北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
§4.3 三角函数的图象与性质
— 五年高考 —
考点1 三角函数的图象及其变换
1
1.(2021全国乙理,7,5分)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,
2
π ( π)
再把所得曲线向右平移 个单位长度,得到函数y=sin x- 的图象,则f(x)= ( )
3 4
(x 7π) (x π )
A.sin - B.sin +
2 12 2 12
( 7π) ( π )
C.sin 2x- D.sin 2x+
12 12
答案 B
( π)
2.(2020课标Ⅰ,文7,理7,5分)设函数f(x)=cos ωx+ 在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小
6
正周期为 ( )
10π 7π 4π 3π
A. B. C. D.
9 6 3 2
答案 C
( 2π)
3.(2017课标Ⅰ理,9,5分)已知曲线C :y=cos x,C :y=sin 2x+ ,则下面结论正确的是 (
1 2 3
)
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π
A.把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长
1 6
度,得到曲线C
2
π
B.把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位
1 12
长度,得到曲线C
2
1 π
C.把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,
1 2 6
得到曲线C
2
1 π
D.把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长
1 2 12
度,得到曲线C
2
答案 D
4.(2019天津,文7,理7,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象
上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小
(π) (3π)
正周期为2π,且g =√2,则f = ( )
4 8
A.-2 B.-√2 C.√2 D.2
答案 C
5.(多选题)(2020新高考Ⅰ,10,5分)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)= ( )
( π) (π )
A.sin x+ B.sin -2x
3 3
( π) (5π )
C.cos 2x+ D.cos -2x
6 6
答案 BC
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以下为教师用书专用(1—15)
π
1.(2016课标Ⅱ理,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的
12
对称轴为 ( )
kπ π kπ π
A.x= - (k∈Z) B.x= + (k∈Z)
2 6 2 6
kπ π kπ π
C.x= - (k∈Z) D.x= + (k∈Z)
2 12 2 12
π [ ( π )]
答案 B 将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到函数y=2sin 2 x+
12 12
( π) π π kπ π
=2sin 2x+ 的图象,由2x+ =kπ+ (k∈Z),可得x= + (k∈Z).则平移后图象的对称轴为
6 6 2 2 6
kπ π
x= + (k∈Z),故选B.
2 6
( π )
易错警示 本题易犯的错误是将原函数的图象平移后得到函数y=2sin 2x+ 的图象.
12
( π) 1
2.(2016课标Ⅰ文,6,5分)将函数y=2sin 2x+ 的图象向右平移 个周期后,所得图象对应的
6 4
函数为 ( )
( π) ( π)
A.y=2sin 2x+ B.y=2sin 2x+
4 3
( π) ( π)
C.y=2sin 2x- D.y=2sin 2x-
4 3
π
答案 D 该函数的周期为π,将其图象向右平移 个单位后,得到的图象对应的函数为
4
[ ( π) π] ( π)
y=2sin 2 x- + =2sin 2x- ,故选D.
4 6 3
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π
易错警示 三角函数图象的平移变换中,“左加右减”是对x而言的,将x变为x- ,而不是将
4
π
2x变为2x- .
4
评析 本题主要考查三角函数图象的平移变换,注意“左加右减”仅针对x.
( π)
3.(2016四川理,3,5分)为了得到函数y=sin 2x- 的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所
3
有的点 ( )
π
A.向左平行移动 个单位长度
3
π
B.向右平行移动 个单位长度
3
π
C.向左平行移动 个单位长度
6
π
D.向右平行移动 个单位长度
6
π [ ( π)]
答案 D 将y=sin 2x的图象向右平行移动 个单位长度得到y=sin 2 x- =sin
6 6
( π)
2x- 的图象,故选D.
3
( π) [ ( π)]
评析 将y=sin 2x- 化为y=sin 2 x- 是解题的关键.
3 6
4.(2016课标Ⅱ文,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 ( )
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( π) ( π)
A.y=2sin 2x- B.y=2sin 2x-
6 3
( π) ( π)
C.y=2sin x+ D.y=2sin x+
6 3
T π ( π) π
答案 A 由题图可知A=2, = - - = ,则T=π,所以ω=2,则y=2sin(2x+φ),因为题图经过
2 3 6 2
(π ) ( π ) 2π π π
点 ,2 ,所以2sin 2× +φ =2,所以 +φ=2kπ+ ,k∈Z,即φ=2kπ- ,k∈Z,当k=0时,φ=-
3 3 3 2 6
π ( π)
,所以y=2sin 2x- ,故选A.
6 6
评析 本题考查由三角函数的图象确定函数的解析式,其中A由函数最值确定,ω由周期确定,
相邻的最高点与最低点之间的水平距离为半个周期,φ通过确定点的坐标来求即可.
5.(2015课标Ⅰ理,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为
( )
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( 1 3) ( 1 3)
A. kπ- ,kπ+ ,k∈Z B. 2kπ- ,2kπ+ ,k∈Z
4 4 4 4
( 1 3) ( 1 3)
C. k- ,k+ ,k∈Z D. 2k- ,2k+ ,k∈Z
4 4 4 4
T 5 1 [ 3 5]
答案 D 由题图可知 = - =1,所以T=2.结合题图可知,在 - , (f(x)的一个周期)内,函
2 4 4 4 4
( 1 3)
数f(x)的单调递减区间为 - , .由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间
4 4
( 1 3)
为 2k- ,2k+ ,k∈Z,故选D.
4 4
6.(2015陕西理,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin
(π )
x+φ +k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 ( )
6
A.5 B.6 C.8 D.10
(π )
答案 C 因为函数y=3sin x+φ +k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的
6
最大值为3+5=8(m),选C.
评析 在解答应用题时,正确理解函数模型中各变量的实际意义是解题的关键.在形如
y=Asin(ωx+φ)+k的函数模型中,往往是由函数图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A,k的
值.
7.(2014课标Ⅰ理,6,5分)
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如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线
OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则
y=f(x)在[0,π]上的图象大致为 ( )
π ( π)
答案 C 由题图可知:当x= 时,OP⊥OA,此时f(x)=0,排除A、D;当x∈ 0, 时,OM=cos
2 2
d
x,设点M到直线OP的距离为d,则 =sin x,即d=OMsin x=sin xcos x,
OM
1 1
∴f(x)=sin xcos x= sin 2x≤ ,排除B,故选C.
2 2
π 5π
8.(2012课标文,9,5分)已知ω>0,0<φ<π,直线x= 和x= 是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相
4 4
邻的对称轴,则φ= ( )
π π π 3π
A. B. C. D.
4 3 2 4
2π (5 π) π π π
答案 A 由题意得 =2 π- ,∴ω=1, ∴f(x)=sin(x+φ),∴ +φ=kπ+ (k∈Z),φ=kπ+
ω 4 4 4 2 4
π
(k∈Z),又0<φ<π,∴φ= ,故选A.
4
评析 本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.
( π) (π )
9.(2016北京,7,5分)将函数y=sin 2x- 图象上的点P ,t 向左平移s(s>0)个单位长度
3 4
得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则 ( )
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1 π √3 π
A.t= ,s的最小值为 B.t= ,s的最小值为
2 6 2 6
1 π √3 π
C.t= ,s的最小值为 D.t= ,s的最小值为
2 3 2 3
(π ) ( π)
答案 A 点P ,t 在函数y=sin 2x- 的图象上,
4 3
( π π) 1
∴t=sin 2× - = .
4 3 2
(π 1)
所以P , .
4 2
(π 1)
将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P' -s, .
4 2
因为P'在函数y=sin 2x的图象上,
[ (π )] 1 1
所以sin 2 -s = ,即cos 2s= ,
4 2 2
π 5 π 5π
所以2s=2kπ+ (k∈Z)或2s=2kπ+ π(k∈Z),即s=kπ+ (k∈Z)或s=kπ+ (k∈Z),又s>0,所以s
3 3 6 6
π
的最小值为 .
