２月月考，５）已知ｆ ｘ 是定义域为Ｒ的奇函
－１， Ｃ． （ ）
( ) ｜ ｘ －１｜ 数 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 若ｆ ｘ 则ｘ 的取值范围是
３．（２０２１江西重点中学协作体联考，７）已知ｆ ｘ ３ 则 ， ≥０ ， （ ）＝２ －１， （ ０）＞－１， ０
（ ）＝ ，
５ （ ）
下列不等关系正确的是
（ ） Ａ．（－２，＋∞） Ｂ．（－∞，－２） Ｃ．（－１，＋∞） Ｄ．（－∞，－１）
Ａ． ｆ （ｌｏｇ２７）＜ ｆ （ｌｏｇ０ ． ５２ ． ５）＜ ｆ （１） 答案 Ｃ 由题意 ， 得ｆ （ ｘ ） 在 ［０，＋∞） 上是增函数 ， 因为 ｆ
Ｂ． ｆ （ｌｏｇ０ ． ５２ ． ５）＜ ｆ （ｌｏｇ２７）＜ ｆ （１） （ ｘ ） 是奇函数 ， 所以 ｆ （ ｘ ） 在 Ｒ 上是增函数 ， 又 ｆ （１）＝ １， 则
Ｃ Ｄ ． ． ｆ ｆ 答 （ （ １ １ 案 ） ） ＜ ＜ ｆ ｆ （ （ Ｂ ｌ ｌ ｏ ｏ ｇ ｇ ０ ２ 画 ． ７ ５２ ） 出 ． ＜ ５ 函 ） ｆ （ ＜ 数 ｌｏ ｆ （ ｇ ｌ ０ ｆ ｏ ． ５ ｇ ２ ｘ ２ ． ７ ５ ） ） ( ３ ) ｜ ｘ －１｜ 的大致图象 如图所示 ６． ｆ 值 （ （ ２ － 范 ０ １ ２ 围 ） １ ＝ 河 是 － 南 （ ｆ （ － 新 １ １ ） ， 乡 ＝ ＋ － 第 ∞ １ 二 ） ， 所 ， 次 故 以 模 选 ｆ 拟 （ Ｃ ｘ ． ， ０ ９ ） ） ＞ 已 ｆ （－ 知 １） ｙ ， ＝ 所 ｆ （ 以 ｘ ） ｘ 的 ０＞ 图 －１ 象 ， 即 关 ｘ 于 ０ 坐 的取 标
（ ）＝ ， ：
５ 原点对称 且对任意的ｘ Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ 恒成立 当 ｘ
， ∈ ， （ ＋２）＝ （－ ） ， －１≤
时 ｆ ｘ ｘ 则ｆ
＜０ ， （ ）＝２ ， （２０２１）＝ （ ）
１ １
Ａ．－１ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．１
２ ２
答案 Ｂ 由题意得ｙ ｆ ｘ 是Ｒ上的奇函数 因为ｆ ｘ
＝ （ ） ， （ ＋２）
ｆ ｘ 所以ｆ ｘ ｆ ｘ 所以ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
＝ （－ ）， （ ＋２）＝－（ ）， （ ＋４）＝－ （ ＋２）＝ （ ），
即函数ｙ ｆ ｘ 的周期为 故ｆ ｆ ｆ
＝ （ ） ４， （２０２１）＝ （４×５０５＋１）＝ （１）＝
函数ｆ ｘ 的图象关于直线 ｘ 对称 由函数 ｆ ｘ 的图象可
（ ） ＝１ ， （ ） ｆ －１ １ ．
－（－１）＝－２ ＝－
知 ｆ 是最大值 ７ ２
， （１） ，∵ ｜ｌｏｇ２７－１｜＝｜ｌｏｇ２７－ｌｏｇ２２｜＝ｌｏｇ２ ＜２，｜ ７．（２０２１山西晋中二模，８）定义在 上的函数ｆ ｘ 满足ｆ
２ （－１，１） （ ）
． ． ． ｆ ｘ ｇ ｘ ｇ ｘ 对任意的ｘ ｘ ｘ ｘ 恒有
ｌｏｇ０ ． ５２５－１｜ ＝ ｜ｌｏｇ０ ． ５２ ５－ｌｏｇ０ ． ５０ ５｜ ＝ｌｏｇ２５＞２，∴ （ｌｏｇ２７）＞ （ ）＝ （ ）－ （－ ）＋２， １， ２∈（－１，１）， １≠ ２，
３ ８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ 则关于ｘ的不等式ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
［ （ １）－（ ２）］（ １－ ２）＞０， （３ ＋１）＋（ ）＞ ｂ ｆ （－１） （１） ｃ （－２） （－２） （２） ａ
的解集为 ＝－ （－１）＝ ＝ ， ＝－ ＝ ＝ ， ＝
４ （ ） －１ １ ２ －２ ２
( ) ( ) ( ) ( ) ｆ
１ １ １ ２ （３） 所以ａ ｃ ｂ 故选 ．
Ａ． － ，＋∞ Ｂ． － ，０ Ｃ． －∞，－ Ｄ． － ，０ ， ＜ ＜ ， Ｄ
４ ４ ４ ３ ３
答案 Ｂ 设ｈ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ ｇ ｘ 则ｈ ｘ 为奇函 思路分析 如果对任意两个不相等的正数 ｘ ，ｘ ，都有
（ ）＝ （ ）－２＝ （ ）－ （－ ）， （ ） １ ２
数 根据题意可得ｈ ｘ 在 上为增函数 所以不等式 ｆ ｘ ｆ（ｘ ） ｘ ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ）
， （ ） （－１，１） ， ２ １ － １ ２ 判断 在（ ， ）上单调递减，再证明
