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易错易混07 数列
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01 错点扫描・易错建模夯基石 ........................................................................................................1
02 易错归纳・查漏补缺避陷阱..........................................................................................................8
易错归纳01 数列的单调性应用时忽略n 为正整数（★★★）...............................................................8
易错归纳02 由Sn求an忽略n=1 的讨论（★★★★★）........................................................................10
易错归纳03 等比数列中忽略公比q=1 的讨论（★★★★）.................................................................12
易错归纳04 裂项相消法求和时漏项致错（★★★★★）.....................................................................15
易错归纳05 错位相减法相减时计算、化简出错（★★★★）.............................................................18
易错归纳06 数列中的构造问题（★★★★）.........................................................................................23
易错归纳07 数列中的奇偶项问题（★★★★★）.................................................................................26
易错归纳08 数列不等式的放缩问题（★★★★）.................................................................................31
03 实战检测・易错通关验成效........................................................................................................37
一、求数列最大(小)项的方法
（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．
（2）利用
，求数列中的最大项
；
利用
，求数列中的最小项
.
当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
二、数列的通项an与前n 项和Sn的关系
①当
时，a1若适合
，则
的情况可并入
时的通项
；
②当
时，a1若不适合
，则用分段函数的形式表示.
三、公式法求和
1、等差数列
的前n 项和
2、等比数列
的前n 项和
3、一些常见的数列的前n 项和：
①
；
②
；
③
；
④
四、几种数列求和的常用方法
1、分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组
求和法，分别求和后相加减．
2、并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
3、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项
和．
（1）基本步骤
（2）裂项原则
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（3）消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
4、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这
个数列的前
项和即可用错位相减法求解．
（1）适用条件
若
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列，求数列{an·bn}的前n
项和
．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出
与
的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出
；
5、倒序相加法：如果一个数列
与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这
个数列的前
项和即可用倒序相加法求解．
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数
列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
【常用结论】
裂项技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
②根式型
（1）
（2）
（3）
③指数型
（1）
（2）
（3）
④三角型
（1）
（2）
（3）
⑤阶乘
（1）
五、构造数列法求数列通项公式
1、形如
（其中
均为常数且
）型的递推式：
（1）若
时，数列{
}为等差数列；
（2）若
时，数列{
}为等比数列；
（3）若
且
时，数列{
}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有
如下两种：
法一：设
，展开移项整理得
，与题设
比较系数（待定
系数法）得
，即
构成
以
为首项，以
为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理可
得
（*）法二：由
得
两式相减并整理得
即
构成以
为首项，以
为公比的等比数列．求出
的通项再用累加法便可求出
2、形如
型的递推式：
（1）当
为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设
，通过待定系数法确定
的值，转化成以
为首项，
以
为公比的等比数列
，再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理
可得
法二：当
的公差为时，由递推式得：
，
两式相减得：
，令
得：
，再用（*）便可求出
（2）当
为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设
，通过待定系数法确定的值，转化成以
为首项，以
为公比的等比数列
，再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理可
得
法二：递推公式为
（其中p，q 均为常数）或
（其中p，q， r 均为常数）
时，要先在原递推公式两边同时除以
，得：
，引入辅助数列
（其中
），
得：
再转化用（*）便可求出．
3、形如
（
为常数且
）的递推式：两边同除于
，转化为
形式，
化归为
型求出
的表达式，再求
；
4、还有形如
的递推式，也可采用取倒数方法转化成
形式，化归为
型求出
的表达式，再求
．
5、形如
型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列
的形式求解．方法为：设
，比较系数得
，可解得
，于是
是公比为的等比
数列，这样就化归为
型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用
归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
六、等差、等比数列奇偶项和的性质
1、等差数列中
①若项数为偶数
，则
；
；
．
②若项数为奇数
，则
；
；
．
2、等比数列中，若项数为
，则
；若项数为
，则
．
二、含奇偶项的数列求和问题
1、项数问题
①数列项数是2n 项，那么奇数和偶数分别是n 项；
②数列项数是2n+1 项，那么奇数为n+1 项，偶数为n 项；
③当项数是n 项时，要分n 为奇数和n 为偶数；
2、常见类型
①
，求
的值；则
②
，求
的值
（1）n 为奇数时，有
个奇数项，有
个偶数项，则
（2）n 为偶数时，有
个奇数项，有
个偶数项，则
3、其他类型
①数列中连续两项和或积的问题：
或
②含有
类型
七、常见放缩公式
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
（9）
．
易错归纳01 数列的单调性应用时忽略n 为正整数
【易错陷阱·避错攻略】
（1）从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域
正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域
由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法
（2）在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的，故不能对
数列的通项公式求导．
1．已知数列
是单调递减数列，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用数列的单调性求解即可.
【详解】数列
是单调递减数列，
故
，即
且
，故
.
故选：A
2．（2025·安徽马鞍山·一模）已知数列
的通项公式为
，前n 项和为
，则
取得最小时n
的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】令
，解得：
或
，分类分析
的单调性求解即可.
