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分层作业本
第一章 数与式
第一节 实 数
课时1 实数的相关概念及运算
1.
B
2.
A
【解析】∵- 1 < 0 < 2 < 3. 5,
∴最大的数是3. 5.
3.
B 【解析】0 是整数,3. 14 是有限
小数, 2
3 是分数,它们不是无理
数, 2是无限不循环小数,它是无
理数.
4.
B
5.
A
6.
A 【解析】∵这种化肥的包装袋
上标着净重(40±0. 2) kg,∴每袋
化肥的实际质量应在40 - 0. 2 =
39. 8(kg) 到40+ 0. 2 = 40. 2( kg)
之间,当两袋质量相等时,两袋这
种化肥质量的差最小差值为
0
kg,最大差值为40. 2 - 39. 8 =
0. 4(kg),∴两袋质量的差取值范
围是0
kg≤差值≤0. 4
kg,∴A 选
项中0. 42
kg 超过最大值,∴不可
能出现,故选A.
7.
B 【解析】∵| -1. 5 | < | 2 | < | 3 | <
| -8| ,∴与原点距离最近的点表
示的数是-1. 5.
8.
A
9.
C 【解析】根据题意可知,□-3=
±1,∴“□” 表示的数可能是2 或
4.
10.
C 【解析】A.
-(-1)= 1>0,是正
数,不符合题意;B.
(-1)
2 = 1>0,
是正数,不符合题意;C.
-(+1)=
- 1 < 0, 是负数, 符合题意;
D.
| -1| = 1> 0,是正数,不符合
题意.
11.
B 【解析】3+( -3)= 0,则A 选
项不符合题意;3-(-3)= 6,则B
选项符合题意;3×(-3)= -9,则
C 选项不符合题意;3 ÷ ( - 3) =
-1,则D 选项不符合题意.
12.
B
【解析】290 万= 2
900
000 =
2. 9×10
6,∴290 万= 2. 9×10
6 正
确,则A 不符合题意;290 万是
一个七位数,则B 符合题意,C
不符合题意; 290
万写成
2
900…,则0 的个数为5,则D
不符合题意.
13.
D
【解析】∵6. 28 > 6. 18, ∴
6. 28×10
8 >6. 18×10
8,6. 28×10
9
>6. 18×10
9,∵6. 28×10
9 >6. 28×
10
8,∴6. 28×10
9 最大.
14.
C 【解析】由题图可知-1<a<0,
b> 1,A. a > - b,正确,不符合题
意;B. ab<0,正确,不符合题意;
C. a-b< 0,故此选项错误,符合
题意;D. a+b>0,正确,不符合题
意.
15.
C 【解析】∵光的速度大约为3
×10
5 千米/ 秒,∴经过m 秒后所
走过的路程为3m × 10
5 千米
∴3m× 10
5 = a × 10
7, ∴a = 3m
100,
∵1≤a<10,∴1≤3m
100<10,解得
100
3 ≤m<1
000
3
,∴m 的值可能是
60.
16.
解:
原式= 10-3-1
= 6.
17.
解:原式= 2+1-3
= 0.
18.
解:原式= 1-3+6+5-2× 1
2
= 1-3+6+5-1
= 8.
19.
解:(1) ∵第一个同学报出的数
字是-6,
∴第二个同学报出的数字是:-6
÷(-2)= 3,
∴第三个同学报出的数字是:3-
(-1)= 4,
∴第四个同学听到的数字是4;
(2)设第三个同学听到的数字为
x,
∵第四个同学听到的数字是1,
当x 是偶数时,x÷(-2)= 1,
∴x= -2;
当x 是奇数时,x-(-1)= 1,
∴x= 0(不是奇数,舍去),
∴第三个同学听到的数字是-2.
20.
解:(1) 1
3 ;
【解法提示】∵a = - 2,∴a 的差
倒数为
1
1-(-2)= 1
3 .
(2)∵x= 1
3 ,
∴x 的差倒数y =
1
1- 1
3
= 1÷(1-
1
3 )= 1÷ 2
3 = 1× 3
2 = 3
2 ,
∴y 的差倒数z =
1
1- 3
2
= 1÷(1-
3
2 )= 1÷(- 1
2 )= 1×(-2)= -2,
∴y×z= 3
2 ×(-2)= -3.
课时2 数轴的理解及应用
1.
C 【解析】∵| a | = | c | ,∴原点在
a,c 的中间,∴b>0, | a | > | b | ,∴a
+c= 0,a-b<0,a+b<0,ab<0,故选
项C 符合题意.
2.
B
【解析】由数轴可知- 2 < A <
-1,- 1 < B < 0,0 < C < 1,1 < D < 2,
∵-1<1- 2 <0,∴只有点B 有可
能表示的是1- 2.
3.
B 【解析】由题图知t=p+7,∵t+
2p= 1,∴p+7+2p = 1,解得p = -2,
∴Q 是原点.
4.
C
【解析】由数轴可知,数轴是
以小明所在位置为原点,采用向
北为正方向,故A,B 选项正确,
不符合题意;∵小刚所在的位置
对应的数在- 3 和- 2 之间,- 2<
- 5
3 <- 1,∴C 选项错误,符合题
意;∵小颖所在的位置对应的数
为2,∴小颖向南走5 个单位长度
后所在的位置对应的数为2-5 =
-3,∵小红所在的位置对应的数
1
中考试题研究·数学(河北)
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为-5,∴此时小颖和小红之间的
距离为-3-(-5)= 2,故D 选项正
确,不符合题意.
5.
B 【解析】∵点A,C 在数轴上从
左到右所对应的数为-6,3,∴AC
= 3-( - 6) = 9,∵在刻度尺上点
B,C 对应刻度分别为1. 8
cm,5. 4
cm,∴AC= 5. 4
cm,∴数轴上的一
个长度单位对应刻度尺上的长度
为= 5. 4
9 = 0. 6(cm),∵在刻度尺上
AB= 1. 8
cm,∴AB = 1. 8
0. 6 = 3,∴在
数轴上点B 所对应的数b = -6+3
= -3.
6.
C 【解析】设点B 对应的数是x,
∵点A 对应的数为8,且AB = 12,
∴8-x= 12,∴x = -4,∴点B 对应
的数是- 4,故①错误;由题意得
12÷2 = 6( 秒),∴点P 到达点B
时,t= 6,故②正确;当点P 在点B
右边时,∵AB = 12,BP = 2,∴AP =
AB-BP = 12- 2 = 10,∴t = 10÷ 2 =
5(秒),当点P 在点B 左边时,
∵AB= 12,BP= 2,∴AP=AB+BP=
12+2= 14,∴t = 14÷2 = 7(秒),∴
当BP= 2 时,t= 5 或7,故③错误;
∵M,N 始终为AP,BP 的中点,∴
MP= 1
2 AP,NP = 1
2 BP,当点P 在
点B 右边时,MN=MP+NP = 1
2 AP
+ 1
2 BP= 1
2 AB= 1
2 ×12= 6,当点P
在点B 左边时, MN = MP - NP =
1
2 AP- 1
2 BP = 1
2 AB = 1
2 ×12 = 6,
∴在点P 的运动过程中,线段MN
的长度不变, 故④正确; 综上所
述,上列结论中正确的有2 个.
7.
解:(1) 当原点O 与点C 重合
时,点A 表示的数为- 8,点B 表
示的数为- 2, 点C 表示的数
为0,
∴p= -8-2+0= -10;
当原点O 与AB 的中点重合时,
点A,B 表示的数为一对相反数,
此时点C 表示的数为8-2
2 +(10-
8)= 5,
∴p= 0+5= 5;
(2)原点O 沿着数轴每向左移动1
cm,点A,B,C 表示的数分别增加
1,则p 的值将会增大3,
当原点O 与点C 重合时,P = -
10,当p= -4 时,-4-(-10)= 6,
∵6÷3= 2,∴原点O 从与点C 重
合的位置,向左移动2
cm,能得到
p= -4,
此时原点O 在点B 处.
第二节 二次根式
1.
C
2.
D 【解析】根据题意得,x+1≥0,
解得x≥-1.
3.
C
4.
C 【解析】∵
12 = 2 3,且最简
二次根式
a+1 可以与
12 合
并,∴
a+1 = 3,∴a+1 = 3,a =
2.
5.
C
【解析】A.
(-3)
2 = | -3 | =
3,计算正确,故此选项不符合题
意;B.
3
2 = |3 | = 3,计算正确,故
此选项不符合题意;C. 2 与3 不
能合并,计算错误,故此选项符合
题意;D. ( - 3 )
2 = 3,计算正确,
故此选项不符合题意.
6.
C 【解析】
55
2-100×55+2
500
=
55
2-2×50×55+50
2
=
(55-50)
2 = 5.
7.
C
【解析】∵a =
1
2- 3
=
2+ 3
(2+ 3)(2- 3)
= 2+ 3,∴a-b
= 2+ 3 -(2- 3)= 2 3.
8.
B 【解析】由条件可知丙纸片的
边长为2,丁纸片的宽为2,丁纸
片的面积为2 2,∴丁纸片的长
为2 2 ÷ 2 = 2,∴乙纸片的边长
为2+ 2,∴甲纸片的边长为(2+
2)+ 2 = 2+2 2.
9.
18 【解析】∵
a -2 2 = 2,∴
a
= 2 +2 2 = 3 2 =
18,∵a≥0,
∴a= 18.
10.
60
【解析】原式= (
61 )
2 -1
2
= 60.
11.
解:(1)设
67 = 9-t,其中0<t<
1,
∴(
67)
2 =(9-t)
2,
∴67= 81-18t+t
2,
∵t
2 比较小,将t
2 忽略不计,
∴67≈81-18t,
∴t≈81-67
18
= 7
9 ,
∴
67≈9- 7
9 ≈8. 22;
(2)用①的形式得出的
67 的
近似值的精确度更高, 理由如
下:
∵8. 18 × 8. 18 ≈66. 91, 8. 19 ×
8. 19≈67. 08,
66. 91 <
67 <
67. 08,
∴8. 18<
67 <8. 19<8. 22,
∴用①的形式得出的
67 的近
似值的精确度更高.
一题多解法
∵8. 19
2≈67. 08,8. 22
2≈67. 57,
67. 57>67. 08>67,
∴用①的形式得出的
67 的近
似值的精确度更高.
第三节 代数式与整式
课时1 代数式与整式的概念
及运算
1.
B
2.
B
【解析】“a 与b 差的平方” 表
示为(a-b)
2.
3.
D
【解析】2a
2 ·ab = 2a
(2+1) b =
2a
3b.
4.
A
【解析】∵单项式- 3
4 x
ay 和
7x
3y
b +3 是同类项,∴a = 3,b+ 3 =
1,解得b= -2,∴(a+b)
2
026 = [3+
(-2)]
2
026 = 1.
5.
C
6.
C 【解析】逐项分析如下:
选项
逐项分析
正误
A
m
3+m
3 = 2m
3≠m
6
✕
B
m
2·m
3 = m
2+3 = m
5
≠m
6
✕
C
(m
2)
3 =m
2×3 =m
6
√
D
m
4 ÷ m
2 = m
4-2 = m
2
≠m
6
✕
2
参考答案
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7.
B 【解析】逐项分析如下:
选项
逐项分析
正误
A
2a 与3b 不是同类
项,无法合并
✕
B
m
2·m
4 =m
2+4 =m
6
√
C
(a-b)
2 = a
2 -2ab+
b
2≠a
2-b
2
✕
D
(2m
2 )
3 = 2
3( m
2 )
3
= 8m
6≠6m
6
✕
8.
D
【解析】( a·a…a
}
a个
)
3 · a
3 =
(a
a)
3·a
3 =a
3a·a
3 =a
3a+3.
9.
D
【解析】A 表示的面积是
(3a)a = 3a
2; B 表示的面积是
3(3a)= 9a;C 表示的面积是(3×
3)(3a) = 27a;D 表示的面积是
(3a)
2 = 9a
2,∴A,B,C 选项不符
合题意,D 选项符合题意.
10.
D 【解析】如解图,由题易得AB
=a,EF = b,AC = n-b,GE = n-a.
阴影部分的周长为2(AB+AC) +
2(GE+EF)= 2(a+n-b) +2(n-a
+b) = 2a+ 2n- 2b+ 2n- 2a+ 2b =
4n,∴要求图中阴影部分的周长
之和,只需知道n 一个量即可.
第10 题解图
11.
-3 【解析】∵2x-3y = 2,∴3y-
2x = - 2, ∴
6y - 4x + 1 =
2 3y-2x
(
) +1= 2× -2
(
) +1= -3.
12.
4x(答案不唯一) 【解析】∵4x
2
+4x+1=(2x+1)
2,∴加上的单项
式可以是4x.
13.
13 【解析】拼成矩形的面积为
(3a+2b)(2a+b)= 6a
2 +3ab+4ab
+2b
2 = 6a
2+7ab+2b
2,则6+7 = 13
(张),即需要A 种纸片和C 种
纸片合计13 张.
14.
-3a 【解析】原式= a
2 -3a-a
2 =
-3a.
15.
(x+2)(x-4) 【解析】原式= (x
+2)(x-4).
16.
3(x-1)
2
【解析】原式= 3(x
2 -
2x+1)= 3(x-1)
2.
17.
解:原式=x
2+2x+1-x
2-2x
= 1.
18.
解:(1)∵x+y= 11,
∴(x+y)
2 = 121,
即x
2+2xy+y
2 = 121,
又∵xy= 15,
∴x
2+y
2 = 91;
(2)设AB=x
m,BE=y
m,
∵正方形ABFG 和正方形BCDE
的面积和为250
m
2,
∴x
2+y
2 = 250,
∵AE= 20
m,
∴x+y= 20,
∴(x+y)
2 =x
2+2xy+y
2 = 400,
∴xy= 75,
∴S△ABC = 1
2 xy= 37. 5
m
2.
则所需铺设防滑瓷砖的面积为
37. 5
m
2.
19.
D 【解析】
原式= 11×(65
2-35
2)
n
= 11×(65+35)×(65-35)
n
= 11×100×30
n
= 11×2
3×3×5
3
n
,
A. 当n= 44 时,44 = 2
2×11,是11
×2
3× 3× 5
3 的因子,可使结果为
整数,故选项A 不符合题意;B.
当n= 55 时,55= 11×5,是11×2
3
× 3 × 5
3 的因子,可使结果为整
数,故选项B 不符合题意;C. 当
n= 66 时,66= 2×3×11,是11×2
3
× 3 × 5
3 的因子,可使结果为整
数,故选项C 不符合题意;D. 当
n= 77 时,77 = 7×11,不是11×2
3
×3×5
3 的因子,不可使结果为整
数,故选项D 符合题意.
20.
22-2a 【解析】如解图,分别用
①,②,…,⑦表示相应位置应填
入的式子,由条件可知②+③=
2a+3,④+⑤=①+a,⑥+⑦=①+
a+3,∴2a+ 3+①+a+①+a+ 3 =
50,解得①= 22-2a,∴①中填入
的是22-2a.
第20 题解图
21.
解:(1)根据题意可知,x
2 -3x-2
+M= 3x
2-6x-1,
∴M = 3x
2-6x-1-(x
2-3x-2)
= 3x
2-6x-1-x
2+3x+2
= 2x
2-3x+1,
当x= -1 时,
M = 2x
2-3x+1
= 2×(-1)
2-3×(-1)+1
= 2+3+1
= 6;
(2)同意,理由如下:
根据题意可知,(x- 1) (x+ 1) +
(-5x+1)= N,
∴N=x
2-1-5x+1=x
2-5x,
∴M-N = 2x
2-3x+1-(x
2-5x)
= 2x
2-3x+1-x
2+5x
=x
2+2x+1
=(x+1)
2,
当x 不取-1 时,(x+1)
2 恒大于
0,M 的值就一定大于N 的值.
课时2 代数推理
1.
D 【解析】把M 十位上的数字与
个位上的数字交换位置得到新两
位数N,则M+ N 的值为M + N =
10(a+1)+a+10a+a+1 = 10a+10+
a+10a+ a + 1 = 22a + 11 = 11(2a +
1),∴M+N 的值总能被11 整除.
2.
D 【解析】∵乙得11 分,每人3
张,∴乙分得2 张红卡片,1 张黄
卡片,即5+5+1 = 11,∴乙同学没
有拿绿卡片,故A 正确,不符合题
意;∵甲得6 分,且每人3 张,∴
甲分得3 张绿卡片,即2+2+2= 6,
∵丙得9 分,∴丙分得2 张绿卡
片,1 张红卡片,即2+2+5 = 9,∴
甲、乙、丙共分得红卡片3 张,绿
卡片5 张,黄卡片1 张,∵黄卡片
的张数不超过红卡片的张数,∴
丁可能分得2 张黄卡片,1 张绿卡
片,得1+1+2= 4(分),故B 正确,
不符合题意;丁也可能红、绿、黄
各分得1 张,故C 正确,不符合题
意;若丁分得2 张红卡片,1 张黄
卡片,此时红卡片和绿卡片都是5
张,故D 不正确,符合题意.