6
10.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-√3cos x的图象可由函数y=sin x+√3cos x的图象至少
向右平移 个单位长度得到.
2
答案 π
3
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( 5 ) ( π)
解析 设f(x)=sin x-√3cos x=2sin x+ π ,g(x)=sin x+√3cos x=2sin x+ ,将g(x)的图象
3 3
( π) ( 5π)
向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin x-φ+ =2sin x+ =f(x)的图象,所
3 3
π 5π 4π 2π
以x-φ+ =2kπ+x+ ,k∈Z,此时φ=-2kπ- ,k∈Z,当k=-1时,φ有最小值,为 .
3 3 3 3
方法指导 先利用辅助角公式将两函数的解析式转化成同名三角函数式,再根据三角函数图
象变换遵循的“左加右减”规律求解.
11.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个
数是 .
答案 7
解析 在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=cos x在区间[0,3π]上的图象(如图).由图
象可知,共有7个交点.
思路分析 解决交点个数问题一般采用“数形结合”的思想方法,因此准确画出相关函数图
象是解题的关键.
12.(2015湖南文,15,5分)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短
的两个交点的距离为2√3,则ω= .
π
答案
2
{y=2sinωx,
解析 由 消去y,得sin ωx-cos ωx=0,
y=2cosωx
( π) kπ π
即√2sin ωx- =0,解得x= + ,k∈Z.
4 ω 4ω
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( π )(5π )
取k=0,1,可得距离最短的两个交点的坐标为 ,√2 , ,-√2 ,又两交点的距离为2
4ω 4ω
√3,
( π 5π ) 2 π
所以 - +(√2+√2)2=(2√3)2,解得ω= .
4ω 4ω 2
( π π)
13.(2014重庆文,13,5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,- ≤φ< 图象上每一点的横坐标缩
2 2
π (π)
短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度得到y=sin x的图象,则f =
6 6
.
√2
答案
2
( π)
x+
解析 y=sin x y=sin 6
(1 π)
x+
y=sin ,
2 6
(1 π) (π) ( π π) π √2
即f(x)=sin x+ ,∴f =sin + =sin = .
2 6 6 12 6 4 2
π
14.(2013课标Ⅱ文,16,5分)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移 个单位后,与函数
2
( π)
y=sin 2x+ 的图象重合,则φ= .
3
5
答案 π
6
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π ( π) [ ( π) ]
解析 令y=f(x)=cos(2x+φ),将其图象向右平移 个单位后得f x- =cos 2 x- +φ
2 2 2
π π ( π) π
=cos(2x+φ-π)=sin (2x+φ-π)+ =sin 2x+φ- ,因为与y=sin
2x+
的图象重合,所以φ-
2 2 3 2
π 5 5
= +2kπ(k∈Z),所以φ=2kπ+ π(k∈Z),又-π≤φ<π,所以φ= π.
3 6 6
(π ) π
15.(2011浙江文,18,14分)已知函数f(x)=Asin x+φ ,x∈R,A>0,0<φ< .y=f(x)的部分图象如
3 2
图所示,P、Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值;
2π
(2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ= ,求A的值.
3
2π
解析 (1)由题意得,T= π =6.
3
(π )
因为P(1,A)在y=Asin x+φ 的图象上,
3
(π )
所以sin +φ =1.
3
π π
又因为0<φ< ,所以φ= .
2 6
(2)设点Q的坐标为(x,-A).
0
π π 3π
由题意可知 x+ = ,得x=4,所以Q(4,-A).
3 0 6 2 0
2π
连接PQ,在△PRQ中,∠PRQ= ,由余弦定理得
3
RP2+RQ2-PQ2
cos∠PRQ=
2RP·RQ
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A2+9+A2-(9+4A2) 1
= =- ,
2A·√9+A2 2
解得A2=3.
又A>0,所以A=√3.
评析 本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识.在(2)中,求出点Q坐标,
根据△PRQ的边角关系,列出关于A的方程是求解关键.
考点2 三角函数的性质及其应用
( π)
1.(2021新高考Ⅰ,4,5分)下列区间中,函数f(x)=7sin x- 单调递增的区间是 ( )
6
( π) (π )
A. 0, B. ,π
2 2
( 3π) (3π )
C. π, D. ,2π
2 2
答案 A
x x
2.(2021全国乙文,4,5分)函数f(x)=sin +cos 的最小正周期和最大值分别是 ( )
3 3
A.3π和√2 B.3π和2 C.6π和√2 D.6π和2
答案 C
3.(2021北京,7,4分)已知函数f(x)=cos x-cos 2x,则该函数为 ( )
A.奇函数,最大值为2 B.偶函数,最大值为2
9 9
C.奇函数,最大值为 D.偶函数,最大值为
8 8
答案 D
( π)
4.(2020天津,8,5分)已知函数f(x)=sin x+ .给出下列结论:
3
①f(x)的最小正周期为2π;
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(π)
②f 是f(x)的最大值;
2
π
③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移 个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.
3
其中所有正确结论的序号是 ( )
A.① B.①③
C.②③ D.①②③
答案 B
5.(2018课标Ⅰ文,8,5分)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( )
A. f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B. f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C. f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
D. f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
答案 B
( π)
6.(2017课标Ⅲ理,6,5分)设函数f(x)=cos x+ ,则下列结论错误的是 ( )
3
A.f(x)的一个周期为-2π
8π
B.y=f(x)的图象关于直线x= 对称
3
π
C.f(x+π)的一个零点为x=
6
(π )
D.f(x)在 ,π 单调递减
2
答案 D
tanx
7.(2018课标Ⅲ文,6,5分)函数f(x)= 的最小正周期为( )
1+tan2x
π π
A. B. C.π D.2π
4 2
答案 C
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(5π) (11π)
8.(2017天津文,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f =2, f =0,
8 8
且f(x)的最小正周期大于2π,则 ( )
2 π 2 11π
A.ω= ,φ= B.ω= ,φ=-
3 12 3 12
1 11π 1 7π
C.ω= ,φ=- D.ω= ,φ=
3 24 3 24
答案 A
(π)
9.(2021全国甲文,15,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f = .
2
答案 -√3
π
解题指导 利用所给函数f(x)=2cos(ωx+φ)图象中的关键点求出ω,φ,再将x= 代入f(x)的解析
2
(π)
式即可求出f .
2
( π) π
10.(2020江苏,10,5分)将函数y=3sin 2x+ 的图象向右平移 个单位长度,则平移后的图象
4 6
中与y轴最近的对称轴的方程是 .
5
答案 x=- π
24
( 3π)
11.(2019课标Ⅰ文,15,5分)函数f(x)=sin 2x+ -3cos x的最小值为 .
2
答案 -4
1
12.(2020课标Ⅲ理,16,5分)关于函数f(x)=sin x+ 有如下四个命题:
sinx
①f(x)的图象关于y轴对称.
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②f(x)的图象关于原点对称.
π
③f(x)的图象关于直线x= 对称.
2
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
答案 ②③
13.(2018课标Ⅰ理,16,5分)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 .
3√3
答案 -
2
14.(2021浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x+cos x(x∈R).
2
[ ( π)]
(1)求函数y= f x+ 的最小正周期;
2
( π) [ π]
(2)求函数y=f(x)f x- 在 0, 上的最大值.
4 2
解析 本题主要考查两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等基础知识,同时考查数学
运算素养.
2
[ ( π)]
(1)由已知得y= f x+ =(cos x-sin x)2=1-sin 2x,
2
故所求的最小正周期T=π.
