文档文本内容
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第05 讲乘法公式
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：七大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 平方差公式
1.
2
2
(
)(
)
a
b a
b
a
b
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，
b
a, 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于
理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的
平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如(
)(
)
a
b
b
a
利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如(3
5 )(3
5 )
x
y
x
y
（3）指数变化：如
3
2
3
2
(
)(
)
m
n
m
n
（4）符号变化：如(
)(
)
a
b a
b
（5）增项变化：如(
)(
)
m
n
p m
n
p
（6）增因式变化：如
2
2
4
4
(
)(
)(
)(
)
a
b a
b a
b
a
b
2.平方差公式特征是：
（1）公式左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项相同，而另一项互为相反数
（2）公式右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去互为相反数的项的平方
3.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
.
2 / 13
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简
便．
知识点2 完全平方公式
1.两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2 倍，这两个公式叫做
完全平方公式
补充公式：
2.完全平方公式的变形
3.特殊的完全平方公式
4.应用时，应注意以下几个问题：
（1）．完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；
右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项
乘积的2 倍，二者也仅有一个“符号”不同．
（2）．凑完全平方式时，求中间项，先看前后项是谁的平方（
2
a 和
2
b ），中间项为乘积的±2 倍（2ab
）．
（3）．完全平方公式的一些主要变形：
①（a+b）2+（a－b）2=2（a2+b2），
②（a+b）2－（a－b）2=4ab，
③a2+b2=（a+b）2－2ab=（a－b）2+2ab．
（4）．在四个量a+b，a－b，ab 和a2+b2 中，知道其中任意的两个量，就能求出其余的两个量（整体代
换）．
3 / 13
知识点3 添括号法则
1.添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的
各项都变号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
课本典例1（习题11.3 第6 题）
两个连续奇数的平方差一定是8 的倍数，为什么？
课本典例2（习题11.3 第7 题）
已知a + b = 4，ab = 3，求下列各式的值：(1) a2 + b2；(2) a −b 2。
课本典例3（习题11.3 第8 题）
若多项式
1
4 x2 + ax + 4 是一个完全平方式，求a 的值.
题型一运用平方差公式进行运算
1．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列算式中，可以利用平方差公式计算的有（
）
①
2
2
m
m
；②
5
5
x
x
；③
a
b
a
b
A．0 个
B．1个
C．2 个
D．3个
2．（24-25 八年级上·陕西渭南·期中）利用乘法公式计算：
2
2023
2022 2024
．
3．（22-23 八年级上·福建泉州·期末）已知
2
2
12
a
b
，
2
a
b
，则a
b
．
4．（24-25 八年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：求
（
2
4
8
2 1 2
1 2
1 2
1
的值．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问
题，具体解法如下：
2
4
8
2 1 2
1 2
1 2
1
2
4
8
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
4
8
2
1
2
1
2
1
2
1
4
4
8
2
1
2
1
2
1
4 / 13
8
8
2
1
2
1
16
2
1
．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
(1)
2
4
8
16
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
；
(2)
2
4
8
16
3
1 3
1 3
1 3
1
3
1
．
题型二平方差公式与几何图形
5．
（24-25 七年级下·江苏宿迁·期中）如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观
察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（
）
A．
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
B．
2
a a
b
a
ab
C．
2
2
a
b
a
b
a
b
D．
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
6．（24-25 八年级上·陕西渭南·期中）如图，点A 、D 、E 在同一直线上，大正方形DEFG 与小正方形ABCD
的面积之差是24，点G 、C 、D 在同一直线上，阴影部分的面积为S ，则2S （
）
A．24
B．18
C．12
D．32
7．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）实践探究题