【详解】令
，解得：
或
，
当
时，
，故当
时，
递增，且
当
时，
，故当
时，
递减；
当
时，
，
递增.
且
，
，
，
，
，
，
故
，所以
取得最小时n 的值为.
故选：C
3．已知常数
，有穷数列
共有7 项，其通项公式为
.对于任意满足
的正整数
，记
为
中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（ ）.
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
【答案】B
【分析】利用二次函数的性质可得
，逐项分别判断即可.
【详解】
，又
，
所以
，
对于A，若
且
，则
即可，故A 是可能，不符合题意，
对于B，若
，则可知
，则
，故B 不可能，符合题意，
对于C，若
且
，则
即可，故C 是可能的，不符合题意，
对于D，若
且
，则
即可，故D 是可能的，不符合题意.
故选：B.
二、填空题
4．已知数列
满足
为正整数，则该数列的最大项是第 项.
【答案】2 和3
【分析】结合对勾函数的单调性求解即可.
【详解】
在
上单调递减，
单调递增，
且
故该数列的最大项是第二项和第三项.
故答案为：2 和3
5．（24-25 高三上·上海宝山·开学考试）已知数列
，
，若
在
上是递增数列，
则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据递增数列的定义可得
，
，且
，结合题意解得
，即
，
求出
的最小值即可求解.
【详解】
在
上是递增数列，所以
，
，且
，
即
，
所以
，即
，
又
，
所以
.
故答案为：
.
6．已知数列
，
，则在数列
的前30 项中，最大项和最小项分别为 ，
．
【答案】
；
【分析】将
变为
，然后观察其什么时候取最大或最小项．
【详解】
，
若要
最大，则需
取最小正数，则当
时，
最大．
若要
最小，则需
取最大负数，则当
时，
最小．
所以最大项为
；最小项为
.
故答案为：
；
易错归纳02 由Sn求an忽略n=1 的讨论
【易错陷阱·避错攻略】
1、已知Sn=f(n)求an
已知
求通项，步骤可分为三步：
（1）当
时
；
（2）当
时，
；
（3）检验能否合写，即
和
两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式．
2、已知Sn与an的关系求an
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.
（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
注：利用Sn与an的关系求an，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系是否
对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式.
1．已知数列
的前
项和为
，则数列
的通项公式为 ．
【答案】
【分析】由
的关系作差即可求解；
【详解】由
，
可得：
，
两式相减可得：
，
当
时，
，不满足上式，
所以
，
故答案为：
2．数列
的前n 项和
，则其通项公式
.
【答案】
【分析】根据
可求出通项公式，注意
时的值.
【详解】当
时，
.
当
时，
，
显然
，
所以数列
的通项公式为
.
故答案为：
.
3．已知数列
满足
，则
．
【答案】
【分析】根据
可求
.
【详解】
时，
，与原式相减得
，则
，
经检验，
时也成立，
故
，即
．
故答案为：
.
4．知数列
的前
项和为
，
，
，当
时，总有
，则数列
的通项公式
．
【答案】
【分析】根据
与
的关系代入计算，再由等比数列的通项公式，即可得到结果.
【详解】当
时，有
，
则当
时，有
，
两式相减可得
，
即
，
又
，
，所以
，
所以
时，数列
是以
为首项，为公比的等比数列，
则
，所以
.
故答案为：
易错归纳03 等比数列中忽略公比q=1 的讨论
【易错陷阱·避错攻略】
注意等比数列的求和公式是分段表示的：
，所以在利用等比数列求和公式求和时要先
判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1 和q≠1 讨论.
1．（25-26 高三上·重庆·开学考试）记
为等比数列
的前
项和，若
，则
的公比为
【答案】2
【分析】设数列
的公比为
，根据条件判断
，利用等比数列的前
项和公式代入化简，推得
，即可求出公比.
【详解】设数列
的公比为
，若
，则
，
因
，则
，不合题意；故
，
由
可得
，
化简得：
，
因
，则得
，因
，解得
.
故答案为：2.
2．已知
是等比数列，其前
项和为
，且
，
，则数列
的公比
，
通项公式为
【答案】
【分析】运用等等比数列得性质公式计算即可.
【详解】由已知有
，即
，解得
或
.
若
，则
，与
矛盾，不符合题意，
所以
，所以
，解得
，所以
.
故答案为：
.
3．已知
和
分别是等差数列
与等比数列
的前
项和，且
，
，
，则
．
【答案】9 或18
【分析】根据等比数列定义求得公比，再利用两数列各项之间的关系计算可得结果.
【详解】设等比数列
的公比为
，
由
，
可得
，即
，
解得
或
；
当
时，可得
，又
，所以
；
此时
；
当
时，，可得
，又
，所以
；
此时
；
综上可得，
或18.
故答案为：9 或18
4．若
是公比为
的等比数列
的前
项和，且
对
都成立，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据等比数列的前
项和公式，讨论
的取值范围，即可求解.
【详解】由题意可知，
，
当
时，
，成立
当
时，
，
当
时，
，
，
，则
恒成立，
当
时，
，
，
，则
恒成立，
当
时，
，
，
，则
恒成立，
当
时，当
为偶数时，
，则
，不满足条件，
当
时，当
为偶数时，
，
，则
，不满足条件.
