文档文本内容
压轴11 数列的奇偶项问题与子数列问题的5 大核心题型
子数列问题(包括数列中的奇数项、偶数项、公共项以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的
重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.
题型01 数列中相邻两项和或积的问题
1.（2025·广东清远·二模）已知数列
na
的前n 项和为
2
*)
4 (
N
n
S
n
n n
=
+
Î
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nc
满足
1
n
n
n
c
c
a
+ +
=
，且不等式
2
2
0
nc
n
+
³
对任意的
*
N
nÎ
都成立，求
1c 的取值范围．
2.（2026·广东·一模）在数列
na
中，
1
2
a =
，
2
8
a =
，且对任意的
*
nÎN ，都有
2
1
4
4
n
n
n
a
a
a
+
+
=
-
．
(1)证明：
1
2
n
n
a
a
+ -
是等比数列，并求出
na
的通项公式；
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S ．
题型02
( ),
( ),
n
f n n
a
g n n
=
为奇数
为偶数
型
技法指导
递推公式为an＋1＋an＝f(n)或an＋1·an＝f(n)的形式，求通项公式或数列求和的方法
（1）求通项公式：由an＋1＋an＝f(n)与上式作差可得隔项递推公式an＋2－an＝f(n+1)－f(n)；对于后一种
可由an＋2·an+1＝f(n+1)与上式作商可得隔项递推公式，然后求解.
（2）求前n 项和Sn：求出通项公式,则Sn=S 奇+S 偶；或者利用an＋1＋an＝f(n)，可直接并项求和.
技法指导
1.当n 为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，其中奇数项、偶数项各有
𝑛
2项，可直接分组求和，即
Sn＝（a1＋a3＋…＋an－3＋an－1）＋（a2＋a4＋…＋an－2＋an）.
2.当n 为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an⇒Sn＝Sn－1＋an，其中Sn－1 可利用上述结论代入，然后再
快速求解Sn＝Sn－1＋an.
3.当题目条件中出现连续两项的和时，常采用减项作差法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，
从而求出其通项公式.
4.当题目条件中出现连续两项的积时，常采用约项作商法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，
从而求出其通项公式.
3.（2023·新课标Ⅱ卷T18）已知
na
为等差数列，
6,
2
,
n
n
n
a
n
b
a n
-
=
为奇数
为偶数
，记
n
S ，
nT 分别为数列
na
，
nb
的
前n 项和，
4
32
S =
，
3
16
T =
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)证明：当
5
n >
时，
n
n
T
S
>
．
4.（2025·辽宁大连·模拟）若数列
na
和
nb
满足：
1
1
a = ，
1
7
b = ，且
1
1
2
3
4
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
b
a
+
+
=
-
=
-
(1)设
n
n
n
c
a
b
=
-
，证明：
nc
是等比数列；
(2)设
,
4
,
n
n
n
n
n
a
b n
d
a
b n
-
=
-
为奇数
为偶数，试求
n
d
的前n 项和
n
S ．
题型03 含有(-1)n 类型
5.（2025·河南郑州·二模）已知数列
na
的各项均为正数，前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
1
n
S + 是1
n
S
-
与
1
n
S + 的
等差中项.
(1)证明：数列
n
S
是等差数列；
(2)设
1
n
n
n
n
b
S
a
= -
×
+
，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T .
6.（2026·河北保定·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
1
1
1
2
n
n
S
S
n
n
+ -
=
+
.
(1)求
n
S
(2)若
1
2
1
1
n
n
n
n
n
b
a a +
+
= -
，求数列
nb
的前n 项和.
题型04 两数列的公共项
7.（2026·重庆万州二模）已知数列
na
的前n 项和
2
3
2
n
n
n
S
+
=
，
nb
为等比数列，公比为2，且
1b ，
2
1
b + ，
3b 为等差数列.
(1)求
na
与
nb
的通项公式；
技法指导
对
分奇、偶进行讨论,转化为相邻两项和或差求解，当项数不确定时，要分奇数和偶数讨论求解.
n
技法指导
两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是
等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．
(2)把数列
na
和
nb
的公共项由小到大排成的数列记为
nc
，求数列
nc
的前n 项和
nT .
