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7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
01 课标要求..........................................................................................................................................2
02 落实主干知识..................................................................................................................................3
一、四个公理........................................................................................................................................3
二、直线与直线的位置关系................................................................................................................3
三、直线与平面的位置关系................................................................................................................4
四、平面与平面的位置关系................................................................................................................4
五、等角定理........................................................................................................................................4
03 探究核心题型..................................................................................................................................5
题型一：共面、共线、共点问题的证明............................................................................................5
题型二：判定空间两条直线是异面直线............................................................................................9
题型三：截面问题..............................................................................................................................13
题型四：平面的基本性质..................................................................................................................17
题型五：等角定理..............................................................................................................................21
题型六：异面直线所成的角..............................................................................................................25
04 好题赏析（一题多解）................................................................................................................29
05 数学思想方法................................................................................................................................32
①数形结合..........................................................................................................................................32
②转化与化归......................................................................................................................................34
③分类讨论..........................................................................................................................................38
06 课时精练（真题、模拟题）........................................................................................................40
基础过关篇..........................................................................................................................................40
能力拓展篇..........................................................................................................................................47
1
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1、借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面
的位置关系的定义．
2、了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
2
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一、四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
二、直线与直线的位置关系
位置关系
相交（共面）
平行（共面）
异面
图形
符号
a∥b
公共点个数
1
0
0
特征
两条相交直线确定一个平面
两条平行直线确定一个平
面
两条异面直线不同在如
何一个平面内
三、直线与平面的位置关系
位置关系
包含（面内线）
相交（面外线）
平行（面外线）
3
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图形
符号
∥
公共点个数
无数个
1
0
四、平面与平面的位置关系
位置关系
平行
相交（但不垂直）
垂直
图形
符号
∥
，
公共点个数
0
无数个公共点且都
在唯一的一条直线上
无数个公共点且都在
唯一的一条直线上
五、等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
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题型一：共面、共线、共点问题的证明
【例题1】如图，在正方体
中，对角线
与平面
交于点O，AC 与BD 交于点M，
E 为AB 的中点，F 为
的中点，求证：
，O，M 三点共线．
【解析】由题意得
平面
，
又
，
平面
，
所以
平面
，
由基本事实3 可得，点
在平面
和平面
的交线上，
所以
三点共线．
【例题2】如图，在正四棱台
中，
分别为棱
，
，
，
的中点．
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(1)判断直线
与
的位置关系，并说明理由；
(2)证明
，
，
相交于一点．
【解析】（1）证明：连接
，
，如图所示，
因为
为正四棱台，所以
，
又E，F，G，H 分别为棱
，
，
，
的中点，所以
，
，
则
，所以E，F，G，H 四点共面，因为
，所以
，所以
为梯形，则
与
必相交．
（2）因为
为梯形，则
与
必相交．
设
，因为
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
平面
，
又平面
平面
，
所以
，则
，
，
交于一点．
【解题总结】
共面、共线、共点问题的证明
（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．
（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【变式1】
中，
，
，
，
是
的中点，
是
的中点，
是
的中点.
如图，将
和
分别沿
、
向平面
的同侧翻折至
和
的位置，且使得
.证明：
、
、
、
共面.
【解析】取
的中点
，
的中点
，连接
、
、
，
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因为
、
分别为
、
的中点，所以
，
，
翻折前，
中，
，
，
，
是
的中点，
是
的中点，
是
的中点，
则
，
，
，
，
，
翻折后，则有
，
，
，
因为
，
为
的中点，
所以
，
，
所以，四边形
为平行四边形，
所以
，
，
因为
为
的中点，所以
，
，
故四边形
为平行四边形，
所以
，
，故
，
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，所以
，
所以
、
、
、
共面.
【变式2】如图，已知
分别是正方体
的棱
的中点，
.证明：
直线
交于同一点；
【解析】在正方体
中，连接
，
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由
，得四边形
是平行四边形，则
，
由
分别是
的中点，得
，则
，即
四点共面，
而
，则
相交，设交点为
，则
，而
平面
，则
平面
，
同理
平面
，而平面
平面
则
，即点
在直线
上，所以直线
交于同一点
.
【变式3】在四面体
中，
、
分别是
、
的中点，点
、
分别是
、
边上的点，且
．
(1)求证：
、
、
、
四点共面；
(2)若四面体
为棱长为6 的正四面体，求四边形
的周长
．
【解析】（1）如图，连接
，
因为
、
分别是
、
的中点，所以
，又
，
所以
，所以
，
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所以
、
、
、
四点共面；
（2）因为四面体
为棱长为6 的正四面体，又
，则
，
∴
，
因为
、
分别是
、
的中点，则
，
∴
，
∴
.
题型二：判定空间两条直线是异面直线
【例题3】取正方体六个表面的中心，构成正八面体，如图所示，正八面体的12 条棱中异面直线的对数为
（ ）
A．16
B．24
C．32
D．48
【答案】B
【解析】先任选一条棱，余下的11 条棱中与它异面的有4 条，
故共有
对异面直线．
故选：B．
【例题4】已知直线
，若
，
是异面直线，则a 与d 的位置关系为（ ）
A．相交
B．异面
C．相交或异面
D．不确定
【答案】C
【解析】由
，
是异面直线，则
异面或相交，又
，故
异面或相交.