所以
的取值范围是
.
故答案为：
5．已知等差数列{an}的前3 项和为6，前8 项和为－4.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求数列{bn}的前n 项和Sn.
【解析】（1）设{an}的公差为d，则由已知得
，即
，
解得a1＝3，d＝－1，故an＝3－(n－1)＝4－n.
（2）由（1）知，bn＝n·qn－1，
于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1，
若q≠1，上式两边同乘以q.
qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn，
两式相减得：(1－q)Sn＝1＋q1＋q2＋…＋qn－1－n·qn＝
－n·qn.
所以Sn＝
－
＝
.
若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝
，
所以Sn＝
.
易错归纳04 裂项相消法求和时漏项致错
【易错陷阱·避错攻略】
用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最
后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正
数项，则后面剩余的是负数项．
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列
的首项为
，前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知
，记数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据
可得
，再结合累加法可得通项公式；
（2）利用裂项相消法可求和，再结合不等性质可得证.
【详解】（1）由已知
得
，
即
，则
，
，
，
，
等式左右分别相加可得
，
则
；
（2）依题意得，
，
则
，
又
，所以
，所以
，
即
．
2．已知数列
满足
，
，令
．
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)设
，求证：数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据递推关系，用等差数列的定义证明.
（2）通过裂项相消求数列的和，再适当放缩得到结论.
【详解】（1）由题意知
，
，
，
则
，
，
所以数列
是首项为
，公差为
的等差数列．
（2）由（1）可知，
，
所以
，
代入得
，
所以
=1+1
n(n+2) =1+1
2(
1
n −1
n+2)，
从而有
=[1+1
2(1−1
3))+[1+1
2(
1
2 −1
4))+
+
⋯[1+1
2(
1
n −1
n+2))
=n+1
2(1+1
2 −1
n+1 −1
n+2)
．
即
.
3．（2025·山东·模拟预测）记正项数列
的前
项和为
，已知
.
(1)求
，
；
(2)证明：
是等差数列；
(3)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据给定的递推公式，依次代入计算得解.
（2）由
结合已知推理即得.
（3）由（2）求出
，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）在正项数列
中，
，
令
，得
，解得
，负值舍去；
令
，得
，即
，则
，
所以
，负值舍去’
（2）当
时，
，而
，则
，
即
，又
，
所以
是首项为2，公差为2 的等差数列.
（3）由（2）知
，可得
，
则
，
所以
.
4．已知数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用
时，
求得
，进而得到数列
为公比为3 的等比数列，
最后根据首项和公比写出通项公式即可；
（2）根据裂项相消求和计算即可.
【详解】（1）由
，
可得
时，
，
解得
，
时，
，又
，
两式相减可得
，
即有
，
数列
是首项为3，公比为3 的等比数列，
所以
；
（2）数列
满足
，
所以
．
易错归纳05 错位相减法相减时计算、化简出错
【易错陷阱·避错攻略】
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前
项和可用错
位相减法求解．
错位相减法求和时，应注意：①在写出“
”与“
”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以
便于下一步准确地写出“
”的表达式．
②应用等比数列求和公式必须注意公比
是否等于1，如果
，应用公式
.
注：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是利
用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用n=1 代入检验结果是否成立.
1．（24-25 高三下·甘肃庆阳·期中）记
为正项数列
的前
项和，且
.
(1)求
的值；
(2)判断
是否为等差数列，并求
的通项公式；
(3)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
是常数列，也是等差数列，
.
(3)
【分析】（1）由题意可得
，求解即可；
（2）由已知可得
，可得
是常数列，可求通项公式；
（3）由已知可得
，利用错位相减法可求
.
【详解】（1）令
可得
，
又
，故
.
（2）
，①
，②
由②-①，得
，
即
故
，故
是常数列，也是等差数列
故
，故
.
（3）由（1）可得
故
，③
，④
由④-③得
.
2．（25-26 高三上·广东惠州·月考）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，令
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）设出公差，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算得到方程组，求出首项和公差，
得到通项公式；
（2）在（1）基础上，得到
，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，则
，解得
，
所以
；
（2）因为
，
，所以
，
①，
②，
-
①②得
，
所以
.
3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列
是等差数列，且
，数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用
，可求数列
的通项公式，利用等差数列通项公式、可求得
，
即可求得
的通项公式；
（2）应用错位相减法、等比数列前n 项和公式求和即可.
【详解】（1）由数列
的前
项和为
，可知
，
，
经检验当
时，
也满足上式，所以
．
在等差数列
中，因为
，
，
所以
，解得
，
所以
．
（2）由（1）知，
，
所以
．
则
，
两式相减，得
化简得：
．
4．（2025·广东广州·模拟预测）已知向量
，
，函数
，
的所有大于0 的零点构成递增数列
．
(1)写出
的前6 项；
(2)记
的所有偶数项构成数列
，设
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简可得
，令
，结合正弦函
数的图象性质可得
或
，取其中的正数构成递增数列
可得结果；
（2）由错位相减法求和可得结果.