3.
(1)2;(2)(n+2t);2 【解析】(1)
∵m-1=n+1,∴m-n = 2;(2)∵m
= 2n(n>2),从小马背上取t 袋(1
<t<n)给老牛,∴此时老牛驮(m+
t) 袋,小马驮(n-t) 袋,∴老牛比
3
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小马多驮(m+t) -(n-t)= 2n+t-n
+t= ( n+ 2t) 袋;∵从老牛背上取
回的t 袋中有2 袋是老牛原来驮
的,∴取回的t 袋中有(t-2)袋是
小马原来驮的,∴老牛背上还有
原来小马驮的货物t - ( t - 2) =
2(袋).
4.
解:(1)5,11;
【解法提示】由题图可知a= 4+1=
5,b= 4+7= 11.
(2)n+1,n+7;
【解法提示】由题图可知c=n+1,d
=n+7.
(3)11,3;
【解法提示】由题意得e = 2+ 10+
18-17- 2 = 11,f = 2+ 10+ 18- 10-
17= 3.
(4)n+8.
【解法提示】∵最小的数为n,则
剩余的数为n+1,n+2,n+7,n+8,
n+9,n+14,n+15,n+16,∴3(n+g
+n+16)= n+n+1+n+2+n+7+n+8+
n+9+n+14+n+15+n+16,解得g =
n+8.
第四节 分 式
1.
D
2.
A 【解析】∵分式x-2
x+3的值为0,
∴x-2= 0 且x+3≠0,解得x= 2.
3.
A
【解析】∵- x
x+2 =
2
x+2 + △,
∴△= -
x
x+2 -
2
x+2 = -x-2
x+2
=
-(x+2)
x+2
= -1.
4.
A 【解析】x
2-2
x-1 - 1
1-x = x
2-2
x-1 + 1
x-1
=x
2-1
x-1 =(x+1)(x-1)
x-1
=x+1.
5.
D 【解析】∵a 与b 互为相反数,
且a,b 均不为零,∴a+b = 0,a≠
0,b ≠0, ∴原式= a
2-b
2
b
÷ a-b
b
=
(a+b)(a-b)
b
· b
a-b =a+b= 0.
6.
C
【解析】原式=
P
x+1 ·
x
x-2,
∵
P
x+1 ÷ x-2
x
可进行约分化简,
∴整式P 有公因式x- 2 或x+ 1
即可,∴只有C 选项符合题意.
7.
x= 0(答案不唯一) 【解析】要使
分式有意义,则2x- 3≠0,∴x≠
3
2 .
8.
2 【解析】x
2+2x
x
-x=x+2-x= 2.
9.
③ 【解析】原式= 2x(x+1)
(x+1)
2 = 2x
x+1
= 2x+2-2
x+1
= 2- 2
x+1,∵x 为大于1
的正整数,∴0< 2
x+1 < 1,∴1< 2-
2
x+1< 2,即原分式的值落在段③
处.
10.
解:原式=
2
x
2+2x+1
·(x
2-1)
=
2
(x+1)
2·(x+1)(x-1)
= 2(x-1)
x+1
,
当x= 3 时,原式= 2×(3-1)
3+1
= 1.
11.
解:原式=x+2-1
x+2 ÷
x+1
(x+2)
2
=x+1
x+2·(x+2)
2
x+1
=x+2.
12.
解:(1)M-N≥0,理由如下:
M-N =x+1
2 - 2x
x+1
=(x+1)
2-4x
2(x+1)
=x
2+2x+1-4x
2(x+1)
=x
2-2x+1
2(x+1)
= (x-1)
2
2(x+1),
∵x>0,
∴2(x+1)>0,
∵(x-1)
2≥0,
∴(x-1)
2
2(x+1)≥0,
∴M-N≥0;
(2)y = 2
x+1
2
+ 2x
x+1
= 4
x+1+ 2x
x+1
= 4+2x
x+1 ,
∵y= 3,
∴4+2x
x+1 = 3,解得x= 1,
经检验,x = 1 是原分式方程的
解,
故x= 1.
13.
解:(1)③,1-x
x-2;
【解法提示】∵2-2x
2x-4 = 2(1-x)
2(x-2) =
1-x
x-2,∴分式③还可以化简;结果
为1-x
x-2.
(2)选择:(②-①)×③,
原式=(x-2
x-1-x
2-4x+4
x
2-1
)×1-x
x-2
=[(x-2)(x+1)
(x+1)(x-1)-
x
2-4x+4
(x+1)(x-1)]×1-x
x-2
=
3(x-2)
(x+1)(x-1)×1-x
x-2
= - 3
x+1,
当x= -4 时,原式= -
3
-4+1 = 1.
选择:②÷①+③,
原式=x-2
x-1÷x
2-4x+4
x
2-1
+1-x
x-2
=x-2
x-1×(x+1)(x-1)
(x-2)
2
+1-x
x-2
=x+1
x-2+1-x
x-2
= 2
x-2,
当x= -4 时,原式=
2
-4-2 = - 1
3 .
(任选一个即可)
14.
B
【解析】原式=
2(a-1)
(a+1)(a-1)
=
2
a+1,根据分式要有意义的条
件可知,(a+1)(a-1) ≠0,解得
a≠1 且a≠- 1,∵a 为正整数,
∴a 的最小值为2,∵分式的值
随着a 的值的增大而减小,∴当
a 取最小整数2 时,原式有最大
值,最大值= 2
2+1 = 2
3 ,且原分式
无最小值.
15.
C
【解析】∵m = a-1
a+1,n = b-1
b+1,
4
参考答案
分
层
作
业
本
∴
m - n
=
a-1
a+1 - b-1
b+1
=
(a-1)(b+1)-(b-1)(a+1)
(a+1)(b+1)
=
2(a-b)
(a+1)(b+1),mn = a-1
a+1·b-1
b+1 =
ab-(a+b)+1
ab+a+b+1 ,A. 若a>b,则a-b
>0,但不能判断(a+1)(b+1)的
符号,故不能得出m-n>0,即不
能得到m > n, 故该选项错误;
B. 若a<b,同理无法判断m-n 的
符号,不能得到m<n,故该选项
错误;C. 若a+b= 0,则mn = ab+1
ab+1
= 1,故该选项正确,符合题意;
D. 若a+b = 0,则mn = ab+1
ab+1 = 1,
故该选项错误.
第二章 方程(组)
与不等式(组)
第一节 一次方程(组)
及其应用
1.
A 【解析】由题图①可知□和△
的质量相等,题图②为天平平衡
状态下(左右均放一个△和一个
○)左右两边分别加上一个□和
一个△,∴图②中天平能平衡.
2.
A
【解析】设“ ■” 处的数字为
m,则一元一次方程为5x-1 = mx+
3,把x = 4 代入得,5× 4- 1 = 4m+
3,解得m= 4.
3.
A 【解析】设这款风扇每台的标
价为x 元,根据题意得0. 6x+10 =
0. 9x-95,解得x = 350,∴这款风
扇每台的标价为350 元.
4.
A
5.
A
【解析】甲:①×( - 4) +②× 3
得:-12x+8y+12x+15y = -20+18,
即23y = - 2,故甲正确;乙:①×
(-5)-②× 2 得:- 15x+ 10y- 8x-
10y= -25-12,即-23x = -37,故乙
正确,∴甲乙方法都可行.
6.
C
【解析】设A 印刷机印制了
x
h,B 印刷机印制了y
h,∵两台
印刷机完成该任务共需6
h,∴x+
y = 6, ∵总共印制1
000 份,
∴150x+200y= 1
000,
∴
x+y= 6
150x+200y= 1
000
{
;设A 印刷
机印制了m 份,B 印刷机印制了
n 份,∵总共印制1
000 份,∴m+
n = 1
000, ∵A 印刷机印制
150 份/ h,B 印刷机印制200 份/ h,
∴A 印刷机印制m
150小时,B 印刷
机印制n
200小时,∴m
150+ n
200 = 6,
∴
m+n= 1
000
m
150+ n
200 = 6
{
,故甲和乙列的方
程组都正确.
7.
C 【解析】由2x+3y = 21 得2x =
21-3y,故(21- 3y) 是偶数,可得
3y 是奇数且21- 3y> 0,∴y< 7,y
可取1,3,5,对应x 取9,6,3,故C
选项正确.
8.
A 【解析】∵二元一次方程组的
解是x= -1
y=a
{
,∴-1+a = 1,∴a = 2,
∴
x= -1
y= 2
{
,∴x-y= -1-2 = -3,x+y
= 1,2x-y = -4,2x+3y = 4,故∗表
示的方程可能是x-y= -3.
9.
B 【解析】设小地砖的长边长为
x
cm,短边长为y
cm,由题意得,
x+y= 40
2x=x+4y
{
,解得x= 32
y= 8
{
,即小地砖
短边长为8
cm.
10.
B 【解析】由题意得,答对一道
题得100÷20 = 5(分),答错一道
题扣(18×5-88) ÷2 = 1(分),且
丙同学得分也符合;设学生丁答
对x 道题,则答错(20-x) 道题,
∴得分= 5x-(20-x)= 6x-20,且
x 为正整数,A. 6x-20 = 54,解得
x= 37
3 ,不符合题意;B. 6x- 20 =
64,解得x= 14,符合题意;C. 6x-
20 = 78,解得x = 49
3 ,不符合题
意;D. 6x-20 = 93,解得x = 113
6 ,
不符合题意.
11.
1
3 【解析】∵方程3x+m= 2x+1
和方程x+2m
2
= 3x-1
3
+ 1 的解相
同,∴联立
3x+m= 2x+1
x+2m
2
= 3x-1
3
+1
{
, 整
理,得x+m= 1
3x-6m= -4
{
,解得
x= 2
9
m= 7
9
ì
î
í
ïï
ïï
,∴3m-2= 1
3 .
12.
-6
【解析】∵2∗3 = 12,∴2x+
3y= 12①,∵2∗(-1)= 4,∴2x-
y= 4②,联立①②2x+3y= 12
2x-y= 4
{
,解
得x= 3
y= 2
{
,∵3∗5 = 1- 3a,∴3x+
5y= 1-3a,∴3×3+5×2 = 1-3a,
解得a= -6.
13.
解:①+②,得4x= 12,
x= 3,
将x= 3 代入②,
得
3+2y= 1,
y= -1,
∴原方程组的解是x= 3,
y= -1.
{
14.
解:(1) 设第一次实验用了x 公
斤粮食糟醅,y 公斤芋头糟醅,
根据题意得
30%x+20%y= 16
30%×2x+20%×3y= 36
{
,
解得x= 40
y= 20
{
.
答:第一次实验用了40 公斤粮
食糟醅,20 公斤芋头糟醅;
(2)设需要准备m 公斤大米,
根据题意得(m÷ 1
4 )×30%×80%
=(40+40×2)×30%,
解得m= 37. 5.
答:需要准备37. 5 公斤大米.
第二节 分式方程及其应用
1.
A 【解析】原方程两边同乘x(x+
1)得,x+1= 2x.
2.
D 【解析】解分式方程2
x+1+ 3
x-1
=
6
x
2-1
分以下四步,第一步:确定
最简公分母为(x+1)(x-1);第二
步:去分母,得2(x-1)+3(x+1)=
6;第三步:解整式方程,得x = 1;
第四步:经检验,x = 1 是增根,分
式方程无解,故选D.
3.
C 【解析】∵关于x 的方程
a
2a-x
= 1
3 的解是x = 1,∴
a
2a-1 = 1
3 ,解
5
中考试题研究·数学(河北)
分
层
作
业
本
得a= -1,经检验,a = -1 是原分
式方程的解.
4.
B 【解析】∵关于x 的方程2
A +
1
x+2 = 0 的解为x = - 1,则2
A + 1 =
0,那么A = -2,经检验,A = -2 是
原分式方程的解,那么当x = - 1
时,1-x = 1+1 = 2,则A 不符合题
意;当x= -1 时,x-1 = -1-1 = -2,
则B 符合题意;当x= -1 时,2-x=
2+1 = 3,则C 不符合题意;当x =
-1 时,x-2= -1-2= -3,则D 不符
合题意.
5.
A 【解析】∵直尺A 的对应长度
分别为24,9,而直尺B 的对应长
度分别为32,x- 10,又∵24 对应
32,9 对应(x-10),∴可列方程为
24
32 =
9
x-10.
6.
A 【解析】方程两边同乘(x-4),
得2 = 3(x-4) -m,当分母x- 4 =
0,即x= 4 时,方程有增根,把x =
4 代入2 = 3( x- 4) -m 中,得2 =
3×(4-4)-m,解得m= -2.
7.
B 【解析】∵m = 3,n = 1,∴m>n,
∴
2
x-n =m-n,∴
2
x-1 = 3-1,即2
x-1
= 2,去分母,得2= 2x-2,解得x =
2,检验:把x = 2 代入得x-1≠0,
∴x= 2 是原分式方程的解.
8.
A 【解析】去分母,得x-a-2a =
2(x-2),解得x= 4-3a,∵方程的
解为非负数,∴4- 3a≥0,∴a≤
4
3 ,∵x≠2,∴4 - 3a ≠2,∴a ≠
2
3 ,∴a 的取值范围是a≤4
3 且a
≠2
3 .
9.
D 【解析】设特快列车的平均行
驶速度为x
km/ h, 由题意, 得
1
400
x
- 1
400
2. 8x = 9,解得x = 100,经
检验,x= 100 是原分式方程的解;
设高铁列车从甲地到乙地的时间
为y
h, 由题意, 得1
400
y
= 2. 8 ×
1
400
y+9 ,解得y = 5,经检验,y = 5 是
原分式方程的解,则特快列车从
甲地到乙地的时间是5 + 9 =
14(h),故选项D 正确.
10.
B 【解析】分情况讨论:①当m
>2 时,∵F(m,2) -F(2,m)= 1,
∴
2
m-2- 2m
m-2 = 1,∴2-2m
m-2 = 1,去
分母,得2- 2m = m- 2,移项,得
2m+m= 2+2,合并同类项,得3m
= 4,解得m = 4
3 (不合题意,舍
去);②当m<2 时,∵F(m,2) -
F(2,m) = 1,∴2×2
2-m -
2
2-m = 1,
∴
2
2-m = 1,去分母,得2-m = 2,
解得m= 0,符合题意,∴只有琪
琪的答案正确.
11.
解:去分母,得3 + x
2 - 9 = x( x +
3),
去括号,得3+x
2-9=x
2+3x,
移项、合并同类项,得3x= -6,
系数化为1,得x= -2,
检验:当x= -2 时,x
2-9≠0,
∴x= -2 是原分式方程的解.
12.
解:(1)习题1 从第一步开始出
现错误,习题2 从第二步开始出
现错误;
(2)习题1:原式=
1
(x+1)(x-1)
+
x(x-1)
(x+1)(x-1)
=
x
2-x+1
(x+1)(x-1)
=x
2-x+1
x
2-1
.
习题2:方程两边同乘( x
2 - 1),
得1+x(x-1)= x
2-1,
解得x= 2,
经检验,x = 2 是原分式方程的
解. (任选一题即可)
13.
A
【解析】设②号商品的进价
为x 元,则①号商品的进价为
(1+50%)x= 1. 5x 元,由题意,得
7
200
1. 5x -3
200
x
= 40,整理,得60x =
2
400,解得x= 40,经检验,x = 40
是原分式方程的解, ∴1. 5x =
60,7
200
1. 5x = 7
200
60
= 120,3
200
x
=
3
200
40
= 80,故①号商品的进价为
60 元/ 件,②号商品的进价为40
元/ 件,①号商品的数量为120
件,②号商品的数量为80 件.
14.
D 【解析】去分母,得3-ax = -a
+x-2,移项,得ax+x = a+3+2,合
并同类项,得(a+ 1) x = a+ 5,系
数化为1,得x=a+5
a+1,∵关于x 的
分式方程无解,∴a+5
a+1 = 2 或a+1
= 0,解得a= 3 或a= -1.
第三节 一元二次方程
及其应用
1.
B
【解析】∵x
2 - 2x = 0,∴x(x-
2)= 0,则x= 0 或x-2 = 0,解得x1
= 2,x2 = 0.
2.
A 【解析】一元二次方程ax
2 +bx
+c = 0( a≠0) 的求根公式为x =
-b±
b
2-4ac
2a
,由题意可知a = 4,
b= -5,c= 1,∴该一元二次方程为
4x
2-5x+1= 0.
3.