( π)
(2)y=f(x)f x- =√2(sin x+cos x)sin x
4
( π) √2
=sin 2x- + ,
4 2
[ π]
因为x∈ 0, ,
2
3π ( π) √2
故当x= 时,函数y=f(x)f x- 取最大值1+ .
8 4 2
15.(2019浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x,x∈R.
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(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
2 2
[ ( π )] [ ( π)]
(2)求函数y= f x+ + f x+ 的值域.
12 4
解析 (1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,
故2sin xcos θ=0,所以cos θ=0.
π 3π
又θ∈[0,2π),因此θ= 或 .
2 2
2 2
[ ( π )] [ ( π)]
(2)y= f x+ + f x+
12 4
( π) ( π)
( π ) ( π) 1-cos 2x+ 1-cos 2x+
=sin2 x+ +sin2 x+ = 6 + 2
12 4
2 2
1(√3 3 ) √3 ( π)
=1- cos2x- sin2x =1- cos 2x+ .
2 2 2 2 3
[ √3 √3]
因此,函数的值域是 1- ,1+ .
2 2
思路分析 (1)根据偶函数的定义,知f(-x+θ)=f(x+θ)恒成立,利用三角恒等变换,得出cos θ=0,从
而求出θ的值.
(2)将函数解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,利用三角函数的性质求
值域.
( π) ( π) (π)
16.(2017山东理,16,12分)设函数f(x)=sin ωx- +sin ωx- ,其中0<ω<3.已知f =0.
6 2 6
(1)求ω;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左
π [ π 3π]
平移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在 - , 上的最小值.
4 4 4
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( π) ( π)
解析 (1)因为f(x)=sin ωx- +sin ωx- ,
6 2
√3 1
所以f(x)= sin ωx- cos ωx-cos ωx
2 2
√3 3 (1 √3 )
= sin ωx- cos ωx=√3 sinωx- cosωx
2 2 2 2
( π)
=√3sin ωx- .
3
(π) ωπ π
因为f =0,所以 - =kπ,k∈Z.
6 6 3
故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.
( π)
(2)由(1)得f(x)=√3sin 2x- ,
3
( π π) ( π )
所以g(x)=√3sin x+ - =√3sin x- .
4 3 12
[ π 3π] π [ π 2π]
因为x∈ - , ,所以x- ∈ - , ,
4 4 12 3 3
π π π 3
当x- =- ,即x=- 时,g(x)取得最小值- .
12 3 4 2
以下为教师用书专用(1—36)
( π)
1.(2019课标Ⅲ理,12,5分)设函数f(x)=sin ωx+ (ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点.
5
下述四个结论:
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点
( π )
③f(x)在 0, 单调递增
10
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[12 29)
④ω的取值范围是 ,
5 10
其中所有正确结论的编号是 ( )
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④
答案 D 本题主要考查三角函数的图象、性质及其应用,函数的零点、极值点、单调性等
( π)
知识,通过对函数f(x)=sin ωx+ 图象的研究,考查学生将复杂图象化归为简单图象,将陌生
5
问题转化为熟悉问题的能力,考查了直观想象的核心素养.
π
令t=ωx+ (ω>0),∵x∈[0,2π],
5
[π π]
∴t∈ ,2ωπ+ 且y=sin t,
5 5
∵f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点,
[π π]
∴y=sin t在 ,2ωπ+ 上有且仅有5个零点,
5 5
π
∴2ωπ+ ∈[5π,6π),
5
[12 29)
∴ω∈ , ,故④正确.
5 10
[π π]
y=sin t在 ,2ωπ+ 上极值点的个数即为f(x)在[0,2π]上极值点的个数.
5 5
[π π]
由y=sin t在 ,2ωπ+ 上的图象可知f(x)在[0,2π]有且仅有3个极大值点,有2个或3个
5 5
极小值点,故①正确,②错误.
( π ) (π ωπ π)
当x∈ 0, 时,t∈ , + ,
10 5 10 5
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[12 29)
又ω∈ , ,
5 10
ωπ π [11π 49π)
∴ + ∈ , ,
10 5 25 100
49π π
∵ < ,
100 2
(π ωπ π) ( π)
∴ , + ⊆ 0, ,
5 10 5 2
(π ωπ π)
∴y=sin t在t∈ , + 上单调递增.
5 10 5
( π )
∴y=f(x)在 0, 上单调递增,故③正确.
10
故选D.
π
解题关键 ①令t=ωx+ (ω>0),利用整体思想将原函数转化为y=sin t来研究.
5
( π)
②当ω>0时,y=sin ωx+ 的图象可由y=sin x的图象经过平移、伸缩变换得到,y=sin
5
( π)
ωx+ 的增、减区间可通过讨论y=sin x的增、减区间得到.
5
( π)
2.(2017课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)=sin 2x+ 的最小正周期为 ( )
3
π
A.4π B.2π C.π D.
2
答案 C 本题考查三角函数的性质.
( π) 2π
由题意得ω=2,所以函数f(x)=sin 2x+ 的最小正周期T= =π.故选C.
3 ω
3.(2017山东文,7,5分)函数y=√3sin 2x+cos 2x的最小正周期为( )
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π 2π
A. B. C.π D.2π
2 3
答案 C 本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质.
( π)
y=√3sin 2x+cos 2x=2sin 2x+ ,
6
2π
从而最小正周期T= =π.
2
1 ( π) ( π)
4.(2017课标Ⅲ文,6,5分)函数f(x)= sin x+ +cos x- 的最大值为 ( )
5 3 6
6 3 1
A. B.1 C. D.
5 5 5
1 ( π) ( π)
答案 A ∵f(x)= sin x+ +cos x-
5 3 6
1(1 √3 ) √3 1
= sinx+ cosx + cos x+ sin x
5 2 2 2 2
3 3√3
= sin x+ cos x
5 5
3 ( π)
= ×2sin x+
5 3
6 ( π)
= sin x+ ,
5 3
6
∴f(x)的最大值为 .
5
故选A.
( π) (π )
一题多解 ∵cos x- =cos -x
6 6
[π (π )] (π )
=sin - -x =sin +x ,
2 6 3
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6 ( π) 6
∴f(x)= sin x+ ,∴f(x) = .故选A.
5 3 max 5
(π )
5.(2016课标Ⅱ文,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cos -x 的最大值为 ( )
2
A.4 B.5 C.6 D.7
( 3) 2 11
答案 B f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2 sinx- + ,当sin x=1时, f(x)取得最大值5,故选B.
2 2
(π )
思路分析 利用二倍角的余弦公式及诱导公式将f(x)=cos 2x+6cos -x 转化为关于sin x
2
的二次函数,通过配方来求最值,注意不要忘记sin x∈[-1,1].
6.(2016山东理,7,5分)函数f(x)=(√3sin x+cos x)(√3cos x-sin x)的最小正周期是( )
π 3π
A. B.π C. D.2π
2 2
( π) ( π) ( π)
答案 B ∵f(x)=(√3sin x+cos x)(√3cos x-sin x)=4sin x+ ·cos x+ =2sin 2x+
6 6 3
2π
,∴T= =π,故选B.
2
评析 本题主要考查辅助角公式及三角恒等变换,属中档题.
7.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期 ( )
A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关
1
答案 B f(x)=sin2x+bsin x+c,若b=0,则f(x)=sin2x+c= (1-cos 2x)+c,此时f(x)的周期为π;若
2
b≠0,则f(x)的周期为2π,所以选B.