【详解】（1）由题意
．
由
，得
．
所以
或
．
即
或
，取其中的正数构成递增数列
．
知
的前6 项为
．
（2）由（1）知
，所以
．
所以
．①
．②
①－②，得
．
所以
.
5．（2025·海南·模拟预测）已知数列
的前
项和
，数列
是首项为
的等比数列，且
有
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
或
(2)
【分析】（1）根据
与
的关系即可求解
，进而可求
，进而可求公比，进而得到
；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）
时，
，
时
，
时符合上式，∴
．
∴
，∴
，∴
，∴
或
．
（2）
，
设
，设其前
项和为
，则
，①
，②
①
②得
，
∴
，
时，
，
时，
，
综上
．
易错归纳06 数列中的构造问题
【易错陷阱·避错攻略】
形如
的递推式如何求通项．
（1）若
为
的一次多项式，可用待定系数法化归为
的形式，利
用等比数列公式求得通项；
（2）
为
的指数式．
①只有一个指数式时，还是待定系数法，化为
的形式，利用等比数列公式求得通
项．
②而有两个不同底指数的指数式时，可考虑两边同除以次数最高的项而化归为
的形式，
再用累加法求得通项．
1．已知数列
中，
，当
时，
，则
的通项公式为
．
【答案】
【分析】变形得到
，故
为首项为2，公比为2 的等比数列，从而利用等比数列通
项公式求出答案.
【详解】当
时，
，故
，
其中
，故
为首项为2，公比为2 的等比数列，
故
，所以
.
故答案为：
2．已知数列
中，
，且
，则
．
【答案】
【分析】将
两边取倒数，即可得到
，从而求出
的通项，即可得解.
【详解】由
，可得
，即
，
又
，
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
，即
，所以
．
故答案为：
3．（24-25 高三上·广东广州·期末）已知数列
满足
，
，
，则数列
的通
项公式为 ．
【答案】
【分析】由
得
，构造等比数列即可求解.
【详解】由
，
，
，可得
，
所以
是以3 为首项、3 为公比的等比数列，所以
，
则
，
；
故答案为：
.
4．已知数列
的前
项和为
，且
，则
.
【答案】
/
【分析】根据
作差得到
，从而得到
，结合等比数列的定
义求出
的通项公式，即可得解.
【详解】因为
，
当
时，
，解得
；
当
时，
，
两式相减得
，所以
，即
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，所以
.
故答案为：
5．已知数列
的前
项和为
，则
.
【答案】
【分析】由
，所以由
得
，两边同时除以
得
，所以
为等差数列，求出
从而求解
即可.
【详解】因为
，所以
，即
，
所以
，即
，
所以
是以
为首项，为公差的等差数列.
所以
，
，
所以
，
故答案为：
.
6．已知在数列
中，
，
，则通项
．
【答案】
【分析】利用待定系数法构造新数列，得到
，从而利用等比数列性质求出答案.
【详解】利用待定系数法构造新数列，
，
又
，则
，
所以
．
令
，
是以
为首项，公比
的等比数列．
．即
，
．
当
时成立，所以
．
故答案为：
易错归纳07 数列中的奇偶项问题
【易错陷阱·避错攻略】
有些数列由于有
出现，解题过程中忽略讨论奇数，偶数项
符号不同而导致错误．
1．已知等差数列
中，前
项（
为偶数）和为126，其中偶数项之和为69，且
，则数列
公差为（ ）
A．
B．4
C．6
D．
【答案】B
【分析】由奇偶数项和的差与公差的关系可得
，结合已知条件即可求数列
公差；
【详解】由题意得，奇数项的和
，偶数项的和
，
∴
，又
，解得：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了等差数列，利用前n 项和及项间的关系求公差，属于基础题；
2．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（
）
A．8
B．
C．4
D．2
【答案】D
【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解.
【详解】由题意可知：
，
所以
．
故选：D.
3．（25-26 高三上·湖南怀化·开学考试）（多选题）已知
是数列
的前n 项和，
，
，则（ ）．
A．
是递增数列
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由已知，得
，可得
是递增数列，判断A；根据递推公式分n 为奇数时，n 为偶数
时的数列
为等差数列，计算即可判断BC；由前面分析，对
奇偶项分组求和可判断D.
【详解】对于A，由数列递推式，无论
为奇数，还是偶数，都有
成立，故
是递增数列，
A 正确；
对于B，若n 为奇数，则
是偶数，
是奇数，
所以
，
，即
，
则数列
的奇数项构成首项为
、公差为3 的等差数列，
故
，B 正确；
对于C，若n 为偶数，则
是奇数，
是偶数，
所以
，
，即
，
则数列
的偶数项构成首项为
、公差为3 的等差数列，
故
，C 错误；
对于D，由前面分析得
，D 正确．
故选：ABD
4．（2025·山东聊城·模拟预测）数列
满足
，
，数列
的前
项和为
，数列
满足
，则其前
项和
．
【答案】
【分析】先由题设依次求出数列
和数列
的通项公式，进而求出数列
的通项公式，再利用分
组求和思想方法结合等差等比数列前n 项和公式计算求解即可.
