第 2 讲 函数与方程思想在解析几何中（选填）的应用
函数的思想就是运用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数。
运用函数的图像性质去分析问题，转化问题，测试问题，获得解决。函数思想是对函数概念本质认识，用
于指导解题就是善于利用函数知识。或函数观点观察分析解决问题。
方程思想是高中数学重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（组）、或构造方程来分析数学变
量问的等量关系，通过解方程（组），或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。孰练运用
方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。
函数与方程思想，简单的说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。对函数和
方程思想的考察，主要是考察。能不能用函数和方程思想指导解题？一般情况下，凡是涉及到未知数，未
知数问题都可以都可能用到函数与方程的思想。
函数与方程思想方法的考察一直是高考的重点内容之一。也是圆锥曲线中体现最多的一种思想方法。
无论是选填还是解答题都是必考查的问题。
【应用一】函数与方程思想在研究圆中的应用
与圆有关的知识点：
（1）圆的方程，包括标准方程，一般方程
（2）圆的问题，画图是重点，圆的切线，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系是常考知识点；
（3）直线与圆相切常用结论：圆心到直线距离等于半径；
（4）直线与圆相交，弦长
（5）两圆相交，公共弦方程，用两圆方程作差，得到的就是公共弦方程；
（6）与圆有关的最值问题，圆心是核心；
【例1.1】【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为
____________．
【答案】(x−2) 2+(y−3) 2=13或(x−2) 2+(y−1) 2=5或 ( x− 4) 2 + ( y− 7) 2 = 65 或
3 3 9
( x− 8) 2 +(y−1) 2= 169 ；
5 25
【解析】
【分析】
设圆的方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】
解：依题意设圆的方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0，若过(0,0)，(4,0)，(−1,1)，则¿，解得¿，
所以圆的方程为x2+ y2−4x−6 y=0，即(x−2) 2+(y−3) 2=13；
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则¿，解得¿，
所以圆的方程为x2+ y2−4x−2y=0，即(x−2) 2+(y−1) 2=5；
若过(0,0)，(4,2)，(−1,1)，则¿，解得¿，
所以圆的方程为x2+ y2− 8 x− 14 y=0，即 ( x− 4) 2 + ( y− 7) 2 = 65 ；
3 3 3 3 9
若过(−1,1)，(4,0)，(4,2)，则¿，解得¿，
所以圆的方程为x2+ y2− 16 x−2y− 16 =0，即 ( x− 8) 2 +(y−1) 2= 169 ；
5 5 5 25
故 答 案 为 ： (x−2) 2+(y−3) 2=13或 (x−2) 2+(y−1) 2=5或 ( x− 4) 2 + ( y− 7) 2 = 65 或
3 3 9
( x− 8) 2 +(y−1) 2= 169 ；
5 25
【思维提升】圆中的函数与方程思想主要就是体现在设圆的半径或者圆心以及圆的一般是所涉及的参数，
根据题目中给出的条件建立方程或者方程组。分别解出方程或者方程组。
【变式1.1】（2023年全国新高考Ⅱ卷） 已知直线 与 交于A，B两
点，写出满足“ 面积为 ”的m的一个值______．
【答案】 （ 中任意一个皆可以）
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长 ，以及点 到直线 的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 ，
所以 ，解得： 或 ，
由 ，所以 或 ，解得： 或 ．故答案为： （ 中任意一个皆可以）
【变式1.2】（2023年全国新高考Ⅱ卷） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线
与C交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用 ，求出 范围，再根据三角形面积比得到关于 的方
程，解出即可.
【详解】将直线 与椭圆联立 ，消去 可得 ，
因为直线与椭圆相交于 点，则 ，解得 ，
设 到 距离 到 距离 ，易知 ，
的
则 ， ，
，解得 或 （舍去），
故选：C.【变式1.3】（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆 和 都相切的一条直线方
程____________．
【答案】 或 中任何一个答案均可
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
则 ，
所以两圆外离，
由两圆的圆心都在 轴上，则公切线的斜率一定存在，
设公切线方程为 ，即 ，
则有 ，
解得 或 或 或
所以公切线方程为 或 .