8.(2015安徽理,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当
2π
x= 时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是 ( )
3
A. f(2)< f(-2)< f(0) B. f(0)< f(2)< f(-2)
C. f(-2)< f(0)< f(2) D. f(2)< f(0)< f(-2)
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2π (2π) (4π ) 4π
答案 A ∵ω>0,∴T= =π,∴ω=2.又A>0,∴f =-A,即sin +φ =-1,得φ+ =2kπ+
ω 3 3 3
3π π ( π) ( π)
,k∈Z,即φ=2kπ+ ,k∈Z,又∵φ>0,∴可取f(x)=Asin 2x+ ,∴f(2)=Asin 4+ , f(-2)=Asin
2 6 6 6
( π) π π 3π 7π π ( 7π )
-4+ , f(0)=Asin .∵π<4+ < ,∴f(2)<0.∵- <-4+ <-π,且y=sin x在 - ,-π 上
6 6 6 2 6 6 6
( π) ( 7π) π ( π)
为减函数,∴sin -4+ <sin - =sin ,且sin -4+ >sin(-π)=0,从而有0<f(-2)<f(0).故
6 6 6 6
有f(2)<f(-2)<f(0).
π
评析 本题考查三角函数的周期性、单调性、最值和三角函数值的大小比较.准确判断4+
6
π
与-4+ 的范围是解题的关键.
6
( π) ( π)
9.(2014课标Ⅰ文,7,5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos 2x+ ,④y=tan 2x- 中,
6 4
最小正周期为π的所有函数为 ( )
A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
答案 A ①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为π;
②由图象知y=|cos x|的最小正周期为π;
( π) 2π
③y=cos 2x+ 的最小正周期T= =π;
6 2
( π) π
④y=tan 2x- 的最小正周期T= .
4 2
因此选A.
评析 本题考查三角函数的周期性,含有绝对值的函数可先变形再判断,或运用图象判断其最
小正周期.
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( π) (π )
10.(2012课标理,9,5分)已知ω>0,函数f(x)=sin ωx+ 在 ,π 单调递减,则ω的取值范围
4 2
是 ( )
[1 5] [1 3]
A. , B. ,
2 4 2 4
( 1]
C. 0, D.(0,2]
2
π ωπ π π π
答案 A 由 <x<π得 + <ωx+ <ωπ+ ,
2 2 4 4 4
(π 3 )
又y=sin α在 , π 上递减,
2 2
ωπ π π
{ + ≥ ,
2 4 2
所以
π 3
ωπ+ ≤ π,
4 2
1 5
解得 ≤ω≤ ,故选A.
2 4
评析 本题考查了三角函数的单调性,考查了运用正弦函数的减区间求参数的问题.
( π)
11.(2011课标理,11,5分)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) ω>0,|φ|< 的最小正周期为
2
π,且f(-x)=f(x),则 ( )
( π) (π 3π)
A.f(x)在 0, 单调递减 B.f(x)在 , 单调递减
2 4 4
( π) (π 3π)
C.f(x)在 0, 单调递增 D.f(x)在 , 单调递增
2 4 4
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π 2π
答案 A f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin ωx+φ+ ,∵周期T= =π,∴ω=2.又f(-x)=f(x),即
4 ω
π π π
f(x)为偶函数,∴φ+ =kπ+ ,φ=kπ+ ,k∈Z.
4 2 4
π π ( π) ( π)
又|φ|< ,∴φ= ,∴f(x)=√2sin 2x+ =√2cos 2x,易得f(x)在 0, 上单调递减,故选A.
2 4 2 2
评析 本题考查三角公式和三角变换,考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的单调性、奇偶性的判定,
属中等难度试题.
( π) ( π)
12.(2011课标文,11,5分)设函数f(x)=sin 2x+ +cos 2x+ ,则 ( )
4 4
( π) π
A.y=f(x)在 0, 单调递增,其图象关于直线x= 对称
2 4
( π) π
B.y=f(x)在 0, 单调递增,其图象关于直线x= 对称
2 2
( π) π
C.y=f(x)在 0, 单调递减,其图象关于直线x= 对称
2 4
( π) π
D.y=f(x)在 0, 单调递减,其图象关于直线x= 对称
2 2
( π) ( π) ( π)
答案 D f(x)=sin 2x+ +cos 2x+ =√2·sin 2x+ =√2cos 2x,其部分图象如图.故
4 4 2
选D.
评析 本题考查三角恒等变换、诱导公式及三角函数的图象等知识,考查学生综合应用三角
知识分析和解决问题的能力,属中等难度试题.
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( π) π π
13.(2016课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,|φ|≤ ,x=- 为f(x)的零点,x= 为
2 4 4
( π 5π)
y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在 , 单调,则ω的最大值为 ( )
18 36
A.11 B.9 C.7 D.5
( π 5π) π 5π π
答案 B 由f(x)在 , 上单调,得 ≥ - ,∴ω≤12,依题意,有
18 36 ω 36 18
{ ( π)
ω· - +φ=mπ,
4
(m、n∈Z),
π π
ω· +φ=nπ+
4 2
{
ω=2(n-m)+1,
∴ 2(m+n)+1
φ= π.
4
π π ( π)
又|φ|≤ ,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ= ,取n=2,得ω=9, f(x)=sin 9x+ 符合
2 4 4
π ( π)
题意.当m+n=-1时,φ=- ,ω=4n+3,取n=2,得ω=11, f(x)=sin 11x- ,此时,当x∈
4 4
( π 5 ) π (13 23 )
, π 时,11x- ∈ π, π , f(x)不单调,不合题意.故选B.
18 36 4 36 18
解后反思 本题要求ω的最大值,正面入手难度较大,故对ω取特殊值进行检验.
( π)
14.(2018课标Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos 3x+ 在[0,π]的零点个数为 .
6
答案 3
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( π) kπ π π 4π
解析 令f(x)=0,得cos 3x+ =0,解得x= + (k∈Z).当k=0时,x= ;当k=1时,x= ;当
6 3 9 9 9
7π
k=2时,x= ,又x∈[0,π],所以满足要求的零点有3个.
9
( π π) π
15.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ) - <φ< 的图象关于直线x= 对称,则φ的值
2 2 3
是 .
π
答案 -
6
解析 本题考查正弦函数的图象和性质.
π π
∵函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x= 对称,∴x= 时,函数取得最大值或最小值,∴sin
3 3
(2π )
+φ =±1.
3
2π π π
∴ +φ=kπ+ (k∈Z),∴φ=kπ- (k∈Z),
3 2 6
π π π
又- <φ< ,∴φ=- .
2 2 6
( π) (π)
16.(2018北京理,11,5分)设函数f(x)=cos ωx- (ω>0).若f(x)≤f 对任意的实数x都成立,
6 4
则ω的最小值为 .
2
答案
3
解析 本题主要考查三角函数的性质及其应用.
(π) (π)
∵f(x)≤f 对任意的实数x都成立,∴f =1,
4 4
π π 2
∴ ·ω- =2kπ,k∈Z,整理得ω=8k+ ,k∈Z.
4 6 3
2
又ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值 .
3
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π
名师点睛 由题意知函数f(x)在x= 处取得最大值,从而得出答案.
4
3( [ π])
17.(2017课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin2x+√3cos x- x∈ 0, 的最大值是 .
4 2
答案 1
解析 本题主要考查三角函数的最值.
1 ( √3) 2
由题意可得f(x)=-cos2x+√3cos x+ =- cosx- +1.
4 2
[ π]
∵x∈ 0, ,∴cos x∈[0,1].
2
√3
∴当cos x= 时, f(x) =1.
2 max
18.(2017课标Ⅱ文,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 .
答案 √5
解析 本题主要考查三角函数的最值.
由题意可知f(x)=2cos x+sin x=√5sin(x+φ)(tan φ=2),
∴f(x)的最大值为√5.
19.(2015天津文,14,5分)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内
单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 .