ｘ ｆ ｘ 等价于ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｈ ｘ ｘ ｘ ＜０ ｘ ０ ＋∞
（３ ＋１）＋（ ）＞４ （３ ＋１）－２＋ （ ）－２＞０， （３ ＋１）＋ １－ ２
{ ｘ ｆ（ｘ）
－１＜３ ＋１＜１， 是（ ， ） （ ， ）上的偶函数，根据单调性判断
ｈ ｘ 亦即ｈ ｘ ｈ ｘ ｈ ｘ 可得 ｘ 解 ｘ －∞ ０ ∪ ０ ＋∞
（ ）＞０， （３ ＋１）＞－ （ ）＝ （－ ）， －１＜－ ＜１，
ｘ ｘ
即可．
３ ＋１＞－ ，
二、多项选择题
得 １ ｘ 故选 ．
－ ＜ ＜０， Ｂ
４ １１．（２０２１届山东潍坊四中检测，１２）德国著名数学家狄利克雷在
８．（２０２１安徽安庆重点高中月考，３）设函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ上
（ ） 数学领域成就显著 是解析数论的创始人之一 以其名字命
， ，
的奇函数 ， 在区间 ［－１，０） 上单调递增 ， 且ｆ （ ｘ ＋２）＝－ ｆ （ ｘ ）， 则有 { ｘ为有理数
名的函数ｆ ｘ １， ，称为狄利克雷函数 则关于
（ ） （ ）＝ ｘ为无理数 ，
( ) ( ) ( ) ( ) ０，
ｆ ｘ 下列说法正确的是
ｆ １ ｆ ３ ｆ ｆ ｆ ３ ｆ １
（ ）， （ ）
Ａ． ＜ ＜（１） Ｂ． （１）＜ ＜
３ ２ ２ ３ ｘ Ｒ ｆ ｆ ｘ
( ) ( ) ( ) ( ) Ａ．∀ ∈ ，（ （ ））＝１
ｆ ｆ １ ｆ ３ ｆ ３ ｆ ｆ １ 函数ｆ ｘ 是偶函数
Ｃ． （１）＜ ＜ Ｄ． ＜（１）＜ Ｂ． （ ）
３ ２ ２ ３ 对任意一个非零有理数Ｔ ｆ ｘ Ｔ ｆ ｘ 对任意ｘ Ｒ恒成立
( ) Ｃ． ，（ ＋ ）＝ （ ） ∈
答案 Ａ 因为ｆ ｘ 为奇函数 所以ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ １ 存在三个点Ａ ｘ ｆ ｘ Ｂ ｘ ｆ ｘ Ｃ ｘ ｆ ｘ 使
（ ） ， （－ ）＝－ （ ）， Ｄ． （ １， （ １））， （ ２， （ ２））， （ ３， （ ３）），
３ 得 ＡＢＣ为等边三角形
( ) ( ) △
ｆ １ ｆ ｆ 又ｆ ｘ ｆ ｘ 所以 ｆ ３ ｆ 答案 ＡＢＣＤ ｘ Ｒ ｆ ｘ
＝－ － ， （１）＝－（－１）， （ ＋２）＝－（ ）， ＝ ∀ ∈ ，（ ）∈｛０，１｝，
３ ２ ｆ ｆ ｘ 正确
( ) ( ) ∴ （ （ ））＝１，Ａ ；
１ ｆ １ ．又 １ １ 且函数ｆ ｘ 在区间 { ｘ为有理数
－ ＋２ ＝－ － －１＜－ ＜－ ＜０， （ ） ｆ ｘ 的定义域为Ｒ ｆ ｘ １，－ ，
２ ２ ２ ３ （ ） ，（－ ）＝ ｘ为无理数
( ) ( ) ０，－
上单调递增 所以ｆ ｆ １ ｆ １ 所以 ｆ { ｘ为有理数
［－１，０） ， （－１）＜ － ＜ － ， － （－ １， ， ｆ ｘ 故ｆ ｘ 为偶函数 正确
２ ３ ＝ ｘ为无理数 ＝ （ ）， （ ） ，Ｂ ；
( ) ( ) ( ) ( ) ０，
ｆ １ ｆ １ 所以ｆ ｆ ３ ｆ １ 故选 ． { ｘ Ｔ为有理数
１）＞－ － ＞－ － ， （１）＞ ＞ ， Ａ 对任意非零有理数Ｔ ｆ ｘ Ｔ １， ＋ ，
２ ３ ２ ３ ，（ ＋ ）＝ ｘ Ｔ为无理数
解题关键 本题利用周期和奇偶性把自变量转化到同一单 ０， ＋
{ ｘ为有理数
调区间比较大小是解题的关键． １， ， ｆ ｘ 正确
＝ ｘ为无理数 ＝ （ ），Ｃ ；
９．（２０２１安徽皖南八校第二次联考，１０）设正实数ａ ， ｂ ， ｃ满足 ｅ ２ ａ ０， æ ö æ ö
ｂ ｂ ｃ ｃ 则ａ ｂ ｃ的大小关系为 易知Ａç ３ ÷ Ｂ Ｃç ３ ÷三点构成等边三角形
＝ ｌｎ ＝ ｅ ＝２， ， ， （ ） è ，０ø， （０，１）， è－ ，０ø ，Ｄ
ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ｃ ａ ｂ ｂ ａ ｃ ３ ３
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ 正确．故选 ．
答案 Ｂ 设ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ 易得ｆ ｘ 在 上单调 ＡＢＣＤ
（ ）＝ ｅ（ ＞０）， （ ） （０，＋∞） １２．（２０２１届江苏扬州期中检测，１１）已知函数ｙ ｆ ｘ 的定义域
＝ （ ）
( ) æ ö 为Ｒ ｆ ｘ 为奇函数 且ｆ ｘ ｆ ｘ 则
递增 ｘ １ 时 ｆ ｘ ç ｅ ÷ 而 ｅ 所以 ｃ ，（ ＋１） ， （２＋ ）＝ （２－ ）， （ ）
， ∈ ，１ ， （ ）∈è ，ｅø， ＜２， ∈ ｆ
２ ２ ２ Ａ． （１）＝０
( )
ｆ ｘ ｆ ｘ