D 【解析】∵x
2 -4x+3 = 0,∴x1 +
x2 = 4,x1x2 = 3.
4.
B 【解析】∵一元二次方程有两
个实数根,∴Δ=b
2 -4ac≥0,即36
-12m≥0,解得m≤3.
5.
D 【解析】整理原方程,得x
2 +2x
+1= 2
024+1,即(x+1)
2 = 2
025,
∴m = - 1, n = 2
025, ∴m
n =
(-1)
2
025 = -1.
6.
D 【解析】A.
Δ= 0
2-4×1×1 = -4
< 0, ∴方程无实数根; B.
Δ =
(-2)
2-4×1×1 = 0,∴方程有两个
相等的实数根;C.
Δ = 1
2 -4×1×1
=-3<0,∴方程无实数根;D.
Δ =
1
2-4×1×(-1)= 5>0,∴方程有两
个不相等的实数根.
7.
C 【解析】设常数项为c,根据题
意得Δ = ( -6)
2 -4c≥0,解得c≤
9,∴c 的最大值为9.
8.
C 【解析】∵方程x
2 -x-2 = 0 的
两个根为x1 和x2,∴x1 + x2 = 1,
x1x2 = - 2,∴x
2
1x2 +x1x
2
2 = x1x2( x1 +
x2)= -2.
9.
B 【解析】设年平均增长率为x,
可得方程25(1+x)
2 = 36,解得x =
0. 2 或x= -2. 2(舍去),∴该景区
这两年接待游客的年平均增长率
为20%.
10.
C 【解析】∵x-1 的符号不能确
定,∴依题意,甲的解法错误,方
6
参考答案
分
层
作
业
本
程两边不能同时除以(x-1),这
样会漏解;乙利用解一元二次方
程-因式分解法,移项,得x( x-
1)-3(x-1)= 0,∴(x-3)(x-1)
= 0,∴x-3= 0 或x-1= 0,解得x1
= 3,x2 = 1,计算正确.
11.
C
【解析】矩形的一边长为x
米,则邻边长为(5-x) 米,根据
矩形面积公式,可得x(5-x) =
6.
12.
B
【解析】若设停车场内车道
的宽度为x
m,则停车位( 图中
阴影部分) 可合成长为(40-x)
m,宽为(22-x) m 的矩形,根据
题意得(40-x)(22-x)= 520.
13.
B 【解析】一元二次方程(a+1)
x
2+bx-1 = 0 的根的判别式为b
2
+4(a+1),若a = b,则b
2 +4(a+
1)= b
2+4(b+1)= (b+2)
2≥0,方
程总有实数根,∴甲的条件满足
方程总有实数根;若a,b 异号,
令a= -2,b= 1,此时b
2+4(a+1)
= 1
2+4×(-2+1)= -3<0,方程没
有实数根,∴乙的条件不能满足
方程总有实数根;若a= -b,则b
2
+4(a+ 1) = b
2 + 4( -b+ 1) = ( b-
2)
2≥0,方程总有实数根,∴丙
的条件满足方程总有实数根,故
选B.
14.
m<- 1
8
【解析】由题意得Δ =
1
2-4×2×(-m)<0,∴m<- 1
8 .
15.
3
【解析】x1 + x2 = - b
a ,x1x2 =
c
a ,设方程的另一个根为α,
∴(-1) × α = -6
2 ,∴解得α = 3,
∴方程的另一个根是3.
16.
10 【解析】将x=α 代入2x
2-6x
-1 = 0 中, 得2α
2 - 6α - 1 = 0,
∴2α
2-6α = 1. ∵一元二次方程
2x
2-6x-1= 0 的两根为α,β,∴α
+β = 3,∴2α
2 - 3α + 3β = ( 2α
2 -
6α)+3(α+β)= 1+3×3= 10.
17.
2 【解析】设y=a
2+b
2,则(y-1)
(y+ 2) = 4,解得y1 = 2,y2 = - 3
(舍去),即a
2+b
2 = 2.
18.
解:原方程整理得2(2x-3) -3x
(2x-3)= 0,
∴(2x-3)(2-3x)= 0,
∴2x-3= 0 或2-3x= 0,
∴x1 = 3
2 ,x2 = 2
3 .
19.
解:移项,得x
2+4x= 1,
方程两边同时+4,得x
2 +4x+4 =
1+4,
配方,得(x+2)
2 = 5,
∴x+2= ± 5,
∴x1 = -2+ 5,x2 = -2- 5.
20.
解:(1)∵SA =(x+1)(x-2)= x
2-
x-2,
SB =(x+1)(x+1)= x
2+2x+1,
SC =(x+1)(x+2)= x
2+3x+2,
∴SA+SB-SC =(x
2-x-2)+(x
2+2x
+1)-(x
2+3x+2)
= 2x
2+x-1-(x
2+3x+2)
=x
2-2x-3;
(2)x
2-2x-3=(x
2-2x+1-1)-3 =
(x-1)
2-4,
∵(x-1)
2-4 = (x-1)
2 -2
2 = (x-
1+2)(x-1-2)= (x+1)(x-3),
∴矩形D 落在边l 上的长为x-
3.
第四节 一元一次不等式
(组)及其应用
1.
B 【解析】A.
若a<b,则a-7<b-
7,∵b-7<b-1,∴a-7<b-1,故选
项A 正确;B.
若a<b,则a+8<b+
8,若a= 1,b = 10,则a+8 = 1+8 =
9,b+1= 10+1 = 11,此时9<11,即
a+ 8 < b + 1, 故选项B 不正确;
C.
若a<b,则1
5 a< 1
5 b,故选项C
正确;D.
若a<b,则-2a>-2b,故
选项D 正确.
2.
A
3.
A
【解析】由3x- 1< 4 可得x<
5
3 ,∴能使不等式3x- 1< 4 成立
的x 的值可以为1.
4.
D 【解析】令2x+2>0①
-x≥-1②
{
,解不等
式①,得x>-1,解不等式②,得x
≤1,∴不等式组的解集是-1<x≤
1,在数轴上表示如D 选项.
5.
D
【解析】m-2x
3
≤- 2,去分母,
得m-2x≤-6,移项,得-2x≤-m-
6,系数化为1, 得x ≥1
2 m + 3,
∵关于x 的一元一次不等式
m-2x
3
≤-2 的解集为x≥4,∴1
2 m
+3= 4,解得m= 2.
6.
D
【解析】根据题意,得
x≥12
x≤10
x≤8
{
,
∵三个人都说错了,∴这本书的
价格x(元)所在的范围为10<x<
12.
7.
D 【解析】令
x+4
2 ≤x+1①,
2x>a+1②,
{
解不
等式①得x≥2,解不等式②得x>
a+1
2 ,∵关于x 的一元一次不等式
组的解集为x≥2,∴a+1
2 <2,∴a<
3.
8.
D 【解析】A. 设数量少的狗群中
有狗x 条,则数量多的每个狗群
为1
3 (300-x)条,此选项错误,不
符合题意;B. 依题意应该是300-x
3
>x,此选项错误,不符合题意;C.
依题意得1≤x<300-x
3
(x 为奇数
且300-x
3
为奇数),解得1≤x< 75
(x 为奇数),故x 的最小值为3,x
的最大值为69,此选项错误,不符
合题意;D. 由C 可知,1≤x<75(x
为奇数),故x = 3 是正确解,但不
是唯一解,故此选项正确,符合题
意.
9.
C 【解析】∵(a-2)x+a>2,∴(a
-2)x>2-a,若点A 在点B 左侧,
则a-2<1,故a<3,则无法判断a-
2 的符号,故A 选项错误;若点A
在点B 右侧,则a-2>1,故a>3,
则a-2>0,所以x>-1,故B 选项
错误;当x<-1 时,a-2<0,∴此时
点A 在原点左侧,故D 选项错误,
C 选项正确.
10.
2x≥-4(答案不唯一)
【解析】
由题图可知,该不等式的解集为
x≥-2,∴该不等式可以为2x≥
-4.
11.
a<- 3
【解析】令3-2x≤a①
5-x≥2②
{
,
7
中考试题研究·数学(河北)
分
层
作
业
本
解不等式①,得x≥3-a
2 ,解不等
式②,得x≤3,∵不等式组无解,
∴3-a
2 >3,解得a<-3.
12.
解:解不等式①,得x<2,
解不等式②,得x≥-1,
∴不等式组的解集为-1≤x<2,
∴该不等式组的所有整数解是
-1,0,1.
13.
解:令
2x-7<3 x-1
(
) ①,
1
2
x+1
(
) - 1
3 x≤1②
{
,
解不等式①,得x>-4,解不等式
②,得x≤3,
∴不等式组的解集是-4<x≤3,
不等式组的解集在数轴上表示
如解图.
第13 题解图
14.
解:(1)把x= -1 代入-2x+6 得,
原式= 2+6= 8,
∴点A,B 间的距离是8-(-2)=
8+2= 10;
(2)∵在数轴上,点A,B 分别表
示数- 2,- 2x+ 6,且点B 在点A
右侧,
∴-2x+6>-2,
解得x<4;
(3)表示数-x+2 的点应落在线
段AB 上,理由如下:
∵x<4,
∴-x+2>-2,
若-x+ 2> - 2x+ 6,则有x> 4,矛
盾;
∴-x+2<-2x+6,
∴表示数-x+2 的点应落在线段
AB 上.
15.
解:(1)设购买A 种水果x 千克,
B 种水果y 千克,
依题意得
x+y= 3
14x+18y= 46
{
, 解得
x= 2
y= 1
{
.
答:购买A 种水果2 千克,B 种
水果1 千克;
(2)①∵小明买A 水果m 千克,
则买B 水果(m+1)千克,
∴14m+ 18(m+ 1) ≤50,解得m
≤1,
∴结合实际可得0<m≤1;
②∵小明买A 水果m 千克,则买
B 水果(m+1) 千克,易知m+1>
1,
∴14m×0. 75+ 18× 1+ 18( m+ 1-
1)×0. 75= 48,
解得m= 1. 25.
∴m 的值为1. 25.
第三章 函 数
第一节 平面直角坐标系
与函数
1.
B 【解析】∵-2<0,a
2+1>0,∴点
P 所在的象限是第二象限.
2.
C 【解析】由题意,得x+3≥0,且
x-2≠0,解得x≥-3 且x≠2.
3.
D 【解析】∵点P 的纵坐标为3,
∴P 点到x 轴的距离是3.
4.
C 【解析】由题意,得,m+ 3 = 0,
解得m= -3,则2m+4= -2,即点P
的坐标为(0,-2).
5.
D 【解析】由题意,得a=-1,2-3=
b,解得a=-1,b=-1.
6.
C
7.
B
【解析】由题意可得,两点的
纵坐标相等,∴b = 3, ∵AB = 3,
∴a= -2-3 = -5 或a = -2+3 = 1,
∵点A 位于第二象限,∴a = - 5,
∴a+b= -5+3= -2.
8.
D
【解析】由题图可知,点P 在
直线x= 3 的右边,∴a>3,点P 在
直线y = - 4 的上方且在x 轴下
方,∴-4<b<0,综上所述,a>3,-4
<b<0.
9.
D 【解析】
∵四边形OABC 为正
方形,OA= 5 2,∴OM=AM,OM⊥
AM. ∴OM = AM = 5. 如解图,过点
M 作MN⊥y 轴于点N,过点B 作
BD⊥y 轴于点D,∵M(a,2a),∴
MN=a,ON = 2a. 在Rt△OMN 中,
由勾股定理,得a
2 +(2a)
2 = 5
2,解
得a =
5 ( 负值已舍去), ∴M
( 5,2 5 ),∵△OMN ∽△OBD,
∴MN
BD = OM
OB = 1
2 ,∴BD = 2MN = 2
5,∴当点B 移动到y 轴上时,正
方形OABC 向左平移了2 5 个单
位长度,即点M 向左平移了2 5
个单位长度. ∴平移后点M 的坐
标为( 5 - 2 5,2 5 ),∴点M 的
坐标为(- 5,2 5).
第9 题解图
10.
2 或-8 【解析】∵点P(a+3,a)
到y 轴的距离是5,∴| a+3 | = 5,
∴a1 = 2,a2 = -8.
11.
15
【解析】由题意,当点P0 先
连续做了a 次“正横跳马”,再连
续做b 次“正竖跳马”后,到达点
Pn(26, 20), 则2a+b= 26-1①
a+2b= 20②
{
,
①+②,得3a+ 3b = 45,∴a+b =
15.
第二节 一次函数
课时1 一次函数的图象与性质
1.
D 【解析】A.
y = 3x+1 是一次函
数,不是正比例函数,故不符合题
意;B.
y = 3x
2 是二次函数,故不
符合题意;C.
y = 3
x 是反比例函
数,故不符合题意;D.
y = x
3 是正
比例函数,故符合题意.
2.
C 【解析】∵一次函数y=(m-3)x
+m+2 经过第一、第二、第四象限,
∴m-3<0,m+2>0,解得-2<m<3.
3.
C
【解析】在y = 2x 中,令y = 2
时,则2x= 2,∴x = 1,∴A(1,2),
由图可得不等式kx+b<2x 的解集
为x>1.
4.
B 【解析】将点(-1,2)代入y =kx
+3(k≠0)中,得-k+3=2,解得k=1,
∴一次函数的解析式是y=x+3.
5.
B
【解析】一次函数y = - 2x+m
(m 是常数)中,k= -2<0,∴y 随x
的增大而减小,∵A ( x1, - 1), B
(x2,-2),C(x3,3),∴-2<-1<3,
∴x2>x1>x3.
6.
D 【解析】将直线y= x+b 向右平
移4 个单位,得到y = (x-4)+b = x
-4+b,∵平移后的直线经过第四
象限,∴-4+b<0,∴b< 4,则b 的
值不可能为4.
7.
C
【解析】∵正比例函数y = kx
的图象经过第二、四象限,∴k<0,
∴-k>0,∴一次函数y = kx-k 的
图象经过第一、二、四象限.
8
参考答案
分
层
作
业
本
8.
B
【解析】如解图,记矩形与x
轴、y 轴分别交于点D,C,设点P
坐标为(x,y),由题意可得PD =
y,PC=x,∴2(x+y)= 16,∴x+y =
8,∴y= -x+8.
第8 题解图
9.
C 【解析】把y = 0 代入y = kx+b
得kx+b = 0,解得x = - b
k ,∴点B
坐标为(- b
k ,0). 把A(1,2) 代入
y=kx+b 得k+b = 2,则b = 2-k,∵
S△AOB = 4,∴1
2 · | - b
k | ·2 = 4,
即| b
k | = 4,∴| 2-k
k | = 4,解得k =
2
5 或- 2
3 .
10.
D 【解析】描点,画出函数图象
如解图,由解图易得当一次函数
的图象经过点(3,4) 时,即点N
的坐标为(3,4) 时,y 随x 的增
大而增大,符合题意.
第10 题解图
一题多解法
根据题意, 得k > 0, 把M 点和
( -2, 2 ) 代入y = kx + b 得
k+b= 2
-2k+b= 2
{
,解得k= 0,故A 选项
不符合题意;把M 点和(2,1)代
入y= kx+b 得k+b= 2,
2k+b= 1,
{
,解得k
= -1,故B 选项不符合题意;把
M 点和( -1,3) 代入y = kx+b 得
k+b= 2,
-k+b= 3,
{
,解得k = - 1
2 , 故C
选项不符合题意;把M 点和(3,
4)代入y=kx+b 得k+b= 2,
3k+b= 4,
{
,解
得k= 1,故D 选项符合题意.
11.
A
【解析】设直线上的“ 姐妹
点”的坐标是M(m,n),∴m+n =
1,则n = 1-m,即:M(m,1-m),
∵M(m,1-m) 是直线y = 1
2 x-2
上的点,∴1-m = 1
2 m-2,解得:
m= 2,则n = -1,∴M(2,-1),故
①正确;设直线y=-x+1 上任意一
点的坐标表示为(m,n),则n =-m
+1,即m+n=1,∴直线上任意一点
(m,n),满足m+n = 1,∴直线y =
-x+1 上的所有点都是“姐妹点”,
故②正确.
12.
C 【解析】设直线AA′的解析式
为y = kx+b( k≠0),把点A(2,
0),点A′(-2,4)代入y=kx+b 得
2k+b= 0,
-2k+b= 4,
{
,解得k=-1,
b=2,
{
∴直线
AA′的解析式为y = -x+2,∵点A
与点A′关于直线l 成轴对称,∴直
线l 的解析式为y=x+2.
13.
A 【解析】∵无论x 取何值,始
终有y2 > y1,∴两直线必平行;
∵直线y2 =n(x-4)+2 在直线y1
=kx- 3 上方,∴直线y2 与y 轴
的交点纵坐标大于直线y1 与y
轴的交点纵坐标,∴当x = 0 时,
则y2 = -4n+2,y1 = -3,∴-4n+2
>-3,∴n< 5
4 且n≠0.