某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证“平方差公式”．
(1)探究：以下两种图形能够验证平方差公式的是_______（填序号）
(2)应用：利用“平方差公式”计算
2
1949
1948 1950
5 / 13
(3)拓展：运用平方差公式计算
2
4
8
1012
(2
1) 2
1
2
1
2
1
2
1
1
8．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）如图1，边长为a 的大正方形有一个边长为b 的小正方形，把图1 中
的阴影部分拼成一个长方形（如图2 所示）
(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成平方差的形式）．
(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是_______．（利用长方形面积公式，写成
多项式乘法形式）
(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式_______．
(4)请应用这个公式完成下列各题：
①已知
2
2
4
12
m
n
，2
4
m
n
，求2m
n
的值．
②计算：
2
2024
2022 2026
．
题型三利用完全平方公式进行运算
9．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）运用完全平方公式计算
2
39.6 的最佳选择是（
）
A．
2
38 1.6
B．
2
40
0.4
C．
2
30
9.6
D．
2
50 10.4
10．（24-25 八年级上·福建福州·期中）已知
2
2
2024
2025
7
a
a
，则代数式
2024
2025
a
a
的
值是（
）
A．2
B．1
C．3
D．3
11．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知实数a，b 满足
2
1
2
2
2 a
b a
b
，则
2
2
a
b
的值
是
．
12．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）运用完全平方公式
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
计算
2
1
2
x
，则公式
中的2ab 是（
）
A．1
2 x
B．x
C．2x
D．4x
13．（24-25 八年级上·福建福州·期中）计算：
2
2
2024
4048
2025
2025
1
．
题型四通过对完全平方公式变形求值
14．（21-22 七年级下·江苏宿迁·期末）已知
5
m
n
，
3
mn
，则
2
2
m
mn
n
的值为
．
15．（24-25 八年级上·安徽阜阳·阶段练习）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若
3
a
b
，
1
ab ，求
2
2
a
b
的值．
6 / 13
解：因为
3
a
b
，
1
ab ，所以
2
9
a
b
，即
2
2
2
9
a
b
ab
，所以
2
2
7
a
b
．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
(1)若
5
a
b
，
3
ab
，则
2
2
a
b
______；
(2)若
2
a
b
17
，
2
a
b
13
，求
2
2
a
b
的值；
(3)已知
1
3
x
x
，求
4
4
1
x
x
的值．
16．（24-25 八年级上·广东广州·期中）已知
3
a
b
，
1
ab ．求代数式下列代数式的值：
(1)
2
2
a
b
；
(2) a
b
．
17．（22-23 八年级上·福建厦门·期中）计算：已知
3
x
y
，
1
xy ，
(1)求
2
2
x
y
的值；
(2)求
2
x
y
的值．
题型五完全平方公式与几何图形
18．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图①是一个长为4b ，宽为a 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分
成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②的正方形．
(1)由图②可以直接写出
2
a
b
，
2
a
b
，ab 之间的一个等量关系式是________；
(2)根据（1）中的结论，解决下列问题：3
2
8
x
y
，
2
xy
，求3
2
x
y
的值；
(3)两个正方形ABCD ，AEFG ，如图③摆放，边长分别为x，y．若
2
2
45
x
y
，
3
BE
，求图中阴影部分
的面积和．
19．（24-25 八年级上·陕西渭南·期中）【知识生成】
我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1 可以得到
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
，基于此，请解答下列问题．
7 / 13
【类比应用】
（1）根据题意可知
2
2
2
a
b
a
b
；
（2）若
4
2
x
x
，求
2
2
4
x
x
的值；
【知识迁移】
（3）将两块全等的特制直角三角板
AOB
V
和
90
COD
AOB
COD
按如图2 所示的方式放置，其中
点A ，O，D 在同一直线上，点B ，O，C 也在同一直线上，连接AC ，BD ．若
12
AD
，
40
AOC
BOD
S
S
△
△
，
求其中一块直角三角板
AOB 的面积．
20．（24-25 八年级上·重庆石柱·期中）为创建文明校园环境，某校制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等
宣传标语，标语由如图1 所示的板材裁剪而成，其为一个长为2m ，宽为2n 的长方形板材，将长方形板材
沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图2
所示的一个大正方形．
(1)用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积可得到一个等式：________________________；
(2)利用(1)中的结论解决以下问题：
①已知
7,
6
m
n
mn
则，
2
m
n
；
②已知
4
5
6
x
x
，求
2
9
2x
的值．
(3)将两个正方形ABCD 和AEFG 按图3 摆放，边长分别为,x y ．且
2
2
x
y
34
，
2.