故选：C
【解题总结】
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判定空间两条直线是异面直线的方法如下：
（1）直接法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过B 点的直线是异面直线．
（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面．
【变式4】若
为异面直线，且它们之间的距离为
，则空间中与
，
均异面且距离也均为
的直线
的条数为（ ）
A．0 条
B．1 条
C．多于1 条，但为有限条
D．无数条
【答案】D
【解析】过公垂线段中点的双曲面上的直线满足要求．
故选：D.
【变式5】如图，正方体
中，
是
的中点，则下列说法中正确的是（ ）．
A．直线
与直线
垂直，直线
平面
B．直线
与直线
相交，直线
平面
C．直线
与直线
平行，直线
平面
D．直线
与直线
异面，直线
平面
【答案】A
【解析】对于A，连接
；由正方体的性质可知
，
又
是
的中点，所以直线
与直线
垂直；
在正方体中因为
，
面
，
面
，则
面
，
又
，
面
，
面
，则
面
，
又
面
，所以平面
平面
，
又
平面
，所以直线
平面
，故A 正确；
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对于B，连接
，则
，直线
平面
，
又
平面
，且
平面
，且
，
所以直线
与直线
异面，不相交，故B 不正确；
对于C，以
为原点，建立如图空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，则
所以
，不存在实数
使
，
故直线
与直线
不平行，故C 不正确；
对于D，因为
面
，
面
，
面
，
，
故直线
与直线
异面是正确的，
又
，
，
所以
，所以直线
与平面
不垂直，故D 不正确；
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故选：A
【变式6】如图，三棱柱
中，点
分别为
的中点，则下列说法错误
的是（ ）.
A．
四点共面
B．
与
是异面直线
C．∠
=∠
D．
三线共点
【答案】C
【解析】因为
分别为
的中点，所以
，
；
所以
，所以
四点共面，A 正确.
因为
平面
，
平面
且
，
平面
，所以
与
是异面直线，B 正确.
由
，且
可知，四边形
是梯形，
若∠
=∠
，则梯形
是等腰梯形，而题设条件无法得出
，
所以C 不一定正确.
如图：
设
，则
，又
平面
，所以
平面
；
同理可得
平面
，即
一定在平面
与平面
的交线上，
因为平面
平面
，所以
，即
三线共点.故D 正确.
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故选：C
题型三：截面问题
【例题5】在棱长为6 的正方体
中，点
分别为
的中点，
，点
在
棱
上，若
，则平面
截正方体
，所得截面多边形的周长 ．
【答案】
【解析】
如图，连接
,设
，
因为E、F 分别为AB、BC 的中点，所以
，所以
平面
，
因为平面
平面
，连接GH，所以
，
设
平面
，连接SO，则CG、OS、AH 三者平行且相等，
在平面
中，
，
，
，
，
所以
，从而
三点共线，即
也在平面EFG 内，连接
，则截面多边形为
，
易计算得
，
，
，又根据对称性，截面多边形的周长为
．
故答案为：
．
【例题6】如图所示正方体
的棱长为2，E 是棱
的中点，则由
，A，E 三点确定的平
面与正方体
相交所得截面图形的周长为 .
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【答案】
【解析】延长
与
的延长线交于点
，连接
交
于点
，连接
，如图所示，
则由
，A，E 三点确定的平面与正方体
相交所得截面图形的周长为
棱
的中点,且
，在
中，
为中位线，
，
又由题意得
，且
，
，又
，
，
，
在
中，
，
在
中，
，
在
中，
，
在
中，
，
所得截面图形的周长为
.
故答案为：
.
【解题总结】
（1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们
的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
（2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3 作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
【变式7】如图所示正方体
中棱长为1，
是棱
的中点，则由
，
，
三点确定的
平面与正方体
相交所得截面图形的周长为 ．
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【答案】
【解析】延长
相交于点
，连接
交
于点
，连接
，
则四边形
即为所求截面图形,如图，
因为
为
的中点，由相似比可知
为
的中点，
则
，因为
，
分别为
，
中点，
所以
，
所以
，
，
同理
，
，
所以周长为
.
故答案为：
.
【变式8】E、F 分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F 三点的截面的图形
是 .
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【答案】五边形
【解析】作直线EF 分别与直线DC、DD1相交于P、Q，
连接AP 交BC 于M，连接AQ 交A1D1于N，连接NF、ME，
则五边形AMEFN 即为过A、E、F 三点的截面；
故答案为：五边形.
【变式9】在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱
为
一“堑堵”，
是
的中点，
，则在过点
且与
平行的截面中，当截面图形为等
腰梯形时，该截面的面积为 .
【答案】
/
【解析】如图，取
、
、
分别为
、
、
的中点，
、
分别为
、
的中点，则
且
，
在直三棱柱
中，
且
，
因为
、
分别为
、
的中点，则
且
，
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所以四边形
为平行四边形，
且
，
且
、
分别为
、
的中点，则
，
所以，四边形
是等腰梯形，
当
不是
中点时，
不平行平面
，
则四边形
不是等腰梯形，等腰梯形有且仅有一个，
取
的中点
，连接
、
，
，
，且点
为
的中点，
则
且
，
所以，四边形
为平行四边形，可得
，
同理可得
，
所以，
、
、
均为等边三角形，
.