故答案为： .（答案不唯一，写其它三条均可）
【应用二】函数与方程思想在研究圆锥曲线的基本量的问题
一、椭圆的标准方程和几何性质
标准
x2 y2 y2 x2
+ =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
方程 a2 b2 a2 b2
图形范围 -a≤x≤a;-b≤y≤b -b≤x≤b;-a≤y≤a
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 A (-a,0),A (a,0), A (0,-a),A (0,a),
1 2 1 2
坐标 B (0,-b),B (0,b) B (-b,0),B (b,0)
1 2 1 2
长轴A A 的长为2a;
性 轴 1 2
短轴B B 的长为2b
质 1 2
焦距 |F F |=2c
1 2
c
离心率 e= ∈(0,1)
a
a,b,c
a2=b2+c2
的关系
二、抛物线的定义
抛物线的标准方程与几何性质
y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
标准
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
方程
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 直线y=0 直线x=0
p p p p
焦点 F ,0 F - ,0 F 0, F 0,-
2 2 2 2
离心率 e=1
准线 p p p p
x=- x= y=- y=
方程 2 2 2 2
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
|PF|= |PF|= |PF|= |PF|=
焦半径(其
p p p p
P(x ,y )) x + -x + y + -y +
0 0 0 2 0 2 0 2 0 2
（1）双曲线点集: .
（2）椭圆点集 .
（3）等轴双曲线
（ ， ）当 时称双曲线为等轴双曲线
① ； ②离心率e=√2； ③两渐近线互相垂直，分别为 ；
④等轴双曲线的方程x2 −y2 =λ， ；
（4）双曲线与渐近线的关系
①若双曲线方程为 渐近线方程：②若双曲线方程为 （ ， ） 渐近线方程：
③若渐近线方程为 ，则双曲线方程可设为 ，
④若双曲线与 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为 （ ，焦点在 轴上，
，焦点在 轴上）
x2 y2 1
【例2.1】【2022年全国甲卷】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，A ,A 分别为C的左、右
a2 b2 3 1 2
→ →
顶点，B为C的上顶点．若BA ⋅BA =−1，则C的方程为（ ）
1 2
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2
A． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + y2=1
18 16 9 8 3 2 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据离心率及⃑BA ⋅⃑BA =−1，解得关于a2,b2的等量关系式，即可得解.
1 2
【详解】
c √ b2 1 b2 8 8
解：因为离心率e= =❑1− = ，解得 = ，b2= a2 ，
a a2 3 a2 9 9
A ,A 分别为C的左右顶点，则A (−a,0),A (a,0)，
1 2 1 2
B为上顶点，所以B(0,b).
所以⃑BA =(−a,−b),⃑BA =(a,−b)，因为⃑BA ⋅⃑BA =−1
1 2 1 2
8
所以−a2+b2=−1，将b2= a2 代入，解得a2=9,b2=8，
9
x2 y2
故椭圆的方程为 + =1.
9 8
故选：B.
【例2.2】【2021年新高考2卷】抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．4【答案】B
【解析】
【分析】
首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值.
【详解】
抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.
【例2.3】【2020年新课标3卷理科】设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，
1 2
离心率为 ．P是C上一点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为4，则a=（ ）
1 2 1 2
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】
， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故选：A.
【思维提升】椭圆、双曲线中涉及的基本量为a,b,c;抛物线中涉及到p等基本量。根据题目所给的条件分
别建立方程或者方程组。【变式2.1】（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知抛物线 的焦点为 ，准
线为 ， 为 上一点， ，垂足为 ， 与 轴交点为 ，若 ，且 的面积为
，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由抛物线定义知 ，所以 为等边三角形， 为 的中点，
所以 ， ，
的面积 ，所以 的方程为 .
故选：A.