１ ｂ ｂ ｂ ｌｎ ｂ ｃ ｃ 故 ｂ ｃ 即ｂ ｃ Ｂ． （ ）＝ （ ＋４）
，１ ， ｌｎ ＝ｌｎ ·ｅ ＝ ｅ ， ｌｎ ＝ ， ＝ｅ ∈（ ｅ，ｅ）， ｆ ｘ ｆ ｘ
２ Ｃ． （ ＋１）＝－（－ －１）
ｙ ｆ ｘ 在区间 上至少有 个零点
而ａ ｌｎ２ １ 所以ａ ｃ ｂ． Ｄ． ＝ （ ） ［０，５０］ ２５
＝ ＜ ， ＜ ＜ 答案 ＡＢＤ 因为ｆ ｘ 为奇函数 所以ｆ ｘ 的图象关
２ ２ （ ＋１） ， （ ）
１０．（２０２１江西五市九校协作体联考，９）已知函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ 于点 对称 且 ｆ ．又因为ｆ ｘ ｆ ｘ 所以
（ ） （１，０） ， （１）＝ ０ （２＋ ）＝ （２－ ），
上的奇函数 对任意两个不相等的正数 ｘ ｘ 都有 ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ 对称 故ｆ ｘ 的周期是 即ｆ ｘ
， １， ２， （ ） ＝２ ， （ ） ４， （ ）
ｘ ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｆ ｆ ｘ 且ｆ ｆ ｆ ｆ 即ｆ ｘ 在区
２ （ １）－ １ （ ２） 记ａ （３） ｂ ｆ ｃ （－２） 则 ＝ （ ＋４）， （１）＝ （３）＝ （５）＝…＝ （４９）＝ ０， （ ）
ｘ ｘ ＜０， ＝ ， ＝ （１）， ＝－ ， （ ） 间 上至少有 个零点．
１－ ２ ３ ２ ［０，５０］ ２５
ｂ ｃ ａ ａ ｂ ｃ ｃ ｂ ａ ａ ｃ ｂ １３．（２０２０山东夏季高考模拟，１２）函数 ｆ ｘ 的定义域为 Ｒ 且
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ （ ） ，
答案 Ｄ 不妨设 ｘ ｘ 则ｘ ｘ ｆ ｘ 与ｆ ｘ 都为奇函数 则
０＜ １＜ ２， １－ ２＜０， （ ＋１） （ ＋２） ， （ ）
ｘ ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 为奇函数 ｆ ｘ 为周期函数
因为 ２ （ １）－ １ （ ２） 所以ｘ ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ Ａ． （ ） Ｂ． （ ）
ｘ ｘ ＜０， ２ （ １）－ １ （ ２）＞０， ｆ ｘ 为奇函数 ｆ ｘ 为偶函数
１－ ２ Ｃ． （ ＋３） Ｄ． （ ＋４）
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 答案 ＡＢＣ 本题主要考查函数的奇偶性 周期性 考查
即（ １） （ ２） 则（ ）在 上单调递减 因为ｆ ｘ 是 ， ，
ｘ ＞ ｘ ， ｘ （０，＋∞） ， （ ） 逻辑推理的核心素养．
１ ２
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 为奇函数 ｆ ｘ ｆ ｘ
定义在Ｒ上的奇函数 所以（－ ） －（ ） （ ） 所以 （ ）是 ∵ （ ＋１） ，∴ （－ ＋１）＝－（ ＋１），
， ｘ ＝ ｘ ＝ ｘ ， ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
－ － ∴ （－ ）＝－（ ＋２），
上的偶函数 又 ｆ ｘ 为奇函数 ｆ ｘ ｆ ｘ
（－∞，０）∪（０，＋∞） ， ∵ （ ＋２） ，∴ （－ ＋２）＝－（ ＋２），
第二章 函数 ３ ９
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 上单调递增 且满足 ｆ ｘ ｆ ｘ 不等式ｆ ｘ ｔ ｆ ｘ
∴ （－ ）＝－（ ＋４），∴ －（ ＋２）＝－（ ＋４）， ， ２（ ）＝ （ ２ ），∵ （ ＋）≥２（ ）
ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｘ ｆ ｘ
∴ （ ＋２）＝ （ ＋４）， （ ＋２）＝ （ ）， ｆ ｘ 在 ｔ ｔ 上恒成立 ｘ ｔ ｘ在 ｔ ｔ 上恒成
ｆ ｘ 是周期为 的奇函数 ｆ ｘ 是奇函数． ＝ （ ２ ） ［ ，＋２］ ，∴ ＋ ≥ ２ ［ ， ＋２］
∴ （ ） ２ ，∴ （ ＋４） 立 即ｘ ｔ在 ｔ ｔ 上恒成立 ｔ ｔ 解
由于ｆ ｘ 的周期为 且ｆ ｘ 是奇函数 ， ≤（１＋ ２） ［ ，＋２］ ，∴ ＋２≤（１＋ ２） ，
（ ） ２， （ ＋１） ， 得ｔ 故答案为 ．
ｆ ｘ ｆ ｘ 是奇函数 故 均正确． ≥ ２， ［ ２，＋∞）
∴ （ ＋３）＝ （ ＋１） ， Ａ，Ｂ，Ｃ １７．（２０２１山西吕梁一模，２０）已知定义域为 Ｒ 的函数 ｆ ｘ
三、填空题 （ ）＝