√π
答案
2
3
( π) π π π 2kπ- π
解析 由已知得f(x)=√2sin ωx+ ,令2kπ- ≤ωx+ ≤2kπ+ ,k∈Z,由ω>0,得 4
4 2 4 2
ω
π
2kπ+
≤x≤ 4 ,
ω
[ 3π π ]
k∈Z,当k=0时,得f(x)的单调递增区间为 - , ,
4ω 4ω
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[ 3π π ]
所以(-ω,ω)⊆ - , ,
4ω 4ω
3π
{- ≤-ω,
4ω √π
所以 解得0<ω≤ ,
π 2
≥ω,
4ω
π π
又y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,所以ω2+ =kπ+ ,
4 2
π √π √π
k∈Z,解得ω2=kπ+ ,k∈Z,又0<ω≤ ,所以ω= .
4 2 2
20.(2014课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 .
答案 1
解析 f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ-sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ-φ)
=sin x,
∴f(x)的最大值为1.
21.(2014课标Ⅱ文,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为 .
答案 1
解析 f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x
=sin xcos φ+cos xsin φ-2sin φcos x
=sin xcos φ-cos xsin φ
=sin(x-φ)≤1,
所以f(x) =1.
max
22.(2013课标Ⅰ,理15,文16,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=
.
2√5
答案 -
5
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(√5 2√5 ) 2√5
解析 由辅助角公式得:f(x)=√5 sinx- cosx =√5sin(x-φ),其中sin φ= ,cos φ=
5 5 5
√5 π π
,由x=θ时, f(x)取得最大值得:sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+ ,k∈Z,即θ=φ+ +2kπ,∴cos θ=cos
5 2 2
( π) 2√5
φ+ =-sin φ=- .
2 5
评析 本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.
23.(2018北京文,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+√3sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
[ π ] 3
(2)若f(x)在区间 - ,m 上的最大值为 ,求m的最小值.
3 2
1 1 √3
解析 (1)f(x)= - cos 2x+ sin 2x
2 2 2
( π) 1
=sin 2x- + .
6 2
2π
所以f(x)的最小正周期为T= =π.
2
( π) 1
(2)由(1)知f(x)=sin 2x- + .
6 2
π
由题意知- ≤x≤m.
3
5π π π
所以- ≤2x- ≤2m- .
6 6 6
[ π ] 3
要使得f(x)在 - ,m 上的最大值为 ,
3 2
( π) [ π ]
即sin 2x- 在 - ,m 上的最大值为1.
6 3
π π
所以2m- ≥ ,
6 2
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π
即m≥ .
3
π
所以m的最小值为 .
3
24.(2016山东文,17,12分)设f(x)=2√3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平
π (π)
移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g 的值.
3 6
解析 (1)f(x)=2√3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2
=2√3sin2x-(1-2sin xcos x)
=√3(1-cos 2x)+sin 2x-1
=sin 2x-√3cos 2x+√3-1
( π)
=2sin 2x- +√3-1.
3
π π π
由2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z),
2 3 2
π 5π
得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).
12 12
[ π 5π]
所以f(x)的单调递增区间是 kπ- ,kπ+ (k∈Z).
12 12
( ( π 5π) )
或 kπ- ,kπ+ (k∈Z)
12 12
( π)
(2)由(1)知f(x)=2sin 2x- +√3-1.
3
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
( π)
得到y=2sin x- +√3-1的图象,
3
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π
再把得到的图象向左平移 个单位,
3
得到y=2sin x+√3-1的图象,
即g(x)=2sin x+√3-1.
(π) π
所以g =2sin +√3-1=√3.
6 6
方法总结 研究三角函数的单调性,首先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h(或y=Acos(ωx+φ)+h)的
形式,要视“ωx+φ”为一个整体,另外注意A的正负.
评析 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质,考查三角函数图象变换.(1)将函数化
为y=Asin(ωx+φ)+h的形式是解题的关键,要视“ωx+φ”为一个整体.(2)三角函数图象变换仅
对“x”而言.
π π
25.(2016天津理,15,13分)已知函数f(x)=4tan xsin -x ·cos x- -√3.
2 3
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
[ π π]
(2)讨论f(x)在区间 - , 上的单调性.
4 4
{ π }
解析 (1)f(x)的定义域为 x|x≠ +kπ,k∈Z .
2
( π)
f(x)=4tan xcos xcos x- -√3
3
( π)
=4sin xcos x- -√3
3
(1 √3 )
=4sin x cosx+ sinx -√3
2 2
=2sin xcos x+2√3sin2x-√3
=sin 2x+√3(1-cos 2x)-√3
( π)
=sin 2x-√3cos 2x=2sin 2x- .
3
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2π
所以, f(x)的最小正周期T= =π.
2
π [ π π ]
(2)令z=2x- ,易知函数y=2sin z的单调递增区间是 - +2kπ, +2kπ ,k∈Z.
3 2 2
π π π π 5π
由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z.
2 3 2 12 12
[ π π] { π 5π } [ π π]
设A= - , ,B= x|- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z ,易知A∩B= - , .
4 4 12 12 12 4
[ π π] [ π π] [ π π ]
所以,当x∈ - , 时, f(x)在区间 - , 上单调递增,在区间 - ,- 上单调递减.
4 4 12 4 4 12
方法总结 研究三角函数的各类性质时,首先要将所研究函数利用辅助角公式、降幂扩角公
式及两角和差的正弦、余弦公式等价转化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,然后类比y=sin x的
性质进行研究.
评析 本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式,三角函
数的定义域、最小正周期性、单调性等基础知识.考查运算求解能力.
26.(2016北京文,16,13分)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解析 (1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx
( π)
=√2sin 2ωx+ , (3分)
4
2π π
所以f(x)的最小正周期T= = . (4分)
2ω ω
π
依题意, =π,解得ω=1.(6分)
ω
( π)
(2)由(1)知f(x)=√2sin 2x+ .
4
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[ π π]
函数y=sin x的单调递增区间为 2kπ- ,2kπ+ (k∈Z). (8分)
2 2
π π π
由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),
2 4 2
3π π
得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). (12分)
8 8
[ 3π π]
所以f(x)的单调递增区间为 kπ- ,kπ+ (k∈Z). (13分)
8 8
易错警示 本题函数解析式中含有参数ω,在用倍角公式时要注意转化成“2ωx”,在求单调
区间时,也要注意x的系数.
评析 本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单调区间等知识,属中档题.
( π)
27.(2015天津理,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2 x- ,x∈R.
6
(1)求f(x)的最小正周期;
[ π π]
(2)求f(x)在区间 - , 上的最大值和最小值.
3 4
解析 (1)由已知,有
( π)
1-cos2x 1-cos 2x- 1(1 √3 ) 1 √3 1
f(x)= - 3 = cos2x+ sin2x - cos 2x= sin 2x- cos 2x=
2 2 2 2 2 4 4
2
1 ( π)
sin 2x- .
2 6
2π
所以, f(x)的最小正周期T= =π.
2
[ π π] [ π π] ( π) 1
(2)因为f(x)在区间 - ,- 上是减函数,在区间 - , 上是增函数, f - =- , f
3 6 6 4 3 4
( π) 1 (π) √3 [ π π] √3 1
- =- , f = .所以, f(x)在区间 - , 上的最大值为 ,最小值为- .
6 2 4 4 3 4 4 2
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x x x
28.(2015北京理,15,13分)已知函数f(x)=√2sin cos -√2sin2 .
2 2 2
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.
√2 √2
解析 (1)因为f(x)= sin x- (1-cos x)
2 2
( π) √2
=sin x+ - ,
4 2
所以f(x)的最小正周期为2π.
3π π π
(2)因为-π≤x≤0,所以- ≤x+ ≤ .
4 4 4
π π 3π
当x+ =- ,即x=- 时, f(x)取得最小值.
4 2 4
( 3π) √2
所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f - =-1- .
4 2
29.(2015安徽文,16,12分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
[ π]
(2)求f(x)在区间 0, 上的最大值和最小值.
