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专题10 指数与指数函数
知
识
梳
理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题
型
归
类
题型一：指数幂的运算
题型二：指数型复合函数的定义域和值域
题型三：指数函数的图象及应用
题型四：比较指数式的大小
题型五：解简单的指数方程或不等式
题型六：指数函数性质的综合应用
培
优
训
练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强
化
测
试
单选题：共8 题
多选题：共4 题
填空题：共4 题
解答题：共6 题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.
【考点预测】
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
(2)①负数没有偶次方根.
②0 的任何次方根都是0，记作＝0.
③()n＝a(n∈N*，且n>1).
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④＝a(n 为大于1 的奇数).
⑤＝|a|＝(n 为大于1 的偶数).
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意
义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0 的正分数指数幂等于0；0 的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝a r ＋ s ；(ar)s＝a rs ；(ab)r＝a r b r ，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0
，＋
∞
)
性质
过定点(0
，
1)
，即x＝0 时，y＝1
当x>0 时，y >1
；
当x<0 时，0<
y <1
当x<0 时，y >1
；
当x>0 时，0<
y <1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝的图象关于y 轴对称
【常用结论】
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a>1 与0<a<1
来研究.
3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
【方法技巧】
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
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4.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸
缩、对称变换得到.特别地，当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.
5.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
6.比较指数式的大小的方法是：
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“0 或1”等中间量比较大小.
7.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
8.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，
涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
二、【题型归类】
【题型一】指数幂的运算
【典例1】
(a>0，b>0)＝________.
【典例2】若
＋
＝3(x>0)，则
＝________.
【典例3】已知a>0，则
化为( )
A．
B．
C．
D．
【题型二】指数型复合函数的定义域和值域
【典例1】求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝； (2)y＝； (3)y＝2√−x2−3 x+4.
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【典例2】求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝8； (2)y＝4x＋2x＋1＋1； (3)y＝.
【题型三】指数函数的图象及应用
【典例1】(多选)已知实数a，b 满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0
B．a<b<0
C．0<a<b
D．0<b<a
【典例2】在同一直角坐标系中，指数函数y＝x，二次函数y＝ax2－bx 的图象可能是( )
【典例3】若存在正数x 使ex(x＋a)<1 成立，则a 的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞)
B．(－∞，1)
C.
D．(－∞，－1)
【题型四】比较指数式的大小
【典例1】若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c 的大小关系是( )
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>c>a
D．a>c>b
【典例2】若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0
B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0
D．ln|x－y|<0
【典例3】若－1<a<0，则3a，
，a3的大小关系是__________．(用“>”连接)
【题型五】解简单的指数方程或不等式
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【典例1】已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a 的值为______．
【典例2 】若偶函数f(x) 满足f(x) ＝2x －4(x≥0) ，则不等式f(x －2)>0 的解集为
________________．
【典例3】已知y＝4x－3·2x＋3 的值域为[1,7]，则x 的取值范围是( )
A．[2,4]
B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4]
D．(－∞，0]∪[1,2]
【题型六】指数函数性质的综合应用
【典例1】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m 为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值
范围是________．
【典例2】(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73
B.
C．1.70.3>0.93.1
D.
【典例3】函数f(x)＝x2－bx＋c 满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是
( )
A．f(bx)≤f(cx)
B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx)
D．与x 有关，不确定
三、【培优训练】
【训练一】定义在R 上的函数f(x)单调递增，且对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，则f(log43)＝
________.
【训练二】设f(x)＝|2x－1－1|，a<c 且f(a)>f(c)，则2a＋2c______4.(选填“>”“<”“＝”)
【训练三】已知函数f(x)＝－＋4(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若方程f(x)＝0 有解，求实数λ 的取值范围．
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【训练四】已知函数f(x)，若在其定义域内存在实数x 满足f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为
“局部奇函数”，若函数f(x)＝4x－m·2x－3 是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取
值范围是( )
A．[－2，2)
B．[－2，＋∞)
C．(－∞，2)
D．[－4，－2)
【训练五】已知函数f(x)＝，x∈[－1，1]，函数g(x)＝f2(x)－2af(x)＋3 的最小值为h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m，n，同时满足以下条件：
①m＞n＞3；
②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．
若存在，求出m，n 的值；若不存在，说明理由．
【训练六】已知函数f(x)＝2x＋a·2－x(a 为常数，a∈R)．
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(1)讨论函数f(x)的奇偶性；
(2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)－k·f(x)＝3 在x∈[0,1]上有实根，求实数k 的取值范围．
四、【强化测试】
【单选题】
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1. 若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4
B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1
D．
2. 已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c 的大小关系是( )
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．b>c>a
3. 已知函数f(x)＝则函数f(x)是( )
A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增
B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减
4. 已知函数y＝kx＋a 的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是( )
5. 设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1 且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a
－1)0.2与N＝的大小关系是( )
A．M＝N
B．M≤N
C．M<N
D．M>N
6.已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c 且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．2a＋2c<2
7. 基本再生数R0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长
率r 与R0，T 近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺
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炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A．1.2 天 B．1.8 天 C．2.5 天 D．3.5 天
8. 设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，
若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则( )
A．K 的最大值为0
B．K 的最小值为0
C．K 的最大值为1
D．K 的最小值为1
【多选题】
9. 已知函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数图象经过点A 的是( )
A．y＝＋2
B．y＝|x－2|＋1
C．y＝log2(2x)＋1
D．y＝2x－1
10. 函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是( )
11. 设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是( )
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C.>0
D．f <
12. 下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73
B.
C．1.70.3>0.93.1
D.
【填空题】
13. 计算：＋0.1－2＋－3π0＋＝________．
14. 函数y＝ax－b(a>0 且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．
15. 已知函数f(x)＝的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是________．
16. 已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是
________．
①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2－a＜2c；④2a＋2c＜2.
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【解答题】
17. 已知函数f(x)＝ax＋b(a>0 且a≠1)的图象过点(0，－2)，(2，0)．
(1)求a 与b 的值；
(2)求x∈[－2，4]时，f(x)的最大值与最小值．
18. 已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于，求a 的值．
19. 已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b 为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式＋－m≥0 在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围.
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20. 已知定义域为R 的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0 且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k 的值；
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m 的取值范围．
21. 已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图象有公共点，求实数a 的取值范围．
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22. 已知定义在R 上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x 的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0 对于t∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．
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