BE
求图中阴影部分面
积的和．
21．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）如图，某中学校园内有一个长为(4
)
a
b
米，宽为(3
)
a
b
米的长方
形小广场，学校计划在中间留一块边长为(
)
a
b
米的正方形场地修建一座雕像，并将空余场地（阴影部分）进
行绿化．
8 / 13
(1)请用含a，b 的代数式表示绿化面积；
(2)当
2,
3
a
b
时，求绿化面积．
题型六求完全平方式中的字母系数
22．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）若
2
1
4
x
m
x
是一个完全平方式，则m 的值等于
．
23．（24-25 八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果
“
2
2
4
25
x
y
●
”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是
．
24．（24-25 八年级上·江西南昌·阶段练习）已知
2
2
1
16
x
m
x
通过变形可以可成
2
x
n
的形式，则
m
．
25．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）若
2
9
a
ka
是一个完全平方式，则常数k
．
26．（24-25 八年级上·山东滨州·期中）已知
2
4
9
y
my
是完全平方式，则m
．
题型七完全平方式在几何图形中的应用
27．（23-24 七年级下·安徽合肥·期末）【提出问题】
利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证
明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容．
【自主探究】
用直角边分别为a 和b 的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．
（1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题．
（ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形ABCD 的面积为
___________．（用含a，b 的字母表示）
（ⅱ）当a
b
时，比较大小：
2
2
2
a
b
__________ab ．（填“>”或“<”）
（ⅲ）当a 和b 满足什么条件时，
2
2
2
a
b
与ab 相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我
可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明．
【知识应用】
（2）已知
0
m
，
1
n ，且
(
1)
9
m n
，利用（1）发现的结论求
2
2
2
1
m
n
n
的最小值．
28．（23-24 七年级下·福建漳州·期中）图1 是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四
块相同的小长方形，然后按图2 的形状拼成一个正方形．
9 / 13
(1)请用两种不同的方法求图2 中阴影部分的面积．
方法1：__________________．
方法2：__________________．
请写出代数式：
2
2
,
m
n
m
n
，mn 之间的等量关系是______．
(2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3 的面积所表示的代数等式；
(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知
3
a
b
，ab 是负整数，求
2
(
)
a
b
的值．
29．（23-24 八年级上·广东汕头·期末）如图①所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀
均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______．
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积.
方法①___________；方法②__________．
(3)观察图②，试写出
2
m
n
，
2
m
n
，mn 这三个代数式之间的等量关系______．
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若
6
a
b
，
5
ab
，则求
2
a
b
的值．
30．（2023 八年级上·全国·专题练习）图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块
小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1：；方法2：；
10 / 13
(2)观察图②请你写出下列三个代数式；
2
2 ,
,
m
n
m
n
mn
之间的等量关系；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：
3,
2
a
b
ab
，求：
2
a
b
的值；
②已知：
2
1
a
a
，求：
2
2
a
a
的值．
31．（2023·吉林长春·二模）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密
拼接成一个大正方形，先取甲纸片4 块，再取乙纸片9 块，还需取丙纸片
块．
一、单选题
1．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）已知△ABC 的三边长分别为a
b
c
，，，且满足
2
1
2
18
12
a
b
b
，
11 / 13
则c 的取值范围是（
）
A．
2
c
B．
4
c
C．2
4
c
D．3
6
c
2．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）图是某正方形的会议区域结构平面图，其中A，B 会议室都是
正方形，边长分别为a 米，b 米，其中a
b
．关于甲、乙的结论，下列判断正确的是（
）
甲：阴影部分的面积为2ab 平方米；
乙：若A，B 两会议室的面积之和比剩余面积（阴影）多4 平方米，则B 会议室与A 会议室的周长之差为
16 米．
A．只有甲对
B．只有乙对
C．甲、乙都对
D．甲、乙都不对
3．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（
）
A．(
1)(
1)
a
a
B．(
)(
)
a
b b
a
C．(
)(
)
a
b a
b
D．(
)(
)
a
b a
b
4．（24-25 八年级上·江西南昌·阶段练习）下列各式中，运算正确的是（
）
A．
3
3
9
2
6
a
a
B．
3
2
2
3
a
a
C．
2
2
2
2