ｘ ｂ
－２ ＋ 是奇函数．
１４．（２０２１八省联考，１４）写出一个最小正周期为 ２ 的奇函数 ｆ ２ ｘ ＋１ ＋ ａ
ｘ ． 求ａ ｂ的值
（ ）＝ （１） 、 ；
答案
ｓｉｎ π
ｘ
（
答案不唯一
） （２）
若对于任意的ｔ
∈
Ｒ
，
不等式ｆ
（
ｔ２
－４
ｔ
）＋
ｆ
（３
ｔ２
－
ｋ
）≤０
恒成
解析 由最小正周期为 可考虑三角函数中的正弦型函 立 求ｋ的取值范围．
２， ，
数ｆ ｘ Ａ ωｘ Ａ 满足ｆ ｘ Ａ ωｘ ｆ ｘ 即是 ｘ ｂ
（ ）＝ ｓｉｎ （ ≠０）， （－ ）＝－ ｓｉｎ ＝－（ ）， 解析 定义域为Ｒ的函数ｆ ｘ －２ ＋ 是奇函数
奇函数 根据最小正周期Ｔ ２π 可得ω ．故函数可以是 （１）∵ （ ）＝ ２ ｘ ＋１ ＋ ａ ，
； ＝ ω ＝２， ＝π ｆ 解得ｂ ．
∴ （０）＝０， ＝１
ｆ ｘ Ａ ｘ Ａ 中任一个 可取 ｆ ｘ ｘ 答案不
（ ）＝ ｓｉｎ π （ ≠０） ， （ ）＝ｓｉｎ π （ 又 ｆ ｆ －２ －１ ＋１ ２－１ ａ ．
唯一 ． ∵ （－１）＝－（１），∴ ａ ＝ ａ，∴ ＝２
） １＋ ４＋
１５．（２０２１北京朝阳二模，１４）已知函数ｆ ｘ ｘ ｇ ｘ ｘ ａ ｘ
（ ）＝３ ， （ ）＝ ｜ ＋ ｜－２ 由 知ｆ ｘ －２ ＋１．任取ｘ ｘ Ｒ且ｘ ｘ 则
（ ａ ∈ Ｒ ） ．若函数ｙ ＝ ｆ （ ｇ （ ｘ ）） 是偶函数 ， 则ａ ＝ ； 若函 （２） （１） （ ）＝ ２ ｘ ＋１ ＋２ １， ２∈ １＜ ２，
数ｙ ｇ ｆ ｘ 存在两个零点 则ａ的一个取值是 ． ｘ ｘ
＝ （ （ ）） ， ｆ ｘ ｆ ｘ －２ １＋１ －２ ２＋１
答案 ０；－３（ 第二空答案不唯一 ） （ １）－（ ２）＝ ２ ｘ １＋１ ＋２ － ２ ｘ ２＋１ ＋２
解析 因为ｆ （ ｘ ） 是定义在Ｒ上的非奇非偶函数 ， 又由函数 （－２ ｘ １＋１）（２ ｘ ２＋１ ＋２）－（２ ｘ １＋１ ＋２）（－２ ｘ ２＋１）
ｙ
＝
ｆ
（
ｇ
（
ｘ
））
是偶函数
，
则必有ｇ
（
ｘ
）
是偶函数
，
从而有ａ
＝０
．因 ＝
（２
ｘ １＋１
＋２）（２
ｘ ２＋１
＋２）
为ｆ （ ｘ ） 的定义域为Ｒ ， 值域为 （０，＋∞）， 所以函数ｙ ＝ ｇ （ ｆ （ ｘ ）） －２ ｘ １＋１ ＋２ ｘ ２＋１ －２·２ ｘ １＋２·２ ｘ ２ ２ ｘ ２＋２ －２ ｘ １＋２
存在两个零点等价于函数ｙ
＝
ｇ
（
ｘ
）
存在两个正的零点
，
即关 ＝
（２
ｘ １＋１
＋２）（２
ｘ ２＋１
＋２）
＝
（２
ｘ １＋１
＋２）（２
ｘ ２＋１
＋２）
，
于ｘ的方程 ｜ ｘ ＋ ａ ｜－２＝０ 有两个正的实数解 ， 解方程得ｘ １＝－２ 因为ｘ １＜ ｘ ２， 所以 ２ ｘ １ ＜２ ｘ ２ ， 所以 ２ ｘ ２＋２ ＞２ ｘ １＋２ ， 所以ｆ （ ｘ １）＞ ｆ （ ｘ ２），
ａ ｘ ａ 故ｘ 且ｘ 故ａ 则ａ的一个取值可以 ｘ
－ ， ２＝２－ ， １＞０ ２＞０， ＜－２， 所以ｆ ｘ －２ ＋１为减函数．不等式ｆ ｔ２ ｔ ｆ ｔ２ ｋ 可
是
－３
．
（
第二空答案不唯一
）
（ ）＝
２
ｘ ＋１
＋２
（ －４）＋（３ － ）≤０
１６．（２０２１天津河东二模，１５）设ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇函数 且 化为ｔ２ ｔ ｔ２ ｋ 恒成立 即 ｔ２ ｔ ｋ 令ｙ ｔ２ ｔ
（ ） ， －４ ≥－（３ － ） ， ４ －４ ≥ ， ＝４ －４ ＝
当ｘ ≥０ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ ｘ２ ， 若对于任意的ｘ ∈［ ｔ ， ｔ ＋２］， 不等式ｆ （ ｘ ( ｔ １ ) ２ 所以ｙ ．所以ｋ ｔ２ ｔ 所以ｋ
ｔ ｆ ｘ 恒成立 则实数ｔ的取值范围是 ． ４ － －１， ｍｉｎ＝－１ ≤（４ －４ ）ｍｉｎ＝－１，
＋）≥２（ ） ， ２
答案 即ｋ的取值范围为 ．
［ ２，＋∞） ≤－１， （－∞，－１］
解析
∵
ｆ
（
ｘ
）
是奇函数
，
且ｘ
≥０
时
，
ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
，
名师点睛 （
１
）由奇函数求参数的值，一般用 ｆ（ｘ）
＝
∴
当ｘ
＜０
时
，
ｆ
（
ｘ
）＝ －
ｘ２
，∴
ｆ
（
ｘ
）＝
{ｘ
－
２
ｘ
，
２
ｘ
，
≥
ｘ ＜
０
０
，
，
易知ｆ
（
ｘ
）
在Ｒ
＝
－ ｆ
－
（
ｆ
－
（
ｘ
－
）
１
，
）
有
；（
时
２ ）
为
解
了
抽
计
象
算
函
简
数
便
型
，我
不
们
等
可
式
以
常
对
利用
ｘ取
函
特
数
殊
的
值
单
，
调
例
性
ｆ（
．
１ ）