【详解】
，
，
，
数列
为首项为
，公比为2 的等比数列，
，
数列
前
项和为
，
，且当
时，
，
符合，
，
，
.
故答案为：
．
5．（2025·江苏苏州·二模）在数列
中，已知
，且当
为奇数时，
；当
为偶数时，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前
项和
．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）求
为奇数时的通项公式，再代入条件求
为偶数时的通项公式，并分段表示出.
（2）根据（1）的结论，利用并项求和法及等比数列前
项和公式求解即得.
【详解】（1）依题意，
，
当
为偶数时，
，则数列
的奇数项是首项为2，公比为2 的等比数列，
于是
，即当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，
所以
的通项公式是
.
（2）由（1）知，
，
.
6．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列
的前n 项和为
，满足
，
，数
列
满足
，
，且
.
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)设
，
为
的前n 项和，求
.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）由题意可得
，即可求出
，再根据
两边同除以
，
可得
，即可求出
（2）根据分组求和、裂项求和及错位相减法，即可求出答案.
【详解】（1）
，
，
，
，
又
，
，
，
，
由
两边同除以
，
得
，
从而数列
为首项
，公差
的等差数列，
，
从而数列
的通项公式为
（2）由（1）知
，
，
，
设
，
则
，
两式相减得
，
整理得
，
.
7．已知数列
的前
项和
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令
求得
；当
时，由
求解
，再检验
适合，即可得解；
（2）采用分组求和的方式，分
为偶数和
为奇数两个部分，结合等比数列求和公式和并项求和思想分别
求和.
【详解】（1）因为数列
的前
项和
，
，所以
；
当
时，
，
又
适合上式，所以
；
（2）
，
所以数列
的前
项和
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
.
综上，
.
易错归纳08 数列不等式的放缩问题
【易错陷阱·避错攻略】
数列不等式的证明，常常用到放缩法即将数列的通项改造为容易求和的通项，但常常会发现放缩后得到和
不是我们需要的形式，此时可能需要调整放缩的起始项，这样才能得到我们需要的和．
1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知数列
的首项为1，其前
项和为
，且满足
.
(1)求数列
的通项公式.
(2)证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先根据
时，利用公式
，得到关于数列
的递推关系式，再通过构造证
明数列
是等差数列，即可求通项公式；
（2）根据（1）的结果，将通项放缩为
，
，再相消求和.
【详解】（1）
，①
当
时，
，②
-
①②，得
，
两边同时除以
，得
.
当
时，
.
，
，解得
，
此时
，也满足
，
数列
是以
为首项，1 为公差的等差数列，
，即
.
（2）证明：当
时，
，
当
时，
，
，
2．已知在数列
中，
，
，
为等比数列，
．
(1)求实数
和数列
，
的通项公式；
(2)令
，数列
的前
项和为
，求证：对任意
，都有
．
【答案】(1)
，
，
．
(2)证明见解析；
【分析】（1）设
的公比为
，由等比数列定义结合题意列式计算即可求得
，
，再由等比数
列定义求解可得
，代入可得
；
（2）采用放缩法可得
，由裂项相消法计算即可得证.
【详解】（1）设
的公比为
，则
，
，
即
，
整理得
，
解得
，
．
因为
，
所以
，得
；
（2）
，
．
因为
，所以
得证．
3．在数列
中
，且对任意
，
，
，
是公差为
的等差数列.
(1)写出数列的前5 项，并求出数列的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
.
【答案】(1)
，
，
，
，
，
(2)证明见解析
【分析】（1）将
和
分别代入即可得前5 项，通过累加法可得通项公式；
（2）通过放缩思想结合裂项相消法即可得结果.
【详解】（1）由题设可得
，
，
，
，
.
因为
，
，
是公差为
的等差数列，所以
，
从而有
，
，…，
，
累加可得
，所以
又
，
，
是公差为
的等差数列，故
综上所述当
是奇数时，
，当
是偶数时，
，即
（2）由题设
，
当
是奇数时
当
是偶数时
；
所以
，且对任意
，
，
所以
时
因此，
4．已知数列
中，
，
，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)记
，数列
的前
项和为
．
（i）求
的取值范围；
（ii）求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）将
左右两边取倒数，得到
，将其变形为
，即
可根据等差数列的定义，证明数列
为等比数列；
（2）（i）由（1）得到
及
的解析式，进而得到
的解析式
，通过讨论
的取值范围，
即可得到
的取值范围；（ii）先得到
的解析式，进而得到其前
项和
的解析式，通过放缩，将其
转化成求一个等比数列的前
项和
，通过讨论
的范围，即可证明
.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以数列
是以2 为首项，以
为公比的等比数列；
（2）（i）由（1）可知
，
所以
，
，
因为
，
因为
，
，所以
，所以
，
所以
，
的取值范围
；
（ii）因为
，又因为
，
所以
设
.
当
时，
成立；
当
时，
成立；
当
时，
成立；
且随着
值增大，
逐渐减小，
逐渐增大，
因为
，所以
，所以
，
即
.