4
a
b
a
b
D．
2
2
2
2
4
a
b
a
b
a
b
5．（24-25 八年级上·广东汕头·阶段练习）下列各运算中，正确的是（
）
A．
2
3
2
5
a
a
a
B．
2
3
6
3
9
a
a
C．
4
2
3
a
a
a
D．
2
2
2
4
a
a
6．（24-25 八年级上·重庆石柱·期中）若
2
9
x
mx
是完全平方式，则m 的值为（
）
A．12
B．12
C．6
D．6
7．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正
方形
a
b
，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（
）
A．
2
2
a
b
a
b
a
b
B．
2
2
2
2
a
b
ab
a
b
C．
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
D．
2
2
4
a
b
a
b
ab
12 / 13
8．（24-25 八年级上·河南南阳·期末）整式
2
10
x
x
m
为某完全平方式展开后的结果，则m 的值为（
）
A．10
B．20
C．25
D．25
9．（24-25 八年级上·河南南阳·阶段练习）南南在计算
2
2
2
2024
2023
2025
2
时，找不到计算器，去向阳阳借，
阳阳看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案，则阳阳说出的正确答案是（
）
A．2
B．
1
2
C．
2
2024
D．
2
1
2024
10．（24-25 七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）从边长为a 的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b 的小正方
形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么
通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（
）
A．
2
2
2
a
b
a
b
B．
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
C．
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
D．
2
2
a
b
a
b
a
b
二、填空题
11．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）利用完全平方公式，将多项式
2x
bx
c
变形为
2
(
)
x
m
n
的形式，然后由
2
(
)
0
x
m
，就可以求出多项式
2x
bx
c
的最小值为n．例如：求多项式
2
2
2
x
x
的最小
值，解：
2
2
2
2
2
2
2
2
1 1
(
1)
1
(
1)
0
(
1)
1 1
x
x
x
x
x
x
x
当
2
(
1)
0
x
时，
2
(
1)
1
x
的最
小值为1多项式
2
2
2
x
x
的最小值为1．根据上述方法，多项式
2
6
15
x
x
的最小值为
．
12．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）4 个数a、b、c、d 排列
a
b
c
d 我们称之为二阶行列式，规定它
的运算法则为
a
b
ad
bc
c
d
，若
2
3
17
1
2
x
x
x
x
，则x
13．（24-25 八年级上·甘肃武威·阶段练习）若
2
4
4
x
x
m
是一个完全平方式，则m
．
14．（24-25 八年级上·重庆石柱·期中）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m ，n 的平方差，且
1
m
n
，那么称这个正整数为“智慧数”．例如
2
2
16
5
3
，16就是一个“智慧数”，可以利用
2
2
m
n
m
n
m
n
进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3 个“智慧数”是
，第20 个“智
慧数”是
15．（23-24 八年级上·全国·课后作业）
2
4
8
32
3 2
1 2
1 2
1
2
1
1
的个位数是
．
13 / 13
三、解答题
16．（24-25 八年级上·吉林延边·期末）化简：
2
2
1
3
y
y
y
y
．
17．（24-25 八年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：
2
2
b
a
b
a
a a
b
，其中
1
a ，
1
b ．
18．（23-24 八年级上·甘肃平凉·期末）阅读理解：
已知
5,
3
a
b
ab
，求
2
2
a
b
的值．
解：因为
5
a
b
，
所以
2
2
(
)
5
a
b
，即
2
2
2
25
a
ab
b
．
因为
3
ab
，
所以
2
2
2
(
)
2
19
a
b
a
b
ab
．
参考上述过程解答下列问题：
(1)若
3,
2
x
y
xy
．
①
2
2
x
y
________；
②求
2
(
)
x
y
的值；
(2)已知
7
x
y
，
2
2
25
x
y
，求
2
(
)
x
y
的值．
19．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）我们知道几个非负数的和等于0，只有这几个数同时等于0 才
成立，如
2
(
2)
|
3| 0
x
y
，因为
2
(
2) ,|
3|
x
y
都是非负数，则
2
0,
3
0
x
y
，求得
2,
3
x
y
，应
用知识解决下列各题：
（1）若
2
2
(
1)
(
2)
0
x
y
，则x ________，y _______；
（2）若
2
2
6
4
13
0
x
y
x
y
，求xy 的值；
（3）若
2
2
2
3
8
6
11
0
x
y
x
y
，求
2
(
)
x
y
的值．
20．（24-25 八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读材料：若
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
，求m 、n 的值．
解：∵
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
，
∴
2
2
2
2
8
16
0
m
mn
n
n
n
∴
2
2
4
0
m
n
n
，
∴
2
0
m
n
，
2
4
0
n
，
∴
4
n
，
4
m
．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知
2
2
2
2
6
9 0
x
xy
y
y
，求xy 的值；
(2)已知a 、b 、c 分别为
ABC
V
的三边长，且满足
2
2
8
10
41
0
a
b
a
b
，若c 是
ABC
V
的最大边长，且c
为奇数，求
ABC
V
的周长．