故答案为：
.
题型四：平面的基本性质
【例题7】（多选题）下列命题是真命题的是（ ）
A．若
的三条边所在的直线分别交平面
于
三点，则
三点共线
B．若直线
是异面直线，直线
是异面直线，则直线
是异面直线
C．若三条直线
两两平行且分别交直线于
三点，则这四条直线共面
D．对于三条直线
，若
，则
【答案】AC
【解析】对于A，设平面
平面
，因为
平面
平面
，所以
，同理
，
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所以
，
三点共线，故A 是真命题；
对于B，如图，在正方体
中，取
所在直线为直线
，
所在直线为直线
所在直线为直线， 满足直线
异面，直线
异面，而
，故B 是假命
题；
对于C，经过一组相交直线或一组平行直线，有且仅有一个平面，故C 为真命题；
对于D，在正方体
中，取
所在直线为直线
所在直线为直线
所在直线为直线，满足
，而直线
异面，故D 为假命题．
故选：AC．
【例题8】（多选题）下列结论错误的有（ ）
A．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．
B．两个平面α，β 有一个公共点A，就说α，β 相交于过A 点的任意一条直线．
C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
D．没有公共点的两条直线是异面直线．
【答案】BCD
【解析】对于A，当两两相交的三条直线不经过同一点，如图1，根据推论，这三条直线可以确定一个平
面;
当两两相交的三条直线经过同一点且不共面，如图2，则
确定一个平面
，
确定一个平面
，
确定一个平面
.共确定3 个平面.
所以两两相交的三条直线最多可确定3 个平面.故A 正确；
对于B，由基本事实3，两个平面有一个公共点
，那么它们有且只有一条过A 点的公共直线，而不是任
意一条过点
的直线都是两平面的交线，故B 错误；
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对于C，若这三个公共点共线，两平面可能相交，但不一定重合，故C 错误；
对于D，没有公共点的两条直线可能平行也可能异面.故D 错误
故选：BCD.
【解题总结】
平面具有三大基本性质：一、任意三点不共线则确定一个唯一平面；二、任意两条平行直线确定一
个唯一平面；三、过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。这些性质揭示了平面作为二维空间的基
本构成单元，其存在与确定的唯一性。
【变式10】（多选题）（25-26 高三上·河北·开学考试）下列命题正确的有（ ）
A．一条直线和一个点确定一个平面
B．直线与平面
垂直，在平面
内存在无数条直线与直线相交
C．直线与平面
相交，平面
内存在无数条直线和直线异面
D．平面
与平面
垂直，若直线与平面
垂直，则直线与平面
平行
【答案】BC
【解析】对于A，当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能确定
一个平面，故A 错误；
对于B，平面
内所有过垂足
的直线均与相交于
，这样的直线有无数条，B 正确；
对于C，设直线与平面
的交点为
，平面
内所有不经过点
的直线都与直线异面，这样的直线有无
数条，故C 正确；
对于D，直线还有可能在平面
内，D 错误.
故选：BC.
【变式11】（多选题）如图，正四棱台
中，下列说法正确的是（ ）
A．
和
异面
B．
和
共面
C．平面
平面
D．平面
与平面
相交
【答案】ABD
【解析】对于A，在四棱台
中，
，
所以
与
确定平面
，
因为
与
相交，且
与平面
相交，由所以
和
异面，故A 正确；
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对于B，在正四棱台
中，
，
所以
与
确定平面
，所以
和
共面，故B 正确；
对于C，因为
面
，而
面
，
面
，
面
，
由基本事实3 可知，平面
与平面
相交，故C 错误；
对于D，因为在正四棱台
中，
，
所以
与
可以确定一个平面，
又因为
，所以
与
交于一点设为
，
所以
，而
平面
，所以
平面
，
又
，而
平面
，所以
平面
，
由基本事实3 可知，平面
与平面
相交，故D 正确.
故选：ABD
【变式12】（多选题）在空间，已知直线及不在上两个不重合的点A、B，过直线作平面
，使得点
A、B 到平面
的距离之比为1:2，则这样的平面
不可能有（ ）
A．无数个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
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【答案】BD
【解析】线段
与的位置关系有以下四种，
如图，当线段
与异面时，有两种情况，
其中
为线段
与平面
的交点，
，
在线段
的延长线上，且
，
当线段
与平行时，此时A、B 到平面
的距离之比为
，故这样的平面
为0 个，
当线段
与相交，交点为
，且
时，此时过直线作平面
，可作无数多个平面，使得A、B
到平面
的距离之比为1:2，
当线段
与相交，交点为
，且
时，此时可作0 个平面，使得A、B 到平面
的距离之比为
1:2，
故选：BD
题型五：等角定理
【例题9】如图所示，
和
的对应顶点的连线
，
，
交于同一点
，且
，则
．
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【答案】
【解析】因为
，所以
，
，
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理可证
平面
，
又
，
平面
，所以平面
平面
，
且三棱锥
和三棱锥
高之比也为
，
由等角定理得
，
，
所以
，
由
，
可得
，
所以
.
故答案为：
.
【例题10】已知异面直线
所成角的大小为
，直线
且
，则
.