5．（2025·安徽·模拟预测）已知数列
的前
项积为
，其中
，数列
的通项公式为
.
(1)求数列
及
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)求证：
.
【答案】(1)
，
(2)
(3)证明见解析
【分析】(1)因为数列
的前
项积为
，所以根据an=¿,可求得数列
的通项公式．代入
，
可求得数列
的通项公式；
(2)由(1)可得数列
的通项公式，利用错位相减法可求得数列
的前
项和
；
(3)利用不等式对bn−bn+1
❑√bn
进行适当放缩，再用裂项相消求和法求和，可证明不等式成立．
【详解】（1）当
时，a1=T1=3；
当
时，
；
因为当
时，也满足
.故数列
的通项公式为
.
因为bn=1
4log9an
=1
4log93
n =1
2log99
n =1
2n ，
所以数列
的通项公式为
.
（2）由(1)得，
，则
，
两边同乘以3，得：
两式相减得，
2
−Sn=2
3+2
⋅
⋅
3
2+2⋅3
3+
+2
⋯
⋅
3
n
2
−n⋅3
n+1=2⋅3(1−3
n)
1 3
−
2
−n⋅3
n+1= (1 2
−n)3
n+1
3,
−
所以数列
的前
项和Sn=
(2n
1
−)3
n+1+3
2
.
（3）由(1)得，
，则数列
单调递减，所以bn−bn+1>0,且
，
所以❑√bn+1+ ❑√bn<2❑√bn，
所以bn−bn+1
❑√bn
=2(bn−bn+1)
2❑√bn
<2(bn−bn+1)
❑√bn+1+ ❑√bn
=2(❑√bn−❑√bn+1)，
所以：
∑
i=1
n bi−bi+1
❑√bi
<∑
i=1
n
2(❑√bi−❑√bi+1)=2[(❑√b1−❑√b2)+(❑√b2−❑√b3)+
+
⋯(❑√bn−❑√bn+1))
=2(❑√b1−❑√bn+1)<❑√2，
故
得证.
1．已知等比数列
的前n 项和为
，若
且
，
，
成等差数列，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用基本量法可求公比，从而可得
的值.
【详解】设等比数列
的公比为
，因为
，故
，
由
，所以
，又
，
，解得
或
（舍），
.
故选：B.
2．在数列
中，已知
，则“
”是“
是单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由
，可得
，若
是单调递增数列，则
对任意
都成立，
可得
，可得结论.
【详解】因为
，
，所以
，解得
，
若
是单调递增数列，则对任意
都有：
,
所以
对任意
都成立，又
,
所以
是数列
是单调递增数列的充要条件.
故选：C.
3．（24-25 高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知等差数列
的公差
，记该数列
的前
项和为
，数列
恒单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出等差数列
的前
项和，再利用递减数列列式求得范围.
【详解】在等差数列
中，
，
，由公差
，得
，
解得
，
，
，
，
，
由数列
恒单调递减，得
恒成立，
整理得
恒成立，而
，因此
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D
4．已知数列
的通项公式为
，则
中最小项的值为 .
【答案】
【分析】由通项公式得
，
，根据二次函数的性质确定最小项的值.
【详解】由
，又
，而
，
当
时，
，当
时，
，
所以
中最小项的值为
.
故答案为：
5．（2025·河南许昌·三模）设
是等比数列
的前
项和，
，
，则
．
【答案】
【分析】设等比数列
公比为
，根据已知条件求出
、
的值，再利用等比数列的求和公式化可求出
的值.
【详解】设等比数列
公比为
，当
时，
，此时
，与题意不符，
所以
，由题意可得
，解得
，
由等比数列求和公式得
．
故答案为：
.
6．已知数列
的前
项和为
，且
，则
.
【答案】
【分析】利用
和
的关系求解即可.
【详解】当
时，
，
当
时，
不满足上式，
则
.
故答案为：
.
7．已知数列
中，前n 项和
，求
的通项公式为 .
【答案】
【分析】利用
求解通项公式.
【详解】
①，当
时，
，
当
时，
，
显然
不满足
，
综上，
.
故答案为：
8．（24-25 高三上·四川绵阳·月考）已知数列
满足
，且
，则
.
【答案】
【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式.
【详解】设
，解得：
，
所以
，
又
，则
，
故
是以
为首项，为公比的等比数列，
所以
，即
，
故答案为：
.
9．已知数列
满足
，且
，则数列
的通项公式为 ．
【答案】
【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列
，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的
通项公式，进而得解.
【详解】将
两边同时除以
，得
，即
．
由等差数列的定义知，数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
，故
．
故答案为：
.
10．已知数列
满足
，
，则数列
的通项公式为
．
【答案】
【分析】通过已知条件求出
时
的表达式，再检验
时是否满足该表达式，进而得到数列
的
通项公式.
【详解】已知
①.
当
时，
②.
用①式减去②式可得：
，解得
.
当
时，
，将
代入
可得
，满足上式.
数列
的通项公式为
.
故答案为：
.
