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第十八题 空间向量与立体几何
高考真题
18. 如 图 ， 在 正 四 棱 柱 中 ， ． 点 分 别 在 棱
, 上， ．
（1）证明： ；
（2）点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
知识点总结1. 空间向量中的有关定理
(1) 共线向量定理
空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得 .
(2) 共面向量定理
共面向量定理的向量表达式： ，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量．
(3) 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间中任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使
得 ，{a，b，c}叫做空间中的 .
2. 空间向量的数量积
(1) 两向量的夹角：若两个非零向量 a，b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则
∠AOB叫做向量a，b的夹角，记做〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π.若〈a，b〉＝，则
称a与b互相垂直，记做a⊥b.
(2) 两向量的数量积：若空间中两个非零向量a，b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的
数量积，记做a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
3. 空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a ，a ，a )，b＝(b ，b ，b )．
1 2 3 1 2 3
向量表示 坐标表示
数量积 a·b
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)
模 |a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
4. 两个重要向量
直线的方向 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向
向量 向量有 个
平面的法向 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显
量 然一个平面的法向量有 个，它们是共线向量
5. 空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
l ∥l n ∥n ⇔n ＝λn
1 2 1 2 1 2
直线l ，l 的方向向量分别为n ，n
1 2 1 2
l ⊥l n ⊥n ⇔n ·n ＝0
1 2 1 2 1 2
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔m·n＝0l⊥α n∥m⇔n＝λm
α∥β n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α⊥β n⊥m⇔n·m＝0
6. 常用结论
(1) 在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z
＝1)，O为空间中任意一点．
(2) 在利用MN＝xAB＋yAC证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC
内．
题型展示
空间向量的线性运算
如图，在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c.点M在OA上，OM＝2MA，N
是BC的中点，则MN＝ (用a，b，c表示)．
用已知向量表示未知向量的解题策略：
(1) 要结合图形，以图形为指导是解题的关键；
(2) 要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义；
(3) 三角形法则、向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．
空间向量的数量积的运算及应用
如图，在平行六面体 ABCD－A B C D 中，AB＝AD＝1，AA ＝，∠BAA ＝∠DAA ＝
1 1 1 1 1 1 1
45°，∠BAD＝60°，则|AC1|＝_ .
利用向量解决立体几何问题时，也可以将几何问题转化成向量问题，或通过建立空间直角坐标系利用向量的坐标进行求解，然后代入向量数量积公式进行相关计算和证明．
利用空间向量证明平行问题
(2022·江苏百校联考)已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，E，F分别为AC和AB
上的点，且AE＝1，EF∥BC，如图(1)．沿EF将△AEF折起使平面AEF⊥平面BCEF，连接
AC，AB，如图(2)．已知M为棱AC上一点，试确定M的位置，使EM∥平面ABF.
图(1) 图(2)
证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直
线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方
向向量平行，然后说明直线在平面外即可．
利用空间向量证明垂直问题
如图，已知四棱锥P －ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC
＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.
(1) 求证：PA⊥BD；(2) 求证：平面PAD⊥平面PAB.
用向量证明垂直的方法：(1) 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直；(2) 线面
垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线；(3) 面面垂直：证明两个平面的法向量互
相垂直．
真题演练
一、单选题
1．在正方体 中，E，F分别为 的中点，则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ,且 ，则直线 与直线 夹角的
余弦值为（ ）A． B． C． D．
3．已知向量 ，则下列向量中与 成 的是
A． B． C． D．
4．设 是空间中给定的5个不同的点，则使 成立的点 的
个数为（ ）
A．0 B．1 C．5 D．10
二、填空题
5．如图，在正方体 中， 、 分别是 、 的中点，则异面直线 与 所成角
的大小是____________．6．如图，以长方体 的顶点 为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间
直角坐标系，若 的坐标为 ，则 的坐标为
7．在正四面体O－ABC中， ，D为BC的中点，E为AD的中点，则 ＝
(用 表示)．
8．若向量 ＝(1，1，x)， ＝(1，2，1)， ＝(1，1，1)满足条件 ，则x＝ ．
三、解答题
9．如图，已知长方体 ，直线 与平面 所成的角为 ， 垂直
于E，F为 的中点．
(1)求异面直线 与 所成的角；
(2)求平面 与平面 所成的二面角（锐角）的大小；
(3)求点A到平面 的距离．10．如图是一个直三棱柱（以 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ．已知
， ， ， ， ．
(1)设点 是 的中点，证明： ∥平面 ；
(2)求 与平面 所成的角的大小；
(3)求此几何体的体积．
11．已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
12．如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， 的中点分
别为 ，点 在 上， ．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．13．如图，在长方体 中，E、P分别是 的中点， 分别是 的中点，
．
(1)求证： 面 ；
(2)求二面角 的大小．A B C D
14．如图，在六面体 中，四边形 是边长为2的正方形，四边形 1 1 1 1是边长为1
A B C D
1 1 1 1
的正方形， 平面 ， 平面 ．
(1)求证： 与 共面， 与 共面；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求二面角 的大小．（用反三角函数值表示）
模拟训练
一、单选题1．如图，在长方体 中， ， ，对角线 与平面 交于 点．则
与面 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，直线 的方程为 ，空间一点 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
3．如图，在三棱柱 中，底面边长和侧棱长均相等， ，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在正方体 中，M是线段 （不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（ ）
A． B．平面 平面C． 平面 D． 平面
二、多选题
5．如图，已知 平面 ， ， ， 为 的中点， ，则（ ）
A． B．
C． 平面 D．直线 与 所成角的余弦值为
6．如图，在正方体 中， 为棱 上的动点（不含端点），下列选项正确的是（ ）
A．当 时， 平面
B．平面 与平面 的交线垂直于
C．直线 ， 与平面 所成角相等
D．点 在平面 内的射影在正方体 的内部三、填空题
7．表面积为36π的球M表面上有A，B两点，且 为等边三角形，空间中的动点P满足 ，
当点P在 所在的平面内运动时，点P的轨迹是 ；当P在该球的球面上运动时，点P的轨迹长
度为 .
8．在正方体 中，点 是棱 的中点， 是侧面 上的动点，满足 //平面 ，
若该正方体的棱长为 ，则点 到直线 的距离的最小值为 .
四、解答题
9．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
， ， 为 的中点．
(1)证明： ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值．
10．图，已知正方形 是圆柱 的轴截面（经过旋转轴的截面），点E在底面圆周上， ，，点 是 的中点.
(1)求点 到平面 的距离；
(2)求二面角 的余弦值.
11．如图，在四棱锥 中， ，四边形 是菱形，
是棱 上的动点，且 ．
(1)证明: 平面 ．
(2)是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 ?若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由．12．如图，在三棱柱 中，平面 平面ABC， ， ，
， ， ， ．
(1)求证：B，D，E， 四点共面；
(2)求二面角 的余弦值．