学生用书Ｐ２０
１．（２０２１ ５·３原创题）设函数ｆ ｘ １－｜ ｘ ｜ ２－
ｘ２
若ｆ ａｘ ｆ ｘ２
２． 答案 Ｄ
（ ）＝ｅ ＋ ｘ２， （ ）≥ （ ( )
１＋ ３．（２０２１ ５·３ 原创题）已知单调函数 ｙ ｆ ｘ 满足 ｆ ３ ｘ
则ａ的取值范围是 ＝ （ ） － ＝
＋１）， （ ） ２
( )
Ａ．（－∞，２］ Ｂ．（－∞， ２］
－
ｆ ｘ
＋
１
，｛
ａ
ｎ｝
是正项等差数列
，（
ａ
３，２）、（
ａ
９，－２）
在ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）
２
Ｃ．［－２，２］ Ｄ．［－ ２， ２］
１． 答案 Ｃ 的图象上
，
则
ａ
１
＋ａ
４ 的最小值为
（ ）
２．（２０２１ ５·３原创题）高斯是德国著名的数学家 近代数学的奠
， ５ ７
基者之一 享有 数学王子 的称号 他和阿基米德 牛顿并列为
９ ７
， “ ” ， 、 Ａ． Ｂ． Ｃ．４ Ｄ．５
三大数学家 用其名字命名的函数高斯函数为 设ｘ Ｒ 用 ｘ ２ ２
， ： ∈ ， ［ ］ ３． 答案 Ａ
表示不超过ｘ的最大整数 则ｙ ｘ 称为高斯函数．例如 ．
， ＝［ ｘ ］ ［７２］＝ ４．（２０２１ ５·３原创题）已知定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ ｘ Ｒ满
． ．已知函数ｆ ｘ ２ １ 设函数ｇ ｘ ｆ ｘ （ ），∀ ∈
７，［－７２］＝－８ （ ）＝ ｘ － ， （ ）＝［ （ ）］ 足ｆ ｘ ｆ ｘ 且ｆ ｘ ｆ ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ
２ ＋１ ２ （－ ）＋（ ）＝０， （ ＋１）＝－（ －１）， ∈（０，１］ ， （ ）
ｆ ｘ 则关于函数ｆ ｘ ｇ ｘ 的叙述正确的是 ｘ２ ｘ 则有以下说法 ｆ ｘ 是奇函数 ｆ ｘ 的最大值是
＋［ （－ ）］， （ ）、 （ ） （ ） ＝ － ， ：①（ ） ，②（ ） ０，
( ) ( )
ｆ ｘ 是偶函数 ｆ ｘ 的值域为 １ ｆ １ ｘ 在区间 上不具有单调性 ｆ 以
Ａ． （ ） Ｂ． （ ） ０， ③ ［－１，０］ ，④ （２ ０２２）＝ ０，
２ ２
ｇ ｘ 是奇函数 ｇ ｘ 的值域为 上说法正确的是 填序号 ．
Ｃ． （ ） Ｄ． （ ） ｛－１，０｝ （ ）
４ ０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
４． 答案 ６．（２０２１ ５·３原创题）已知ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的函数 且满足
①④ （ ） ，
æ ö
５．（２０２１ ５·３原创题）函数ｆ ｘ ３ ç １ ÷ 在区 ｆ ｘ ２０２１ 当 ｘ 时 ｆ ｘ １ 则ｆ
（ ）＝
２
ｘ
－１
＋ｌｎè ｘ２
＋１－
ｘø＋１ （ ＋２）＝－ｆ
（
ｘ
）
， ２≤ ≤３ ， （ ）＝ｌｏｇ３ ｘ ， （２ ０２１）＝
间 上的最大值和最小值分别为Ｍ Ｎ 则Ｍ Ｎ ．
［－３，０）∪（０，３］ 、 ， ＋
６． 答案
．
＝ ２０２１
５． 答案
－１
学生用书Ｐ２０
函数基本性质的综合运用
一、函数的单调性与奇偶性的综合运用 是奇函数 且在 单调递减
Ｂ． ， （０，＋∞）
１．函数性质是高考考查的重中之重 其中单调性与奇偶性 是偶函数 且在 单调递增
， Ｃ． ， （０，＋∞）
更是高考的常考内容．单调性与奇偶性的综合性问题 通常是利 是偶函数 且在 单调递减
， Ｄ． ， （０，＋∞）
用奇偶性 图象对称性 将未知区间上的问题转化至已知区间 １． 答案 Ａ
（ ）
上 再利用单调性解决问题． ２．已知函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ 当ｘ 时 ｆ ｘ 单调递
， （ ） ， ∈［－２，２］ ， （ ）
２．在解决函数的单调性与奇偶性的综合问题时 可以利用 减 且函数ｙ ｆ ｘ 为偶函数 则下列结论正确的是
， ， ＝ （ ＋２） ， （ ）
奇偶函数图象的对称性 将复杂的问题简化求解．体现了数形结 ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
， Ａ． （π）＜（３）＜（ ２） Ｂ． （π）＜（ ２）＜（３）
合的思想．请注意下列与图象对称性相关的常用结论．
ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
若函数ｙ ｆ ｘ ａ 是偶函数 则函数ｙ ｆ ｘ 的图象关于 Ｃ． （ ２）＜（３）＜（π） Ｄ． （ ２）＜（π）＜（３）
（１） ＝ （ ＋ ） ， ＝ （ ） ２． 答案 Ｃ