【答案】
或
【解析】由题意知，
，
，且异面直线，
所成角为
，
由等角定理及异面直线所成角为锐角或直角，
所以
为异面直线，
所成的角或补角，
所以
或
.
故答案为：
或
.
【解题总结】
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【变式13】过正方体
的顶点
在空间作直线，使与平面
和直线
所成的角都
等于
，则这样的直线共有 条．
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【答案】2
【解析】在正方体中，
与平面
垂直，再根据等角定理，问题可以转化为过点A 与
、
都
成
的直线有几条．
考虑到
，
夹角为
，所以同一平面的角平分线与
，
的夹角大小为
，
因为
，从而存在两条直线满足条件．而
，
的外角为120 度，所以不存在外角平分线满足
条件．
综上，满足条件的直线共2 条．
故答案为：2.
【变式14】如图，在过点A 的三条不共面的射线上，
，则△EFG 与
△BCD 的面积之比为 ．
【答案】
/9:25
【解析】由题意，
，
故
,
则
，故
,
则
,
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由
，根据等角定理得
,
故
，
故答案为：
【变式15】如图，在长方体
中，
点
是
（靠近点
）的一个三等分点，点
是
的中点，
为直线
与平面
的交点，则
.
【答案】
【解析】连接
，
，令平面
与平面A1B1C1D1的交线交
分别于点P，
N，Q，如图，
在长方体
中，四边形
、四边形A1B1C1D1是正方形，
平面
平面A1B1C1D1，平面
平面
，平面
平面
，
则
，而
，且
与
都是锐角，即
，
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则
，又点
是
(靠近点
)的一个三等分点，即
，
点
是
的中点，而
，则
，
，即
，
在正方形
中，
，则
，
连MN，则有平面
平面
，而
直线
，必有
平面
，又
平面
，
因此，
直线
，即直线
与
交于点O，又长方体
的对角面
是矩形，
即
，且
，于是得
，
所以
.
故答案为：
题型六：异面直线所成的角
【例题11】在正方体
中，点
在棱
上，过点
作平面
的平行平面
，记平面
与平面
的交线为，则
与所成角的大小为 ．
【答案】
【解析】因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，则
，
则
与所成角大小等于
与
所成角的大小，
因为
平面
平面
，所以
，
又
，且
平面
，所以
平面
，
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又
平面
，故
，所以
，即
与所成角的大小为
．
故答案为：
【例题12】如图，已知三棱柱
中，
底面
，
，
，则异
面直线
与
所成角的大小为
【答案】
【解析】根据直三棱柱
的特征，
补全可得如图所示的正方体，
易知
，
为直线
与
所成角，
连接
，则
为等边三角形，
所以
，
所以直线
与
所成角的大小为
.
故答案为：
.
【解题总结】
（1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正
方体为模型．
（2）求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
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二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【变式16】如图，在四面体
中，
，直线
与直线
所成的角为
，
､
分别为
､
的中点.则直线
和直线
所成角的大小为 .
【答案】75°或15°
【解析】因为
､
分别为
､
的中点，取
中点
，
所以
，
，
因为直线
与直线
所成的角为
，
所以
或
，又因为
，所以
，
所以
或
，
所以直线
和直线
所成角为
或
.
故答案为：
或
.
【变式17】正三棱柱
的侧棱长为2，底面边长为1，M 是
中点，N 为线段
中点，则直
线
与直线
所成角的余弦值为 ．
【答案】
/
【解析】连接
，由
、
分别为
、
中点，则
，
则直线
与直线
所成角即为直线
与直线
所成角，即
，
又
，
，
，
则
，
即直线
与直线
所成角的余弦值为
.
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故答案为：
.
【变式18】在正方体
中，过点
作直线与异面直线
和
所成的角均为
，则
的
取值范围为 .
【答案】
【解析】如图，因为
，所以
或其补角为异面直线
和
所成的角.
因为
，所以
是等边三角形，所以
，
过点
作直线的平行线
，则当
与
的角平分线平行时，
取得最小值为
，
故
的取值范围为
，
故答案为：
.