8.（2025·山东青岛·二模）已知等差数列
na
满足
3
1
8
a
a
-
=
，且
2
1
a - 是
1a 和
3
1
a + 的等比中项，数列
nb
的
前n 项和为
n
S ，且满足
1
3
b =
，
1
2
3
n
n
S
b +
=
- .
（1）求数列
na
和
nb
的通项公式；
（2）将数列
na
和
nb
中的公共项按从小到大的顺序依次排成一个新的数列
kc
，
*
N
k Î
，令
3
log
k
k
d
c
=
，
求数列
1
1
k
k
d d +
ü
ý
þ
的前k 项和
kT .
题型05 数列有关增减项问题
9.（2025·陕西咸阳二模）已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
*
(
)
2
n
n
a
S
n
N
+ =
+
Î
．
（1）求数列
na
的通项公式．
（2）在
na 与
1
na + 之间插入n 个数，使这
2
n +
个数组成一个公差为
n
d 的等差数列，在数列
n
d
中是否存在3
项
m
d ，
kd ，
p
d ，（其中m，k，p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3 项，若不存在，请说明
理由．
10.（2025·安徽黄山一模）已知数列
nb
为等比数列，正项数列
na
满足
1
2
2
4
4
n
n
n
a
a
a
+ -
-
=
，且
1
1
2,
1
a
b
=
= ，
4
4
a
b
=
.
(1)求
na
和
nb
的通项公式；
(2)若从
na
中去掉与数列
nb
中相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列
nc
，设
1
2
3
1 0
100
0
c
c
c
c
T
+
+
+
=
+L
，求
100
T
.
1．（2025·福建福州·期中）在数列
na
中，已知
1
1
a = ，
1
1
2
n
n
n
a
a +
æ
ö
×
= ç
÷
è
ø
，记
n
S 为
na
的前n 项和，
2
2
1
n
n
n
b
a
a
-
=
+
，
*
nÎN ．
(1)判断数列
nb
是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列
na
的通项公式．
技法指导
对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入(减少)了多少项
(运用等差等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项.
2.（2021·全国·新高考1 卷T17）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
1
1,
,
2,
.
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
=
+
为奇数
为偶数
（1）记
2
n
n
b
a
=
，写出
1b ，
2b ，并求数列
nb
的通项公式；
（2）求
na
的前20 项和.
3.（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列
na
是公差大于2 的等差数列，其前n 项和为
n
S ，
2
5
a =
，且
1
1
a + ，
2
1
a + ，
5
2
a -
成等比数列．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)令
1
2
3
( 1)
(3
2)
n
n
n
n
a
b
n
a
+
+
= -
+
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
4.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列
na
满足
1
5
a =
，
1
2
3n
n
n
a
a
+ -
=
（
*
nÎN ），记
3n
n
n
b
a
=
-
．
(1)求证：
nb
是等比数列；
(2)设
2
1
n
n
n
c
b
+
=
，数列
nc
的前n 项和为
n
S ．若不等式
1
( 1)
2
n
n
n
n
S
l
-
-
<
+
对一切
*
nÎN 恒成立，求实数l 的
取值范围．
5.（2025·河北廊坊联考）已知数列{
}
na
的前n 项和
n
S 满足2
n
n
S
na
n
-
=
，
*
n
N
Î
，且
2
3
a =
．
（1）求证：数列
1 (
2)
1
na
n
n
-
ü
³
ý
-
þ
是常数列；
（2）求数列{
}
na
的通项公式．若数列{ }
nb
通项公式
3
2
nb
n
=
-
，将数列{
}
na
与{ }
nb
的公共项按从小到大的顺
序排列得到数列{ }
nc
，求{ }
nc
的前n 项和．
6.（2025·陕西西安·二模）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
1
2,
,
2
,
,
n
n
n
a
n
a
a n
+
+
=
为奇数
为偶数
(1)记
2
2
n
n
b
a
=
+
，求
1b ，
2b ，并证明数列
nb
是等比数列；
(2)记
2
3
n
n
c
a
=
+
，求满足
1
2
3
100
n
c
c
c
c
+
+
+
+
<
L
的所有正整数n 的值.