直线ｘ ａ对称 反之亦然．
＝ ； ３．已知ｆ ｘ 是定义在 上连续不断的偶函数 且在
若函数ｙ ｆ ｘ ｂ 是奇函数 则函数ｙ ｆ ｘ 的图象关于 （ ） （－１，１） ， （０，１）
（２） ＝ （ ＋ ） ， ＝ （ ） 上为增函数 ｆ ａ ｆ ａ２ 求实数ａ的取值范围．
点 ｂ 中心对称 反之亦然． ， （ －２）－（４－ ）＜０，
（ ，０） ； ３． 解析 ｆ ｘ 是在 上连续不断的偶函数 且在
对于任意ｘ Ｒ 若ｆ ａ ｘ ｆ ａ ｘ 或ｆ ａ ｘ ｆ ｘ 或 ∵ （ ） （－１，１） ， （０，１）
（３） ∈ ， （ － ）＝ （ ＋ ） （２ － ）＝ （ ） 上是增函数
ｆ ｘ ｆ ａ ｘ 则 ｙ ｆ ｘ 的图象关于直线 ｘ ａ 对称 若 ，
（－ ）＝ （２ ＋ ）， ＝ （ ） ＝ ； ｆ ｘ 在 上是减函数
ａ ｂ ∴ （ ） （－１，０） ，
ｆ ａ ｘ ｆ ｂ ｘ 则函数ｙ ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ ＋ 对称． ｆ ａ ｆ ａ２ ｆ ａ ｆ ａ２ ａ ａ２
（ ＋ ）＝ （ － ）， ＝ （ ） ＝ ∴ （ －２）－（４－ ）＜０⇔（ －２）＜（４－ ）⇔｜ －２｜＜｜４－ ｜，
２ 即 ａ ａ２ ａ ａ ａ 且 ａ
函数ｙ ｆ ｘ 与ｙ ｆ ａ ｘ 的图象关于直线ｘ ａ对称 ｜ －２｜＜｜４－ ｜＝｜ －２｜·｜ ＋２｜，∴ ｜ －２｜≠０ １＜｜ ＋２｜，
（４） ＝ （ ） ＝ （２ － ） ＝ ； 解之得ａ 或ａ 且ａ ．
函数ｙ ｆ ｘ 与ｙ ｂ ｆ ａ ｘ 的图象关于点 ａ ｂ 中心对称． ＜－３ ＞－１ ≠２①
＝ （ ） ＝２ －（２ － ） （ ， ） ｆ ｘ 的定义域为
例１ 设ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇函数 且当ｘ 时 ｆ ｘ ∵ （ ） （－１，１），
（ ） ， ≥０ ， （ ）＝ { ａ { ａ
ｘ２ 若对任意的ｘ ｔ ｔ 不等式ｆ ｘ ｔ ｆ ｘ 恒成立 求实 －１＜ －２＜１， １＜ ＜３， 即 ａ ．
数
，
ｔ的取值范围．
∈［ ，＋２］， （ ＋ ）≥２ （ ） ， ∴
－１＜４－
ａ２
＜１
⇔
３＜
ａ２
＜５，
３＜ ＜ ５ ②
解析 设ｘ 则 ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｆ ｘ 由 知 ａ ．
＜０， － ＞０，∵ ＞０ ， （ ）＝ ，∴ （－ ）＝ ①② ， ∈（ ３，２）∪（２， ５）
ｘ ２ ｆ ｘ 是定义域为Ｒ的奇函数 ｆ ｘ ｘ２ 即ｆ ｘ 解后反思 综合运用奇偶性和单调性去掉函数符号“ｆ”，将
（－ ） ，∵ （ ） ，∴ － （ ）＝ ， （ ）＝
{ｘ２ ｘ 抽象不等式转化为具体不等式是必然的选择． 对于
ｘ２ ｆ ｘ （ ≥０）， ｆ ｘ 在Ｒ上是单调递增函数 且满
－ ，∴ （ ）＝ ｘ２ ｘ ∴ （ ） ， ａ 时不等式不能成立的发现是本题的难点所在．
－ （ ＜０）， ｜ －２｜＝０
足 ｆ ｘ ｆ ｘ 不等式ｆ ｘ ｔ ｆ ｘ ｆ ｘ 在区间 ｔ ｔ ４．已知函数ｆ ｘ 对任意实数ｘ ｙ 恒有ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｆ ｙ 当
２（ ）＝ （ ２ ），∵ （ ＋）≥２（ ）＝ （ ２ ） ［ ， （ ） ， ， （ ＋ ）＝ （ ）＋ （ ），
上恒成立 ｘ ｔ ｘ在区间 ｔ ｔ 上恒成立 即ｘ ｘ 时 ｆ ｘ 且ｆ ．
＋２］ ，∴ ＋≥ ２ ［ ， ＋２］ ， ≤（１＋ ＞０ ， （ ）＜０， （１）＝－２
ｔ在区间 ｔ ｔ 上恒成立 ｔ ｔ 解得ｔ 判断ｆ ｘ 的奇偶性
２） ［ ， ＋２］ ，∴ ＋２≤（１＋ ２） ， ≥ ２， （１） （ ） ；
求ｆ ｘ 在区间 上的最大值
实数ｔ的取值范围是 ． （２） （ ） ［－３，３］ ；
∴
解后反思
［ ２，＋∞）
（３）
若ｆ
（
ｘ
）＜
ｍ２
－２
ａｍ
＋２
对所有的ｘ
∈［－１，１］，
ａ
∈［－１，１］
恒
成立 求实数ｍ的取值范围．
奇偶性是一个明条件 单调性是一个隐条件．作出函数的图
，
象易发现它的单调性 这说 ， 明了数形结合的重要性 最后转化成 ４． 解析 （１） 取ｘ ＝ ｙ ＝０， 则ｆ （０＋０）＝ ｆ （０）＋ ｆ （０），
， ，
一个恒成立问题 运用分离参数的方法求解 这就说明函数性质 则ｆ （０）＝０ ．取ｙ ＝－ ｘ ， 则ｆ （ ｘ － ｘ ）＝ ｆ （ ｘ ）＋ ｆ （－ ｘ ）＝０，
， ，
的应用是十分广泛的 它能与很多知识结合 对综合运用所学知 ｆ ｘ ｆ ｘ 对任意ｘ Ｒ恒成立
∴ （－ ）＝－（ ） ∈ ，
， ，
识解决问题的能力要求也高． ｆ ｘ 为奇函数．
∴ （ ）