2
( π)
解析 (1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=√2sin 2x+ +1,
4
2π
所以函数f(x)的最小正周期为T= =π.
2
( π)
(2)由(1)的计算结果知,f(x)=√2sin 2x+ +1.
4
[ π] π [π 5π]
当x∈ 0, 时,2x+ ∈ , ,
2 4 4 4
[π 5π]
由正弦函数y=sin x在 , 上的图象知,
4 4
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π π π
当2x+ = ,即x= 时, f(x)取最大值√2+1;
4 2 8
π 5π π
当2x+ = ,即x= 时, f(x)取最小值0.
4 4 2
[ π]
综上,f(x)在 0, 上的最大值为√2+1,最小值为0.
2
评析 本题考查三角恒等变换,三角函数的周期性及最值.
( π)
30.(2015湖北理,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ) ω>0,|φ|< 在某
2
一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
π 3π
ωx+φ 0 π 2π
2 2
π 5π
x
3 6
Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的
(5π )
一个对称中心为 ,0 ,求θ的最小值.
12
π
解析 (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=- .
6
数据补全如下表:
π 3π
ωx+φ 0 π 2π
2 2
π π 7π 5π 13
x π
12 3 12 6 12
Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0
( π)
且函数表达式为f(x)=5sin 2x- .
6
( π)
(2)由(1)知 f(x)=5sin 2x- ,
6
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( π)
得g(x)=5sin 2x+2θ- .
6
因为y=sin x图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,
π
令2x+2θ- =kπ,
6
kπ π
解得x= + -θ,k∈Z.
2 12
(5π )
由于函数y=g(x)的图象关于点 ,0 中心对称,
12
kπ π 5π
令 + -θ= ,
2 12 12
kπ π
解得θ= - ,k∈Z.
2 3
π
由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值 .
6
31.(2014山东理,16,12分)已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过
( π ) (2π )
点 ,√3 和点 ,-2 .
12 3
(1)求m,n的值;
(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高
点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.
解析 (1)由题意知f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x.
( π ) (2π )
因为y=f(x)的图象经过点 ,√3 和 ,-2 ,
12 3
π π
{ √3=msin +ncos ,
6 6
所以
4π 4π
-2=msin +ncos ,
3 3
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{ √3= 1 m+ √3 n,
2 2
即
√3 1
-2=- m- n,
2 2
解得m=√3,n=1.
( π)
(2)由(1)知f(x)=√3sin 2x+cos 2x=2sin 2x+ .
6
( π)
由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin 2x+2φ+ .
6
设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x,2),
0
由题意知x2
+1=1,所以x=0,
0 0
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).
( π)
将其代入y=g(x)得sin 2φ+ =1,
6
π
因为0<φ<π,所以φ= .
6
( π)
因此g(x)=2sin 2x+ =2cos 2x.
2
π
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ- ≤x≤kπ,k∈Z,
2
[ π ]
所以函数y=g(x)的单调递增区间为 kπ- ,kπ ,k∈Z.
2
( π π)
32.(2014重庆理,17,13分)已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ) ω>0,- ≤φ< 的图象关于直线x=
2 2
π
对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
3
(1)求ω和φ的值;
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(α) √3(π 2π) ( 3π)
(2)若f = <α< ,求cos α+ 的值.
2 4 6 3 2
解析 (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω=
2π
=2.
T
π
又因为f(x)的图象关于直线x= 对称,所以
3
π π π π
2· +φ=kπ+ ,k=0,±1,±2,….由- ≤φ< 得k=0,
3 2 2 2
π 2π π
所以φ= - =- .
2 3 6
(α) ( α π) √3
(2)由(1)得f =√3sin 2· - = ,
2 2 6 4
( π) 1
所以sin α- = .
6 4
π 2π π π
由 <α< 得0<α- < ,
6 3 6 2
所以cos ( α- π) = √ 1-sin2( α- π) = √ 1- (1) 2 = √15 .
6 6 4 4
( 3π) [( π) π]
因此cos α+ =sin α=sin α- +
2 6 6
( π) π ( π) π
=sin α- cos +cos α- sin
6 6 6 6
1 √3 √15 1 √3+√15
= × + × = .
4 2 4 2 8
( π)
33.(2014四川理,16,12分)已知函数f(x)=sin 3x+ .
4
(1)求f(x)的单调递增区间;
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(α) 4 ( π)
(2)若α是第二象限角, f = cos α+ cos 2α,求cos α-sin α的值.
3 5 4
[ π π ]
解析 (1)因为函数y=sin x的单调递增区间为 - +2kπ, +2kπ ,k∈Z.
2 2
π π π
由- +2kπ≤3x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得
2 4 2
π 2kπ π 2kπ
- + ≤x≤ + ,k∈Z.
4 3 12 3
[ π 2kπ π 2kπ]
所以,函数f(x)的单调递增区间为 - + , + ,k∈Z.
4 3 12 3
( π) 4 ( π)
(2)由已知,有sin α+ = cos α+ (cos2α-sin2α),
4 5 4
π π
所以sin αcos +cos αsin
4 4
4( π π)
= cosαcos -sinαsin (cos2α-sin2α).
5 4 4
4
即sin α+cos α= (cos α-sin α)2(sin α+cos α).
5
3π
当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α= +2kπ,k∈Z.
4
此时,cos α-sin α=-√2.
5
当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2= .
4
√5
由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=- .
2
√5
综上所述,cos α-sin α=-√2或- .
2
评析 本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知
识,考查运算求解能力,考查分类与整合、化归与转化等数学思想.
( π) √3
34.(2014天津理,15,13分)已知函数f(x)=cos x·sin x+ -√3cos2x+ ,x∈R.
3 4
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(1)求f(x)的最小正周期;
[ π π]
(2)求f(x)在闭区间 - , 上的最大值和最小值.
4 4
解析 (1)由已知,有
(1 √3 ) √3
f(x)=cos x· sinx+ cosx -√3cos2x+
2 2 4
1 √3 √3
= sin x·cos x- cos2x+
2 2 4
1 √3 √3
= sin 2x- (1+cos 2x)+
4 4 4
1 √3
= sin 2x- cos 2x
4 4
1 ( π)
= sin 2x- .
2 3
2π
所以f(x)的最小正周期T= =π.
2
[ π π ] [ π π]
(2)因为f(x)在区间 - ,- 上是减函数,在区间 - , 上是增函数,
4 12 12 4
( π) 1 ( π ) 1 (π) 1
f - =- , f - =- , f = ,
4 4 12 2 4 4
[ π π] 1 1
所以函数f(x)在闭区间 - , 上的最大值为 ,最小值为- .
4 4 4 2
评析 本题主要考查两角和与差的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周
期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.
( π π)
35.(2014江西理,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈ - , .
2 2
π
(1)当a=√2,θ= 时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;
4
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(π)
(2)若f =0, f(π)=1,求a,θ的值.
2
π
解析 (1)当a=√2,θ= 时,
4
( π) ( π)
f(x)=sin x+ +√2cos x+
4 2
√2
= (sin x+cos x)-√2sin x
2
√2 √2 (π )
= cos x- sin x=sin -x ,
2 2 4
π [ 3π π]
由x∈[0,π],知 -x∈ - , .
4 4 4
√2
故f(x)在[0,π]上的最大值为 ,最小值为-1.
2
{ (π)
f =0, {cosθ(1-2asinθ)=0,
(2)由 2 得
2asin2θ-sinθ-a=1,
f (π)=1
( π π)
由θ∈ - , 知cos θ≠0,
2 2
{a=-1,
解得 π
θ=- .
6
1
36.(2013北京文,15,13分)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+ cos 4x.
2
(1)求f(x)的最小正周期及最大值;
(π ) √2
(2)若α∈ ,π ,且f(α)= ,求α的值.