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1．中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努
力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基
石．如图所示的一块木料中，ABCD 是正方形，
平面ABCD，
，点E，F 是PC，AD 的
中点．
若要经过点E 和棱AB 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；
若要经过点B，E，F 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．
【解析】解：
【方法一】取PD 的中点G，连接EG，AG，如图，EG，AG 即为所求画线．
理由如下：
中，
，
正方形ABCD 中，
，
所以
，则A、B、E、G 四点共面，
平面ABEG 为过点E 和棱AB 的平面，
截面四边形ABEG 是直角梯形，
其中
，
，
，
，
所以截面周长为
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【方法二】取PD 的中点G，连接EG，AG，如图，EG，AG 即为所求画线．
理由如下：
因为
，
平面PCD，
平面PCD，
所以
平面PCD，
又
平面ABE，设平面
平面
，则
中，E 为PC 中点，则G 为PD 中点，
EG，AG 即为所求画线，
截面四边形ABEG 是直角梯形，
其中
，
，
，
，
所以截面周长为
在PD 上取点H，使
，连接EH，FH，EH，FH 就是应画的线．
理由如下：
如图所示，以点A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面BEF 的法向量为
，由
得
，取
，
设
平面
，设
，则
，
，则由
，得
，解得
即H 是PD 的三等分点
，连接EH，FH，即EH，FH 就是应画的线．
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2．如图，正方体
中，
分别在棱
，
，
上，且
相交于点
求证：DP，RQ，BC 三线共点．
若正方体的棱长为2，且
分别是线段
的中点，求三棱锥
的体积．
【解析】
证明：因为
，所以
，
，
所以
平面ABCD，
平面
，
因为平面
平面
，
所以O 在BC 上，
所以DP，RQ，BC 三线共点．
解：由
知DP，BC 共面，且交于点O，
为AB 中点，
，
，同理，
，
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①数形结合
1．若直线
和
是异面直线，
在平面
内，
在平面
内，l 是平面
与平面
的交线，则下列命题正
确的是
A．l 与
，
都不相交
B．l 与
，
都相交
C．l 至多与
，
中的一条相交
D．l 至少与
，
中的一条相交
【答案】D
【解析】
解：
与
，
可以相交，如图：
该选项错误；
B．l 可以和
，
中的一个平行，如上图，
该选项错误；
C．l 可以和
，
都相交，如下图：
该选项错误；
D．“l 至少与
，
中的一条相交”正确，
假如l 和
，
都不相交；
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和
，
都共面；
和
，
都平行；
，
和
共面，这样便不符合已知的
和
异面；
该选项正确．
故选：
2．三个不互相重合的平面将空间分成n 个部分，则n 不可能是
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】解：按照三个平面中平行的个数来分类：
三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4 部分；
两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6 部分；
三个平面中没有平行的平面：
三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7 部分；
三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8 部分；
三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6 部分；
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综上，可以为4、6、7、8 部分，不能为5 部分，
故选：
3．在正方体中，E，F，G，H 分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H 四点共面的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
解：对于选项A，点E，F，H 确定一个平面，该平面与底面交于FM，
而点G 不在直线FM 上，
故E，F，G，H 四点不共面；
对于选项B，连结底面对角线AC，
则由中位线定理可知，
，又
，
则
，
故E，F，G，H 四点共面；
对于选项C，显然E，F，H 所确定的平面为正方体的底面，
而点G 不在该平面内，
故E，F，G，H 四点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一个正六边形，
即点E，G，H 确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ，
而点F 不在直线PQ 上，
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总
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故E，F，G，H 四点不共面．
故选：
②转化与化归
4．如图，在三棱柱
中，E，F，G，H 分别为
，
，
，
的中点，则下列说法错误的是
A．E，F，G，H 四点共面
B．
C．EG，FH，
三线共点
D．
【答案】D
【解析】
解：选项A，如图，
连接EF，
是
的中位线，
，且
，
四边形
是平行四边形，
，
，
，F，G，H 四点共面，故A、B 正确；
对于选项C，如图，延长EG，FH 相交于点
，
平面
，
平面
，
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总
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，
平面
，
平面
，
平面
平面
，
，
，FH，
三线共点，故C 正确；
对于选项D，
，当
时，
，故D 错误．
故选
5．如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为梯形，
，且
，E 是棱PD 的中点，
设
平面
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：延长AB ，DC ，设
则平面
平面
，平面
平面
，
，则
平面ABE，
平面PCD，又平面
平面
，
得
，即
，
又
，所以
，由
，且
，知C 为线段DQ 的中点．
又E 为PD 的中点，所以点F 为
的重心，所以
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故选：
6．如图所示，在正方体
中，过对角线
的一个平面交
于 E，交
于 F，给出下
面几个命题：以上命题中真命题的个数为
①四边形
一定是平行四边形；
②四边形
有可能是正方形；
③平面
有可能垂直于平面
；
④设
与DC 的延长线交于M，
与DA 的延长线交于N，则M､N､
三点共线；
⑤四棱锥
的体积为定值．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解析】
解：因为平面
与平面
平行，截面与它们交于
，BF，
可得
，同理可得
，
所以四边形
是一个平行四边形，故①正确；
如果
是正方形，则
又因为
，
，
，
平面
，
所以
平面
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又因为
平面
，所以E 与A 重合，此时
不是正方形，故②错误；
当两条棱上的交点是中点时，四边形
为菱形，
平面
，
此时四边形
垂直于平面
，故③正确；
由
与DC 的延长线交于M，可得
，且
又因为
平面