任取ｘ ｘ 且ｘ ｘ 则ｘ ｘ
（２） １， ２∈（－∞，＋∞） １＜ ２， ２－ １＞０，
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ
∴ （ ２）＋（－ １）＝ （ ２－ １）＜０，
ｆ ｘ ｆ ｘ
１．（２０２０课标 文，１０，５分）设函数ｆ ｘ ｘ３ １ 则ｆ ｘ ∴ （ ２）＜－（－ １），
Ⅱ （ ）＝ －ｘ３， （ ） （ ） 又 ｆ ｘ 为奇函数 ｆ ｘ ｆ ｘ
∵ （ ） ，∴ （ １）＞（ ２），
ｆ ｘ 在 上是减函数
∴ （ ） （－∞，＋∞） ，
对任意ｘ 恒有ｆ ｘ ｆ
∴ ∈［－３，３］， （ ）≤（－３），
是奇函数 且在 单调递增 又 ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
Ａ． ， （０，＋∞） ∵ （３）＝ （２＋１）＝ （２）＋（１）＝３（１）＝－２×３＝－６，
第二章 函数 ４ １
ｆ ｆ ( ) ( )
∴ （－３）＝－（３）＝６， ｘ ｘ 单调递增 １ ２ ｆ ｆ １ ｆ ２
ｆ ｘ 在 上的最大值为 ． ＝２ －ｃｏｓ ，０＜ ＜ ，∴ （０）＜ ＜ ，
∴ （ ） ［－３，３］ ６ ２ ３ ２ ３
由 可知函数ｆ ｘ 在 上的最大值为ｆ ｆ ( ) ( )
（３） （２） （ ） ［－１，１］ （－１）＝－（１） ｆ ｆ ２０１９ ｆ ２０２０ 故选
∴ （２０１８）＜ ＜ ， Ｃ．
＝２， ２ ３
∴
要使ｆ
（
ｘ
）＜
ｍ２
－２
ａｍ
＋２
对所有的ｘ
∈［－１，１］，
ａ
∈［－１，１］
恒 答案
（１）
Ｃ
（２）
Ｃ
成立 只需要ｍ２ ａｍ ｆ ｘ
， －２ ＋２＞（ ）ｍａｘ＝２，
即ｍ２ ａｍ 对所有ａ 恒成立．
－２ ＞０ ∈［－１，１］
令ｇ （ ａ ）＝ ｍ２ －２ ａｍ ， ａ ∈［－１，１］， ５．（２０２１全国甲理，１２，５分）设函数ｆ （ ｘ ） 的定义域为Ｒ ， ｆ （ ｘ ＋１）
则 {ｇ （－１）＞０，即 {ｍ２ ＋２ ｍ ＞０，解得ｍ 或ｍ 为奇函数 ， ｆ （ ｘ ＋２） 为 ( 偶 ) 函数 ， 当ｘ ∈［１，２］ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ ａｘ２ ＋ ｂ．若
ｇ ｍ２ ｍ ＜－２ ＞２， ｆ ｆ 则ｆ ９
（１）＞０， －２ ＞０， （０）＋（３）＝６， ＝ （ ）
实数ｍ的取值范围是 ｍ ｍ 或ｍ ． ２
∴ ｛ ｜ ＞２ ＜－２｝
疑难突破 本题属于抽象函数问题，在判断函数ｆ（ｘ）的单 ９ ３ ７ ５
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．
调性时，要理解条件“当ｘ 时，ｆ（ｘ） ”． ４ ２ ４ ２
＞０ ＜０ ５． 答案 Ｄ
二、函数的单调性、奇偶性与周期性的综合运用 ６．（２０２１新高考 ，１４，５分）写出一个同时具有下列性质
Ⅱ ①②③
１．函数图象的对称性 广义奇偶性 与函数周期性有密切的 的函数ｆ ｘ ．
（ ） （ ）：
关系 因此在函数图象的对称性之中 往往隐含有周期性． ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 当 ｘ 时 ｆ ′ ｘ
， ， ① （ １ ２）＝ （ １） （ ２）；② ∈（０，＋∞） ， （ ）＞０；
２．函数的周期性体现的是一种平移关系 奇偶性体现的是 ｆ ′ ｘ 是奇函数．
， ③ （ ）
一种对称关系 而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化 ６． 答案 ｆ ｘ ｘ４ ｘ Ｒ 答案不唯一
， （ ）＝ （ ∈ ）（ ）
而变化的规律 同时 函数的周期性和对称性有密切的关系．因此 ７．已知函数 ｙ ｆ ｘ 为奇函数 且对定义域内的任意 ｘ 都有
， ， ＝ （ ） ，
在解题时 往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区 ｆ ｘ ｆ ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 给出以
， （１＋ ）＝－（１－ ）， ∈（２，３） ， （ ）＝ｌｏｇ２（ －１），
间上的单调性 即实现区间的转换 再利用单调性解决相关问题． 下 个结论
， ， ４ ：
例２ （２０１９河南洛阳第三次统考文，１０）已知函数ｆ ｘ 函数ｙ ｆ ｘ 的图象关于点 ｋ ｋ Ｚ 成中心对称
（１） （ ） ① ＝ （ ） （ ，０）（ ∈ ） ；
为定义在Ｒ上的奇函数 ｆ ｘ 是偶函数 且当ｘ 时 函数ｙ ｆ ｘ 是以 为周期的周期函数
， （ ＋２） ， ∈（０，２］ ， ② ＝｜ （ ）｜ ２ ；