【变式2.2】（2023·江苏南通·统考一模）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之
家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的
中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面 ，近地点（长轴端点中离地面
最近的点）距地面 ，地球的半径为 ，则该椭圆的短轴长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的远地点和近地点的距离可得 ，进而可求得 ，求得b，可得
答案.【详解】由题意得 ，
故 ，
故选：D.
【变式2.3】（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）直线 与椭圆 (m>0)有且仅
有一个公共点P，则m＝_______，点P的坐标是________.
【答案】
【详解】法1：联立方程 得 ，
得 ，
所以 ，得 ，所以 .
法2：设 ，则 处切线 ，
可化为 ，比对得 ，
代入椭圆方程得： ，得 .
得 ，所以 ，得 ，所以 .
【应用三】函数与方程思想在研究圆锥曲线的离心率的问题
圆锥曲线中的离心率是这几年高考的热点，常考查离心率的值和范围等问题。
【例3.1】（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷））
已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在 上，点 在 轴上，
，则 的离心率为________．
【命题意图】本题考查双曲线的离心率问题，综合考查了向量，正余弦定理的应用,考查数学运算的核心素
养.
难度：中等.【答案】 /
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 关于 的表达式，
从而利用勾股定理求得 ，进而利用余弦定理得到 的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得 ， ，将点 代入双曲线
得到关于 的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 （舍去），
所以 ， ，则 ，
故 ，
所以在 中， ，整理得 ，
故 .
方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，整理得 ，则 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 （舍去），故 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定
理得到关于 的齐次方程，从而得解.
【点评】圆锥曲线是每年必考知识，小题中一般考1-2题，常涉及到离心率（范围），圆锥曲线方程，焦
点三角形中的问题，面积等；难度一般较大；
【例3.2】【2021年乙卷理科】设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大值，再构建齐次
不等式，解出即可．
【详解】
设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得
，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该
不等式不成立．故选：C．
【点睛】
本题解题关键是如何求出 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单
调性从而确定最值
【思维提升】求离心率的值关键是找到等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率。常见的等式关系
主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目
中的等式关系。体现方程的思想。
求离心率的值关键是找到不等关系，解出 a与c的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有：
1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦
点的范围；要特别注意离心率的范围。此类问题转化为函数，求函数的最值问题
x2 y2
【变式3.1】．【2022年全国甲卷】椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关
a2 b2
1
于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
4
❑√3 ❑√2 1 1
A． B． C． D．
2 2 2 3
【答案】A
【解析】
【分析】
y ❑ 2 1 x ❑ 2 y ❑ 2
设P(x ,y )，则Q(−x ,y )，根据斜率公式结合题意可得 1 = ，再根据 1 + 1 =1，将
1 1 1 1 −x ❑ 2+a2 4 a2 b2
1
y 用x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
1 1
【详解】
解：A(−a,0)，
设P(x ,y )，则Q(−x ,y )，
1 1 1 1
y y
则k = 1 ,k = 1 ，
AP x +a AQ −x +a
1 1
y y y ❑ 2 1
故k ⋅k = 1 ⋅ 1 = 1 = ，
AP AQ x +a −x +a −x ❑ 2+a2 4
1 1 1x ❑ 2 y ❑ 2 b2(a2−x ❑ 2)
又 1 + 1 =1，则y ❑ 2= 1 ，
a2 b2 1 a2
b2(a2−x
❑
2)
1 b2 1
所以 a2 1，即 = ，
= a2 4
−x ❑ 2+a2 4
1
c √ b2 ❑√3
所以椭圆C的离心率e= =❑1− = .
a a2 2
故选：A
【变式3.2】（2023·黑龙江大庆·统考一模）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，
点P，Q在椭圆C上，若 ，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用数量积知识得 ，然后利用第一定义及勾股定理得到a、c关系，即可求出离心率
【详解】由 ，得 ，则点P是以 为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设
和点P在第一象限，如图
连接 ，令 ，则 ， ， ．
因为 ，所以 ，即 ，得 ，又 ，所以 ，将 代入，得 ．
故选：A.
