第 2 讲 函数与方程思想在解析几何中（选填）的应用
函数的思想就是运用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数。
运用函数的图像性质去分析问题，转化问题，测试问题，获得解决。函数思想是对函数概念本质认识，用
于指导解题就是善于利用函数知识。或函数观点观察分析解决问题。
方程思想是高中数学重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（组）、或构造方程来分析数学变
量问的等量关系，通过解方程（组），或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。孰练运用
方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。
函数与方程思想，简单的说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。对函数和
方程思想的考察，主要是考察。能不能用函数和方程思想指导解题？一般情况下，凡是涉及到未知数，未
知数问题都可以都可能用到函数与方程的思想。
函数与方程思想方法的考察一直是高考的重点内容之一。也是圆锥曲线中体现最多的一种思想方法。
无论是选填还是解答题都是必考查的问题。
【应用一】函数与方程思想在研究圆中的应用
与圆有关的知识点：
（1）圆的方程，包括标准方程，一般方程
（2）圆的问题，画图是重点，圆的切线，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系是常考知识点；
（3）直线与圆相切常用结论：圆心到直线距离等于半径；
（4）直线与圆相交，弦长
（5）两圆相交，公共弦方程，用两圆方程作差，得到的就是公共弦方程；
（6）与圆有关的最值问题，圆心是核心；
【例1.1】【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为
____________．
【思维提升】圆中的函数与方程思想主要就是体现在设圆的半径或者圆心以及圆的一般是所涉及的参数，
根据题目中给出的条件建立方程或者方程组。分别解出方程或者方程组。
【变式1.1】（2023年全国新高考Ⅱ卷） 已知直线 与 交于A，B两
点，写出满足“ 面积为 ”的m的一个值______．
【变式1.2】（2023年全国新高考Ⅱ卷） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线与C交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．
A. B. C. D.
【变式1.3】（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆 和 都相切的一条直线方
程____________．
【应用二】函数与方程思想在研究圆锥曲线的基本量的问题
一、椭圆的标准方程和几何性质
标准
x2 y2 y2 x2
+ =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
方程 a2 b2 a2 b2
图形
范围 -a≤x≤a;-b≤y≤b -b≤x≤b;-a≤y≤a
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 A (-a,0),A (a,0), A (0,-a),A (0,a),
1 2 1 2
坐标 B (0,-b),B (0,b) B (-b,0),B (b,0)
1 2 1 2
长轴A A 的长为2a;
性 轴 1 2
短轴B B 的长为2b
质 1 2
焦距 |F F |=2c
1 2
c
离心率 e= ∈(0,1)
a
a,b,c
a2=b2+c2
的关系
二、抛物线的定义
抛物线的标准方程与几何性质
y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
标准
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
方程
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 直线y=0 直线x=0
p p p p
焦点 F ,0 F - ,0 F 0, F 0,-
2 2 2 2
离心率 e=1准线 p p p p
x=- x= y=- y=
方程 2 2 2 2
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
|PF|= |PF|= |PF|= |PF|=
焦半径(其
p p p p
P(x ,y )) x + -x + y + -y +
0 0 0 2 0 2 0 2 0 2
（1）双曲线点集: .
（2）椭圆点集 .
（3）等轴双曲线
（ ， ）当 时称双曲线为等轴双曲线
① ； ②离心率e=√2； ③两渐近线互相垂直，分别为 ；
④等轴双曲线的方程x2 −y2 =λ， ；
（4）双曲线与渐近线的关系
①若双曲线方程为 渐近线方程：
②若双曲线方程为 （ ， ） 渐近线方程：
③若渐近线方程为 ，则双曲线方程可设为 ，
④若双曲线与 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为 （ ，焦点在 轴上，
，焦点在 轴上）
x2 y2 1
【例2.1】【2022年全国甲卷】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，A ,A 分别为C的左、右
a2 b2 3 1 2
→ →
顶点，B为C的上顶点．若BA ⋅BA =−1，则C的方程为（ ）
1 2
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2
A． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + y2=1
18 16 9 8 3 2 2
【例2.2】【2021年新高考2卷】抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
（ ）A．1 B．2 C． D．4
【例2.3】【2020年新课标3卷理科】设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，
1 2
离心率为 ．P是C上一点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为4，则a=（ ）
1 2 1 2
A．1 B．2 C．4 D．8
【思维提升】椭圆、双曲线中涉及的基本量为a,b,c;抛物线中涉及到p等基本量。根据题目所给的条件分
别建立方程或者方程组。
【变式2.1】（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知抛物线 的焦点为 ，准
线为 ， 为 上一点， ，垂足为 ， 与 轴交点为 ，若 ，且 的面积为
，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2.2】（2023·江苏南通·统考一模）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之
家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的
中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面 ，近地点（长轴端点中离地面
最近的点）距地面 ，地球的半径为 ，则该椭圆的短轴长为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.3】（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）直线 与椭圆 (m>0)有且仅
有一个公共点P，则m＝_______，点P的坐标是________.