ｆ ｘ ｘ 则ｆ ｆ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ
（ ）＝ ， （－２０１８）＋（２０１９）＝ （ ） ③ ∈（－１，０） ， （ ）＝－ｌｏｇ２（１－ ）；
函数ｙ ｆ ｘ 在 ｋ ｋ ｋ Ｚ 上单调递增．
Ａ．－３ Ｂ．－２ Ｃ．－１ Ｄ．０ ④ ＝ （｜ ｜） （ ， ＋１）（ ∈ ）
（２０２０福建福州师大附中模拟文，１２）定义在Ｒ上的奇 其中所有正确结论的序号为 ．
（２）
函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ７． 答案
（ ） （ ＋２）＝ （－ ）， ∈［０，１］ ， （ ）＝ ２ － ①②③
ｘ 则下列结论正确的是 ８．已知 定义在 Ｒ 上的函数 ｆ ｘ 对于任意实数 ａ ｂ 都满足
ｃｏｓ ， （ ） ： （ ）， ，
( ) ( ) ｆ ａ ｂ ｆ ａ ｆ ｂ 且ｆ 当ｘ 时 ｆ ｘ ．
ｆ ２０２０ ｆ ２０１９ ｆ （ ＋ ）＝ （ ） （ ）， （１）≠０， ＞０ ， （ ）＞１
Ａ． ＜ ＜（２０１８） 求ｆ 的值
３ ２ （１） （０） ；
( ) ( ) 证明 ｆ ｘ 在 上是增函数
ｆ ｆ ２０２０ ｆ ２０１９ （２） ：（ ） （－∞，＋∞） ；
Ｂ． （２０１８）＜ ＜
(
３
) (
２
) （３）
求不等式ｆ
（
ｘ２
＋
ｘ
）＜ｆ ｘ
１ 的解集．
ｆ ｆ ２０１９ ｆ ２０２０ （２ －４）
Ｃ． （２０１８）＜ ＜ ８． 解析 令ａ ｂ 则ｆ ｆ ｆ ｆ
２ ３ （１） ＝１， ＝０， （１）＝ （１＋０）＝ （１） （０），
( ) ( ) ｆ ｆ ．
ｆ ２０１９ ｆ ２０２０ ｆ ∵ （１）≠０，∴ （０）＝１
Ｄ． ＜ ＜（２０１８） 证明 当ｘ 时 ｘ ．令ａ ｘ ｂ ｘ 则ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
２ ３ （２） ： ＜０ ，－ ＞０ ＝ ， ＝－ ， （ ） （－ ）＝ （ －
解析 因为函数ｆ ｘ 是偶函数 所以ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ｆ 由ｆ ｘ 得ｆ ｘ 注意到ｆ
（１） （ ＋２） ， （－ ＋２）＝ （ ＋ ）＝ （０）＝１， （－ ）＞０ （ ）＞０， （０）＝１＞０，
所以ｆ ｘ ｆ ｘ 所以ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 对于任意实数ｘ ｆ ｘ
２）， （－ ＋４）＝ （ ）， （ ＋４）＝ ［－（－ ）＋４］＝ （－ ）＝ ∴ ， （ ）＞０，
ｆ ｘ 所以ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 所以函数的 任取ｘ ｘ Ｒ 且ｘ ｘ 则ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ
－（ ）， （ ＋８）＝ ［（ ＋４）＋４］＝－（ ＋４）＝ （ ）， １， ２∈ ， １＜ ２， ２－ １＞０， （ ２－ １）＞１，
周期为 所以ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ
８， （－２ ０１８）＋ （２ ０１９）＝ － （２ ０１８）＋ （２ ０１９）＝ ∵ （ ２）＝ ［ １＋（ ２－ １）］＝ （ １） （ ２－ １）＞（ １），
ｆ ｆ ｆ ｆ ．故选 ． 函数ｙ ｆ ｘ 在 上是增函数．
－（２）＋（３）＝－（２）＋（１）＝－２＋１＝－１ Ｃ ∴ ＝ （ ） （－∞，＋∞）
ｆ ｘ 是奇函数 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ
（２）∵ （ ） ，∴ （ ＋２）＝ （－ ）＝－（ ），∴ （ ＋４）＝ １ （０） ｆ ｘ
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 的周期为 ｆ ｆ （３）∵ ｆ ｘ ＝ｆ ｘ ＝ （－２ ＋４），
－（ ＋２）＝ （ ），∴ （ ） ４，∴ （２ ０１８）＝ （２＋４×５０４）＝ （２ －４） （２ －４）
( ) ( ) ( ) ( )
ｆ ｆ ｆ ２０１９ ｆ ３ ｆ ３ ｆ １ ｆ ｘ２ ｘ １ ｆ ｘ 由 可得ｘ２ ｘ ｘ
（２）＝ （０）， ＝ ４×２５２＋ ＝ ＝ ， ∴ （ ＋ ）＜ｆ ｘ ＝ （－２ ＋４）， （２） ＋ ＜－２ ＋４，
２ ２ ２ ２ （２ －４）
( ) ( ) ( ) ( ) 解得 ｘ 所以原不等式的解集是 ．
ｆ ２０２０ ｆ ４ ｆ ４ ｆ ２ ｘ 时 ｆ ｘ －４＜ ＜１， （－４，１）
＝ ４×１６８＋ ＝ ＝ ，∵ ∈［０，１］ ， （ ）
３ ３ ３ ３