7.（2025·福建莆田·二模）记
n
S 为等差数列
na
的前n 项和．已知
4
3
3
2
14,
15
a
a
S
=
+
=
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)记集合
*
*
,
,
2
1,
n
n
A
x x
a n
B
x x
n
=
=
Î
=
=
+
Î
N
N
，将A
B
U
中的元素从小到大依次排列，得到新数列
nb
，求
nb
的前20 项和．
8.（2025·山东滨州·二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把
这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3 经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积
扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4 经过第n 次“积扩充”后所得数列的项数记为
n
A ，
所有项的积记为
nP ．
(1)求
2
A 和
2P ；
(2)求
n
A 和
nP ．
(3)求数列
nP
的前n 项积
nT ．
9．
（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列
na
满足
1
3
1
2
6,
3
a
a
a a
+
=
=
．数列
nb
的各项均为正数，1
2
b =
，
且
2
1
1
2
2
n
n
n
n
n
b
b b
b
b
+
+
-
+
-
0
=
．
(1)求数列
,
n
n
a
b
的通项公式；
(2)设
1
1
,
1
n
n
n
n
b
n
c
n
a
a
-
+
ïï
=
ï
ï
×
为奇数
，为偶数
，求数列
nc
的前2n 项和
2n
T ．
10.（2026·河南南阳·模拟预测）记数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
1, 2
n
n
a
a
S
=
-
为常数列.
(1)求
na
的通项公式；
(2)在
na 与
1
na + 之间插入n 个数，使这
2
n +
个数组成一个公差为
n
d 的等差数列，求数列
1
n
d
ü
ý
þ
的前n 项和
nT .
11．（2026·河北保定·一模）已知等差数列
na
满足
1
2
1
+
+
=
+
n
n
a
a
n
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设数列
nb
满足
2
( 1)
2 n
a
n
n
n
b
a
= -
×
+
，求
nb
的前2n 项和
2n
T 及其最小值．
12．（25-26 高二上·广东广州·期末）记
n
S 为等比数列
na
的前n 项和，已知
1
3
1
n
n
S
a +
+
= ．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
1
n
n
n
b
na
-
= -
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
13．（2026·宁夏银川·模拟预测） 设函数
3sin 2
cos2
1
0
f x
x
x
w
w
w
=
+
+
>
，且
f x 的图象相邻两条对
称轴的距离为π
2 .
(1)求
f x 的单调递增区间；
(2)求
f x 在
13
0, 24
x
p
æ
ö
Îç
÷
è
ø 上的值域；
(3)将
f x 所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列
nx
，求数列的前30项和.
14.（2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列
na
，等差数列
nb
其前n 项和分别为
n
S ，
nT ，
满足
2
2
6
S
T
=
=
，
4
30
S =
，
4
20
T =
.
(1)求
na
，
nb
的通项公式；
(2)将数列
na
与
nb
中的项按从小到大依次排列构成一个新数列
nc
，求数列
nc
的前50 项和
50
H
.
15．（2026·四川攀枝花·一模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
*
0
N
na
n
>
Î
，且4，
1
na + ，
n
S 成等比数列．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
1
4
( 1)n
n
n
n
n
b
a a
+
+
= -
×
，记数列
nb
的前2n 项和为
2n
T ，证明：
2
4
1
5
n
T
< ．
16．
（2026·陕西咸阳·二模）已知数列
na
，
nb
满足
2
1
1
2
,
3
2,
+
+
+
+
=
=
+
ÎN
n
n
n
n
n
a
a
a
b
b
n
，且
2
2
1
2
2
=
=
+
=
b
a
a
．
(1)求
na
，
nb
的通项公式；
(2)求数列
n
n
a b
的前n 项和
n
S ；
(3)在数列
na
的前20 项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列
nb
中的项的概率．
