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7.4 空间距离（精讲）
一．点到线的距离
1.概念：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线
段的长度叫做这个点到该平面的距离；
设⃗AP＝
，直线l 的一个单位方向向量为
，则向量⃗AP在直线l 上的投影向量⃗AQ＝
，在Rt△APQ
中，由勾股定理，得PQ＝ √|⃗AP|
2-|⃗AQ|
2
＝
二．两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.
三．点到平面的距离：已知平面α 的法向量为
，A 是平面α 内的定点，P 是平面α 外一点.过点P 作平面α
的垂线l，交平面α 于点Q，则
是直线l 的方向向量，且点P 到平面α 的距离就是⃗AP在直线l 上的投影向
量⃗
QP
的长度.因此
1
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四．直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条
直线到这个平面的距离；
五．两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，
我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
一．求点面距常见方法
方法一：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离
方法二：等体积法
方法三：向量法
二.向量法求两异面直线的距离
分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为
，与这两条异面直线都垂直的法向量为
，则
两条异面直线间的距离就是
在
方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式
求解.
考点一 点线距
【例1-1】（2023 春·江西南昌）如图，
是棱长为的正方体，若
在正方体内部且满足
，则
到
的距离为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【例1-2】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线的方程为
，空间一点
，则点
到直线的距离为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023 春·广东茂名·高三校考阶段练习）菱形
的边长为4，
，E 为AB 的中点（如图
1），将
沿直线DE 翻折至
处（如图2），连接
，
，若四棱锥
的体积为
，
点F 为
的中点，则F 到直线BC 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体
中，以顶点A 为端点的三条棱
长都是a，且
，
，E 为
的中点，则点E 到直线
的距离为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
考点二 线线距
【例2】（2023·全国·高三专题练习）长方体
中，
，
，
为
的中点，
则异面直线
与
之间的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）在长方体
中，
，
，
，则异面直线
与
之间的距离是（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直
线距离的最小值．在棱长为1 的正方体
中，直线
与
之间的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直
线距离的最小值.在长方体
中，
，
，
，则异面直线
与
之间的
距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 点面距
【例3-1】（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，侧面
是边长为
的正三角形，平面
平面
，
．
(1)求证：平行四边形
为矩形；
5
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(2)若
为侧棱
的中点，且平面
与平面
所成角的余弦值为
，求点
到平面
的距离．
【例3-2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图，在四面体
中，
．点
为棱
上的点，且
，三棱锥
的体
积为
．
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(1)求点A 到平面
的距离；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
【一隅三反】
1．（2022 秋·山东青岛·高三统考期中）如图，四棱锥
中，底面ABCD 为正方形，
为等边
三角形，面
底面ABCD，E 为AD 的中点.
(1)求证：
；
(2)在线段BD 上存在一点F，使直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为
.
①确定点F 的位置；
②求点C 到平面PEF 的距离.
2．（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知
为圆锥的顶点，
为底面的圆心，其母线长
为6，边长为
的等边
内接于圆锥底面，
且
.
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(1)证明：平面
平面
；
(2)若
为
中点，射线
与底面圆周交于点
，当二面角
的余弦值为
时，求点
到平面
的距离.
考点四 面面距
【例4】（2023·全国·高三专题练习）在棱长为的正方体
中，则平面
与平面
之
间的距离为
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A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为
的正方形，
底
面
，
，
、
、
分别是
、
、
的中点．求：
(1)直线
与平面
的距离；
(2)平面
与平面
的距离．
2．（2023·全国·高三专题练习）直四棱柱
中，底面
为正方形，边长为
，侧棱
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，
分别为
的中点，
分别是
的中点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
的距离．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体
的棱长为2，E，F，G 分别为AB，
BC，
的中点．
(1)求证：平面
平面EFG；
(2)求平面
与平面EFG 间的距离．
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4．（2023·全国·高三专题练习）底面为菱形的直棱柱
中，
分别为棱
的中
点.
(1)在图中作一个平面
，使得
，且平面
.（不必给出证明过程，只要求作出
与直棱柱
的截面）；
(2)若，求平面与平面的距离.
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