，
平面ABCD，所以
平面
，
平面
又因为
平面
，
平面ABCD，所以平面
平面
，
同理平面
平面
，
所以BM，BN 都是平面
与平面ABCD 的交线，所以B，M，N 三点共线，故④正确；
由于
，
平面
，
则E，F 到平面
的距离相等且为定值，三角形
的面积为定值，
所以四棱锥
的体积为定值，故⑤正确．
故选
③分类讨论
7．若一条直线和一个平面平行，则称此直线与平面构成一个“平行线面对”．在一个正方体中，由经过
两个顶点的直线和经过四个顶点的平面所构成的“平行线面对”的个数是
A．48
B．44
C．36
D．24
【答案】A
【解析】解：当该直线为棱所在直线时，有3 个面与其构成“平行线面对”，共
对；
当该直线为面对角线所在直线时，有1 个面与其构成“平行线面对”，共12 对；
当该直线为体对角线所在直线时，无．
综上，共48 对，故选
8．如图，S 是圆锥的顶点，AB 是底面圆的直径，
，M 是线段AS 上的点不与端点A，S 重合，
N 是底面圆周上的动点，则直线BS 与MN 不能（ ）
A．异面
B．相交
C．平行
D．垂直
【答案】C
【解析】
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解：
当N 不与A 或B 重合时，SB 是平面SAB 内的一条直线，
MN 是平面SAB 外的一条直线，且M 不在SB 上，可知BS 与MN 异面；
当N 与B 重合时，可知MN 与BS 相交；
当N 与A 重合时，可知SB 与MN 垂直．
直线BS 与MN 不能平行．
故选：
9．对于任意的直线l 与平面
，在平面
内必有直线m，使m 与l（ ）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．互为异面直线
【答案】C
【解析】
对于任意的直线l 与平面
，分两种情况：
①l 在平面
内，l 与m 是共面直线，则存在直线
或
；
②l 不在平面
内，且
，则平面
内任意一条直线都垂直于l；
若l 于
不垂直，则它的射影在平面
内为一条直线，
在平面
内必有直线m 垂直于它的射影，则m 与l 垂直；
若
，则存在直线
综上，对于任意的直线l 与平面
，在平面
内必有直线m，使m 与l 垂直，
故选：
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基础过关篇
1．如图，正方体
中，
分别为棱
的中点，连接
，对空间
任意两点
，若线段
与线段
都不相交，则称
两点可视，下列选项中与点
可视的为
（ ）
A．点
B．点
C．点
D．点
【答案】B
【解析】A 选项：四边形
是平行四边形，
与
相交，故A 错；
C 选项：四边形
是平行四边形，
与
相交，故C 错；
D 选项：四边形
是平行四边形，
与
相交，故D 错；
利用排除法可得选项B 正确.
故选：B.
2．已知
是空间三条不同的直线，则下面命题正确的是（ ）
A．若
且
，则
B．若
且
，则
C．若
且
，则
共面
D．若
共点，则
共面
【答案】B
【解析】当
且
时，
可能相交、异面或平行，故A 错；
当
且
时，根据平行线的性质有
，故B 对；
当
且
时，则
，但
未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；
当
共点时，
未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D 错.
故选：B
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3．已知正三棱锥
，
，
，
为
中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】取
中点
，连接
，
，则
，
所以
（或补角）即为异面直线
与
所成角，
因为
，
，则
，
，
由余弦定理可得
，
所以异面直线AF 与BD 所成角的余弦值为
.
故选：D.
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．四边相等，四个角也相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】对于A，两组对边分别相等的四边形可以是空间四边形，故A 不正确；
对于B，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，故B 不正确；
对于C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C 正确；
对于D，四边相等，四个角也相等的四边形可以是空间四边形，故D 不正确.
故选：C.
5．下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（ ）
A．这两条直线可能既共面，又共点
B．这两条直线可能既不共面，又不共点
C．这两条直线可能共面但不共点
D．这两条直线可能共点但不共面
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【答案】D
【解析】设
是空间中不重合的两条直线，
对于A，若直线
相交于一点，则这两条直线可能既共面，又共点，故A 说法正确；
对于B，若直线
是异面直线，则这两条直线既不共面，又不共点，故B 说法正确；
对于C，若直线
是平行直线，这两条直线共面但不共点，故C 说法正确；
对于D，若直线
相交于一点，则直线
一定共面，故D 说法错误.
故选：D
6．若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（ ）
A．直线在平面内
B．直线平行平面
C．直线与平面相交
D．直线与平面相交或平行
【答案】D
【解析】由题，设直线为，平面为
，
要使一条直线的两点到一个平面的距离为2，则由线面位置关系可得，
当
时，可满足题意，
当与
相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意，
当
时，无法满足题意，
故直线与平面相交或平行．
故选：D．
7．下列说法其中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形．
B．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
C．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
D．两条直线a，b 分别和异面直线c，d 都相交，则直线a，b 的位置关系可能是异面直线，也可能是相
交直线．
【答案】D
【解析】选项A：只有平面内四边相等的四边形才是菱形，
空间内四边相等的四边形可以构成立体图形，故A 错误；
选项B：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，
那么这两个角相等或互补，故B 错误；
选项C：若平面内无数条直线均平行，则两个平面可以平行或相交，故C 错误；
选项D：两条直线a，b 分别和异面直线c，d 都相交，
则直线a，b 的位置关系可能是异面直线，也可能是相交直线，故D 正确；
故选：D
8．在正方体
中，异面直线
与
所成的角为（ ）
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总
习~~~
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】画出图象如下图所示
根据正方形的性质可知
所以
是直线
与
所成角
由于三角形
是等边三角形
所以
即直线
与
所成的角的大小为
故选：
9．（多选题）如图所示，G､H､M､N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线
、
是异
面直线的图形有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于A，由G，M 均为所在棱的中点，根据三棱柱的性质易得
，不为异面直线；
对于B，在题图中，
三点在同一个平面内，直线
显然与
确定的平面相交，
故直线
，
是异面直线；
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总
习~~~
对于C，连接
，由N，H 均为所在棱的中点，所以
，且
，
易得四边形GMNH 为梯形，则GH 与MN 相交，不是异面直线．
对于D，在题图中，
三点在同一个平面内，直线
显然与
确定的平面相交，
故直线
，
是异面直线.