【变式 3.3】（2023·重庆·统考三模）已知 ， 分别为椭圆的左右焦点，P 是椭圆上一点，
， ，则椭圆离心率的取值范围为______．
【答案】
【详解】
设 ，则 ，
.
由正弦定理可得， ，
所以 ， .
根据椭圆的定义可知， ，
所以有 ，
所以有
.
因为， ，所以 ，
令 ，则 ，设 ，
则函数 在 上单调递增.又 ， ，
所以， ，即 .
故答案为： .
【应用四】函数与方程思想在研究圆锥曲线最值的问题
平面解析几何是高考解答题必考题型之一，常考椭圆和抛物线，第一问主要考查圆锥曲线方程；第二问考
查直线与圆锥曲线的位置关系，常涉及到面积问题，定值，定点，定直线问题；一般以压轴题出现；
【例4】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线 ： ，圆 ： ，在
抛物线 上任取一点 ，向圆 作两条切线 和 ，切点分别为 ， ，则 的取值范围是
______ ．
【答案】
【分析】设点 ，由已知关系，可用 点坐标表示出 .在 ，有
，进而可推出 ，根据 的范围，即可得到结果.
【详解】
由已知， ， .
如图，设点 ，则 ，
，在 中，有
，
易知 ，则 ，
则 ，
因为， ，所以当 时， 取得最大值 ，
又 ，所以， .
所以， 的取值范围是 .
故答案为： .
【思维提升】圆锥曲线中的最值及范围问题，则是通过建立对于的目标函数，求这个函数的最值问题。若
函数是一元二次函数，根据具体的范围求最值，若不是一元二次函数则可能用到基本不等式或者求导，求
最值或者范围。
【变式4.1】【2021年乙卷文科】设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
设点 ，由依题意可知， ， ，再根据两点间的距离公式得到 ，然后消元，即
可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】
设点 ，因为 ， ，所以，
而 ，所以当 时， 的最大值为 ．
故选：A．
【点睛】
本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即
可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点 B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端
点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范
围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.
【变式4.2】（2023·吉林·统考三模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，过焦点 的直
线l与椭圆C相交于 两点，椭圆C在 两点处的切线交于点P，则点P的横坐标为______，若
的垂心为点H，则 的最小值是______．
【答案】 4
【详解】由椭圆C： 可知 ， ，
设 的方程为 ，设 ，
则由题意可得切线 的方程为 ，
同理切线 的方程为 ，
即 ，则 ，
即 ，所以P点的横坐标为4；
又 ，
故 的垂心为点H，则 ，
故 的方程为 ， 的方程为 ，
将两方程联立解得 ，即 ，故 ，
当且仅当 即 时取得等号，
故 的最小值为 ，
故答案为：4；
【变式4.3】（多选）（2023·山西运城·统考三模）已知点 是椭圆 上的动点，点
且 ，则|PQ|最小时，m的值可能是（ ）
A．-1 B． C．a D．3a
【答案】BD
【详解】因为点 在椭圆 上，所以 ，
所以
，若 ，当 时， 最小，
若 ，当 时， 最小.
故选：BD.
巩固练习
1、（2023·安徽铜陵·统考三模）已知抛物线 ，点 在 上，直线 与坐标轴
交于 两点，若 面积的最小值为1，则 （ ）
A．1 B． C．1或 D． 或
【答案】B【详解】
不妨设 ，由题可得 无解，
否则若直线和抛物线有交点 时，当 时， 面积将趋近 ，
故 ，解得 .
由图可知，当 恰好为斜率为 的直线和抛物线的切点时， 的面积最小.
令 ，不妨 ，则 ，
又 点 到直线 的距离为 ，
则 ，解得 （ 舍去）.
故选：B
2、【2019年新课标1卷理科】已知椭圆C的焦点为 ，过F 的直线与C交于A，B两点.