14.
B 【解析】如解图,设直线l2 与
x 轴的交点为B,连接BP,在y1
=x + 2 中, 当y = 0 时, x = - 2,
∴A(-2,0),在y2 = x-3 中,当y
= 0 时,x = 3,∴B(3,0),∴AB =
5,∵y3 = kx-2k+4 = k(x-2) +4,
∴l3 恒过点(2,4),对于y1 = x+
2,当x= 2 时,y1 = 4,∴l3 与l1 的
交点坐标为P(2,4),∵y1 =x+2,
y2 = x - 3,∴l1,l2 两直线平行,
∴S△APQ =S△APB,∵S△APB = 1
2 ×AB
×yP = 1
2 ×5×4= 10,∴S△APQ = 10.
第14 题解图
15.
14 【解析】如解图,记点A,B,C
的对应点为A′,B′,C′,∵点A,B
的坐标分别为(1,0),(4,0)∴AB=
3,在Rt△ABC 中,BC = 5,AB = 3,
∴AC= 4,∴A′C′ = 4. ∵点C 的对
应点C′在直线y = 2x-5 上,∴4 =
2x-5,∴x= 9
2 ,∴平移的距离CC′
= 9
2 -1= 7
2 ,由平移的性质,得BC
= B′ C′, BC ∥B′ C′, ∴四边形
BCC′B′是平行四边形,∴S▱BCC ′ B ′
= 7
2 ×4= 14,即线段BC 扫过的面
积为14.
第15 题解图
16.
A 【解析】∵y1 =(k-3)x+k = (x
+1)k-3x,y2 = -kx+3-k = -k(x+
1)+3,∴直线l1 和直线l2 交于
点(-1,3),若k>3,m>-1,则直
线l1 在直线l2 的上方,画出函
数图象如解图①,则a>b. 故A
选项正确,C 选项错误;若k< 0
时,画出函数图象如解图②,当
m<-1,则a>b,当m>-1,则a<b.
故B,D 选项错误.
第16 题解图
17.
解:(1)B(1,2),C(-1,2);
设直线DC 的函数解析式y=kx+
b(k≠0),
将点C(-1,2),D(-2,0)代入解
析式,
得
-k+b= 2,
-2k+b= 0,
{
,解得k= 2,
b= 4,
{
∴直线DC 的函数解析式为y =
2x+4;
【解法提示】当x = 0 时,y = -3x+
5= 5,∴点A 坐标为(0,5),当y
9
中考试题研究·数学(河北)
分
层
作
业
本
= 2 时, - 3x + 5 = 2,解得x = 1,
∴点B 坐标为(1,2),∵点C 与
B 关于y 轴对称,∴C(-1,2).
(2)∵BE= 1,AE= 5-2= 3,
∴S△ABE = 1
2 ×1×3= 3
2 ,
∵OD= 2,EC= 1,OE= 2,
∴S四边形DCEO = 1
2 ×(1+2)×2= 3,
∴S= 3
2 +3= 9
2 ;
(3)设直线l′的解析式为:y = ax
+b(a≠0),
将点A(0,5),C( - 1,2) 代入解
析式,
得
-a+b= 2,
b= 5,
{
解得a= 3,
b= 5,
{
∴直线l′的解析式为:y= 3x+5,
把D(-2,0)代入解析式y = 3x+
5,3×(-2)+5= -1≠0,
∴点D 不在直线l′上.
课时2 一次函数交点问题
(方程思想)
1.
B 【解析】∵y = kx-k = k(x-1),
∴直线y= kx-k 恒过定点(1,0).
∵直线l 与线段AB 恒有交点,
∴当直线l 与线段AB 的交点为
点A 时,将点A( -2,1) 代入直线
l:y=kx-k,得-2k-k = 1,解得k =
- 1
3 ;当直线l 与线段AB 的交点
为点B 时,将点B(2,4)代入直线
l:y=kx-k,得2k-k= 4,解得k = 4.
综上所述,若直线l 与线段AB 恒
有交点,则k 的取值范围是k≤-
1
3 或k≥4.
2.
A 【解析】∵点M(m,2) 向左平
移4 个单位长度,得到点N,∴点
N 的坐标为(m-4,2),∵点N 在
直线y= 5x+17 上,∴2 = 5(m-4)
+ 17, 解得m = 1, ∴M ( 1, 2),
N(-3,2),∵一次函数y = 5
2 x+n
的图象与线段MN 有公共点,
∴将点M(1,2)代入y = 5
2 x+n 中
得n= - 1
2 ,将点N( -3,2) 代入y
= 5
2 x+n 中得n = 19
2 ,∴n 的取值
范围为- 1
2 ≤n≤19
2 .
3.
C 【解析】∵直线y=kx 与△ABC
有两个公共点,∴当直线经过点
A(1,1)时,k = 1,当直线经过点C
(2,3)时,则3= 2k,解得k= 3
2 ,当
直线经过点B(4,1)时,则1 = 4k,
解得k= 1
4 ,∴1
4 <k< 3
2 .
4.
B 【解析】将x = 0 代入y = x+ 4
得,y= 4,∴点N 的坐标为(0,4).
将y = 0 代入y = x+ 4 得,x = - 4,
∴点M 的坐标为( -4,0). ∵点P
为OM 的中点,∴点P 的坐标为
(-2,0). 将点N 和点P 的坐标代
入y = kx + b 得, b= 4,
-2k+b= 0,
{
解得
k= 2,
b= 4,
{
∴直线l2 的函数解析式为
y= 2x + 4. 根据所给平移方式可
知,当点A 在直线l2 上时,n 取得
最小值;当点C 在直线l1 上时,n
取得最大值. 将y = 3 代入y = 2x+
4 得,2x+4 = 3,解得x = - 1
2 ,∴n
的最小值为:1-( - 1
2 ) = 3
2 ;将y
= 2 代入y= x+4 得,x+4 = 2,解得
x= -2,∴n 的最大值为:3-( -2)
= 5,∴n 的取值范围是3
2 ≤n≤5.
5.
- 1
2 ≤a≤3
4 【解析】如解图,设
y1 与x 之间的函数解析式为y1-4
=k x-1
(
) k≠0
(
) ,∵当x = 3 时,
y1 = 8,∴8- 4 = k 3-1
(
) ,解得k =
2,∴y1-4= 2 x-1
(
) ,即y1 = 2x+2,
∵直线l2:y2 = 4x - 2,∴当y = 1
时,1= 2x+2,解得x= - 1
2 ;当y = 1
时,1= 4x- 2,解得x = 3
4 ,∴a 的
取值范围- 1
2 ≤a≤3
4 .
第5 题解图
6.
(1) 2
5 ≤n≤6
5 ; 【解析】当入射
光线y=nx+n(n≠0,x≥-1)经过
点A 时,将A(4,2)代入y = nx+n,
得4n+n= 2,解得n= 2
5 ;当入射光
线y=nx+n 经过点B 时,将B(4,
6)代入y=nx+n,得4n+n= 6,解得
n= 6
5 ;∴n 的取值范围是2
5 ≤n
≤6
5 .
(2)7
【解析】如解图,作出点C
关于直线AB 的对称点为C′(9,
0),入射光线OA,OB 的反射光线
分别为AM,BN,连接AC′,BC′. 设
反射光线AM 的函数关系式为y=
k1x+b1(k1,b1 为常数,且k1≠0).
将C′(9,0)和A(4,2)代入y = k1x
+
b1,
得
9k1+b1 = 0
4k1+b1 = 2
{
,
解得
k1 = - 2
5 ,
b1 = 18
5 ,
ì
î
í
ïï
ïï
∴反射光线AM 的函
数关系式为y= - 2
5 x+ 18
5 (x≤4);
设反射光线BN 的函数关系式为
y= k2x+b2(k2,b2 为常数,且k2 ≠
0). 将C′(9,0) 和B(4,6) 代入y
= k2x + b2, 得
9k2+b2 = 0
4k2+b2 = 6
{
, 解得
k2 = - 6
5 ,
b2 = 54
5 ,
ì
î
í
ïï
ïï
∴反射光线BN 的函
数关系式为y= - 6
5 x+ 54
5 (x≤4).
由题意,可设点E 的坐标为( 0,
b),则18
5 ≤b≤54
5 ,∵b 为整数,
∴b 可以取4,5,6,7,8,9,10 这7
个值,∴点E 是整点的个数是7.
第6 题解图
0
1
参考答案
分
层
作
业
本
第三节 一次函数的实际
应用
1.
解:(1)(40,250);
【解法提示】30×8+10 = 250(m),
∴B ( 30, 250), ( 250 - 10) ÷ 6 =
40(s),∴C(40,250).
(2)∵8×30÷6+40= 80(s),
∴点D 的坐标为(80,10),
设CD 段的y1 关于x 的函数解析
式为y1 =kx+b(k≠0),
将C(40,250),D(80,10) 分别代
入y1 =kx+b 中,
得
40k+b= 250,
80k+b= 10,
{
解得
k= -6,
b= 490,
{
∴y1 关于x 的函数解析式为y1 =
-6x+490;
(3) AB 段的y1 关于x 的函数解
析式为y1 = 8x+10,
AC 段的y2 关于x 的函数解析式
为y2 = 6x+10,
分以下三种情况讨论:
在0~30
s,当y1-y2 = 30 时,即(8x
+10)-(6x+10)= 30,
∴x= 15,
在30~40
s,当250-y2 = 30 时,即
250-(6x+10)= 30,
∴x= 35,
在40~80
s,当y2-y1 =30 时,即(6x+
10)-(-6x+490)= 30,
∴x= 42. 5,
∵15+42. 5-35= 22. 5,
∴受到干扰的时长是22. 5
s.
2.
解:(1) 根据题意,两个函数均为
一次函数,设y 关于t 的函数解析
式为y= a1t+b1( a1 ≠0),e 关于s
的函数解析式为e = a2s+b2(a2 ≠
0),
将(10,10),(30,30)分别代入y=
a1t+b1 中,
得
10a1+b1 = 10,
30a1+b1 = 30,
{
解得
a1 = 1,
b1 = 0,
{
∴y 关于t 的函数解
析式为y=t,
将(160,60),(200,50) 分别代入
e=a2s+b2 中,
得
160a2+b2 = 60
200a2+b2 = 50
{
,
解得
a2 = - 1
4 ,
b2 = 100,
{
∴e 关于s 的函数解析式为
e= - 1
4 s+100;
(2)由题意,得先在满电的情况下
行走了s1 =240 千米,
当s1 = 240 时,e1 = - 1
4 s1 + 100 =
- 1
4 ×240+100= 40,
∴未充电前电量显示为40%.
假设充电充了t 分钟,应增加电
量为y2 =t,
∴再次出发时电量为e1 +y2 = 40+
t,剩余路程s2 = 460-240 = 220(千
米),
∴- 1
4 s2+100=- 1
4 ×220+100= 45,
∴满电状态下剩余电量45%,
∴剩余路程s2 耗电量为100% -
45% = 55%,
∴20= 40+t-55,解得t= 35.
答:电动汽车在服务区充电35 分
钟.
第四节 反比例函数的图象
与性质
1.
D 【解析】∵反比例函数y=m-4
x
的图象位于第一、三象限,∴m-4
>0,∴m>4.
2.
A
【解析】∵k = 5> 0,则反比例
函数y= 5
x 的图象经过第一、三象
限,在每个象限内,y 随x 的增大
而减小,A. 当x>1 时,则0<y<5,
不正确,故该选项符合题意;B. 当
x>0 时,y 随x 的增大而减小,正
确,故该选项不符合题意;C. 图象
关于直线y=x 对称,正确,故该选
项不符合题意;D. -1×(-5)= 5 =
k,图象经过点(-1,-5),正确,故
该选项不符合题意.
3.
D 【解析】∵k = -9<0,∴反比例
函数图象分布在第二、四象限,在
每个象限内y 随x 的增大而增
大,∵点A( - 3,y1 ) 在第二象限,
∴y1 > 0,又∵1 < 3,∴y2 < y3 < 0,
∴y2<y3<y1.
一题多解法
当x= -3 时,y1 = 3;当x = 1 时,y2
= -9;当x = 3 时,y3 = - 3,∵- 9<
-3<3,∴y2<y3<y1.
4.
A
【解析】∵根据题意可设p =
k
V (V>0),由题图可知,当V = 1. 6
时,p= 60,∴将(1. 6,60)代入,得
60= k
1. 6,解得k = 96,∴p = 96
V (V>
0),当p = 120 时,V = 96
120 = 4
5 ,为
了安全起见,气球内的压强应不
大于120
kPa,∴V≥4
5
m
3.
5.
D 【解析】∵反比例函数y = k
x
(k≠0),∴当k>0 时,函数图象分
布在第一,三象限,当k<0 时,函
数图象分布第二,四象限,∵P,
Q,M,N 四个点,有两个点P,Q 在
第一象限,有一个点N 在第二象
限,有一个点M 在第三象限,且
P,Q,M,N 四个点中,恰有三点在
反比例函数y = k
x (k≠0)的图象
上,∴函数图象应分布在第一,三
象限,∴不在反比例函数y= k
x (k
≠0)图象上的点是点N.
6.
A 【解析】如解图,过点D 作DE
∥CO,DF∥AB 分别交AB,CO 于
点E,F,则四边形OEDF 是矩形,
∵△ABC 是等边三角形, CO ⊥
AB,AD⊥BC,∴AO=OB,CD = DB,
∴DF =
1
2 OB, DE =
1
2 CO,
∴S矩形OEDF = 1
2 OB× 1
2 OC = 1
2 S△COB
= 1
4 S△ABC = 2,∵点D 在反比例函
数y= k
x 上,∴| k | = 2,又∵点D
在第一象限,∴k= 2.
第6 题解图
1
1
中考试题研究·数学(河北)
分
层
作
业
本
7.
B 【解析】∵k<0,∴该反比例函
数y= k
x (k<0)图象经过第二、四
象限,且在每一象限内y 随x 的
增大而增大, ①若点( a1, b1 ) 和
(a2,b2) 同位于第二象限,∴a1 <
a2<0,∴b1 <b2. ②若点(a1,b1) 和
(a2,b2)同位于第四象限,∴0<a1
<a2,∴b1<b2. ③若点(a1,b1)位于
第二象限,点(a2,b2)位于第四象
限,∴a1<0<a2,∴b1>b2. 故只有B
选项描述正确.
8.
C 【解析】设点A 的纵坐标为n,
则点C 的纵坐标为n-1,∵AB∥x
轴,AB= 2,∴A( a
n ,n),B( b
n ,n),
∴a
n - b
n = 2,∴a-b = 2n,∵CD∥
AB,CD = 3, ∴C (
a
n-1, n - 1 ),
D( b
n-1,n - 1),∴
a
n-1 -
b
n-1 = 3,
∴a-b= 3n-3,∴2n = 3n-3,∴n =
3,∴a-b= 2n= 6.
9.
D 【解析】设A(m, k
m ),∴AB =
k
m . ∵矩形ABCD 的面积为10,
∴BC = 10
k
m
= 10m
k , ∴E ( m + 1
2 ×
10m
k , 1
2 × k
m ),即E(m+5m
k , k
2m).
∵点E 在y= k
x (x>0)的图象上,
∴k
2m =
k
m+5m
k
,∴mk-5m = 0,∴m
(k - 5) = 0,解得m = 0 ( 不符合
题意,舍去) 或k = 5. ∴k 的值
为5.
一题多解法
如解图,过点E 作EF⊥AB 于点
F. 设A( m, k
m ),∴AB = k
m . ∵四
边形ABCD 为矩形,∴E 为AC 的
中点. ∵点C 的纵坐标为0,∴点
E 的纵坐标为k
2m,∴E(2m, k
2m).
∵
S矩形ABCD
= 10, ∴
S△ABE
=
1
4 S矩形ABCD = 5
2 , ∴
1
2 AB · EF =
5
2 ,即1
2 · k
m ·(2m - m) = 5
2 ,
∴k= 5.
第9 题解图
10.
D
【解析】由条件可知反比例
函数图象经过第一、三象限,且
在每个象限内y 随x 增大而减
小,∵当2≤x≤3 时,反比例函
数y= k
x (k>0)中y 有最大值m,
∴m = k
2 ,∴k = 2m,当- 4≤x≤
-2 时, 则y 的最大值为k
-4 =
- m
2 ,最小值为k
-2 = -m.
11.