故选：BD．
10．（多选题）已知空间中三条不同的直线
，
，和平面
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
与相交，则
与相交
D．若
与
相交，则
与
相交
【答案】AD
【解析】对A：因为
，
，则
.故A 成立；
对B：若
，
，则
或
.故B 错误；
对C：若
，
与相交，则
与相交或
与异面，故C 错误；
对D：若
，
与
相交，则
与
相交.故D 成立.
故选：AD
11．直线
为异面直线，直线
为相交直线，则直线
的位置关系是 ．
【答案】相交或平行或是异面直线
【解析】在正方体
中，令棱
所在直线分别为
，如图，
当棱
所在直线为时，
；
当棱
所在直线为时，
相交；
当棱
所在直线为时，
是异面直线，
所以直线
的位置关系是相交或平行或是异面直线.
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总
习~~~
故答案为：相交或平行或是异面直线
12．三条直线两两相交可以确定 个平面．
【答案】1 或3
【解析】（1）三条直线共面时，则确定1 个平面；
（2）三条直线不共面时，则三条直线必交于一点，此时每两条直线确定1 个平面，共确定3 个平面.
则三条直线两两相交可以确定1 个或3 个平面.
故答案为：1 或3
13．已知在正方体
中，
分别为
、
的中点，
，
．
求证：
四点共面.
【解析】证明：因为
是
的中位线，所以
．
在正方体
中，
，所以
．
所以
在一个平面内，即
四点共面．
14．（1）已知
是空间四边形，
分别是
的中点，求证：
．
（2）在正方体
中，
分别是正方形
和A1B1C1D1的中心；求证：直线
与
为
异面直线．
【解析】（1）取BC 的中点为P，连接
，如图所示，
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总
习~~~
由三角形的中线性质可知
，
在
中
．
（2）连接
，如图所示，
因为
平面
，
平面
，
，且
平面
，
所以
与
是异面直线．
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总
习~~~
能力拓展篇
1．在正方体
中，
分别为棱
的中点，则异面直线
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，设
，连接
，设
．
易得
，且
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
所以
或其补角为异面直线
与
所成的角．
设正方体
的棱长为1，则
．
因为
，且
，所以
，
所以
，
所以
，则
．
故异面直线
与
的夹角为
．
故选：A
2．已知
为异面直线，
平面
平面
，若直线满足
，则下列说法一定错误的是
（ ）
A．
B．
与
相交，且交线平行于
C．
，且交线平行于
D．
，
【答案】D
【解析】A：如图，可满足题干要求：
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总
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；
BC：如图，可满足题干要求：
；
D：若
，则
，与
为异面直线矛盾，故D 错误，
故选：D．
3．在棱长为2 的正方体
中，
是棱
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线
与直线
垂直
B．直线
与平面
所成角为
C．过
三点的截面是等腰梯形
D．点
到平面
的距离为
【答案】D
【解析】因为正方体
的棱长为2，如图
以
所在的直线分别为
轴、
轴，
轴建立空间直角坐标系，
则
．
则
，
因为
，
所以
与
不垂直，即直线
与直线
不垂直，故A 错误.
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总
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易知平面
的一个法向量为
，又
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
，
而
，所以直线
与平面
所成角不是
，故B 错误.
取棱
的中点为
，连接
，则
．
因为
，
，所以
，所以
，
可得过
三点的截面是四边形
，
由
得四边形
为平行四边形，故C 错误.
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，故
，
所以点
到平面
的距离
，故D 正确．
故选： D.
4．四面体各面所在平面将空间分成几部分?（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】C
【解析】将四面体
的各面延展成平面后，则四面体的内部是一个空间；
将平面
，平面
，平面
延展后，在平面
的下方会分割出一个空间，
也就是说平面
对应一个空间，
同理，平面
，平面
，平面
也各对应一个空间，这样的空间共有4 个；
将上述三个平面延展后，在顶点A 的上方，也分割出一个空间，也就是顶点A 对应一个空间，
同理，顶点
也各对应一个空间，这样的空间共有4 个；
将四面体的各面延展后，棱
对应几何体外部的一个空间，
同理，其余的5 条棱也各对应一个空间，这样的空间共有6 个.
因此四面体的各面延展成平面后，可将空间分成
部分.
故选：C
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总
习~~~
5．已知正方体
中，点
为
的中点，点
为
的中点，则平面
截正方体
形成的截面图形为（ ）
A．六边形
B．五边形
C．四边形
D．三角形
【答案】B
【解析】延长
，交
的延长线于
，
连接
，交
于
，
延长
，交
的延长线于
，
连接
，交
于
，
最后依次连接
，
所得截面
，即为所求.
故选：B
6．已知直三棱柱
的所有棱长均为2，则直线
与直线
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由直三棱柱
往下延伸再作一个高相等的直三棱柱，如图：
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总
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由于
可得四边形
是平行四边形，
所以
，即
或其补角是直线
与直线
所成角，
由直三棱柱
的所有棱长均为2，
所以
，
由余弦定理得：
，
即直线
与直线
夹角的余弦值为
.
