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导数及其应用
猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据
1.导数的概念与抽象函数的性质 含参的函数利用导数求参数问题是高
综合考查； 考中的一个高频考点，也是必考点，
通过函数单调性转化成为恒成立问题
2024全国新高考I
2.导数几何意义的应用、切线问
或者存在使成立问题以及其他问题，
卷10、13、18
题；
可直接求导或者是利用分离参数去转
2024全国新高考Ⅱ 3.应用导数研究函数的单调性或 化。
卷8、11、16 根据函数单调性求参数范围；
与三角函数相关问题随着新高考新结
2023全国新高考I 4.应用导数求函数的极值、最 构的出现，这类题目一压轴题出现的
导数及其 卷11、19 值，或由极值（点）、最值求参 频率会变大。
应用 数范围； 导数综合类问题一直是高考数学的压
2023全国新高考Ⅱ
轴题一般牵扯到不等式的证明问题，
卷6、11、22 5.导数的综合应用问题，包括证
极值点偏移问题，拐点偏移问题，隐
明不等式、恒成立或存在性问
2022全国新高考I 零点问题，函数放缩问题。未来也是
题、零点及零点个数，以及根据
卷7、10、22 高考重难点
零点求参数范围问题；
2022全国新高考Ⅱ 6.小题综合化有增强趋势，解答 随着高考数学新结构的形式出现。导
卷14、22 题难度有降低趋势，注重其它学 数新定义问题将成为高频考点
科中应用导数解决问题，突出
其“工具性”.
题型一 切线问题
1．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则
．
2．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）若直线 是曲线 与曲线 的公切线，
则 ．
3．（24-25高二下·天津南开·阶段练习）已知函数 直线l为曲线 的切线，且经
过原点，求直线 的方程 .4．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
，则 ， .
5．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知直线 与曲线 相切，则 ．
6．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若曲线 只有一条过原点的切线，则 的值为
．
7．（2025高三·全国·专题练习）若曲线 和曲线 存在有公共切点的公切
线，则 ．
题型二 导数与函数的单调性
1．（2025高二·全国·专题练习）若函数 在 上存在单调递减区间，则实数 的
取值范围为
2．（2025高三·全国·专题练习）若函数 是其定义域上的增函数，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二·全国·专题练习）（多选）若函数 在区间 上单调，则实数m的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数 ，若任意两个不相等的正实数 ， ，都有
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二·全国·专题练习）设 为 上的奇函数，当 时， ，则不等式
的解集为 ．
6．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）（多选）已知定义在 上的函数 的导函数是 ，且
．若 ，则称 是 的“增值”函数．下列函数是 的“增值”函数，
其中使得 在 上不是单调函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二下·湖北孝感·期中）定义在 上的函数 满足 ，且 ，
则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
8．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知 则（ ）
A． B．
C． D．
题型三 导数与函数极值、最值问题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 ，则 的极大值为 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）若函数 在区间 上存在极值点，则实数 的最大
值为 ．
3．（24-25高二下·吉林·阶段练习）（多选）对于函数 ，下列结论正确的（ ）
A． 在 处取得极大值 B． 有两个不同的零点
C． D．若 恒成立，则
4．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数 的极小值点为 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数 有三个极值点，则 的取值
范围是 ．6．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）函数 在区间 内存在最小值，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·河南开封·二模）已知直线 与函数 ， 的图象分别交于 ， 两点，则
取最小值时， ，最小值为 ．
题型四 应用导数研究恒成立（能成立）问题
1．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数 ， ，若 在
上恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2025·江西萍乡·一模）设函数 ， ，若 ， ，使
得 ，则实数 的取值范围是 .
3．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知 恒成立，则正数 的取值范围
为 ．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范围是
（ ）A． B．
C． D．
5．（2025·江西·二模）已知 ，若 在 上恒成立，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖北·模拟预测）函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川自贡·二模）已知函数 ， .
(1)若 存在极小值，且极小值为 ，求 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
8．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)求 在 上的最小值与最大值．
9．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数 .(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若函数 在 上的最大值为 0，求实数 的取值范围.
题型五 应用导数证明不等式（等式）
1．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 恒成立，求 的取值范围．
2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数 ．
(1)若存在 ，使 成立，求k的取值范围；
(2)已知 ，若 在 上恒成立，求k的最小值．
3．（2025·河南·三模）已知函数
(1)当 时，求 的零点个数；
(2)若 ，求 的最大值；(3)证明： .
4．（2025高三·全国·专题练习）已知 为常数，函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点 .
①求 的取值范围；
②若 恒成立，求 的取值范围.
5．（2026高三·全国·专题练习）设函数 ， ．
(1)求证：当 时， ；
(2)若存在 ，使得 成立，求 的取值范围．
6．（2025·湖南·二模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间与极值；
(2)若 恒成立，求 的值；
(3)求证： .7．（24-25高二下·广东清远·阶段练习）已知函数 ．
(1)若函数 是单调函数，求实数 的取值范围；
(2)证明： 对任意的 都成立．
8．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，若 恒成立，求 的取值范围；
(2)当 时，设 为 的从小到大的第 个极值点.证明：数列 是等比数列；
(3)设函数 在区间 内的零点依次为 ， .求证：
.
题型六 三次函数
1．（24-25高二下·山东·阶段练习）（多选）已知函数 ，下列结论中正确的有
（ ）
A． 是 的极小值点 B． 有三个零点
C． 的极小值是 D．函数 为奇函数2．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数 有三个零点，记为
，则（ ）
A．
B．过 可作曲线 的三条切线
C．
D．
3．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数 ，其中 ，则下列说法正确
的是（ ）
A．当 时，函数 有两个零点
B．若 在 上存在两个极值点，则 的取值范围是
C．当 时，函数 至少有一个零点
D．存在实数 ，使函数 在区间 上有最大值
4．（2025·山东枣庄·二模）（多选）已知函数 ，则（ ）
A．当 时，函数 在 上单调递增
B．当 时，函数 有两个极值C．过点 且与曲线 相切的直线有且仅有一条
D．当 时，直线 与曲线 有三个交点 ， ，则
5．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）（多选）已知函数 ，则（ ）
A．函数 的定义域为
B．当 时，函数 在定义域上单调递增
C．曲线 是中心对称图形
D．若 ，且 的最小值是0
6．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知函数 ，则（ ）
A．当 时，该函数单调递增 B．存在 使得该函数为轴对称图形
C．当 时， D．任意 ，过点 可做函数两条切线
7．（24-25高三上·广东深圳·期末）（多选）已知函数 的导函数为 ，下列判
断正确的是（ ）A．函数 关于 中心对称，函数 关于 轴对称
B．在复数范围内方程 有三个根，且三个根的和为3
C． 时，
D．四次函数 必为轴对称函数