2
若 ， ，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可设 ，则 ，得 ，在 中求得 ，再在
中，由余弦定理得 ，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有
．在 中，由余弦定理推论得
．在 中，由余弦定理得 ，解得 ．
所求椭圆方程为 ，故选B．
法二：由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有
．在 和 中，由余弦定理得
，又 互补， ，两式消去
，得 ，解得 ．
所求椭圆方程为 ，故选B．
3、【2020年新课标1卷理科】已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，
过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
【分析】
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且 ，根据
可知，当直线 时， 最小，求出以 为直径的圆的方程，根
据圆系的知识即可求出直线 的方程．
【详解】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所以直线
与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以
，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故选：D.
4、（2022·江苏如皋·高三期末）已知双曲线 ，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，
点Q在双曲线 上，且满 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】
设 在渐近线 上，直线 的方程为 ，联立求得 ,由 ，求得，代入双曲线方程化简即可得出结果.
【详解】
设 在渐近线 上，直线 的方程为 ，由 ，得 即 ,由
，得 ，
因为 在双曲线上，所以 化简得：
故选：B
5、（2023·江苏南通·三模）抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于 两点，以 为直
径的圆 交 轴于 两点， 为坐标原点，则 的内切圆直径最小值为( ).
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知 ，设直线 的方程为 ， .
由 得， ，故 ， ， .
，
以 为直径的圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心 到 轴的距离为 ，
故 .
设 的内切圆半径为 ，由 的面积公式得， ，
即 ，故 .令 ，则 且 ，
所以
，
因为 ，所以 在 上单调递增；
当 时， .
因此 的内切圆直径最小值为 .
故选：B
6、（2022·湖南常德·高三期末）已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O： 的一条直径，则
______．
【答案】3
【分析】
设出 ，则可得 ，根据数量积的坐标运算可得到 的表达式，结合 可得
答案.
【详解】
设 ，则 ,且 ，
则 ，
故答案为：3
7、（2023·云南红河·统考一模）已知双曲线E： 的左、右焦点分别为 、 ，若E
上存在点P，满足 ，（O为坐标原点），且 的内切圆的半径等于a，则E的离心率为
____________．【答案】
【分析】由 可得 ， ，再结合双曲线的定义可得 ，
化简得 ，因为 的内切圆的半径为a，所以 ，
即 ，化简运算即可得E的离心率.
【详解】因为 ，所以 ， ，
又因为P在双曲线上，所以 ，联立可得 ，
，所以 ，
因为 的内切圆的半径为a，
所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，两边平方得 ，
即 ，两边同时除以 ，得 ， ，
因为 ，所以 ．
故答案为： .
8、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知直线 与圆 相离，则整数
的一个取值可以是______．
【答案】 或 或 （注意：只需从 中写一个作答即可）
【分析】利用直线与圆的位置关系列出不等式组，解出整数 的范围．【详解】因为圆 的圆心为 ，所以圆心到直线 的距离 ，因为圆 的方程可化简为
，即半径为 ，所以 ，所以 ，故整数 的取值可能是
．
故答案为： 或 或 （注意：只需从 中写一个作答即可）
9、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定
点A，B的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”．在平面直角坐标系中，已知点 ，点P
满足 ，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心，若直线 与圆M相交于D，G两点，且
，则 ____________．
【答案】 或
【分析】设点 由 求出圆M方程，根据 截圆弦长 求得 值.
【详解】设点 点 满足 ，
∴ ，
化为: ，即点 的轨迹圆 ，圆心 ，半径 .
圆心 到直线 的距离 ，
∴ ，
∴ ，解得 或
故答案为: 或 .
10、（2023·安徽·统考一模）已知直线 与椭圆 交于 两点，线段 中点 在直线 上，且线段 的垂直平分线交 轴于点 ，则椭圆 的离心率是__________.
【答案】
【分析】利用点差法证明二级结论 ，再结合 ，则两式相比可得 ，即
，代入 即可求出离心率.
【详解】设 ，其中 ，显然点 在椭圆内，
记坐标原点为 ，直线 的斜率分别为 ，易知三条直线斜率均存在，
又 ，两式相减整理可得 ，
即 ，又 ，所以两式相比可得 ，
即 ，代入 ，整理可得 ，
所以离心率 .
故答案为： .