D 【解析】∵菱形OABC 的顶点
A 在x 轴正半轴上,OA = 3,∴OC
= OA = BC = AB = 3,A(3,0),设
C(x,y),∴M( x+3
2 , y
2 ),∴xy =
x+3
2 × y
2 ,解得x = 1,如解图,过
点C 作CH⊥AO 于点H,∴OH =
1,∴CH =
3
2-1
2 = 2 2, ∴C
(1,2 2),∴k= 1×2 2 = 2 2.
第11 题解图
12.
y= - 2
x 【解析】如解图,过点B
作BC⊥x 轴于点C,过点A 作
AD⊥x 轴于点D. ∵∠BOA =
90°, ∴∠BOC + ∠AOD = 90°,
∵∠AOD
+
∠OAD
=
90°,
∴∠BOC = ∠OAD,又∵∠BCO =
∠ADO=90°,∴△BCO∽△ODA,
∴OB
AO = tan
30° =
3
3 ,∴
S△BCO
S△ODA
=
1
3 ,∵S△AOD = 1
2 × 6 = 3,∴S△BCO
= 1
3 S△AOD = 1,∵经过点B 的反
比例函数图象在第二象限,∴经
过点B 的反比例函数解析式为y
= - 2
x .
第12 题解图
13.
3 【解析】∵反比例函数y = k
x
的图象与☉O 交于A,B 两点,且
点A 的坐标为(1,2),∴k = 1×2
= 2,∴反比例函数的解析式为y
= 2
x ,设点B 的坐标为(x, 2
x ),
∵A,B 都在☉O 上,∴x
2 +( 2
x )
2
= 1
2+2
2,∴x = ±2,x = ±1,∵点B
在第一象限且不与点A 重合,
∴x= 2,点B 的纵坐标为1,∴m
+n= 3.
14.
9
2
【解析】∵反比例函数y =
k
x (x> 0) 的图象经过点A ( 3,
2),将A(3,2)代入y= k
x 中,得2
= k
3 ,∴k= 6,∴这个反比例函数
的解析式为y = 6
x ,由题意可知
C(9,6),四边形ABCD 为矩形,
∴E(6,4),当y = 4 时,4 = 6
x ,解
得x= 3
2 ;∴平移的距离为6- 3
2
= 9
2 .
15.
(1)2 【解析】如解图①,过点A
作AF⊥BC 于点F,∵点A 的坐
标为( 3,2), OF = 3, ∴AF = 2,
∵△ABC 是等腰直角三角形,且
∠BAC= 90°,∴∠ABF = ∠BAF =
∠ACF= ∠CAF = 45°,∴BF = CF
= AF = 2, ∴OB = OF - BF = 1,
2
1
参考答案
分
层
作
业
本
∴B(1,0),∵D 是AB 的中点,
∴D(2,1),∴k= 2×1= 2;
第15 题解图①
(2) 45
16 【解析】如解图②,点B
落在AC 上中点B′处,连接DB′.
由(1)易得,OC = 5,∴C(5,0),
设直线AB 的解析式为y = k1x+b
(k1≠0),把点A(3,2),B(1,0)
代入y = k1x+b 中,得
3k1+b= 2
k1+b= 0
{
,
解得
k1 = 1
b= -1
{
,∴直线AB 的解析
式为y=x-1,设D(m,m-1),∵
点B 的对应点B′落到AC 的中
点,∴B′(4,1),由折叠的性质,
得BD = B′D,∴(m - 1)
2 + ( m -
1)
2 =(m-4)
2 +(m-1-1)
2,解得
m = 9
4 ,∴m - 1 = 5
4 ,∴D ( 9
4 ,
5
4 ),∴k= 9
4 × 5
4 = 45
16;
第15 题解图②
(3)3<k≤4 【解析】记AC 的中
点为G, 由( 2) 可得G ( 4, 1),
∵A(3,2),∴若双曲线与折线
AD,AE 所围成的区域内( 含边
界)有2 个横纵坐标都是整数的
点,则这两个点一定是点A 和点
G,把(3,1) 代入y = k
x 得k = 3,
把G(4,1)代入y= k
x 得k= 4,∴
3<k≤4.
第五节 二次函数的解析式
(含平移)
1.
B 【解析】∵抛物线的顶点坐标
为(2,-3),∴可设该抛物线的解
析式为y = a(x-2)
2 -3,将点(0,
1)代入y=a(x-2)
2 -3 中,得4a-
3= 1,解得a= 1,∴该抛物线的解
析式为y=(x-2)
2-3=x
2-4x+1.
2.
B 【解析】抛物线y = 3x
2+1 的顶
点坐标为(0,1),∵向左平移2 个
单位,再向下平移3 个单位,∴平
移后的抛物线的顶点坐标为(-2,
-2),∴平移后得到的抛物线是y
= 3(x+2)
2-2.
3.
C
【解析】∵抛物线C:y = -(x-
3)
2+6,∴抛物线C 的顶点坐标
为(3,6),∵抛物线C′:y= -x
2+2,
∴抛物线C′ 的顶点坐标为( 0,
2),∵将抛物线C 进行平移得抛
物线C′,∴点P′移动的最短路程
为顶点由(3,6) 移到(0,2) 的距
离,∴最短路程为
3
2+(6-2)
2 =
5.
4.
A 【解析】∵抛物线L1:y=x
2-2x
+6=(x-1)
2+5,∴抛物线L1 的顶
点坐标为(1,5),将抛物线L1 先
关于y 轴对称,再沿y 轴向上平
移m 个单位长度得到抛物线L2,
则抛物线L2 的顶点为( - 1,5 +
m). ∵抛物线L2 的顶点恰好落在
抛物线L1 上,∴将( - 1,5+m) 代
入y = x
2 - 2x + 6 中, 得5 + m =
(-1)
2-2×(-1)+6,解得m= 4.
5.
y= 2x
2+2x-12 【解析】∵抛物线
与x 轴的两个交点坐标分别为
(-3,0),(2,0),∴该抛物线的解
析式为y= 2(x+3) (x- 2) = 2x
2 +
2x-12.
6.
y= - 1
2 x
2+x+4 或y = - 1
2 x
2-13
2 x+
4 【解析】①抛物线上不同两个
点E(k+3,-k
2+1)和F(-k-1,-k
2
+1)的纵坐标相同,∴点E 和点F
关于抛物线对称轴对称,则对称
轴为直线
x = -
b
2a = b =
(k+3)+(-k-1)
2
= 1, 且k ≠- 2;
∴抛物线的解析式为y = - 1
2 x
2+x
+4,②两点重合,k+3 = -k-1,k =
-2,∴将点(1,-3)代入y = - 1
2 x
2
+bx+4 中,得b= -13
2 . ∴抛物线的
解析式为y = - 1
2 x
2 - 13
2 x+4,综上
所述,该抛物线的解析式为y =
- 1
2 x
2+x+4 或y= - 1
2 x
2-13
2 x+4.
7.
解:∵将B(3,0),C(0,- 3) 代入
y=x
2+bx+c 中,
得
9+3b+c= 0,
c= -3,
{
解得
b= -2,
c= -3,
{
∴抛物线C1 的解析式为y = x
2 -
2x-3;
(2)∵y=x
2-2x-3=(x-1)
2-4,
将(2,n)代入y = (x-1)
2 -4,得n
=(2-1)
2-4= -3,
∴“平衡点”为(2,-3).
将抛物线C1:y = (x- 1)
2 - 4 向右
平移m(m>0)个单位得到新抛物
线C2,
∴抛物线C2 的解析式为y=(x-1
-m)
2-4,
将点(2,-3)代入y = (x-1-m)
2 -
4 中,
得-3=(2-1-m)
2-4,
整理,得(1-m)
2 = 1,
解得m= 2 或m= 0(舍去).
∴抛物线C2 的解析式为y =(x-1-
2)
2-4=x
2-6x+5.
第六节 二次函数
课时1 二次函数的图象与性质
1.
B 【解析】∵抛物线的解析式为
y= 2(x+1)
2 +3,∴抛物线的顶点
坐标为(-1,3),∴抛物线y = 2(x
+1)
2+3 的顶点坐标在第二象限.
2.
A 【解析】∵y = -(x-1)(x+3),
∴抛物线与x 轴的交点坐标为
(1,0),(-3,0),∴对称轴为直线
x= -3+1
2
= -1.
3.
A
【解析】由题意得,二次函数
图象的对称轴为直线x = --3a
2a =
3
2 ,∵A(0,y1),B( -1,y2),C(2,
y3)在二次函数的图象上,∴与对
称轴的距离点B 最远,点C 最近,
∵a>0,∴y3<y1<y2.
4.
B
【解析】由解析式可知,二次
3
1
中考试题研究·数学(河北)
分
层
作
业
本
函数的对称轴为直线x = --4a
2a =
2,∵当x<0 时,y 随x 的增大而减
小,∴抛物线的开口向上,∴a>0,
抛物线上的点离对称轴越远,函
数值越大,∵-1≤x≤4,∴| -1-2 |
> |4-2 | ,∴当x = -1 时,y 有最大
值为a+4a+3a
2 -6 = 2,解得a = 1
或a= - 8
3 (舍去).
5.
B 【解析】当x = -4 和x = 0 时,y
值都为7,根据对称性可知对称轴
为x= -2,此时y 值为-5,从而顶
点坐标为( -2,-5),故C 选项正
确,不符合题意;在对称轴x = -2
的左侧,当x 从-4 到- 3,可看出
函数值逐渐减小,从而可知在对
称轴左侧图象为“左降”,即抛物
线开口向上,故A 选项正确,不符
合题意;∵当x<- 2 时,y 随x 的
增大而减小,从而B 选项错误,符
合题意;由对称性可知m = -2,5n
-3=n+17,解得n = 5,∴m+n = -2
+5 = 3,故D 选项正确,不符合题
意.
6.
C
【解析】由题意可知,抛物线
开口向上,故a>0,抛物线对称轴
在x 轴正半轴,故- b
2a>0,∴b<0,
抛物线与y 轴交于负半轴,故c<
0,∴abc>0,故A 选项错误;由题
图可得抛物线对称轴在直线x = 1
左侧,∴- b
2a<1,∴-b<2a,∴2a+b
>0,故B 选项错误;由图象可知,
当x= 2 时,y = 0,∴4a+2b+c = 0,
∴c= -4a-2b,∴2b-c = 2b+4a+2b
= 4(a+b),由题图可得抛物线对
称轴在直线x = 1
2 右侧,∴- b
2a >
1
2 ,∴a+b<0,∴2b-c<0,故C 选
项正确; 由图象可知, 当x = - 1
时,y>0,∴a-b+c>0,故D 选项错
误.
7.
B
【解析】由题图可知,当x≥
1
000 时,y 先随x 的增大而增大,
再随x 的增大而减小,故选项A 结
论错误; ∵二次函数图象经过
(1
000,0. 6)和(3
000,0. 6),∴二
次函数的对称轴为直线x =
1
000+3
000
2
= 2
000,又∵抛物线
开口向下,∴当x = 2
000 时,y 取
得最大值,故选项B 结论正确;当
y≥0. 6 时,x 的取值范围为1
000
≤x≤3
000,故选项C 结论错误;
当y = 0. 4 时,如解图,此时对应
的x 值有2 个, 故选项D 结论
错误.
第7 题解图
8.
A
【解析】∵直线y1 = x 与抛物
线y2 = ax
2 +bx+c 相交于P,Q 两
点,∴x=ax
2+bx+c 有两个不同的
根,即ax
2 +(b-1) x+c = 0 有两个
不同的根,又由抛物线y2 的图象
可知, - b
2a > 0, a > 0, b < 0,
∴-(b-1)
2a
>0,∴函数y= ax
2+(b-
1)x+c 与x 轴有两个交点且对称
轴在x 轴的正半轴.
9.
D
【解析】画出函数图象如解
图,A.
由图象可知,若m<1,则c1
<c2 < c3, 故选项错误, 不符合题
意;B.
由图象可知,若1<m<2,则
c2≤c1<c3 或c1≤c2 <c3,故选项错
误,不符合题意; C.
由图象可
知,若2< m< 3,则c3 ≤c2 < c1 或
c2≤c3 <c1,故选项错误,不符合
题意;D.
由图象可知,若m> 3,
则c3 < c2 < c1,故选项正确,符合
题意.
第9 题解图
10.
D
【解析】∵抛物线的对称轴
为直线x = 1,∴- b
2a = 1,∴b =
-2a,故A 选项错误;∵抛物线
与y 轴的交点位于x 轴下方,∴c
<0,∵当x= -1 时,y=a-b+c= 3a
+c> 0,∴a> 0,由题意可画出抛
物线草图如解图,由解图可知,
抛物线与x 轴有两个交点,∴b
2
-4ac> 0,故B 选项错误;当x =
- 1
2 时,y= 1
4 a- 1
2 b+c,即4y=a-
2b+4c,由解图可知y= 0 时,-1<x
<0,∴无法判断a-2b+4c 与0 的
大小关系,故C 选项错误;当x =
-2 时,y= 4a-2b+c,代入b=-2a,
得y= 8a+c>0. 故D 选项正确.
第10 题解图
11.
D 【解析】如解图,画出四个点
的大致位置,∵P(m-2,n),Q(m
+1,n),M(m+3,n) 在一条直线
上,故A 不符合题意;由题意可
知该二次函数的图象必过
点N(m+2,n-2),且过点P(m-
2,n),Q(m+1,n),M(m+3,n)中
的任意2 个点,当抛物线过P,
Q,N 三点时开口向下,此时a<
0;当抛物线过P,M,N 三点或
Q,M,N 三点时开口向上,此时a
>0,故B 不符合题意;∵当a>0
时,开口小的a 更大,由解图可
知,过Q,M,N 三点的二次函数
图象的开口更小, ∴过Q, M,
N 三点时a 最大, 故D 符合
题意.
第11 题解图
4
1
参考答案
分
层
作
业
本
12.
(1) 解:
∵在二次函数y = x
2 +
2(a+1)x+3a
2-2a+3 中,1>0,
∴二次函数的图象开口向上,
∵该二次函数的图象与直线y =
2a
2 有两个交点,
∴二次函数的最小值小于2a
2,
∴4(3a
2-2a+3)-4(a+1)
2
4
= 2a
2-
4a+2<2a
2,解得a> 1
2 ;
(2)解:∵该二次函数的图象与x
轴有交点,
∴关于x 方程x
2+2(a+1)x+3a
2-
2a+3=0 有实数根,
∴4(a+1)
2 -4×1×(3a
2 -2a+3)
= -8a
2+16a-8= -8(a-1)
2≥0,
∴8(a-1)
2≤0,
∵8(a-1)
2≥0,
∴8(a-1)
2 = 0,
解得a= 1;
(3)证明:
当x= 0 时,y= 3a
2-2a
+3= 3(a- 1
3 )
2+ 8
3 ,
∵(a- 1
3 )
2≥0 恒成立,
∴y= 3(a- 1
3 )
2+ 8
3 ≥8
3 >0,
∴该二次函数的图象不经过原点.
13.
解:(1)把点(-2,-2),(1,1)代
入
y
=
ax
2
+ bx -
2, 得
4a-2b-2= -2,
a+b-2= 1,
{
解得
a= 1,
b= 2,
{
∴二次函数的表达式为y = x
2 +
2x-2;
(2)y=x
2+2x-2=(x+1)
2-3,
∴二次函数图象的顶点坐标为
(-1,-3),对称轴为直线x= -1,
∴点(1,1)关于直线x = -1 的对
称点为(-3,1),
画出函数图象,如解图①.
第13 题解图①
(3)n 的值为1+ 5或4- 5.
【解法提示】根据题意,得平移后
的抛物线表达式为y = ( x + 1 -
n)
2-3,∴平移后的抛物线的对
称轴为直线x=n-1,
①当n-1<
0,即n<1 时,x = 0,y 取最小值,
为y= (1-n)
2 -3,x = 3,y 取最大
值,为y=(4-n)
2 -3,则(4-n)
2 -
3-(1-n)
2 +3 = 5,解得n = 5
3 >1
(舍去);②当n - 1 > 3,即n > 4
时, x = 0, y 取最大值, 为y =
(1-n)
2-3,x = 3,y 取最小值,为
y = (4-n)
2 - 3, 则(1-n)
2 - 3 -
(4-n)
2+3= 5,解得n = 10
3 <4(舍
去);③当0≤n-1≤3,即1≤n≤
4 时,分为两种情况讨论,情况
1:当平移后抛物线的对称轴在
直线x= 3
2 左侧时,如解图②,此
时最小值为-3,0≤n-1< 3
2 ,即1
≤n< 5
2 ,当x = 3 时,取得最大
值,为(3+1-n)
2-3=n
2-8n+13,
∵图象对应的函数最大值与最小
值的差为5,∴n
2-8n+13-(-3)=
5,解得n=4- 5或4+ 5(舍去);
情况2:当n-1= 3
2 ,即n= 5
2 ,此
时最小值为- 3,当x = 0 或x = 3
时,y 取最大值,为( 3
2 )
2 - 3,∵
( 3
2 )
2-3-(-3)= 9
4 ≠5,∴不符
合题意;情况3:当平移后抛物线
对称轴在直线x = 3
2 右侧时,如
解图③,此时最小值为-3, 3
2 <n
-1≤3,即5
2 <n≤4,当x = 0 时,
取得最大值,为(1-n)
2 -3 = n
2 -
2n-2,∵图象对应的函数最大值
与最小值的差为5,∴n
2-2n-2-
(-3)= 5,解得n= 1+ 5或1- 5
(舍去),综上所述,n 的值为1+
5或4- 5.