11．（24-25 高三上·天津·月考）已知数列
满足：
，且
，则数列
的通项公式是
【答案】
【分析】由题意可构造数列
，得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累乘法即可得解.
【详解】由
，则
，
即
，又
，则
，
故数列
是以
为首项，为公差的等差数列，
即
，
则有
，
，
，
，且
，
故
，即
，显然
均满足.
故答案为：
.
12．已知数列
满足
，则
．
【答案】
【分析】解法一，由待定系数法可得答案；解法二，由
得
，两式相
减再利用待定系数法构造可得答案；解法三，由
得
再递推可得答案．
【详解】解法一 由
，可设
，
其中
为常数，整理得
，
故
，得
，
所以
．
又
，所以
是各项均为0 的常数列，
故
，即
；
解法二 由
，得
，
两式相减得
．
令
，则
，
则
，又
，
所以
，即
，又
，
所以
是首项为3，公差为2 的等差数列，所以
；
解法三 由
得
，
即
，
，…，
，
所以
，
所以
，所以
．
当
时也符合上式．
综上所述，
．
故答案为：
.
13．（24-25 高三上·宁夏银川·月考）已知数列
中，
，
，
，
为数列
的前项和，则数列
的通项公式
；
.
【答案】
574
【分析】整理可得
，可知数列
是以首项为
，公比为
的等比数
列，即可得
的通项公式，再利用分组求和结合等差、等比数列求和公式求解.
【详解】因为
，
，
则
，且
，
可知数列
是以首项为
，公比为
的等比数列，
则
，即
，
可得
，
所以
.
故答案为：
；
.
14. 已知等比数列
中，
，
，求
和q．
【答案】
，
或
，
【分析】根据等比数列的公比分
和
两种情况分类讨论即可得解.
【详解】若
，则
，符合题意．此时，
，
．
若
，由等比数列的前n 项和公式得
，
∴
，∴
，得
，
．
综上所述，
，
或
，
．
15．（2025·甘肃·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
；
(2)求
的通项公式；
(3)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)8，15，24
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可得
，利用递推关系可求得
；
（2）利用累加法可求得通项公式；
（3）利用裂项相消法可求
.
【详解】（1）因为
，所以
.
又
，所以
.
（2）由（1）可知
，
则
时，
，
则
.
当
时，
，适合上式，所以数殉
的通项公式为
；
（3）由（2）可得
则
.
16．（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知各项均为正数的数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)化简题中所给的递推公式，可得数列
是公差为1 的等差数列，结合首项可得数列
的通
项公式.
(2) 数列
的通项公式是等差数列通项公式除以等比数列通项公式的形式，所以其前
项和为
可用错
位相减法得到.
【详解】（1）解：∵
，∴
，∴
∵
，∴
，∴
，∴
，
又
，∴数列
是以
为首项，1 为公差的等差数列，
∴
，
∴数列
的通项公式是:
；
（2）由(1)知
，
∴
①，
①式左右两端同乘以
，得
②，
-
①②，得
，
所以数列
的前
项和
．
17．记公比大于0 的等比数列
的前n 项和为
，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列的性质建立方程，求解参数即可.
（2）先求出
，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）设数列
的公比为
，由
得
，即
解得
或
（舍），
故
的通项公式为
．
（2）由（1）得
，
记
，
则
①，
②，
由①－②得
，
．
可得
，即
．
18．（24-25 高三下·湖南永州·开学考试）已知函数
，点
在曲线
上，且
．
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)设
，记
，求
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将点
代入
，化简推出
，利用等差数列的定义即可
证得；
（2）由（1）求出数列
的通项公式，继而求得数列
的通项公式，推出
，通
过裂项相消法求出
.
【详解】（1）因为点
在曲线
上，
所以
，且
，
，
故数列
是首项为1，公差为4 的等差数列．
（2）由（1）知
，则
．
因为
，所以
，
则
，
故
．
19．（2025·甘肃·模拟预测）已知正项数列
的前n 项和为
，对任意
，点
在过原点且
与直线．
垂直的直线上．数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：数列
是等差数列；
(3)若
，求数列
的前n 项和．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）先根据斜率及过原点得出直线，再根据点在线上结合指对数转化得出通项公式；
（2）先应用
计算得出通项公式，再根据等差数列定义计算证明；
（3）先化简应用分组求和，再应用错位相减法计算得出前n 项和.
【详解】（1）与直线
垂直的直线斜率为1，过原点且与直线
垂直的直线为
，
又因为点
在直线
上，所以
，所以
；
（2）数列
的前n 项和为
，且
，
当
时，
，
当
时，
，符合上式，
所以
，
又因为
，
所以数列
是等差数列
（3）因为
，所以
，
设数列
的前n 项和为
，
，
所以
，
所以
，
设
，
，
所以
，
，
，
所以
；
20．（2025·河北邢台·二模）已知数列
满足
，记
．
(1)证明：数列
为等比数列，并求出数列
的通项公式；
(2)设
为数列
的前
项和，证明：
．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列定义证明，再分奇数偶数求出通项公式即可；
（2）应用错位相减法计算Sn=3−(2n+3)⋅(
1
2)
n
再结合单调性证明不等式即可.