2 2
1
解析 (1)因为f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+ cos 4x
2
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1
=cos 2xsin 2x+ cos 4x
2
1 √2 ( π)
= (sin 4x+cos 4x)= sin 4x+ ,
2 2 4
π √2
所以f(x)的最小正周期为 ,最大值为 .
2 2
√2 ( π)
(2)因为f(α)= ,所以sin 4α+ =1.
2 4
(π ) π (9π 17π)
因为α∈ ,π ,所以4α+ ∈ , .
2 4 4 4
π 5π 9π
所以4α+ = .故α= .
4 2 16
— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点1 三角函数的图象及其变换
π
1.(2021山东日照一模,7)将函数y=sin x的图象向左平移 个单位,得到函数y=f(x)的图象,则
2
下列说法正确的是 ( )
A.y=f(x)是奇函数
B.y=f(x)的周期为π
( π )
C.y=f(x)的图象关于点 - ,0 对称
2
π
D.y=f(x)的图象关于直线x= 对称
2
答案 C
( π)
2.(2020山东师范大学附属中学第三次月考,3)为了得到函数y=sin 2x+ 的图象,只需把函
3
数y=sin 2x的图象 ( )
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π π
A.向左平移 个单位 B.向左平移 个单位
6 3
π π
C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位
6 3
答案 A
( π)
3.(2020重庆育才中学3月月考,10)函数f(x)=cos(ωx+φ) ω>0,|φ|< 的部分图象如图所
2
| 3 |
示,则函数g(x)= f (x)- φ 的最小正周期为 ( )
π
π
A.π B.2π C.4π D.
2
答案 A
π
4.(2021辽宁百校联盟质检,15)将函数f(x)的图象向左平移 个单位,再把所得的图象保持纵坐
3
(x π)
标不变,横坐标伸长到原来的4倍得到y=sin + 的图象,则f(x)的解析式是 ;函数
2 4
[ π π ]
f(x)在区间 - , 上的值域是 .
8 12
( 5π)[ √2]
答案 f(x)=sin 2x- ; -1,-
12 2
考点2 三角函数的性质及其应用
( π)
1.(2020广东茂名化州二模,3)已知函数f(x)=sin ωx+ (ω>0)的最小正周期为4π,则 ( )
6
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A.函数f(x)的图象关于原点对称
π
B.函数f(x)的图象关于直线x= 对称
3
π
C.函数f(x)图象上的所有点向右平移 个单位长度后,所得的图象关于原点对称
3
D.函数f(x)在区间(0,π)上单调递增
答案 C
( π) [ π] ω
2.(2021湖南永州二模,8)已知函数f(x)=sin ωx- (ω>0)在区间 0, 上的最大值为 ,则
6 4 3
实数ω的取值个数最多为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
3.(2021天津南开一模,7)已知函数f(x)=√3sin ωx-cos ωx(ω>0)满足f(x)-f(x)=4,且|x-x|的最小
1 2 1 2
π (π)
值为 ,则f 的值为( )
2 8
√6-√2
A. B.1 C.√3 D.2
2
答案 A
π
4.(多选题)(2021广东韶关一模,10)如图所示,点P是函数f(x)= sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0)图象的最
2
( π )
高点,M、N是图象与x轴的交点,若M - ,0 ,且⃗PM·⃗PN=0,则 ( )
6
(2π ) (π π) 2π
A.N ,0 B.ω=1 C.P , D.φ=
3 3 2 3
答案 BC
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B组 综合应用题组
时间 : 60 分钟 分值 : 85 分
一、单项选择题(每小题5分,共35分)
( π)
1.(2020辽宁大连二模,3)已知函数y=sin(ωx+φ) ω>0,0<φ≤ ,其部分图象如图所示,则点
2
P(ω,φ)的坐标是 ( )
( π) ( π)
A. 2, B. 2,
2 4
( π) ( π)
C. 4, D. 4,
2 4
答案 B
2.(2021广东韶关一模,4)人的心脏跳动时,血压在增加或减少,血压的最大值、最小值分别称
为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设某
人的血压满足函数式p(t)=101+25sin(160πt),其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),
则下列说法正确的是 ( )
A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C.收缩压高于标准值,舒张压低于标准值
D.收缩压低于标准值,舒张压高于标准值
答案 C
(π )
3.(2021东北三省四市教研联合体二模,4)下列函数中,周期为π,且在区间 ,π 上单调递增
2
的是 ( )
A.y=|sin x| B.y=tan 2x
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C.y=cos 2x D.y=sin 2x
答案 C
4.(2021江苏七市第二次调研,6)函数f(x)=sin xcos x+√3cos2x的图象的一条对称轴为( )
π π π π
A.x= B.x= C.x= D.x=
12 6 3 2
答案 A
( π)
5.(2020河北衡水中学第九次调研,11)直线y=a与函数f(x)=tan ωx+ (ω>0)的图象的相邻
4
两个交点的距离为2π,若f(x)在(-m,m)(m>0)上是增函数,则m的取值范围是 ( )
( π] ( π] ( 3π] ( 3π]
A. 0, B. 0, C. 0, D. 0,
4 2 4 2
答案 B
π
6.(2021湖南衡阳联考(一),8)已知函数f(x)=cos ωx(ω>0),将f(x)的图象向右平移 个单位得
3ω
到函数g(x)的图象,点A,B,C是f(x)与g(x)图象的相邻三个交点,若△ABC是钝角三角形,则ω的
取值范围为 ( )
( √2 ) ( √3 )
A. 0, π B. 0, π
2 3
(√3 ) (√2 )
C. π,+∞ D. π,+∞
3 2
答案 B
7.(2020湖北华师一附中、黄冈中学等八校第一次联考,12)已知函数f(x)=sin x·|sin x|,给出下
列结论:
①f(x)是周期函数;
②f(x)是奇函数;
[ π π]
③ - , 是函数f(x)的一个单调递增区间;
2 2
④若f(x)=-f(x),则x+x=kπ(k∈Z);
1 2 1 2
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{ 1 5 }
⑤不等式sin 2πx·|sin 2πx|>cos 2πx·|cos 2πx|的解集为 x|k+ <x<k+ ,k∈Z ,其中正
8 8
确结论的序号是 ( )
A.①②④ B.①②③④ C.②③ D.①②③⑤
答案 D
二、多项选择题(每小题5分,共20分)
8.(2021广东肇庆二模,10)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(x)= (
)
( 2π) ( 5π)
A.2sin 2x+ B.2sin 2x-
3 3
( π) ( 7π)
C.2cos 2x- D.2cos x-
6 6
答案 BC
9.(2021重庆一模,10)已知函数f(x)=|cos x|+cos|x|,则下列结论正确的是 ( )
A. f(x)是周期函数
B. f(x)在[0,π]上单调递减
C. f(x)是奇函数
D. f(x)的图象关于直线x=π对称
答案 AD
10.(2021河北石家庄一模,11)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图,把函数f(x)的图象
π
上所有的点向右平移 个单位长度,可得到函数y=g(x)的图象,下列结论正确的是 ( )
6
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π
A.φ=
3
B.函数g(x)的最小正周期为π
[ π π ]
C.函数g(x)在区间 - , 上单调递增
3 12
( π )
D.函数g(x)的图象关于点 - ,0 中心对称
3
答案 BC
√3
11.(2020山东百师联盟测试)已知函数f(x)=√3sin2x+sin xcos x- ,则下列说法正确的是 (
2
)
A.函数f(x)的值域为[-1,1]
π
B.函数f(x)的图象可由y=sin 2x的图象向右平移 个单位得到
3
[ π π]
C.函数f(x)在 - , 上单调递减
6 3
(2π )
D.点 ,0 是函数f(x)的图象的一个对称中心
3
答案 AD
三、填空题(共5分)
12.(2021湘豫名校4月联考,15)如图,函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与坐标轴交于点
A,B,C,直线BC交f(x)的图象于点D,O(坐标原点)为△ABD的重心(三条边中线的交点),其中A(-
π,0),则△ABD的面积为 .