第13 题解图②
第13 题解图③
课时2 二次函数交点问题
(方程思想)
1.
D 【解析】由二次函数的图象可
知,二次函数y=ax
2+bx 的最大值为
4,一元二次方程ax
2+bx-p = 2 可变
形为ax
2+bx = p+2 且有实数根,即
抛物线y=ax
2+bx 与直线y=p+2 有
交点,当p+2≤4 时,则抛物线与直
线有交点,解得p≤2,故选D.
2.
C 【解析】∵E( - 2,m),∴当m
取不同的值时,点E 可以看作在
直线x= -2 上运动,如解图,设抛
物线与直线x = -2 交于点E1,此
时线段DE1 和抛物线有一个公共
点,当点E 在点E1 的上方时,如
点E2 处,线段DE 和抛物线没有
公共点,当点E 在点E1 的下方
时,如点E3 处,线段DE 和抛物线
有一个公共点,当x = -2 时,y = m
= 2
3 ×( -2)
2 + 4
3 ×( -2) -2 = -2,
5
1
中考试题研究·数学(河北)
分
层
作
业
本
∴E1( - 2,- 2),∴m 的取值范围
为m>-2.
第2 题解图
3.
D 【解析】∵抛物线y = -x
2 -2hx
-h
2+4= -(x+h)
2+4 与线段AB 只
有一个交点,∴抛物线开口向下,
且顶点坐标为(-h,4),∴抛物线
顶点高于线段AB. ∴当抛物线过
点A(-2,3)时,3 = -4+4h-h
2 +4,
解得h= 1 或h = 3;当抛物线过点
B(4,3) 时,3 = -16-8h-h
2 +4,解
得h= -3 或h = -5,∴当抛物线y
=-x
2-2hx-h
2 +4,与线段AB 只有
一个交点时,h 的取值范围为-5≤
h<-3 或1<h≤3,∴h 的最小值为
-5.
4.
C
【解析】∵y = 1
2 x
2 - 7
2 x- 4 =
1
2 (x- 7
2 )
2 - 81
8 ,∴顶点坐标为
( 7
2 ,-81
8 ),∴平移后的抛物线解
析式为y = 1
2 (x- 7
2 +m)
2 - 81
8 +7
= 1
2 (x- 7
2 +m)
2-25
8 ,∴新抛物线
顶点为( 7
2 -m,-25
8 ),∵y = 1
2 x
2-
7
2 x-4 与x 轴相交于点B 和点C,
与y 轴交于点A,∴当y = 0 时,
1
2 x
2- 7
2 x-4= 0,解得x1 = -1,x2 =
8,∴B( - 1,0),C(8,0),当x = 0
时,y= -4,∴A(0,-4),设直线AB
的解析式为y = k1x + b1,直线AC
的解析式为y=k2x+b2,
∴
-k1+b1 = 0,
b1 = -4,
{
8k2+b2 = 0,
b2 = -4,
{
∴
k1 = -4,
b1 = -4,
{
k2 = 1
2 ,
b2 = -4,
{
∴直线AB
的解析式为y = - 4x- 4,直线AC
的解析式为y = 1
2 x-4,当顶点P
在AB 上时,-25
8 = -4( 7
2 -m) -4,
解得m = 119
32 ,当顶点P 在AC 上
时,-25
8 = 1
2 ( 7
2 -m)-4,解得m =
7
4 ,∴m 的取值范围为7
4 < m <
119
32 .
5.
3
2 ≤m≤5
2
【解析】∵点M(2,
4),MN⊥x 轴,∴点N(2,0),将点
M(2,4) 代入y = -x
2 + 2mx- 2,解
得m = 5
2 ,此时抛物线对称轴为
直线x= 5
2 ,如解图,当m> 5
2 时,y
= -x
2+2mx-2 与线段MN 没有公
共点;将点N(2,0) 代入y = -x
2 +
2mx-2,解得m = 3
2 ,此时抛物线
对称轴为直线x = 3
2 ,如解图,当
m< 3
2 时,y = -x
2 + 2mx- 2 与线段
MN 没有公共点,∴当3
2 ≤m≤5
2
时,y= -x
2 +2mx-2 与线段MN 始
终有公共点.
第5 题解图
6.
0<c<15
2 或8<c<12
【解析】当抛
物线与矩形的边有两个交点,分
情况讨论:如解图①,当抛物线经
过原点时,c= 0,如解图②,当抛物
线经过点C(5,0) 时,则1
2 ×5
2 -4
×5+c = 0,解得c = 15
2 ,∴当0<c<
15
2 时,抛物线与矩形的边有两个
交点;如解图③,当抛物线顶点在x
轴上时,则1
2 ×4
2-4×4+c= 0,解得c
=8,如解图④,当抛物线顶点在AB
上时,则1
2 ×4
2-4×4+c = 4,解得c =
12,∴当8<c<12 时,抛物线与矩形
的边有两个交点,综上所述,c 的取
值范围是0<c<15
2 或8<c<12.
第6 题解图
7.
解:(1)∵抛物线L:y=x
2-4x+c 交
x 轴于点A(-1,0),∴将点A(-1,
0)代入抛物线L:y=x
2-4x+c 中,
解得c= -5,
∴抛物线L:y=x
2-4x-5=(x-2)
2-9,
∴点M 的坐标为(2,-9);
(2) ∵∠BAN = 45°,且点N 在第
四象限,
∴点N 在x 轴下方.
如解图,过点A 作x 轴垂线, 过
点N 作y 轴垂线,两条垂线交于
点D,可得DN=AD,
设AD=d,则点N 的坐标为(d-1,
-d).
将点N(d-1,-d)代入抛物线L:y
=x
2-4x-5 中,得(d-1)
2-4(d-1)
-5= -d,
解得d1 = 5,d2 = 0(舍去),
∴点N(4,-5).
∵抛物线L:y=x
2-4x-5 = (x-2)
2
-9,
∴根据题意得抛物线L′:y=(x-2-
6
1
参考答案
分
层
作
业
本
b)
2-9+3=(x-2-b)
2-6.
∵抛物线L′与线段AN 只有一个
交点,
∴当抛物线L′ 过点A 时, 将点
A(-1,0)代入抛物线L′:y = (x-2
-b)
2-6 中,
得0=(-1-2-b)
2-6,
解得b1 = -3+ 6 (舍去),b2 = -3-
6(舍去).
当抛物线L′过点N 时,将点N(4,
-5)代入抛物线L′:y = (x-2-b)
2
-6 中,得-5=(4-2-b)
2-6,
解得b1 = 3,b2 = 1.
∴当抛物线L′与线段AN 只有一个
交点时,b 的取值范围为1<b≤3.
第7 题解图
第七节 二次函数的实际应用
1.
B
【解析】把t = 2. 5 代入h =
-40
9 (t-3)
2+40,得h = 350
9 ,当h =
350
9 -10
3 = 320
9 时,即- 40
9 ( t- 3)
2 +
40= 320
9 ,解得t = 4 或t = 2(不合
题意舍去),∴抛出两个小球的间
隔时间是4-2. 5= 1. 5
s.
2.
C 【解析】∵该自行车停车区域
为矩形,∴AB = EF = CD,AD = BC,
设AB 的长为x
m( x≤5),则AD
的长为(17+3-2x)m,即(20-2x)
m,由题意得,20- 2x≤14,解得x
≥3,∴3≤x≤5,故①错误;停车
区域的面积S = AB·AD = x·(20
-2x) = - 2x
2 + 20x = - 2( x - 5)
2 +
50,∵- 2< 0,函数图象的对称轴
为直线x = 5,∴当3≤x≤5 时,S
随x 的增大而增大,故②正确;将
S= 48 代入S= -2x
2+20x,整理,得
x
2-10x+24= 0,解得x1 = 4,x2 = 6,
∵6>5,故舍去,∴只有1 种设计
方案,故③正确.
3.
解:任务1:根据题意得原水柱落
地处与x 轴的交点坐标为(3,0),
将(3,0)代入y=a(x-1)
2+3 中,
得a(3-1)
2+3= 0,
解得a= - 3
4 ;
任务2:设调整后水柱抛物线的函
数解析式为y = a1(x- 3
2 )
2 +3(a1
≠0),
由任务1 知,原水柱抛物线解析
式为y= - 3
4 (x-1)
2+3,
令x= 0,代入原水柱抛物线解析
式,
则y= - 3
4 ×(0-1)
2+3= 9
4 ,
∵将(0, 9
4 )代入y = a1(x- 3
2 )
2 +
3 中,
得9
4 =a1(0- 3
2 )
2+3,
解得a1 = - 1
3 ,
∴调整后水柱抛物线的函数解析
式为y= - 1
3 (x- 3
2 )
2+3;
任务3:由任务2 知,y = - 1
3 ( x-
3
2 )
2+3,
令y= 0,则- 1
3 (x- 3
2 )
2+3= 0,
解得x= 4. 5(负值已舍去),
∵4. 5+1. 5= 6,4. 5+2 = 6. 5,6. 5>
6. 2>6,
∴公园管理处这一设计合理.
第四章 三角形
第一节 几何初步、相交线
与平行线(含命题)
1.
C 2.
A
3.
B 【解析】∵从A 地到B 地的路
线图,这两地之间的最短距离为8
km,∴其他线路都应大于8
km,
∵N 线路的长度为3 + 3 + 2 = 8
(km),∴路线N 所标的数据错
误.
4.
D 【解析】∵AB⊥BC 于点B,AB
= 3,点P 在射线BC 上,∴根据垂
线段最短可知,线段AP 的长最小
值是3,∴不可能是2.
5.
A 【解析】由题得当题图②中a
∥b 时,∠2 = ∠1 = 80°,110° - 80°
= 30°.
6.
D
【解析】∵CD∥AB,∴当点D
在C 点左侧时,∠BCD=α,当点D
在C 点右侧时,∠BCD= 180°-α.
7.
B
【解析】∵∠1 = ∠2 = 85°,∴
根据同位角相等,两直线平行可
得斑马线互相平行.
8.
D
【解析】当∠B+∠BCD = 180°
时,由同旁内角互补,两直线平行
得AB∥CD,故A 选项不符合题
意;∵∠1 = ∠2,由内错角相等,
两直线平行得AB∥CD,故B 选项
不符合题意;当∠B = ∠DCE 时,
由同位角相等,两直线平行得AB
∥CD,故C 选项不符合题意;当
∠3=∠4 时,由内错角相等,两直
线平行得AD∥BC,故D 选项符合
题意.
9.
C 【解析】由题意可知:AB∥PQ∥
CD,∵AB∥PQ,∴∠ABE+∠BGP
= 180°,∵∠ABE = 130°,∴∠BGP
= 180°-130° = 50°,∵PQ∥CD,∴
∠PGD+∠CDF= 180°,∵∠CDF=
150°, ∴∠PGD = 180° - 150° =
30°,∴∠BGD = ∠BGP+∠PGD =
50°+30° = 80°,∴∠EGF = ∠BGD
= 80°.
10.
A
【解析】∵点M 是AC 的中
点,点N 是BC 的中点,∴AM =
CM= 1
2 AC,BN = CN = 1
2 BC,当
点C 在线段AB 上时,MN = CM+
CN= 1
2 (AC+BC)= 1
2 AB= 8
cm;
当点C 在线段AB 的延长线上
时,MN = CM-CN = 1
2 (AC-BC)
= 1
2 AB= 8
cm.
11.
D 【解析】如解图,由题图可知
AD∥BF, AB ∥CE, ∠A = 65°,
∠CBF = 20°, ∴∠A + ∠ABF =
180°,∴∠ABF = 115°,∴∠ABC
= ∠ABF - ∠CBF = 95°, ∵AB∥
CE,∴∠BCE = ∠ABC = 95°,∴
∠1= 180°-∠BCE= 85°.
第11 题解图
7
1
中考试题研究·数学(河北)
分
层
作
业
本
12.
D
【解析】∵∠AOC 和∠BOD
都是直角,∴∠1+∠DOC = ∠2+
∠DOC= 90°,∴∠DOC 减小3°,
则∠1 和∠2 都增加3°,∠DOC+
∠AOB = ∠DOC + ∠1 + ∠DOC +
∠2 = 180°,∴A,B 选项的说法
错误, D 选项的说法正确; ∵
∠AOB= 180°-∠DOC,∴∠DOC
减小3°,则∠AOB 增加3°,∴C
选项的说法错误.
13.
D 【解析】∵AC 的垂直平分线
DE 交BC 于D,E 为垂足,∴AD
=DC,AC = 2AE = 6
cm,∵△ABD
的周长为12
cm,∴△ABD 的周
长=AB+BD+AD = AB+BD+CD =
AB+BC = 12
cm,∴△ABC 的周
长= AB + BC + AC = 12 + 6 = 18
(cm).
14.
A 【解析】如解图①,延长CD,
AB 交于点M, 过点C 作CG∥
EF,∴∠E = ∠GCE,∵AB∥EF,
∴AB∥CG,∴∠AMC = ∠MCG,
∵∠DCE = ∠DCG + ∠ECG, ∴
∠DCE = ∠AMC+∠E,∴∠AMC
=∠DCE-∠E,∴方案Ⅰ正确;
如解图②,延长CD,AB 交于点
N, ∵
AB ∥EF, ∴
∠ANM =
∠CME,∴方案Ⅱ正确;
第14 题解图
15.
A 【解析】当D 在l 的左侧时,
如解图①,∵DE⊥CD,∴∠CDE
= 90°,∵∠BDE = 30°,∴∠CDB
= 90° - 30° = 60°, ∵a ∥b, ∴
∠ACD+∠CDB = 180°,∴∠ACD
= 120°;当D 在l 的右侧时,如解
图②, ∵DE ⊥CD, ∴∠CDE =
90°,∵∠BDE = 30°,∴∠CDB =
90°-30° = 60°,∵a∥b,∴∠ACD
=∠CDB = 60°,∴淇淇说得对,
且∠ACD 的另一个值是120°.
第15 题解图
第二节 三角形的基本性质
1.
B
2.
A
【解析】由折叠的性质得到
BD = CD,∴AD 一定是△ABC 的
中线,故A 选项符合题意;由折叠
的性质得到DC′ = CD, ∴AD 是
△ABC 的高线,不是△ABC 的中
线,故B 选项不符合题意;由折叠
的性质得到∠CAD = C′AD,∴AD
是△ABC 的角平分线,不一定是
△ABC 的中线,故C 选项不符合
题意;如解图,由折叠的性质得到
CE = AE,但BD 和CD 不一定相
等,∴AD 不一定是△ABC 的中
线,故D 选项不符合题意.
第2 题解图
3.
C 【解析】∵三角形的两个内角
都小于40°,∴这两个内角的和<
80°,∵三个内角的和= 180°,∴
另一个角>100°,∴这个三角形是
钝角三角形.
4.
C 【解析】设第三根小棒的长度
是x,若三根小棒可以围成三角
形, 则由三角形三边关系可知
10-7<x<10+ 7,即3<x< 17,再由
图中挡板高度为5,则3<x≤5,结
合四个选项可知,第三根小棒的
长度可以是4 或5.
5.
A
【解析】∵∠B = 90°, ∠A =
45°,∴∠ACB = 45°. ∵∠EDF =
90°,∠F= 60°,∴∠DEF = 30°. ∵
EF∥BC,∴∠EDC = ∠DEF = 30°,
∵∠ACB 是△CDE 的外角, ∴
∠CED = ∠ACB - ∠EDC = 45° -
30° = 15°.
6.
C 【解析】∵PM 和QN 分别垂直
平分AB 和AC,∴AP = PB,AQ =
QC,∴∠BAP =∠B,∠CAQ =∠C,
∵∠BAC = 135°, ∴∠B + ∠C =
180° - ∠BAC = 45°, ∴∠BAP +
∠CAQ = 45°,∴∠PAQ = ∠BAC -
(∠BAP+∠CAQ)= 90°.
7.
B 【解析】如解图,取格点G,H,
由网格的性质可知,EG∥CH,∴
AD
AB = AG
AH = 2
4 = 1
2 ,AE
AC = AG
AH = 2
4 =
1
2 ,∴D, E 分别是AB, AC 的中
点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴
DE= 1
2 BC= 1.
第7 题解图
8.