【详解】（1）因为bn+1=a2(n+1)=2a2n+1+2n+1 1
−
=2a2n+1+2n=2(a2n−1
2
2
⋅n)+2n=2a2n=2bn，
又
，
所以
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
，
所以当
为偶数时，
；
当
为奇数且
时，
an=a(n
1
−)+1=an
2
−−1
2
(n
1
−)=bn
1
−
2
−1
2
(n
1
−)=2
n
1
−
2
−n
1
−
2
．
也符合上式．
综上所述，an={
2
n
1
−
2
−n
1
−
2
,n为奇数．
2
n
2 ,n为偶数．
)
（2）由（1）得
，则Sn=1
2 +3
2
2 +5
2
3 +
+
⋯2n
1
−
2
n
，
可得
，
两式相碱，可得
1
2 Sn=1
2 +1
2 +1
2
2 +
+
⋯1
2
n
1
−−2n
1
−
2
n+1
=1
2 +
1
2[1−(
1
2)
n
1
−)
1−1
2
−2n
1
−
2
n+1
=3
2 −(2n+3)⋅(
1
2)
n+1
．
则Sn=3−(2n+3)⋅(
1
2)
n
<3．
因为
，
所以
为递增数列，
则
，
所以
．
21．（2025·河南·二模）已知数列
满足
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)记
的前
项和为
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知等式变形得出
，可知数列
为等比数列，确定该数列的首项
和公比，即可求出数列
的通项公式；
（2）验证当
时，不等式成立；当
时，推导出
，再利用等比数列的求和公式可证得不等
式成立.
【详解】（1）由题设条件，可得若
，则
，
用反证法，假设
，由题设条件，显然
，这与已知条件矛盾，所以
.
因为
，所以
，
，
，所以
，
，
由
得
，所以
，
又
，所以
是首项、公比均为
的等比数列.
所以
，则
.
（2）显然
时，
成立，
当
时，
，所以
，所以
，
所以
，即
，所以
，
所以
.
综上，
，得证.
22．已知数列
满足
．记
（
）．
(1)计算
，并证明数列
为等比数列；
(2)设
，且数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)
，
，证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题设递推关系求
，并得到
，结合等比数列的定义即可证；
（2）由（1）得
，则
，进而可得
即可证.
【详解】（1）由题设
，
，
，且
，
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列；
（2）由（1）知
，则
，
．
.
23．已知在正项数列
中，
，其前
项和
满足
．
(1)求
与
；
(2)令
，数列
的前
项和为
，求证：对于任意的
，都有
．
【答案】(1)
；
．
(2)证明见解析
【分析】（1）应用十字相乘法分解因式计算得出
，再应用
计算求解；
（2）应用放缩法结合裂项相消法证明即可.
【详解】（1）由
，得
．
由于
是正项数列，
，所以
．
当
时，
，
所以
，
．
又
，
，则
，
，所以
，
综上，数列
的通项
，
当
时，
，
当
时，
合适上式，
所以，
．
（2）由于
，由（1）得
，
则当
，，
，
时，有
，
所以，当
时，
．
又
时，
，
所以，对于任意的
，都有
．
24．已知正项数列
中，
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)设
，证明：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由递推公式构造得到
即可求证；
（2）由（1）等比数列通项公式即可求解；
（3）由（2）得到
，通过
即可求证；
【详解】（1）由
得，
，
则
，
因为
，所以
，
又
，故数列
是首项为3，公比为3 的等比数列.
（2）由（1）可知，
，
故
.
（3）由（2）得，
，
当
时，
，不等式成立；
当
时，
，不等式成立；
当
时，
，
所以
，
综上可知，
.
25．（25-26 高三上·辽宁·开学考试）设数列
满足
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)给定正整数
，设函数
，求
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将条件式变形，由等差数列定义判断；
（2）由（1）先求出
，再由错位相减法求出
，即可求
.
【详解】（1）在数列
中，
，
，
即
是以
为首项，1 为公差的等差数列．
（2）由（1）知数列
是首项为3，公差为1 的等差数列.
，即
，
在
中，
，
，
当
且
时，
，
，
当
时，
.
26．（2025·湖南长沙·三模）已知等差数列
的第2 项为3，其前5 项和为25．数列
是公比大于0 的
等比数列，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)记
，
，
（ⅰ）证明
是等比数列；
（ⅱ）证明
，
．
【答案】(1)
，
；
，
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式进行计算；
（2）
（ⅰ）根据
，写出
并计算，由
证明出
是等比数列；
（ⅱ）由
，设出
，用错位相减得出
，从而证明
.
【详解】（1）因为等差数列
的第2 项为3，其前5 项和为25．
所以
，
，
计算得
，公差为
，
所以
；
设等比数列
的公比为
，因为
，所以
，
解得
或
（舍），故
；
（2）（ⅰ）由题意，
，
所以
，
所以
，且
，所以数列
是以4 为公比的等比数列；
（ⅱ）由题意知，
，
所以
，所以
，
设
，则
，
两式相减得
，
所以
，
所以
．