故选：A
7．三个平面把空间分成m 部分，m 的所有可能取值组成集合Q，则Q 中所有元素之和为（ ）
A．18
B．19
C．25
D．30
【答案】C
【解析】当3 个平面互相平行时：空间被分成4 部分，即
，
当2 个平面互相平行时：第3 个平面与这2 个平面相交，
此时空间被分成6 部分，即
，
当3 个平面相交于同一条直线时：空间被分成6 部分，即
，
当3 个平面相交于3 条直线时：这3 条交线互相平行，
此时空间被分成7 部分，即
，
当3 个平面相交于1 点时：此时空间被分成8 部分，即
，
所以
，
所以Q 中所有元素之和为
.
故选：
.
8．如图，在棱长为1 的正四面体
中，M，N 分别为BC，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的正弦
值为（ ）
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总
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接MD，取其中点Q，连接
，
由题意可得
，
，
且
，
所以
是直线AM 和CN 的夹角或补角，
，
所以
.
所以
，即直线AM 和CN 夹角的正弦值为
.
故选：C
9．（多选题）如图所示，已知A、B、C、D、E、F 分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF
异面的是（ ）
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总
习~~~
A．直线AB
B．直线BC
C．直线CD
D．直线DA
【答案】CD
【解析】如图所示的正方体中，A、B、C、D、E、F 分别是所在棱的中点，
正方体中有
且
，四边形
为平行四边形，有
且
，
又
，
，所以
且
，
所以
为梯形，故直线
与
相交，A 错误；
正方体中，因为
，所以
，故B 错误；
因为平面
平面
，
平面
，
平面
，
所以直线
与直线
无公共点，
又
，
，所以直线
与直线
不平行，
即直线
与直线
是异面直线，故C 正确；
因为
平面
，
平面
，
，故直线
与
异面，D 正确.
故选：CD
10．（多选题）如图，在正方体
中，对角线
与平面
交于点
，则（ ）
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总
习~~~
A．直线
与
所成的角为
B．
平面
C．
D．
为
的垂心
【答案】BD
【解析】对于A，因为
，故
、
所成的角为
或其补角，
由正方体可得
为等腰直角三角形，故
，
故直线
与
所成的角即为
，A 错误．
对于B，如图，连接
，
由正方体可得
平面
，
又
平面
，所以
．
因为
，
平面
，所以
平面
，
而
平面
，所以
．同理
．
又
，
平面
，所以
平面
，B 正确．
对于C，设正方体的棱长为
，则
．
因为
平面
，所以
，
解得
，所以
，C 错误．
对于D，因为
平面
，且
为正三角形，
，
所以
为
的中心，即
为
的垂心，D 正确．
故选：BD．
11．下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，
分别是所在棱的中点，这四
个点共面的图是 ，
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【答案】①②③
【解析】
在①中，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，
所以
，因为
，所以
是平行四边形，
所以
，
所以
，∴
四点共面．
在②中，
取
的中点N，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，
可得
交于直线
延长线上一点，
∴
四点共面，设为
，
在正方体中：
，∴
四点共面，设为
.
∵
都经过不共线的
三点，∴
与
重合，∴
四点共面．
在③中，
分别是所在棱的中点，所以
，所以
，
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”
总
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∴
四点共面．
在④中，
连接
，如图，∵
平面
平面
且
，
∴直线
与
为异面直线．∴
四点不共面．
故答案为：①②③
12．如图，在棱长为2 的正方体
中，E 为
的中点，动点F 沿着线段
从点B 移动到
点
．给出下列四个结论：
①
恒为钝角 ②直线
与直线AB 为异面直线
③
④三棱锥
体积为定值
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】③④
【解析】对于①，由正方体的性质可知
，当F 与
重合时，
为直角，①错误；
对于②，易知
，所以直线
与直线
为共面直线，②错误；
对于③，因为
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，③正确
对于④，因为
，又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
在
上，所以
到平面
的距离为定值，
又三角形
也为定值，所以三棱锥
体积为定值， ④正确.
故答案为：③④
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总
习~~~
13．如图，正方体的棱长是
，点
分别是两条棱的中点．
(1)求证：四边形
（图中阴影部分）是一个梯形；
(2)求四边形
的面积．
【解析】（1）如图所示，连接
，
因为点
、
分别是
、
的中点，所以
，
，
又因为
，
，所以
，
，
所以四边形
是一个梯形.
（2）因为正方体的棱长为
，所以
，
，
，
如图②所示，
，
而梯形
的高
，
可得梯形
的面积为
.
14．如图所示，在棱长为
的正方体
中，
分别是
的中点．
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总
习~~~
(1)求证：
∥平面
．
(2)求证：
平面
．
(3)求
的长．
【解析】（1）因为在正方体
中，
，
又
平面
，
不在平面
内，
所以
∥平面
；
（2）连接
，
分别是
的中点，可知
相交于
，
由中位线性质可得：
，
又
平面
，
不在平面
内，
所以
平面
.
（3）由（2）知
，
则
.
15．如图，已知
分别是正方体
的棱
的中点，且
与
相交
于点
.
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总
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(1)求异面直线
与
所成角的大小.
(2)求证:点
在直线
上；
【解析】（1）根据正方体的性质可知
是异面直线
与
所成的角或其补角
分别是
的中点
是等腰直角三角形
即异面直线
与
所成角的大小为
（2）
，
平面
平面
平面
平面
平面
平面
即
点
在直线
上
59