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3√3π
答案
2
四、解答题(共25分)
( π) ( π)
13.(2020山东省实验中学第二次诊断,18)已知函数f(x)=2√3·sin x+ cos x+ +sin 2x+a
4 4
的最大值为1.
(1)求实数a的值;
π [ π]
(2)若将f(x)的图象向左平移 个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间 0, 上的最
6 2
大值和最小值.
( π) ( π)
解析 (1)f(x)=2√3sin x+ cos x+ +sin 2x+a
4 4
( π)
=√3sin 2x+ +sin 2x+a
2
π
=√3cos 2x+sin 2x+a=2sin 2x+ +a,
3
∴2+a=1,∴a=-1.
π ( π)
(2)∵将f(x)的图象向左平移 个单位,得到函数g(x)的图象,∴g(x)=f x+ =2sin
6 6
[ ( π) π]
2 x+ + -1
6 3
( 2π) [ π] 2π [2π 5π]
=2sin 2x+ -1,∵x∈ 0, ,∴2x+ ∈ , ,
3 2 3 3 3
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2π 2π ( 2π) √3 2π 3π
∴当2x+ = ,即sin 2x+ = 时,g(x)取最大值√3-1;当2x+ = ,即sin
3 3 3 2 3 2
( 2π)
2x+ =-1时,g(x)取最小值-3.
3
( π)
思路分析 (1)利用三角恒等变换化简函数的解析式得f(x)=2sin 2x+ +a,故2+a=1,可得
3
a=-1.
( 2π) [ π]
(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得g(x)=2sin 2x+ -1,再根据x∈ 0, ,利
3 2
用正弦函数单调性求得函数g(x)的最值.
π
14.(2021山东烟台一模,18)将函数f(x)=sin x+√3cos x图象上所有点向右平移 个单位长度,
6
1
然后横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.
2
(1)求函数g(x)的解析式及单调递增区间;
(π ) (π ) 1 (π)
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin -B cos +B = ,c=g ,b=2√3,
3 6 4 6
求△ABC的面积.
( π)
解析 (1)f(x)=sin x+√3cos x=2sin x+ ,
3
π ( π) 1
f(x)的图象向右平移 个单位长度得到y=2sin x+ 的图象,横坐标缩短为原来的 (纵坐标
6 6 2
( π) ( π)
不变)得到y=2sin 2x+ 的图象,所以g(x)=2sin 2x+ .
6 6
π π π
令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,
2 6 2
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π π
得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,
3 6
[ π π ]
所以g(x)的单调递增区间为 - +kπ, +kπ (k∈Z).
3 6
(π)
(2)由(1)知,c=g =2.
6
(π ) (π ) (π ) 1
因为sin -B cos +B =cos2 +B = ,
3 6 6 4
(π ) 1
所以cos +B =± .
6 2
π (π 7π)
又因为B∈(0,π),所以B+ ∈ , ,
6 6 6
(π ) 1 π π π π
当cos +B = 时,B+ = ,得B= ,此时由余弦定理可知,4+a2-2×2acos =12,所以a=√3+
6 2 6 3 6 6
1 π √3+√11
√11,所以S = ×2×(√3+√11)×sin = ;
△ABC 2 6 2
(π ) 1 π 2π π 1
当cos +B =- 时,B+ = ,得B= ,由勾股定理可得,a=√12-4=2√2,所以S = ×2×2
6 2 6 3 2 △ABC 2
√2=2√2.
√3+√11
综上,△ABC的面积为2√2或 .
2
( π) π π π
思路分析 (1)由题可得g(x)=2sin 2x+ ,令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z即可解得单调递
6 2 6 2
π π
增区间;(2)由题可得c=2,B= 或B= ,由余弦定理或勾股定理可求得a,即可求出面积.
6 2
— 一年原创 —
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1
1.(2021 5·3原创题)已知函数f(x)=cos x+ ,有关该函数的说法错误的是 ( )
cosx
A.该函数存在最大值2 B.函数f(x)的一个周期为2π
C.该函数不存在最小值 D.该函数为偶函数
答案 A
|a c| | sinx sinx|
2.(2021 5·3原创题)已知二阶行列式 =ad-bc.若函数f(x)= ,将函数
b d -sinx cosx
( π)
f(x)的图象向右平移φ 0<φ< 个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则
2
[ π]
函数g(x)在 0, 上的值域为 ( )
3
[ √2 √2] [1-√2 2+√2]
A. - , B. ,
2 4 2 4
[2-√2 1+√2] [√2-1 2+√2]
C. , D. ,
4 2 2 4
答案 B
π
3.(2021 5·3原创题)将函数f(x)=sin x的图象向右平移 个单位长度,再将图象上每一点的横
3
坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变得到g(x)的图象,当x∈[0,5π]时,g(x)=m有三个实数根
x,x,x,且x<x<x,则(x+x)sin x 的取值范围为 ( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( 10π 5π) [ 10π]
A. - , B. 0,
3 3 3
( 10π 10π) ( 10π 10π]
C. - , D. - ,
3 3 3 3
答案 B
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4.(2021 5·3原创题)已知函数f(x)=-cos 2x-√3sin 2x,将f(x)的图象上所有点沿x轴平移θ(θ>0)
个单位长度,得到函数g(x)的图象,且函数g(x)为偶函数,当θ最小时,函数h(x)=2cos(πx-θ)的图
象的对称中心的坐标为 .
( 2 )
答案 k+ ,0 ,k∈Z
3
( π)
5.(2021 5·3原创题)已知函数f(x)=sin ωx+ +2(其中ω>0)的最小正周期为π,则 ω=
6
1
;若f(x)+ =4,则|x-x|的最小值是 .
1 f (2x ) 1 2
2
π
答案 2;
6
6.(2021 5·3原创题)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(φ∈(0,π),A>0,ω>0),同时满足下列四个条件中的
两个或三个:
①函数f(x)的图象可以由y=sin 2x+cos 2x的图象平移得到;
②函数f(x)的图象过点(0,1);
③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π;
④函数f(x)的最大值为2.
(1)请从上面四个条件中选择两个或三个求出一个函数f(x)解析式,并说明理由;
(2)若你在(1)中求出的函数f(x)图象的对称轴只有一条落在区间[0,m]上,求m的取值范围.
( π)
解析 (1)根据条件①y=sin 2x+cos 2x=√2cos 2x- ,可知A=√2,ω=2,那么条件①与条件
4
③和④互相矛盾,所以就产生两种情况:
第一种:选择条件①、②.由条件①可知A=√2,ω=2,于是函数f(x)=√2cos(2x+φ),将点(0,1)代入,
π ( π)
结合φ∈(0,π)可得φ= ,所以函数f(x)=√2cos 2x+ .
4 4
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第二种:选择条件②③和④.由条件③和④可知A=2,ω=1,于是函数f(x)=2cos(x+φ),将点(0,1)代
π ( π)
入,结合φ∈(0,π)可得φ= ,所以函数f(x)=2cos x+ .
3 3
( π) kπ π
(2)由第一种情况得f(x)=√2cos 2x+ ,可知图象的对称轴方程为x= - (k∈Z),当k=1时,
4 2 8
3π 7π 3π 7π
x= ;当k=2时,x= ,∴ ≤m< .
8 8 8 8
( π) π 2π
由第二种情况得f(x)=2cos x+ ,可知图象的对称轴方程为x=kπ- (k∈Z),当k=1时,x= ;
3 3 3
5π 2π 5π
当k=2时,x= ,∴ ≤m< .
3 3 3
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