D
【解析】∵DE∥BC(已知),∴
∠ADE = ∠ABC( 两直线平行,同
位角相等),∵∠EGH>∠ABC(三
角形的一个外角大于任何一个和
它不相邻的内角), ∴∠EGH >
∠ADE,由证明过程可知:∗代表
∠ABC,△代表∠ABC,○代表同
位角,& 代表三角形的一个外角
大于任何一个和它不相邻的内
角,故D 选项正确.
9.
C 【解析】∵AB 的垂直平分线分
别交AB,BC 于点D、E,AC 的垂直
平分线分别交AC、BC 于点F,G,∴
EA=EB,GA = GC,∴△AEG 的周长
=EA+EG+GA=EB+EG+GC=BC=7.
10.
C
【解析】∵F 为CE 的中点,
∴S△ACE = 2S△AEF = 6,∵E 为BD
的中点,∴S△BDC = 2S△CDE,S△BDA
= 2S△ADE,∴S△ABC = S△BDC +S△ABD
= 2S△CDE + 2S△ADE = 2 ( S△CDE +
S△ADE)= 2S△ACE = 12.
8
1
参考答案
分
层
作
业
本
11.
C 【解析】如解图,过点F 作FG
⊥BC 于点G,∵BF 平分∠ABC,
CE⊥AB,EF = 4,∴FG =FE = 4,∵
AD 为BC 边上的中线,∴CD =
1
2 BC= 5,∴S△CDF = 1
2 CD·FG =
1
2 ×5×4=10.
第11 题解图
12.
D 【解析】如解图①,过点D 作
DE∥AB 交AC 于点E,由作图可
知MN 为BC 的垂直平分线,∴
D 是BC 的中点,∴DE 是△ABC
的中位线,E 是AC 的中点, ∴
DE = 1
2 AB = 2, ∵DA ⊥BA, ∴
∠BAD = 90°,∴∠EDA = ∠BAD
= 90°, 在Rt △ADE 中, AD = 3,
DE = 2, 由勾股定理得, AE =
AD
2+DE
2 =
3
2+2
2 =
13,
∴AC= 2AE= 2
13.
第12 题解图①
一题多解法
如解图②,延长AD 至点E,使
DE = AD,连接CE,由作图可知
MN 为BC 的垂直平分线, ∴D
是BC 的中点, ∴BD = CD, ∵
∠ADB = ∠EDC, ∴△ADB ≌
△EDC(SAS),EC = AB = 4,AD =
ED= 3,∴AB∥EC,∵DA⊥BA,∴
∠BAD = ∠CED = 90°, 在Rt
△AEC 中,由勾股定理得,AC =
AE
2+EC
2 =
6
2+4
2 = 2
13.
第12 题解图②
13.
C
【解析】∵点O 是△ABC 三
条角平分线的交点,∴△ABO 和
△BOC 和△AOC 的高相等, ∵
△ABO 的面积记为S1, △ACO
的面积记为S2,△BCO 的面积
记为S3, 设高为h, ∴S1 + S2 =
1
2 AB·h + 1
2 AC·h = 1
2 ( AB +
AC)·h,S3 = 1
2 BC·h,由△ABC
的三边关系得:AB+AC>BC,∴S1
+S2>S3 .
14.
C 【解析】∵∠C = 100°,∴AB>
AC,如解图,取BC 的中点E,则
BE = CE,∴AB+BE>AC+CE,由
三角形三边关系,AC + BC > AB,
∴AB< 1
2 AD,∴AD 的中点M 在
BE 上,即点M 在BC 上,且距点
B 较近,距点C 较远.
第14 题解图
15.
A
【解析】∵△ABC 沿DE、EF
翻折,顶点A,B 均落在点O 处,
且EA 与EB 重合于线段EO,∴
∠ADE
=
∠ODE, ∠AED
=
∠OED,∠OFE = ∠BFE,∠BEF
= ∠OEF, ∵∠AEO + ∠BEO =
180°,∴∠AED+∠BEF = 90°,∵
∠ADO + ∠BFO = 2 × 180° -
∠CDO- ∠CFO = 360° - 104° =
256°,∴∠ADE + ∠BFE = 128°,
∵∠A + ∠ADE + ∠AED + ∠B +
∠BFE+∠BEF = 2× 180°,即∠A
+ ∠B + ( ∠ADE + ∠BFE ) +
(∠AED+ ∠BEF) = 2 × 180°,∴
∠A+∠B+ 128° + 90° = 2× 180°,
∴∠A+∠B = 142°,∴∠C = 180°
-(∠A+∠B)= 180°-142° = 38°.
16.
D
【解析】由折叠的性质, 得
DE 一定垂直平分线段AB,故A
选项正确,不符合题意;由折叠
的性质,得BD = AD,若BE = CE,
则DE 是△ABC 的中位线,∴线
段DE 可能是△ABC 的中位线,
故B 选项正确,不符合题意;由
折叠的性质,得BD = AD,∴线段
CD 一定是△ABC 的中线,故C
选项正确,不符合题意;当AC =
BC 时,BD = AD,根据等腰三角
形“三线合一”性质可得线段CD
是三角形的角平分线, ∴线段
CD 一定不是△ABC 的角平分
线,说法错误,故D 选项符合题
意.
17.
A 【解析】如解图①,连接CF,
根据折叠的性质可得△ABE ≌
△FBE,∴BF = AB = 3,∵BC = 5,
根据三角形三边关系BC+BF>
FC,可以得到3+ 5>FC,∴FC<
8,当点F 落在BC 上时,如解图
②,此时CF 有最小值为CF=BC
-BF= 5-3 = 2,综上所述,2≤CF
<8.
第17 题解图
第三节 全等三角形
1.
B 【解析】由SAS 或ASA 或AAS
作出三角形Ⅰ,由ASA 作出三角
形Ⅱ,三角形Ⅲ的三边都被遮盖,
不能作出三角形Ⅲ,∴可以作出
三角形Ⅰ、Ⅱ.
2.
C 【解析】AB=DF,∠B=∠F,BC
= EF,符合全等三角形的判定定
理SAS,能推出△ABC ≌△DFE,
故A 选项不符合题意; ∵BE =
CF,∴BE+CE = CF+CE,即BC =
EF,AB = DF,∠B = ∠F,BC = EF,
符合全等三角形的判定定理
SAS,能推出△ABC≌△DFE,故B
选项不符合题意;AB = DF,AC =
DE,∠B = ∠F,不符合全等三角
形的判定定理,不能推出△ABC≌
△DFE,故C 选项符合题意;∠A
=∠D,∠B=∠F,AB=DF,符合全
等三角形的判定定理ASA,能推
出△ABC≌△DFE,故D 选项不符
合题意.
3.
C
【解析】如解图,设AC 与BD
相交于点O,∵∠EAD=∠BAC,∴
∠BAE+ ∠EAC = ∠EAC + ∠CAD,
∴∠BAE = ∠CAD, 在△BAE 和
△CAD 中,
AB=AC,
∠BAE=∠CAD,
AE=AD,
{
∴
△BAE≌△CAD( SAS),∴∠ABE
9
1
中考试题研究·数学(河北)
分
层
作
业
本
= ∠ACD, ∵∠BOC 是△ABO 和
△CDO 的外角,∴∠BOC = ∠ABE
+ ∠BAC = ∠ACD + ∠BDC, ∵
∠BDC= 56°,∴∠BAC = ∠BDC =
56°,∵AB = AC,∴∠ABC = ∠ACB
= 1
2 (180°-∠BAC)= 1
2 ×(180°-
56°)= 62°.
第3 题解图
4.
A
【解析】由题意得AC = BC,
∠ACB = 90°,BD⊥DE,AE⊥DE,
∴∠BDC = ∠CEA = 90°,∴∠BCD
+∠ACE = 90°, ∠BCD + ∠DBC =
90°,∴∠ACE = ∠DBC,在△BDC
和△CEA 中,
∠BDC=∠CEA,
∠DBC=∠ACE,
BC=CA,
{
∴
△BDC≌△CEA ( AAS), ∴BD =
EC= 4
cm,DC = AE = 20
cm,∴DE
=DC+CE= 24
cm.
第4 题解图
5.
A 【解析】如解图,过点C 作CM
⊥y 轴于点M,CN⊥x 轴于点N,
则∠CMA = ∠CNB = 90°,∵C(4,
4),∴CN = CM = 4, ∵∠MON =
∠CNO = ∠CMO = 90°,∴∠MCN
= 360° - 90° - 90° - 90° = 90°, ∵
∠ACB=90°,∴∠ACB=∠MCN,
∴∠ACM = ∠BCN, 在△ACM 和
△BCN 中,
∠CMA=∠CNB,
CM=CN,
∠ACM=∠BCN,
{
,
∴△ACM≌△BCN( ASA),∴AM
=BN,∴OA+OB = OA+ON+BN =
OA+ON+AM=ON+OM= 4+4= 8.
第5 题解图
6.
C
【解析】如解图,连接PQ,∵
△ACB≌△ECD, ∴AB = DE = 6
cm,AC = EC,∠A = ∠E,在△ACP
和△ECQ 中,
∠ACP=∠ECQ,
AC=EC,
∠A=∠E,
{
∴
△ACP ≌△ECQ ( ASA), ∴AP =
QE,当P 点由A 点运动到B 点
时,4t= 6-t,解得t = 1. 2(s);当P
点由B 点运动到A 点时,12-4t =
6-t,解得t= 2(s);综上所述,t 的
值为1. 2
s 或2
s.
第6 题解图
7.
解:(1)∠DCO,OD,
理由如下:
∵AO⊥OD,
∴∠AOB=∠DOC= 90°,
在△AOB 与△DOC 中,
∠AOB=∠DOC,
∠ABO=∠DCO,
AB=DC,
{
∴△AOB≌△DOC(AAS),
∴OA=OD;
(2)∵△AOB≌△DOC,
∴OB = OC = 1. 2
m, OA = OD =
2. 5
m,
∴OA-OC = OD-OB = 2. 5- 1. 2 =
1. 3
m,
即AC= 1. 3
m.
第四节 相似三角形
(含位似)
1.
C 【解析】如图,过点A 作平行
横线的垂线,交点B 所在的平行
横线于点D,交点C 所在的平行
横线于点E,则AB
BC = AD
DE,即4
BC = 2,
解得BC= 2.
第1 题解图
2.
C
3.
D 【解析】①阴影部分的三角形
与原三角形有两个角对应相等,
故两三角形相似;②阴影部分的
三角形与原三角形有两个角对应
相等,故两三角形相似;③两三角
形的对应边不成比例,故两三角
形不相似;④两三角形对应边成
比例(4-1) ∶6 = (6-4) ∶4 且夹
角相等,故两三角形相似. 综上所
述,剪下的阴影三角形与原三角
形相似的是①②④.
4.
B 【解析】∵小正方形的边长均
为1,∴OB =
1
2+2
2 =
5,OD =
2
2+4
2 = 2 5,∴OB ∶OD = 1 ∶
2,∵将△OAB 以点O 为位似中心
放大后得到△OCD, ∴△OAB ∽
△OCD,相似比为1 ∶2,∴△OAB
与△OCD 的周长之比1 ∶2.
5.
B 【解析】∵△ABC∽△DEF,∴
S△ABC
S△DEF
=( AC
DF)
2,∵AC = 3
cm,DF =
4
cm,△DEF 的面积为16
cm
2,∴
S△ABC
16 =( 3
4 )
2 = 9
16,∴△ABC 的面
积为9
cm
2.
6.
C 【解析】如解图,在数轴上数8
对应的点为D,在直尺上刻度3
对应的点为C 点,刻度5 对应的
点为E 点,∵BC∥DE,∴△ABC∽
△ADE,∴AB
AD = AC
AE,即2+OB
2+8 = 3
5 ,
解得OB = 4,∴点B 在数轴上表
示的数是4.
第6 题解图
7.
A
【解析】∵△ABC 的各边按如
图所示的方式向内等距缩1
cm 得
到△DEF,∴DE∥AB,EF∥BC,DF
∥AC,∴∠EDF = ∠BAC,∠DEF =
∠ABC,∴△ABC∽△DEF,∴Ⅰ正
确;如解图, 分别延长AD, BE,
CF,它们相交于一点O,∴△ABC
与△DEF 是位似三角形,∴Ⅱ正
确.
第7 题解图
8.
A
【解析】如解图,延长AC 与
BE 交于点F,∵AD 平分∠CAB,
0
2
参考答案
分
层
作
业
本
BE⊥AD, ∴△ABF 是等腰三角
形, ∵∠CAB = 30°, ∴∠ABF =
∠AFE = 75°, ∵∠ACB = 90°,
∠CAB = 30°, ∴∠ABC = 60°, ∴
∠CBF= 15° = ∠CAD,∵∠BCF =
∠ACB = 90°,∴△ACD∽△BCF,
∴AD
BF = AC
BC =tan
∠ABC = 3,∴AD
BE
= AD
1
2 BF
= 2 3.
第8 题解图
9.
C 【解析】∵南门点E,东门点F
分别位于AD,AB 的中点处,∴AE
= 1
2 AD = 3. 5( 里),AF = 1
2 AB =
4. 5(里),∵EG⊥AD,FH⊥AB,∴
∠AEG = ∠HFA = 90°, ∵四边形
ABCD 是矩形,∴∠BAD = 90°,∴
∠BAD= ∠AEG = 90°,∴EG∥AB,
∴∠G = ∠FAH, ∴
△AEG ∽
△HFA,∴AF
EG = HF
AE,∴4. 5
EG = 15
3. 5,
解得EG = 1. 05, ∴EG 的长为
1. 05 里.
10.
C 【解析】如解图①,点O 为光
源,AB 为小明的手,CD 表示小
狗手影,则AB∥CD,作OE⊥AB,
延长OE 交CD 于点F,则OF⊥
CD,
第10 题解图①
∵AB∥CD, ∴∠OAB = ∠OCD,
∠OBA = ∠ODC, ∴△OAB ∽
△OCD,∴AB
CD =OE
OF. ∵OE= 2 米,
OF= 6 米,∴AB
CD = OE
OF = 2
6 = 1
3 .
令AB = k,则CD = 3k,∵在光源
不动的情况下,要使小狗手影的
高度为原来的一半,如解图②,
第10 题解图②
即AB = k,C′D′ = 3
2 k,△OAB∽
△OC′D′,∴
AB
C′D′ = OE′
OF′ =
k
3
2 k
=
2
3 ,则OE′
6 = 2
3 ,∴OE′ = 4 米,∴
光源与小明的距离应增加4-2=
2 米.
11.
195 【解析】∵大小两个风筝为
相似多边形,相似比为3 ∶1,∴
大小两个风筝的对角线之比也
为3 ∶1,∴大风筝的两条对角线
长分别为30×3 = 90(cm),35×3
= 105(cm),∴大风筝两条对角
线长的和为90+105= 195(cm).
12.
3 或4. 8 【解析】如果两点同时
运动,设运动t 秒时,以点A,D,
E 为顶点的三角形与△ABC 相
似,则AD = t,CE = 2t,AE = AC -
CE= 12-2t,①当D 与B 对应时,
有△ADE∽△ABC,
∴AD ∶AB =
AE ∶AC,∴t ∶6 = (12-2t) ∶12,
∴t = 3;②当D 与C 对应时,有
△ADE∽△ACB,∴AD ∶AC = AE
∶AB,∴t ∶12=(12-2t) ∶6,∴t
= 4. 8. 综上所述,当以点A,D,E
为顶点的三角形与△ABC 相似
时,运动的时间是3 秒或4. 8
秒.
13.
C
【解析】如解图所示,过点D
作DF∥BC 交AC 于点F,∵AD=
2DB,∴AD
BD = 2,∴AD
AB = 2
3 ,∵DF
∥BC,∴△AFD∽△ACB,∴AF
AC =
AD
AB = 2
3 ,∴
S△AFD
S△ACB
= ( AD
AB)
2 = 4
9 ,
∴设S△AFD = 4s,S△ACB = 9s,∵沿
DE 将△ABC 剪成面积相等的两
部分, ∴S△ADE = 9
2 s, ∴
S△AFD
S△ADE
=
4s
9
2 s
= 8
9 = AF
AE,∴AF
AE÷AF
AC = AF
AE·
AC
AF =AC
AE = 8
9 ÷ 2
3 = 4
3 ,∴AE
EC = 3.
第13 题解图
第五节 等腰三角形
1.
B 【解析】图①三角形的第三边
的长不确定,故①不一定是等腰
三角形;图②三角形的第三个角
是180°-50°-80° = 50°,三角形有
两个角都是50°,故②是等腰三角
形. 故选B.