【应用三】函数与方程思想在研究圆锥曲线的离心率的问题
圆锥曲线中的离心率是这几年高考的热点，常考查离心率的值和范围等问题。
【例3.1】（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷））
已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在 上，点 在 轴上，，则 的离心率为________．
【例3.2】【2021年乙卷理科】设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思维提升】求离心率的值关键是找到等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率。常见的等式关系
主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目
中的等式关系。体现方程的思想。
求离心率的值关键是找到不等关系，解出 a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有：
1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦
点的范围；要特别注意离心率的范围。此类问题转化为函数，求函数的最值问题
x2 y2
【变式3.1】．【2022年全国甲卷】椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关
a2 b2
1
于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
4
❑√3 ❑√2 1 1
A． B． C． D．
2 2 2 3
【变式3.2】（2023·黑龙江大庆·统考一模）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，
点P，Q在椭圆C上，若 ，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式 3.3】（2023·重庆·统考三模）已知 ， 分别为椭圆的左右焦点，P 是椭圆上一点，
， ，则椭圆离心率的取值范围为______．
【应用四】函数与方程思想在研究圆锥曲线最值的问题
平面解析几何是高考解答题必考题型之一，常考椭圆和抛物线，第一问主要考查圆锥曲线方程；第二问考查直线与圆锥曲线的位置关系，常涉及到面积问题，定值，定点，定直线问题；一般以压轴题出现；
【例4】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线 ： ，圆 ： ，在
抛物线 上任取一点 ，向圆 作两条切线 和 ，切点分别为 ， ，则 的取值范围是
______ ．
【思维提升】圆锥曲线中的最值及范围问题，则是通过建立对于的目标函数，求这个函数的最值问题。若
函数是一元二次函数，根据具体的范围求最值，若不是一元二次函数则可能用到基本不等式或者求导，求
最值或者范围。
【变式4.1】【2021年乙卷文科】设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2
【变式4.2】（2023·吉林·统考三模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，过焦点 的直
线l与椭圆C相交于 两点，椭圆C在 两点处的切线交于点P，则点P的横坐标为______，若
的垂心为点H，则 的最小值是______．
【变式4.3】（多选）（2023·山西运城·统考三模）已知点 是椭圆 上的动点，点
且 ，则|PQ|最小时，m的值可能是（ ）
A．-1 B． C．a D．3a
巩固练习
1、（2023·安徽铜陵·统考三模）已知抛物线 ，点 在 上，直线 与坐标轴
交于 两点，若 面积的最小值为1，则 （ ）
A．1 B． C．1或 D． 或
2、【2019年新课标1卷理科】已知椭圆C的焦点为 ，过F 的直线与C交于A，B两点.
2若 ， ，则C的方程为
A． B． C． D．
3、【2020年新课标1卷理科】已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，
过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
4、（2022·江苏如皋·高三期末）已知双曲线 ，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，
点Q在双曲线 上，且满 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
5、（2023·江苏南通·三模）抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于 两点，以 为直
径的圆 交 轴于 两点， 为坐标原点，则 的内切圆直径最小值为( ).
A． B． C． D．
6、（2022·湖南常德·高三期末）已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O： 的一条直径，则
______．
7、（2023·云南红河·统考一模）已知双曲线E： 的左、右焦点分别为 、 ，若E
上存在点P，满足 ，（O为坐标原点），且 的内切圆的半径等于a，则E的离心率为
____________．
8、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知直线 与圆 相离，则整数
的一个取值可以是______．
9、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”．在平面直角坐标系中，已知点 ，点P
满足 ，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心，若直线 与圆M相交于D，G两点，且
，则 ____________．
10、（2023·安徽·统考一模）已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于
点，则椭圆的离心率是__________.
