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第 13 讲 利用洛必达法则解决导数问题（高阶拓
展）（核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数解决函数问题
2能用洛必达法则解决极限等问题
【命题预测】洛必达法则只是一个求极限的工具，是在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确
定未定式极限值的方法。详细的洛必达法则应用是大学高等数学中才介绍，这里用高中生最能看懂的方式
说明，能备考使用即可.
知识讲解
洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及 ；
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3) ，
那么 = 。 型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) 及 ；
(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3) ，
那么 = 。 型
注意：
1. 将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。
2. 洛必达法则可处理 型。3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会
出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。
4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。
, 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。
考点一、 洛必达法则的直接应用
1．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也
可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极
限来确定未定式值的方法，如 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2022·全国·高三专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当 时，
的极限即为 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛
必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
1．（2022·广东韶关·校考模拟预测） 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，
用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再
求极限来确定未定式值的方法．如： ，按此方法则有
．
2．（2022春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分
析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： ，按
此方法则有 ．
3．（2023春·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称
为 型，比如：当 时， 的极限即为 型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早
在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条
件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式
值的方法．
如： ，则 ．
4．（2023·全国·高三专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当 时，
的极限即为 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛
必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则 ．
考点 二 、 利用洛必达法则解决函数综合问题
1．（全国高考）已知 恒成立, 求 的取值范围
2．（天津高考） 恒成立, 求 的取值范围
3．（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围
1.（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围2.（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围.
3.（全国高考） 恒成立, 求 的取值范围
【能力提升】
1．（2020秋·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考阶段练习）已知函数
（I）求证
（II）若 取值范围.
2．（2022秋·贵州贵阳·高三统考阶段练习）已知函数
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ， ．
(1)当 时，证明 在 是增函数；
(2)若 ， ，求 的取值范围．
4．（2022秋·辽宁·高三辽宁实验中学校考开学考试）设函数 ，其中 .
（Ⅰ）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若 成立，求 的取值范围.
5．（2023春·陕西西安·高三西安建筑科技大学附属中学校考期中）设函数 ．
(1)若 在点 处的切线斜率为 ，求a的值；
(2)当 时，求 的单调区间；
(3)若 ，求证：在 时， ．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象在点 处的切线方程为
．（1）用 分别表示 , ；
（2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
7．（2021春·江苏扬州·高三扬州市江都区大桥高级中学校考阶段练习）设函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若当 时 恒成立，求 的取值范围．
8．（福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知函数 = .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ，当 时， ,求 的最大值；
（3）已知 ，估计ln2的近似值（精确到0.001）
9．（吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）已知函数
（1）证明：当 时， ；
（2）若当 时， ，求实数 的取值范围.
10．（2022·河南信阳·统考一模）已知函数 的最小值为0，其中 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若对任意的 ，有 成立，求实数 的最小值；
（Ⅲ）证明 .