2.
C 【解析】∵4+4+6 = 14,4+4>6,
∴可以围成4 厘米、4 厘米、6 厘米
的三角形;∵4+5+5 = 14,4+5>5,
∴可以围成4 厘米、5 厘米、5 厘米
的三角形,∴可以在②或③处截断.
3.
B
【解析】∵点D 在BC 上,∴
∠ADB+∠ADC = 180°,∵∠ADB =
∠ADC, ∴2 ∠ADC = 180°, ∴
∠ADC= 90°,∴AD⊥BC,故A 不
符合题意; ∵AB = AC, ∴∠B =
∠C,∵∠B = ∠C 与点D 所在的
位置没有关系,∴由∠B = ∠C 不
能说明AD⊥BC,故B 符合题意;
∵AB=AC,∴根据等腰三角形“三
线合一” 的性质, 当BD = CD 或
AD 平分∠BAC 时,AD⊥BC,故C,
D 不符合题意.
4.
B
【解析】∵AD 是△ABC 的中
线, AB = AC, ∠CAD = 20°, ∴
∠CAB= 2∠CAD= 40°,∴∠ABC=
∠C= 1
2 (180° -∠CAB) = 70°,∵
BE 是△ABC 的角平分线, ∴
∠ABE= 1
2 ∠ABC= 35°.
5.
B 【解析】∵∠A= 120°,AB=AC,
∴∠B = ∠C = 1
2 ( 180° - ∠A) =
1
2 ×(180° - 120°) = 30°,∵ED⊥
AC,∴∠CDE = 90°,∵tan
C = tan
30° =DE
DC = 3
DC = 3
3 ,∴DC = 3,∵D
是AC 的中点,∴AC= 2DC= 6.
6.
C
【解析】∵AC = BC, CD 是
△ABC 的角平分线,∴AD = BD,
∵AC=BC = 13,CE = 7,∴AE = AC
-CE = 13- 7 = 6. 如解图,过点D
作DG∥AC 交BE 于点G,∵AD =
1
2
中考试题研究·数学(河北)
分
层
作
业
本
BD,∴DG 是△BAE 的中位线,∴
DG = 1
2 AE = 3. ∵DG ∥AC, ∴
△DGF∽△CEF,∴DF
CF =DG
CE = 3
7 .
第6 题解图
7.
B 【解析】设BD = x,则CD = 20-
x,∵△ABC 是等边三角形,∴∠B
= ∠C = 60°,∴BE = BD·cos
60°
= x
2 ,同理可得,CF = 20-x
2
,∴BE
+CF= x
2 +20-x
2
= 10.
8.
D
【解析】由条件可知∠ABC =
∠ACB = 1
2 (180°-∠A) = 70°,∴
∠PBC = 1
2 ∠ABC = 35°, 可分三
种情况讨论:①当BC = CD 时,如
解图①,则∠BDC = ∠DBC = 35°;
②当BC = BD 时, 如解图②, 则
∠BDC = ∠BCD =
1
2 ( 180° -
∠DBC) = 72. 5°; ③当BD = CD
时,如解图③,则∠DCB = ∠DBC
= 35°,∴∠BDC = 180° -∠DCB-
∠DBC= 110°. 综上所述,∠BDC
的度数为35° 或72. 5° 或110°,
∴甲、乙、丙三人答案合在一起才
完整.
第8 题解图
第六节 直角三角形
1.
C 【解析】∵∠BAC=90°,∴△ABC
是直角三角形. ∵AD⊥BC,∴∠ADB
= ∠ADC = 90°,∴△ABD, △ADE,
△ADC 均是直角三角形,∴共有
4 个直角三角形.
2.
B 【解析】如解图,过点C 作CH
⊥AB 于点H, ∵AC = BC = 2,
∠ACB = 90°,∴△ABC 是等腰直
角三角形,∴AB = 2 2,∴AH = BH
=CH= 2,CD = AB = 2 2,∴DH =
CD
2-CH
2 =
8-2 =
6,∴DB
=DH-BH= 6 - 2.
第2 题解图
3.
D
【解析】∵∠ABC = 90°,AB =
BC,∴△ABC 为等腰直角三角
形, ∴∠ACB = 45°, ∵∠ACD =
25°,∴∠DCB = ∠ACB-∠ACD =
20°,∵BE 是Rt△DCB 斜边上的
中线, ∴BE = CE, ∴∠EBC =
∠DCB = 20°, ∴∠BEC = 180° -
∠EBC-∠DCB= 140°.
4.
D 【解析】如解图,过点B 作BM
⊥AC2 于点M,则∠BMA = 90°,∵
∠A= 30°,AB= 6
cm,∴BM= 1
2 AB
= 3
cm,∵BC1 = BC2 = 4
cm,BM⊥
C1C2,∴C1M = C2M =
4
2-3
2 =
7(cm),∴C1C2 = 2 7
cm.
第4 题解图
5.
A
【解析】在Rt△ABC 中,由勾
股定理得AC
2 +BC
2 = AB
2,由题意
可知, S阴影部分= 1
2 AC
2 + 1
2 BC
2 +
1
2 AB
2 = 1
2 (AC
2 +BC
2 +AB
2)= 16,
∴AC
2+BC
2+AB
2 = 32,∴AB
2 = AC
2
+BC
2 = 16,∴AB=
16 = 4,
6.
6
【解析】∵点D,E 分别是边
AB,BC 的中点,∴DE 是△ABC 的
中位线,∴DE = 1
2 AC = 1
2 ×4 = 2,
∵在Rt△BFC 中,E 是斜边BC 的
中点,BC= 8,∴FE = 1
2 BC = 1
2 ×8
= 4,∴DF=DE+FE= 2+4= 6.
7.
2 【解析】如解图,过A 作AM∥
FG 交BC 于点M,∵FG⊥CD,∴
AM⊥CD,∵∠ACB= 90°,CD 平分
∠ACB, ∴∠ACD = 1
2 ∠ACB =
45°,∴∠CAM = 90°-∠ACD = 90°
-45° = 45°,∴△ACM 是等腰直角
三角形,∴AM =
2AC = 2 2, ∵
AM∥EG,E 为AB 的中点,∴G 是
BM 的中点,∴EG 是△BAM 的中
位线,∴EG= 1
2 AM= 2.
第7 题解图
8.
2
【解析】如解图①,过点C 作
CF⊥AB 交BA 的延长线于点F,
∴∠BFC = 90°,∵∠BAC = 135°,
∴∠FAC = 180° - ∠BAC = 180° -
135° = 45°,∴△FAC 为等腰直角
三角形,设CF = x,则AF = CF = x,
AB = AC =
AF
2+CF
2 =
2 x. ∵
S△ABC = 1
2 AB·CF= 4 2,∴
2
2 x
2 =
4 2,解得x= 2 2 (负值已舍去),
∴AB= 2 x = 4,∵点D,E 分别为
边BC,AC 的中点,∴DE 为△ABC
的中位线,∴DE= 1
2 AB= 2.
第8 题解图①
一题多解法
如解图②,过点B 作BF⊥AC,交
CA 的延长线于点F. ∵∠BAC =
135°,∴∠BAF = 45°,∴△ABF 是
等腰直角三角形. 设AB = AC = x,
∴BF =
2
2 x,∴S△ABC = 1
2 AC·BF
= 1
2 x· 2
2 x = 4 2,解得x = 4(负
2
2
参考答案
分
层
作
业
本
值已舍去),∴AB = AC = 4. ∵D,E
分别为边BC,AC 的中点,∴DE
为△ABC 的中位线,∴DE = 1
2 AB
= 2.
第8 题解图②
9.
6
【解析】如解图,过点E 作EF
⊥BC 于点F,设AD 与BE 交于点
G,∵BE⊥AD,∴∠BAG+∠ABG =
90°,∵∠ABC = 90°, ∴∠CBE +
∠ABG = 90°, ∴∠BAG = ∠CBE,
∵EF ⊥BC, ∴∠EFB = ∠ABC =
90°,∴△ABD ∽△BFE, ∴AB
BF =
BD
FE,∵∠ABC = 90°, AB = BC, ∴
∠C= 45°,∴FC=FE,由尺规作图
的痕迹可知D 是BC 的中点,∴
BD= 1
2 BC= 3,∴
6
6-FC = 3
FC,解得
FC= 2,∴EF = 2,∴S△BCE = 1
2 BC
·EF= 6.
第9 题解图
10.
12
5 , 5
2
【解析】如解图, 连接
CE,CF,过点E 作CD 的垂线,
垂足为M, 过点F 作CD 的垂
线,垂足为N,即EM=m,FN = n,
则S△CDF =
1
2 CD · n, S△CDE =
1
2 CD· m,∵E,F 分别为AD,
BD 的中点,∴S△CDE = 1
2 S△CDA,
S△CDF = 1
2 S△CDB,∴S△CEF =S△CDE+
S△CDF = 1
2 ( S△CDA + S△CDB ) = 1
2
S△ABC,∵S△CEF =S△CDE+S△CDF = 1
2
CD·(m+n),S△ABC = 1
2 BC·AC
= 1
2 ×3×4= 6,∴1
2 S△ABC = 1
2 CD
·(m+n) = 3,∴CD·(m+n) =
6,∵∠ACB= 90°,AC= 4,BC = 3,
∴AB =
AC
2+BC
2 =
4
2+3
2 =
5,设AB 边上的高为h,∴1
2 AB
·h= 6,∴h = 12
5 ,当CD 最小时,
即CD⊥AB,此时CD = h = 12
5 ,∵
S△ABC 面积不变CD 最小,∴(m+
n) 取得最大值,∴m + n = 6
12
5
=
5
2 ,∴m+n 的最大值为5
2 .
第10 题解图
第七节 锐角三角函数
及其应用
1.
D
【解析】如解图,过A 作水平
方向射线AC,垂直方向射线AD,
由条件可知∠DAC = 90°,∠BAC =
22°;∴∠DAB = 68°,∴点B 位于
点A 的方向角为北偏东68°方向
上.
第1 题解图
2.
B 【解析】如解图,C 为OB 边上
的格点,连接AC,由勾股定理,得
AO =
2
2+4
2
= 2
5, AC =
1
2+3
2 =
10,OC =
1
2+3
2 =
10,∴AO
2 =AC
2+OC
2,∴△AOC
是直角三角形,且∠ACO = 90°,∴
cos∠AOB=OC
AO =
10
2 5
= 2
2 .
第2 题解图
3.
B
【解析】A. 由题图得∠BAC =
90° - 60° = 30°, ∴cos ∠BAC =
cos
30° = 3
2 ,A 选项不符合题意;
B. 根据图象得∠BCA = 90°-45° =
45°,∴cos∠BCA = cos
45° =
2
2 <
3
2 , ∴B 选项符合题意; C.
tan∠BAC=tan
30° = 3
3 ,∴C 选项
不符合题意; D. tan∠BCA = tan
45° = 1,∴D 选项不符合题意.
4.
C
【解析】由题意,得∠A = 50°,
∠B= 80°,∴∠BOA = 180°-∠B-
∠A= 50°,∴∠A = ∠BOA,∴OB =
AB,已知渔船的速度是28 海里/
小时,上午8 时和10 时的位置分
别用点A,B 表示,∴OB = AB = 2×
28= 56 海里.
5.
A
【解析】斜坡CD 的坡度i =
1 ∶2,太阳光与水平面的夹角为
60°,BE 长为10 米,如解图,过点
E 作水平地面的平行线,交AB 的
延长线于点H, 则∠BEH =
∠DCF,在Rt△BEH 中,tan∠BEH
=tan
∠DCF=i= BH
EH = 1
2 ,设BH =
x 米, 则EH = 2x 米, ∴BE =
EH
2+BH
2 =
5 x = 10 米,∴x =
2 5,∴BH = 2 5 米,EH = 4 5 米,
∵∠AEH= 60°,∴AH = tan
∠AEH
·EH =
3 EH = 4
15 米,∴AB =
AH-BH = (4
15 - 2 5 ) 米,∴大
3
2
中考试题研究·数学(河北)
分
层
作
业
本
树的高度为(4
15 -2 5)米.
第5 题解图
6.
A
【解析】如解图,过点E,F 分
别作EH⊥CD,FN⊥CD,垂足为
H,N,过点E 作EM⊥FN,垂足为
M, 则四边形EMNH 为矩形,
∴MN= EH,EM = HN,由题意,得
EC = 150, ∠ECD = 80°, ∠FEC =
130°,在Rt△EHC 中,sin∠ECH =
EH
CE = EH
150≈0. 98,∴EH≈147
cm,
∵∠EHC = 90°, ∴∠CEH = 10°,
∴∠FEM = ∠FEC - ∠MEH -
∠CEH= 130° - 90° - 10° = 30°,∴
FM = 1
2 EF = 22. 5
cm,∴点F 到
CD 的高度为MN+FM=EH+FM≈
169. 5(cm),∵矩形底座ABCD 的
高BC 为20
cm,∴最高点F 距地
面AB 的高度约为169. 5 + 20 =
189. 5
cm.
第6 题解图
7.
4
9 【解析】如解图,延长AN,交
直线BC 于点E,由题意得,AD =
BC = CD = 9
cm,∠D = 90°,AD∥
BC,AN∥FG,设DN = x
cm,则CN
=CD-DN=(9-x)cm,∵密封透明
正方体容器水平放置在桌面上与
放在坡角为α 的斜坡上,容器里
水的体积不变,且放在坡角为α
的斜坡上时,水的体积等于长为9
cm,宽为9
cm,高为(9-x) cm 的
长方体的体积与长为9
cm,宽为
9
cm,高为x
cm 的长方体的体积
的一半之和,∴9×9(9-x) + 1
2 ×9
×9x= 9×9×7,解得x= 4,即DN = 4
cm,∵AN∥FG,∴∠AEF= α,∵AD
∥BC, ∴∠DAN = ∠AEF = α,
∴tan
α=tan∠DAN=DN
AD = 4
9 .
第7 题解图
8.
(1) 10;
【解析】如解图, 连接
QB,由题意得PQ= 6
m,QB= 8
m,
QB⊥PQ, ∴PB =
PQ
2+QB
2 =
10
m.
(2) 4
3
【解析】如解图,延长PQ
交AB 于点E,∵PE∥BC,∴∠QEB
= ∠ABC,∵PB∥QM,∴∠PBM =
∠QMN,∵PM∥QN, ∴∠PMB =
∠QNM, ∴△QNM ∽△PMB, ∵
MN
BM = 1
2 ,∴QM
PB = MN
BM = 1
2 ,∵PB∥
QM,∴△EQM ∽△EPB,∴EQ
EP =
QM
PB = 1
2 ,∴
EQ
EQ+6 = 1
2 ,∴EQ = 6
cm,由( 1) 得∠PQB = ∠BQE =
90°,∴tan∠ABC = tan∠QEB = QB
QE
= 4
3 .
第8 题解图
9.
解:(1)图②(甲)中,∵PH⊥MN,
∴∠BHP= 90°,
∵PH= 6
mm,∠BPH= 30°,
∴PB=
6
cos
30° = 4 3(mm),
图②( 乙) 中,由题意得∠AHP =
90°,∠APH= 45°,
∴AP= 6 2(mm),
答:夹纸板截线PB 的长为4 3
mm, 扣板截线PA 的长为6 2
mm;
(2)如解图①,图②(丙) 中,设纸
的上端与PH 交于点C,
∵∠APB= 135°,∠APH= 75°,
∴∠BPC= 135°-75° = 60°,
∵PB= 4 3(mm),
∴PC= 2 3(mm),
∴CH=(6-2 3)mm,
∴每张纸的厚度为6-2 3
30
= 3- 3
15
(mm),
答:每张纸的厚度为3- 3
15
mm;
第9 题解图①
(3)(3 2 +3 6)mm.
【解法提示】如解图②,作AQ⊥
PH 交HP 的延长线于点Q, 则
∠Q= 90°,∵∠BPH = 30°,∠APB
= 135°,∴∠APH = 105°,∴∠APQ
= 75°,∴∠QAP = 15°,作∠RPA =
∠RAP= 15°,∴∠QRP = 30°,AR =
PR,设QP 为x
mm,则QR =
3 x
mm,PR = 2x
mm,∴AR = 2x
mm,
在Rt△APQ 中, 由勾股定理, 得
AQ
2+PQ
2 = AP
2,∴( 3x+2x)
2 +x
2
=(6 2 )
2,解得x = 3 3 - 3( 负值
舍去),∴QP=(3 3 -3)mm,AQ =
(3+3 3 ) mm,在Rt△AQH 中,由
勾股定理,得AH =
AQ
2+QH
2 =
(3+3 3)
2+(6+3 3 -3)
2
=
(3 2 +3 6)mm.
第9 题解图②
4
2
